Mathematical Analysis by Apostol

77 Pages·2001·0.67 MB·English

by  Gareth Evans

Mathematical Analysis by Tom M. Apostol
Chapter 3: Elements of Point Set Theory: Notes
teL E etoned eht tes fo lla laer srebmun eht( laer .)enil teLE etoned eht tes folla
1 2
xelpmoc l ,a d av. e)(r ) sn benne ,aisteAnx afinpae)(eioll bdppes mhr=ote c(bxm{u n| a < x<
b}. desolC ,slavretni half-open slavretni dna etinifni slavretni nac eb ylralimi s.denifedehT
laerenil si semitemos derrefer ot sa eht nepo lavretni-( ¥ , ¥ ). A elgnistniop sisemitemos
.lavretn idesol c”etareneged “as aderedisnoc
teL h > ,0 dna tel x eb a nevig .tniop ehT nepo lavretni ,h-x( )h+x si dellac a
dooh rhutoibwhgi exn sa ertnec dna fo suidar d o.o hhy r beuetoW obenhhegtdien ;x(N ,)hro
y bylpmis )x(N ssuii d eafhrit tnatropminu .
teL S eb a te sniE dn aemus staaht x ˛ .nSeh T xt rndo ieisf olrionpleaa tcSni efrieht
1
doohruobhgi eenm ossi )x(N . oSgtnol esbtni oepso h fwlo la
teL S eb a tes niE . S si dellac na nepo tes fi yreve tniop fo S si na roiretn itniop fo.S
1
suhT na nepo tes si hcus taht hcae fo stistniop nac eb desolcne ni a doohruobhg ihecnihwsi
y ldeetneilaptmnoo ccni eht .tes eh Ttselpm idsnik fo nepo tes si na n e.ploavret neihTytpme
Eeni llae reh ts is a,nep oosl as ites .
1
ehT noinu fo yna noitcelloc fo nepo stes si na nepo .tes ehT noitcesretni fo aetinif
noitcello cfo nepo stes si .nepo etoN taht yrartibrasnoitcesretni lliw ton syawl adael otnepo
.stes ehT noinu fo a elbatnuoc noitcelloc fo tniojsid nepo slavretni si na nepo tes ,dna
,hguo nyelbakramer yn retepevose .y aswi h ntdieniat b eonb aecn illa eer hnto
ehT erutcurts fo nepo stes niE . A tes fo stniop niE si dias ot eb dednuob fi ti sia
1 1
tesbus fo emos etinif .lavretni teL S eb na nepo tes niE dna tel ,a( )b eb na nepolavretni
1
hcihw si deniatnoc ni ,S tub esohw stniopdne era ton ni .S nehT ,a( )b si dellac a tnenopmoc
lavretni of S.
fI S si a dednuob nepotes , neht )i( hcae tniop fo S sgnoleb ota yleuqinudenimreted
tnenopmoc lavretni fo ;S dna )ii( eht tnenop msolcavretni fo S mrof a elbatnuoc noitcellocfo
tniojsidstes esohw noinu si .S morF ,siht ti swollof taht na open lavretni niE tonnaceb
1
fnooi neu h stdaesserpxe s tn eetspnoioj soiwdt .ytp m seti ersehti enne hw
Every nEti ense po fnaooi ne u hsti slavre tn netipnoio j nsfoioidtcel leolcbatnuoc .
