Logica da zero a Gödel

230 Pages·2008·6.546 MB·Italian

by  Francesco Berto

Francesco
Berto
Logica
da a Godei
zero
© 2007, Gius. Laterza & Figli
Prima edizione 2007
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Francesco Berto
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Logica da zero a Godel
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Proprietà letteraria riservata
Gius. Laterza & Figli Spa, Roma-Bari
Finito di stampare nel gennaio 2007
SEDIT -Bari (Italy)
per conto della
Gius. Laterza & Figli Spa
ISBN 978-88-420-8193-7
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a Luca e Laura
felici macchine di Turing,
con affetto

Prefazione
Ci sono libri che propongono piacevoli escursioni turistiche nel ter
ritorio della logica, ma non consentono di impadronirsi davvero del
la disciplina. E ci sono manuali di logica scientificamente validi, ma
difficili e faticosi. Questo volume ambisce a percorrere una via me
dia fra i due approcci, evitandone i difetti. Si rivolge a chi non sa nul
la di logica, e vorrebbe condurlo fino alla vetta forse più elevata del
la materia: i teoremi di incompletezza di Godei. Lungo il percorso
panoramico si potranno scorgere altre figure decisamente interes
santi - ad esempio, la contraddizione scoperta da Bertrand Russell
nella cosiddetta teoria «ingenua» degli insiemi; la concezione del si
gnificato su cui si fonda il Tractatus logico-philosophicus di Wittgen
stein; la teoria della verità di Tarski, e il problema del «paradosso del
mentitore». Giunto sulla cima godeliana, il lettore dovrebbe anche
scoprire di non essere più un mero turista della logica. Dovrebbe co
noscere la morfologia, la sintassi e la semantica della logica elemen
tare, ed essere in grado di comprendere scritti di logica non troppo
specialistici.
I contenuti del manuale sono quelli raccomandati dalla Associa
tion /or Symbolic Logie (cfr. ad esempio A.S.L. [1995]) per un corso
zero di logica destinato a studenti di tutte le facoltà umanistiche. I
concetti essenziali della logica-enunciato dichiarativo, ragionamen
to, inferenza, verità e correttezza, forma logica - vengono esposti,
informalmente e senza eccedere in rigorismi, nell'Introduzione. Nel
primo capitolo si presentano i simboli enunciativi; il significato dei
connettivi logici viene caratterizzato vero-funzionalmente. Si espone
quindi il calcolo mediante tavole di verità. Il secondo capitolo, rile
vate le insufficienze espressive del linguaggio enunciativo, introdu-
VIII Prefazione
ce simboli e regole di formazione per il linguaggio del primo ordine
con quantificatori e identità. Nel terzo capitolo viene descritto il si
stema formale: per esso ho utilizzato la deduzione naturale di Gent
zen, preferendola sia al calcolo delle sequenze sia all'assiomatica al
la Hilbert-Frege. In particolare, la formulazione delle regole di deri
vazione riprende quella di Troelstra-van Dalen [1988] (tranne per la
negazione, per cui ho seguito Sundholm [1983]), che è a mio pare
re la più perspicua ed elegante. Anche se la logica trattata nel libro
è pienamente classica - fatto salvo qualche accenno a prospettive
non standard -, pens9 che la deduzione naturale abbia il pregio di
mettere in risalto il carattere produttivo, o costruttivo (in senso lato,
non in senso stretto o intuizionistico), delle deduzioni: privilegia cioè
la prospettiva che vede nella logica più la teoria dell'argomentare e
ragionare dimostrativamente che non la mera presentazione siste
matica delle <<leggi logiche».
L'esposizione del secondo e del terzo capitolo mette in primo pia
no questioni di morfologia e sintassi, mentre solo col quarto si in
troduce una vera semantica elementare sistematicamente sviluppa
ta. Questa strategia (seguita ad es. in Casari [1997]), che antepone
una presentazione in termini di teoria della dimostrazione, può de
stare qualche perplessità perché, ovviamente, obbliga in ogni caso a
fare appello a varie intuizioni semantiche. Tuttavia, ho sperimentato