1
e dhsnttan inoopitalumuccA ieW-onazloB e ssartsr nmEieroe ht t . eSeL ba tes niE dna
1 1
x a tniop niE , x ton ylirassecen ni .S nehT x si dellac na noitalumuccatniop fo ,Sdedivorp
1
yreve doohruobhgien fo x sniatnoc ta tsael eno tniop fo S tcnitsid morf .x fI x si na
ne h,fttSoni onpoitalumucca yreve doohruobhgi en )x(N . fSsotni oypn aymletinif nsiniatn oc
meroeh3T1-3 ( ssartsreieW-onazloB :) fI a dednuob tes S niE sniatnoc yletinifni ynam
1
e rn,seesihhtttniop ts ateal tenn ionoipE hcihw si na noitalumuccatniop of S. selpmaxE ):1(
1
eth eTfso srebmun fo eh tmrof 1 / n = 1, 2, 3, ... has 0 as an noitalumucca tniop . )2 (eh Ttesfo
,n
sr elbamnuonitar e h fttoni oypre v)E 3.(tni onpoitalumuc c n asaraebm ulna eyrre vseah de solc
lavretni . ), bal(avret nnie pe ohnstirebm uft noee shfttoni onpoitalumuc c ns]a,a iba[
d esstoel sCniE . A tes sdiellac desolc fi ti sniatnoc lla st inoitalumusctcnaiop . suhTa
1
desol clavretni si a desolc .tes nA nepo ,lavr e,trneivewoh si ton a desolc tes esuaceb ti seod
ton n i,ast t nsnhotitcioopbd nfe o n hoscititnh aiwelo rupfamouc ceaht .tes A te shcih wsahon
noitalumucca stniop si yllacitamotua desolc ,dna ni ,ralucitrap yreve etinif tes si .desolcehT
yt ptmees s, idoes slsoaalc si eeh ltlo aheewnrilE . ese htTs(al owt stes era osla )!nep oAtes
1
hcihw si ton desolc deen ton eb ,nepo ,sa rof ,elpmaxe eht nepo-flah lavretni ,a( ,]b hcihwsi
rehtien .deso lrc onne po
fI S si ,nepo neht eht tnemelpmoc E —S si .desolc ,ylesrevnoC fi S si ,desolcneht
1
E —S si .nepo tI swollof morf eht evoba taht eht noinu fo a etinif noitcelloc fo desolcstes si
1
desolc dna taht eht noitcesretni fo na yrartibra noitcelloc fo desolc stes si .desolc
noitasilareneG : fI S si desolc , neht eht tnemelpmoc feovi togSat nly iennn)rae iS(ptaoetsnoc
si open . fI S si open , neht eht tnemelpmoc fo S evitaler( ot yna desolc tes gniniatnoc )Ssi
desolc .
snoisnetxE ot rehgihsnoisnemid . ehT noitinifed fo a doohruobhgien , x-x| | < ,hllits
0
d fexnxisan essekam o tgnole b . sleacnaopi ssrneehmgiidh
0
teL n > 0 eb na .regetni nA deredro tes fo n laer srebmunx( , x , ..., x ) si dellacna
1 2 n
lanoisnemid-n tniop ro a rotcev e ld ge y ntlb siolers nibosew ttdr cno.eisvotPne nhot pinmwoc
boldfaced .,gs.ree ttel x =x( , x , ..., x ), erehw x seiht k ht re tot fntaeroicnhooeitpvdro-oc x .
1 2 n k
eh Ttes fo lla lanoisnemid-n stniop d eselihltac lanoisnemid-n n a eedcialpc sudEna sdietoned
ybE . eh Tl aruos tusc ee.lvyu lr:peptaoN tinU etanidrooc srotcev : u = ( d , d , ..., d ) k(=
n k 1,k 2,k n,k
1, 2, ..., n), where d e h sti “ rekenorK at led ydbenif e,d” d = 0 fi k „ j, and d = 1.
j,k j,k k,k
teL x x=( , ..., x ) dna y y (= , ..., y ) neEib e h.T e ueltauvlosba r,o htgnel r,o norm fo x
1 n 1 n n
|y bnevi gsi x =| x 2 +. . . +x 2 e h.T ecnatsid neewt eb x dna y y bnevi gs i |x - y | = Sn (x - y )2 .
1 n i=1 i i
|x | > ,0 dna| x | = 0 ffi x = 0. |x - y | = |y - x .| |x + y | £ | x |+| y .|
yB e nrna eefhpopos suidar r > 0 dna ertnec ta e httniop x niE , e wna eemh ttes folla
0 n
x niE hcus taht |x - x | < .r ehT tes fo x hcus taht |x - x | £ r mrof a desolcerehps , ehytradnuob
n 0 0
fo eht erehps gnieb eht tes fo x htiw |x - x | = r. An nepoerehps htiw ertnec ta x si dellaca
0 0
doohruobhgien fo x dna si detoned yb N( x ) — ro yb N( x ; )r fi r si eht .suidar ehT
0 0 0
gnidnopserroc desolc erehps si detoned yb N ( x .) ehT nepo erehps htiw sti ertnecdevomer si
0
f odoohruobhgie ndetele dadellac x ydbeton e sddi na (’N x ).
0 0
teL a =a( , ..., a ) dna b =b( , ..., b ) eb owt tcnitsid stniop niE , hcus tahta £ b rof
1 n 1 n n k k
each k = 1, 2, ..., n. The lanoisnemid-n desolclavretni [ a , b ] si denifed ot eb eht tes[ a , b ] =
{(x , ..., x ) |a £ x £ b , k = 1, 2, ..., n}. If a <b y rr ,eoekvfhet lanoisnemi dn-enpolavretni
1 n k k k k k
( a , b t( ees h st)i a , b ) =x({ , ..., x )|a <x <b , k = 1, 2, ..., n}.
1 n k k k
,su h ,Treolfpmax(e a , b ) dnearc e sdeaib senhotc“ naisetractcudorp ”( a , b ) =a( , b )×
1 1
a( , b ) × ... ×a( , b ) fo eht n la noisne mniedp -oselnaovretnia( , b .) nA nepo lavretni niE
2 2 n n k k n
dluoc neht eb dellac a doohruobhgien fo yna fo sti ,stniop dna ni tahw ,swollof ti sekamon
ecnereffid rehtehw a doohruobhgien si nekat ot eb a“ erehps ” ro na“ lavretni ” ew( lliwesu
serehps ).
te LS eb ast t ennfsiiooEp , d neamu stsaaht x ˛ . SnehT x t nfrioooi prd een tlasnliiac
n
S fi er eshttsixe a doohruobhgien N( x ) (cid:204) .S ehT tes S si dias ot eb nepo fi hcae fo sti stniopsi
na roiretni e h s tfSirooiret nei h.Ttni op noitcelloc .stni orpoiret nsi t fio
selpmaxE fo nepo stes ni eht enalp :era eht roiretni fo a ;ksid eht tsrif tnardauq ;eht
elohw .ecaps lyannAoisne mniedp-on erehps dna lyannaoisne mniedp-o nlavretni si na open
tes niE . noituaC ,)nlabiEa(vre tnn ei:npao sdaeredisn ostnciie ht wense pnroaegn ooslni
n 1
a tesbus fo eh t.enalp nI ,tcaf no tesbus foE t p yee)th ctptnxemaese c( enbe pnoiE ,esuaceb
1 2
niat n noh taccaecuss sdoohruo blhagnioeinsnem iodn-owt .
ehT noinu fo na yrartibra noitcelloc fo nepo stes niE si na open tes niE , dnaeht
n n
noitcesretni nEsit ense p fonooitcell oectin i fafo snia open nEti es .
n n
emussA taht S (cid:204) E , x ˛ E . nehT x si dellac na noitalumuccatniop fo S fiyreve
n n
do(oNhruobhgien x sn i)atnoc ta tsael one tnio pfo t c Snmiotrsfid x , taht ,si fi(’N x ) ˙ S siton
.ytpme fI x si na noitalumucca tniop fo ,S neht yreve doohruobhgien(N x ) sniatnoc yletinifni
.fsSotni oypnam
A tes S niE sd ii daoe st dfenibu oSsbeil yleritne ;t e a ,rn he seirtmeihhoomptfsosisw
n
r > ,0 ew evah S (cid:204) N( 0 ; .)r meroehT92-3 :)ssartsreieW-onazloB (fI a dednuob tes S niE
n
sniatnoc yletinifni ynam ,stniop neht ereht stsixe ta tsael eno tniop ni E hcihw si na
n
noitalumucca t fn .oiSop
A tes S niE si dias ot eb desolc fi ti sniatno clla sti noitalumucca stniop . :selpmaxEA
n
desolc erehps niE si a desolc .tes nA lanoisnemid-n desolc lavretni si a desolc .tes Ates
n
ndEieso lshcicihw En idesol cosl as i rof n > .1
1 n
A tes S niE dse isfoflic E —S s.in eenphooTi nfuo a no iettci enfl ioldfoecs osltces ni
n n
E nEsit edseso l fcnooitcell oycrartib r na fanooitcesret nei hdt ndaeso l sci .deso l sci
n n
emussA tahtS (cid:204) A (cid:204) E . fI A si nepo dna fi S si desolc , neht A—S si nepo . fI Asi
n
desolc dna fi S si nepo n e,ht A—S si desolc .
ehT leroB-enieH gnirevocmeroeht . eW nigeb yb gninifed a gnirevoc fo a .tes A
noitce lFloc fo stes si dias ot eb ganire vfooc a nevi gtes S fi S (cid:204) ¨ n.oAi tec heFTllocsi
A ˛ F
n adella cs iFneh t,ste snep of onoitcello cas iFf I. Srevo co tdia sosla gn inreepvooc of S.
selpmaxE lnflooaitcel l eo )hc:1T( slavretni f o emhrtof 1 / < x < 2 / (n = 2, 3, 4, ...) is an
n n
nepo gnirevoc fo eht lavretni 0 < x < .1 sihT si na elpmaxe fo a elbatnuoc .gnirevoc )2(ehT
laer sixaE si derevoc yb eht noitcelloc fo lla nepo slavretni ,a( .)b sihT gnirevoc si ton
1
gn if roe els vbn,Eoairc taeat ntvi.uneeoowlccobHatnuoc s l fmae,orvhno rt( fyellt len,amian
1
e hhtguor hs tn eunrre h,w)2+n sregetni .