a lezione che gli studenti si trovano a proprio agio se il calcolo logi
co viene presentato loro con un approccio sostanzialmente proof
theoretic e facendo appello alle loro intuizioni naturali sulla bontà
delle regole. Inoltre, l'esposizione separata conferisce una certa au
tonomia ai singoli capitoli: ad esempio, un filosofo del linguaggio
che non ami la deduzione naturale potrebbe saltare il capitolo 3 e oc
cuparsi del capitolo 4. Qui, dopo aver introdotto alcune nozioni fon
damentali di ontologia insiemistica, ho presentato (rifacendomi a
Chierchia-McConnell-Ginet [1993], capitolo 3, e Casalegno [1997],
capitolo 4) la semantica tarskiana standard per il linguaggio elemen
tare, la cui conoscenza è spesso presupposta nelle trattazioni logiche
più avanzate. Una volta inteso il funzionamento della semantica for
male nel suo caso più semplice, la comprensione delle sue estensio
ni a linguaggi e modelli più complessi e strutturati non dovrebbe es
sere troppo faticosa. Nel quinto capitolo, infine, ho introdotto alcu
ni risultati di metalogica: ho enunciato i metateoremi di coerenza e
completezza per la logica elementare, ed esposto in modo informa-
Prefazione IX
le (riprendendo soprattutto Kleene [1976], Smullyan [1992]) i teo
remi di Godel, spiegandone la rilevanza filosofica. Nel complesso,
dopo aver studiato l'intero libro il lettore dovrebbe essersi fatto un'i
dea abbastanza equilibrata dei rapporti fra aspetti sintattici e se
mantici della trattazione logica elementare.
Contrariamente a quanto avviene in molti testi specialistici di lo
gica, ho cercato di non sacrificare mai chiarezza espositiva e intuiti
vità all'esattezza: da filosofo, penso che il rigore non dovrebbe mai
diventare rigar mortis. Questo ha portato, fra l'altro, a non curarsi
troppo della distinzione fra uso e menzione: oltre a evitare cose co
me le quasi-virgolette quineane, quando le virgolette sembravano
appesantire troppo il testo le ho tralasciate, usando alcune espres
sioni (anche del linguaggio formale) in modo autonimo. Nonostan
te venga stigmatizzato nei vecchi manuali, quest'uso è del tutto in
nocuo nella grande maggioranza dei casi e diffuso nei testi più re
centi (cfr. ad esempio Guttenplan [1997], Mondadori-D'Agostino
[1997], Palladino [2002]): risulta chiaro dal contesto se il simbolo
viene usato o menzionato, e nessuna grave confusione ha luogo.
Nella stesura di varie parti di questo libro ho potuto utilmente
sfruttare dispense dei corsi e moduli di logica tenuti negli anni, in
collaborazione con Luigi Vero Tarca, presso il corso di laurea in Fi
losofia dell'Università Ca' Foscari di Venezia e presso la Scuola In
terateneo di Specializzazione del Veneto. Vorrei ringraziare di cuo
re Vero per avermi consentito di rielaborare e riutilizzare quel ma
teriale e, soprattutto, per avermi dato fin dai tempi della mia tesi di
laurea l'opportunità di svolgere quell'attività didattica di base senza
la quale il presente libro non sarebbe stato semplicemente possibile.
Il formidabile Matteo Plebani ha curato l'eserciziario e le solu
zioni e mi ha fornito brillanti spunti anche per il corpo del testo (se
qualche frase vi risulta divertente, è probabile che sia stata suggeri
ta da Matteo). Gli esercizi, come si noterà, non sono troppo nume
rosi, allo scopo di non appesantire eccessivamente il libro. Proprio
per questo, andrebbero eseguiti tutti e attentamente: il loro svolgi
mento è parte integrante della comprensione delle nozioni teoriche
presentate nei vari capitoli.
Ho un debito speciale verso Diego Marconi, Marcello Frixione,
Achille Varzi e Luigi Perissinotto, cui ho sottoposto singole parti o
precedenti versioni del libro, e che lo hanno migliorato in molti mo
J
di. Grazie infine a Graham Priest, Massimiliano Carrara, ohn
X Prefazione
Woods, Paul Redding, Andrea Tagliapietra, Mauro Nasti, Neil Ten
nant, Enrico Bellinelli, Luca Illetterati, Emanuele Severino, Giusep
pe Barzaghi, Vittorio Hosle e Silvia Gaio, che hanno influito sul mio
philosophical development nei modi più belli e luminosi.
F.B.