teL G =A{ , A , }... etoned eht elbatnuoc noitcelloc fo sdoohruobhgien niE gnivah
1 2 n
lanoitar iidar dna sertnec ta stniop htiw lanoitar s etanidro-oc . emussA taht x ˛ E , dna telS
n
eb na nepo tes niE hcihw sniatnoc x . nehT ta tsaeleno sd ofooh rn uieohbthg siGneinatnoc
n
x ev ae, hwstia h.ndTSieniatn osd cina x ˛ A (cid:204) em ors oSf A . Gn i
k k
emussA taht A (cid:204) E , dna tel F eb na nepognirevoc fo .A nehT ereht si a elbatnuocbus
n
.sArev oocs lhaci h fFwnooitcelloc
teLQ{ , Q , ...} be a elbatnuoc s ntyi et E nspnfomooientcel loc hcus taht )1( Q (cid:204) Q
1 2 n 1+k k
k( = ,1 ,2 ,3 ;)... )ii( hcaE tes Q si desolc and Q si bounded n o.i tncee hseTrhettni ˙ ¥ Q si
k 1 1=k k
desolc dna t pnmoen y .
83 -m3eroehT )leroB-enieH( n etaF beL gn inreepvooc fo a desolc dna dednuob t eAsni
E n ea.hT etinif . Asrevo cosl aFf onoitcello cbu s
n
A tes S niE si dias ot eb tcapmoc ffi yreve nepo gnirevoc fo S sniatnoc a etinifbus
n
noitcelloc .sSrev oocs lhaci hw
ehT leroB-enieH yre vtea hsteta tmseroe ht desolc dna bounded tneiEs .eth cTa psmioc
n
esrevnoc t l :u ssstiwe eorsLl alSo fe bt c taaep smnoicE yr e )e v.ivee(aWh etinifni tesbusfo
n
S sah na tnnoiiotpalumucca stS iees h)ti i ; (nSi desolc dna dednuob .
yB eht dednetxe laer rebmunmetsys E * ew llahs naem eht noinu fo eht tes folaer
1
srebmunE hti wsolwotbmy+s ¥ dna- ¥ h cy if:hsswi et giaent shir)twe1op(lolrop ffI x ˛ E ,
1 1
neht ew eva+h(+x ¥ ) =+ ¥ ,-(+x ¥ ) =- ¥ ,+(-x ¥ ) =- ¥ ,-(-x ¥ ) =+ ¥ , and x / = x / = .0 )2(fI
(+ ¥ ) (- ¥ )
x > ,0 neht ew evah+(x ¥ ) =+ ¥ dna-(x ¥ ) =- ¥ . )3( fI x < ,0 neht ew evah+(x ¥ ) =- ¥ dna
-(x ¥ )=+ ¥ . )4(+( ¥ +(+) ¥ ) =+( ¥ +() ¥ ) =-( ¥ -() ¥ )=+ ¥ ,-( ¥ -(+) ¥ ) =+( ¥ -() ¥ )=- ¥ . )5( fI x ˛
E e-v a ehnwe h,t ¥ <x<+ ¥ .
1
yrevE nepo lavretni ,a(+ ¥ ) si dellac a doohruobhgien fo+ ¥ , dna yreve neploavretni
-( ¥ d eal l,)saaic doohruobhgien fo- ¥ . E =-( ¥ , ¥ ;) E * =-[ ¥ , ¥ tyneri sEe.v]E *sa hapus
1 1 1
— tsii etinif tefsehiist dednuobevoba , dna ti si+ ¥ tefsehiist ton dednuobevoba t ea.thotN
E .metsy srebmu nlae reh tro fsmoix aeh tll ayfsita sto nseo d*
1
yB eht dednetx exelpmoc rebmunmetsys E * ew llahs naem eht noinu fo ehtxelpmoc
2
enalpE htiw a lobmys ¥ hcihw seifsitas eht gniwol l:osfeitreporp )1( fI z ˛ E , neht+z ¥ =
2 2
-z ¥ = ¥ , z / = .0 )2( fI z ˛ E , tub z „ ,0 neht(z ¥ ) = ¥ , and z / = ¥ . )3( ¥ + ¥ =( ¥ () ¥ ) = ¥ .
¥ 2 0
t ae-httoN ¥ si ton dedeenereh eosnua ceb gniredro yre v.Esrebm uxnelpm ohct idwevlov nsii
nEti ensepo |>r z|| zm{r oef h fto > daell a sc }i0 doohruobhgien fo ¥ .
2
Chapter 3: Selected Exercises
1-3 .e vtoarh Ptna nepolavretni niE si na nepo tes dna taht a dleasvorlectni si a desolc
1
tes .
Answer : teL su tsrif kool ta emos .snoitinifed noitinifeD1 : nA nepo lavretni ,a( )bsi
denifed yb ,a( )b = x{ | a < x < .}b noitinifeD2 : teL S eb a tes niE dna emussa taht x ˛ S.
1
nehT x dseil lnaac roiretni tni ofpo S d of)eoixrh (erlN hulsto aib e hfmsegootsisnoeihnowp
gnoleb ot .S noitinifeD3 : fI S si a tes niE , S si na nepo tes fi yreve tniop fo S si naroiretni
1
tfn.oiSop
o Tev otrapht na nepo lavretni niE si na nepo tes , ew deen o tev ot ray phrttenvieopni
1
na nepo lavretni si na roiretni .tniop oT od ,siht ew tsum evorp taht yreve tniop ni nanepo
detaicos s nasa alhavretni doohruobhgien .lavretn inep oeh to tgnole bstnio pesoh wf oll a,
redisnoC n ayrarti bnre aploavretn i,a( .)b teL x eb yna tniop ni si h,tlavretni x ˛ (a, b).
dooh rAu ofbohgien x si nevig yb elhatv r,eht-n xi,()h +exrehw h > .0 tahW ew evah otwohs
si taht eno nldiae hvne,s trihadyie at(olwt, t oen) sn.hribioeric.ut i one fbeweeohsvgeaihhetn
ot wohs taht ,h-x( )h+x (cid:204) ,a( )b rof yreve x dna rof emos h > .0 oT od ,siht ew evah otwohs
yyrev ero ftaht ˛ ,,h)-hx +(exw osla yeva h ˛ (a, b).
t esLu esoohc h o t nee bvyf eibleu gahlfhtaoevht
x -h x x + h
m,eosc ortnx sf na hoit mc tosf uaepioomehddwitntneim
( ( ) )
taht h = ,|a-x|(nim½ .)|b-x| esuaceB ew wonk taht x >a
a b
dna taht x < ,b ew nac etirwer h sa h = ,a-x(nim½.)x-b
)h it(a het e es,wnoitinif esdi hmtorF £ ),tdi)a niah ha(-tx(½ £ ½(x-b).
teL su won esylana tahw ew wonk tuoba eht tniop .y tsriF fo ,lla ew wonk taht y( yb
noitinifed ) sti s n li ,a ,hve)-rhhxet +(toxn sita hht-x < y < .h+ x nrIed roo tw othasht a < y <,b
h t t csaenoiihwathwww evorp h .<+) bx2t(a hd tn, ) ah a1t-<(a xhswtio hoestv ael hwl,a
gniwoll oef h otnd a ec,wevo b)a im(orF noitalupinam :
h £ )a-x(½
(cid:222) h-x ‡ )a- x(½-x
(cid:222) h-x ‡ ) a+x(½
(cid:222) )ha- +x>a(½ e a)s<xuaceb(
(cid:222) h ->xa gnivorp )t1 r(ap
gniwoll oef h otnd a ec,wevo b)ai im(orF noitalupinam :
h £ )b-x(½
(cid:222) h+x £ )b- x(½+x
(cid:222) h+x £ )b-x3(½
(cid:222) )hb+- xb<3(½ e x)s<buaceb(
(cid:222) h +<xb gnivorp )t2 r(ap
esuaceB ew evah nwohs taht y ˛ ,h-x( )h+x (cid:222) y ˛ ,a( ,)b neht ew evah devorp tahtna
deso ltaca hwto h os.Tt ense p no saliavret nniepo lavretni deso lsaci tes gniwoll oe fhe t se,uw
e h:tkcirt tnemelpmoc .t edseso l sacti ense p no fao
teL su redisnoc na yrartibra desolc lavretni ,a[ .]b ehT tnemelpmoc fo siht lavretnisi
ynEbevig —[a, b] = (- ¥ , a) ¨ (b, ¥ h c, weisneowhl ernwan ,pakv oe)or fihenoonttewunptio
1
e,hrteht r.ueFv o ebsyhatbtes noinu t ,ao) hs5mt.e3roe htn o s T eensstn (spalieeofoaspwoot
E —[a, ]b si na nepo .tes ,oS sa eht tnemelpmoc fo a desolc lavretni si na nepo ,tes nehta
1
.D E.Qt edseso l eacebrofere htts ulmavret ndiesolc
2-3 . enimreteD lla eht noitalumucca stniop fo eht gniwollof stes ni E dnaediced
1
reh teeh htswte sera nepo ro desolc ro( rehtien .) )a (. slrle Ag)ebt( n lieahvTr e,tan(i .]b )c(llA
srebmun fo eht mrof 1 / , n( = ,1 ,2 ,3 .)... )d( llA lano i.tsarrebmun )e( llA srebmun fo ehtmrof
n
2 n- +5 m- , ,m( n = ,1 ,2 .)... )f( llA srebmun fo eht mrof)1-( n +( 1 / ,) ,m( n = ,1 ,2 .)... )g(llA
m
sre bfmou ne hmtrof( 1 / ) +( 1 / ,) ,m( n = ,1 ,2 .)... )h( llA srebmun fo eht mrof )1-( n (+1[/ 1 / )], n(
n m n
= 1, 2, ...).
Answer : teL s u st esdvrnliie fmsferoruo eht noitinifed fo no i nt:aatlnuimoup ctceaLS
eb a te sniE dna x a tniop niE y ln i inr. eaS, dhs xeT sn lxseatlicoaencn noitalumtuncicoap
1 1
.mxo rtfcnits i fSdtoni oep ntosa e tlsaniatn o fxcdooohruobhgi eynre vdeedivo rfSpo
)a( teL S = x{ | x ˛ Z .} S sniatnoc no noita lsutmnui coecpsauace byreve tniop x saha
doohruobhgi e,n½-x( )½+x hcihw sniatnoc on rehto sregetni , os taht x si ton nanoitalumucca
e.stun aisc oneSpiBatnoc lla snt onfhe,i iocr )tso(iee ! awpthhretloawtan iulhosmltntuoicfca
Ss ia desolc .)5 -e3sicre x feeosuace bt( ense p nota oencn edh n,at es
)b( teL S = ,a( .]b redisnoC na yrarti btrnaiop x ˛ .S gndiokoahT rynuraoabrhtgiiberna
)x(N fo ,x )x(N = ,h-x( ,)h+x htiw h > ,0 neht ti si raelc taht eht tniop {xam a-x / , -x h / } lliw
2 2
syawla eb ni S dna ni )x(N os taht yreve do ohruob hfgoien a tniop ni S lliw sya wnliaatnocta
tsael eno rehto tniop morf .S eW erofe reedhutlcnoc taht lla eht stniop ni S eranoitalumucca
.stniop ,rehtruF a si na noitalumucca tniop fo S os taht eht tes fo noitalumuccastniop fo Ssi
a|x {te seh ty bnevig £ x £ b}.
S si ton desolc esuaceb ti t’nseod niatnoc eht noitalumucca tniop .a ,rehtruF S si ton
nepo esuaceb b si ton na roiretni tniop ni( e hdtoohruobhgien ,h-b( ,)h+b htiw yna h > ,0eht
stniop ni ,b( )h+b (cid:204) ,h-b( )h+b od ton gnoleb ot S — tub od gnoleb ot .do oehhrtuobthIgien
.)tni orpoiret n nita o sntbia hstwollof
)e (teL S = 2 n- 5+ m- (n, m = 1, 2, ...). mialC : lslraebm ufno eht mrof x =2 n- (n = 1, 2, ...)
dna fo eht mrof y =5 m- m( = ,1 ,2 )... era noitalumucc astniop fo .S noitacifitsuJ : ot wohtsaht
hcae tniop x = 2 n- si na noitalumucca tniop fo S n( = ,1 ,2 ,)... redisnoc na yrartibra
doohruobh g)ixe(nN fo ,x )x(N = ,h-x( ,)h+x htiw h > .0 fI ew won esoohc na regetni l ostaht
5 -l £ h / l leir wed hnta( syawla e bhcu sna l ynbev i,g l = (gol-(gniliec n / ,)))5(gol/) tn ien oheptht
2 2
=y 2 n- 5+ -l dn.)niS xalen( lbiNiw
tI erofereht swollof taht lla stniop fo eht mrof x =2 n- n( = ,1 ,2 )... eranoitalumucca
stniop fo .S A rtanleimmu ignsraac eb desu ot wohs taht ll astniop fo eht mrof y =5 m- m( =,1
,2 )... era noitalumucca stniop fo .S erehT si eno rehto noitalumucc atniop fo :S orezyreve(
doo hfr ou oon rbilehalzgtii nw eaotnc nmioorpf S fi n dna m , ) ee hersdggaunuraaoacnl0eeb
ˇ n e, ShSsti ton .t edseso lac
ehT noitseuq sniamer sa ot rehtehw S si na nepo .tes oT evorp taht ti si ,ton tisi
tneicif fouts dnif a elgn itsniop ni S hcihw seod ton evah doo haru olblhagien fo esohswtniop
g n t ing nnn t no eeii eyt=ot.khoSvbe l Satpis1detTgn b namyei lho= etp,m1an 7 / ylra e.lC
10
siht si eht tsegral tnemele fo eht tes ,S dna os yreve doohruobhgien fo siht tniop .e.i(eht
lavretni( 7 / -h, 7 / )h+ rof emos h > )0 lliw niatnoc stnemele hcihw era regral naht 7 / ,
10 10 10
stnemele hcihw tonnac eb desserpxe ni eht mrof 2 n- 5+ m- , dna os eht tniop 7 / ˛ S si ton na
10
nta o stnSia h ott—sni orpoiretni nepo .t es
(- 1 )n
)h( teL S = n( = ,1 ,2 .)... gnitirW S tuo sa a ecneuqes , S = {- 1 / , 2 / , - 3 / , 4 / , - 5 / , ...}.
1 +1 2 3 4 5 6
n
morF siht seir e,snoitatneserper ew ees taht S si na gnitanretla ,seires eno half fo ehtseires
gnidnet ot ,1- dna eht rehto half gnidnet ot .1 ,eroferehT 1- dna 1 era noitalumuccastniop fo
eht tes ,S esuaceb eht tes sah stnemele hcihw era ylirartibraesolc ot 1- dna .1 erehT era on
rehto .t ees h ntsitni onpoitalumuc ca
e sSuaceB seod tnoinatnoc sotwit s1t -nn(iooiptalumucca ˇ S and 1 ˇ ,n)eSh tS siton
,) et(r a np sitanemug ream aes h yt.Bt edseso lac doo hornuobhgien , fStoneme ltesegr ael h fto
2 / stne mneila etl,nloicw tsuj morf ,S os taht 2 / si ton na roiretni tniop fo ,S dna os S si tonna
3 3
open .t es
6-3 tdneeiss Eoylr cet vaw eho.thS seiht noitcesretni n nefopoiotcel leolcba tfn ouaoc
1
.stes
Answer : teL sr uet dseirmsionfsoc selpmaxe f odes osltce s ndoniat c eefhsotrentenpio
stes taht t nseilav ioutqe eh tdesol ctes .nnioits eouTq tra t ,srhetdiiws neohct tesg nSitsisnoc
fo etalngino ipxs ˛ E . sih Ttes si desolc esuace bti sa hn o,is ttoannli uodmpnuacca ti naceb
1
:swoll o sfsat ense p fonooitcell oeclbatnu o facnooitcesret nei h stdaesserpxe
S = ˙ ¥ -x( 1 / , +x 1 / ).
1=n n n
r ewdoiNs naoc desolclavretni ,a[ ,] bhcihw ew ev anhwohs ni e ssauiocir veoextrepeb
fnooitcesret ne i hsdtaesserp xene bat cedseso lsci h .yTeTbton eldla hehswci h,wt edseso lac
:swollo fs aste snep of onoitcello celbatnuo ca
=T ˙ ¥ -a( 1 / , +b 1 / ).
1=n n n
eW erofereht evah emos ecnedive taht eht tnemetats taht ew era gniyrt ot evorpsi
.tcerroc eW won tnaw ot wohs taht yreve desolc tes C nac eb desserpxe sa enhotitcesretnfio
snaetti r ewnb atCca hwto h osttn a ew.we .,ist ense p fonooitcell oeclbatnu oecmos
C = ˙ ¥ O Oyrev eereh w, snia nepo .t es
1=n n n
oT trats ,htiw tel su enifed D ot eb nevig yb D = d( - 1 / , d + 1 / ), erehwd ˛ C, and j ˛
,ij i j i j i
R >0 . nI reht o,sdrow D si eht‘ 1 / ’l av rfeotni a tn imooprf .C yelW ett aaehietdsemDmi sina
j ,ij
nepo tes esuaceb ti stsisnoc fo na nepo ,lavretni hcihw ew wonk( morf esicrexe1-3 ) ot ebna
nepo .tes woN tel su enifedE ot eb e h:gtnnoiiwsoslelropfxEe = ¨ D , eht noinu revolla
j j i ,ij
stniop fo C fo‘ 1 / ’s lav rfeotni ll a e.ssoth nthicoapEE si na nepo t eessuace bti si ynraartibra
j j
noinu fo nepo ,stes hcihw( yb meroeht5-3 ) si n, ayn let.lpeta ole nessinuFif eFd ot eb ehttes
=Fy bnevig ˙ ¥ E .ste snep of onoitce.llo celbatnuo caf onoitcesretn ieh ts iFtah tswollo ft I
j=1 j
eh Tnoitseu qwon sesira sa ot rehtehw ew evah enhotisulcno cF = .C eW evahydaerla
nwohs taht F si n oeihttcesr eftoni n aynroairttcieblrl aofco nepo ,stes dna os ti si ni ehtthgir
e h stdaeredisn o ec obmtrof noitulos tF=a hwto htsc a nflil i ew.Wesicre xsei h ott C , .ew.oihs
taht F si eh terusolc fo eht tes .C fI ew nac od ,siht neht ew lliw osla wohs taht F = Cesuaceb
rof a desolc tes ,C ew evah gnikool( ta trap )f( fo esicrexe )21-3 C = C . ,eroferehT fi ewnac
w othasht F = C , neh t. ne owhi csodau Teelerrchi ntuoo qdc,esrih tsa C =C ¨ esic re’eeCxse(
21-3 rof siht ,)noitinifed neht ew tsrif deen ot wohs taht F sniatnoc lla fo s’C noitalumucca
stniop e h ftlo lda na stniop morf .C
mialC1 : F sniatnoc lla fo nso’iCt a,lsutmnu icrocepahtehw yeht era ni C roton . foorP
fomialC n o tir nte:ia dolyi pur sfmannouraoctC cieabhrta tes ,C yas e httnio p.x fI x ˛ ,Cneht
reew foe trfeoh otmfriopa lw2co l oe wtbtoahhs tx ˛ nt on.iiFto apxflI u emshuitcca ton ni
.er aecr oemltt iealk atts u emnwe h,tC
gniwolloF eht noitinifed fo a n noitalumucca ,tniop yreve x
(
doohruobhgien )x(N fox lliw niatnoc a tniop y ˛ .C tuB rofyreve
E
1
lavr egtnniidnop sset r sar eioh rxcc,eeuyhst D hci hn winru tsiosla
E
j,y 2
ni yreveE . nehW ew ekat neohittcesre tfnoi lla eht E ,s’ ewesolc“ E
3
j j
e t c .
”ni no eht tniop x ees( eht margaid no eht ,)thgir eht laicurcerutaef
lav rgyEtenratiehnevtibe lliw niatnoc e h tt,neiro op.f xeFr elh lT nioiwsa ltea nhtotnciop.x
j
fd onfoEorP .
mial2C m ss.ol,t n er l Cnfi:.feaCioaih ottFpnoc (cid:204) .F m i fafolooCrP re d.i satnnoiCop
y ˛ .fC Iy ˛ e r sne,ie h ChatttesD - y=( 1 / ,+y 1 / ,e)reh wj ˛ R >0 ostgno l teyab hstwoll ot.fI
j ,y j j
hcae E , erehwE = ¨ D ,d nsoa gson toy lFeb = ˙ ¥ E , o staht y ˛ e s u ya.cFeB ˛ C (cid:222) y
j j i ,ij 1=j j
˛ nCe h ,tF (cid:204) . F fd onfoEorP .
noisulcnoC : esuaceB ew evah nwohs taht C (cid:204) F dna taht ’C (cid:204) ,F neht C ¨ C’ (cid:204) .FoT
tFa hwto h osdte e en,wfoo rep hettelpmoc (cid:204) C ¨ C’.
fI z ˛ ,F neht szgno loetb lla fo eh tstesE , erehwE = ¨ D . fI szgno loetb lla foeht
j j i ,ij
stesE , neht ereht tsum eb a tesD =-x( 1 / , x+ 1 / ,) erehw j ˛ R >0 . stwIo lylbo(f eht noitinifed
j ,xj j j
of D dn ay fbseo mhofit roa1p ldc n)ta ea2vh otzba ˛ C ¨ ,’C dna os z ˛ F (cid:222) z ˛ C ¨ ,’Cos
,ij
taht F (cid:204) C ¨ C’. QED. noisulcnoC : ew evah desserpxe na yrartibra desolc tes C sa eht
.D E .QtF ees hytlem a,nst ense p fonooitcell oeclbatnu o facnooitcesretni