Invitation à l'algèbre : Théorie des groupes, des anneaux, des corps et des modules

411 Pages·2008·22.73 MB·French

by  Alain Jeanneret

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Invitation
à l'algèbre
Théorie des groupes, des anneaux,
des corps et des modules
Alain JEANNERET
Daniel LINES
CÉPADUÈS-ÉDITIONS
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Dépôt légal : mars 2008 N° éditeur: 740
Pour Agnès et Joy

Avant-propos
Je suis prêt avant même que de donner ma
solution à applanir toutes les difficultés qu'on
pourrait m'alleguer pourvu que ce ne soit pas
en caractères algébriques que je ne connois
pas : je ne connois que l'arithmétique et elle
me sert comme si elle étoit universelle car
quand on ne peut pas aller à cheval on va à
pied 1.
Jacques Casanova, note manuscrite à pro
pos de son ouvrage : Solution du problème
déliaque, [11], pp 656 -657.
Ce livre s'adresse aux étudiants de mathématiques fondamentales qui
désirent approfondir leurs connaissances dans ce vaste domaine des mathé
matiques qu'est l'algèbre. Nous supposons qu'ils savent utiliser le langage
des ensembles et ont déjà acquis les éléments de base de l'arithmétique des
nombres entiers et de l'algèbre linéaire. Une liste plus précise des prérequis
figure ci-après.
Dans ses grandes lignes, le programme d'un tel livre est à peu près
fixé : il doit nécessairement couvrir les notions de groupe, d'anneau et
de corps et peut-être celle de module. En revanche, la manière dont on
les envisage peut différer. Le temps n'est plus où l'on pouvait ensei
gner les structures de l'algèbre, comme dans le livre Algèbre de S. Lang
[15] par exemple, et espérer que les étudiants y trouveront de l'intérêt,
1 L'orthographe de Casanova a été respectée.
VI
laissant à plus tard, c'est-à-dire pour beaucoup à jamais, la question de
l'utilité des concepts introduits. Notre sentiment est qu'il faut enseigner
la théorie générale avec, pour chaque partie, un objectif précis de son
application. Les exemples se doivent d'abonder dans le texte, d'être traités
en détail, d'illustrer la théorie et d'en montrer la pertinence. Les choix que
cela implique sont en partie subjectifs et dépendent des goûts des auteurs.
Nous exposons ci-dessous ceux qui sont les nôtres.
Pour la théorie des groupes, le but à atteindre est celui de la compré
hension des groupes de la géométrie classique (groupes diédraux, groupes
des rotations et des symétries des polygones réguliers, groupes de déplace
ments de l'espace euclidien). Cette approche nécessite l'introduction du
produit semi-direct qui est au cœur de la structure de ces groupes. L'étude
des groupes de matrices, en particulier celle des groupes classiques ortho
gonaux et unitaires, permet de faire le lien avec l'algèbre linéaire. Une
petite incursion dans la théorie des groupes topologiques (p. ex. connexité
par arcs de SOn(IR)) est également proposée.
La théorie des anneaux (commutatifs) est axée sur l'arithmétique :
éléments premiers et irréductibles, questions de factorialité. Nous nous
proposons de donner de nombreux exemples de sous-anneaux de C qui
illustrent ces notions et de montrer dans quelle mesure l'arithmétique des
nombres entiers se généralise à ceux-ci. Le cas important des anneaux de
polynômes est également considéré en détail.
La théorie des corps (commutatifs) traite des propriétés élémentaires
des extensions : degré, éléments algébriques et transcendants, classification
des extensions simples. La principale application est la non-résolution des
trois problèmes de géométrie classique : quadrature du cercle, trisection
de l'angle et duplication du cube.
Les notions évoqués ci-dessus forment le « noyau dur » d'une intro
duction à l'algèbre et leur connaissance nous paraît indispensable à tout
mathématicien. Celles qui sont traitées par la suite, théorie de Galois et
théorie des modules, même si elles n'appartiennent pas au socle de connais
sances requises pour la licence, font sans aucun doute partie de la culture
mathématique d'un étudiant plus avamcé.
La partie suivante du livre est une introduction à la théorie de Galois
qui fait le lien entre la théorie des groupes et celle des corps et traite de
la question de la résolubilité des équations polynomiales. C'est, à notre
avis, la plus belle et la plus profonde théorie algébrique que l'on puisse
enseigner à ce niveau-là. Il est hors de question d'en donner un exposé
vii
exhaustif mais il est possible, moyennant une hypothèse raisonnable sur
les corps qui interviennent, d'aller très rapidement au cœur de la théorie
et de montrer que le groupe de Galois attaché à une équation polynomiale
doit satisfaire une condition de résolubilité pour que l'équation elle-même
soit résoluble par radicaux.
Enfin, la théorie des modules (sur un anneau commutatif) est une
généralisation de l'algèbre linéaire. Le but est ici de montrer que c'est la
même théorie, celle des modules de génération finie sur un anneau prin
cipal, qui permet de classifier les groupes abéliens de génération finie et
de comprendre la structure des endomorphismes d'espace vectoriel : dia
gonalisation, trigonalisation et décomposition en blocs de Jordan.
Ce programme est trop abondant pour faire l'objet d'un cours semes
triel destiné aux étudiants de troisième année d'université mais l'ensei
gnant qui voudrait se baser sur ce livre pourra le faire sans difficulté en
choisissant les chapitres appropriés à ses goûts et son auditoire. Cela a été
le cas des auteurs qui ont enseigné ces matières à l'université de Berne et
à celle de Bourgogne.
La lectrice ou le lecteur qui a acquis les connaissances présentées dans
les deux premières années de mathématiques de l'université pourra uti
liser un tel ouvrage avec profit, soit en relation avec un cours qui lui
serait dispensé par ailleurs, soit pour apprendre seul cette partie des
mathématiques. De même l'étudiant qui se propose de préparer les con
cours du CAPES et del' Agrégation y trouvera les connaissances en algèbre
dont il a besoin.
Nous donnons de brèves indications biographiques au sujet des mathé
maticiennes et des mathématiciens dont le nom apparaît dans l'ouvrage
et replaçons certains des thèmes évoqués dans leur contexte historique ou
mentionnons les développements récents qu'ils ont connus : classification
des groupes simples finis, grand théorème de Fermat, problème déliaque,
impossibilité de la quadrature du cercle et de la trisection de l'angle, vie
de Galois et influence de son œuvre sur le dévelopement de l'algèbre. Nous
espérons montrer ainsi que les mathématiques sont une branche vivante
et non désincarnée du savoir humain.
La plupart des démonstrations données dans le corps du texte sont
complètes. Certains détails faciles sont laissés en exercice et nous conseil
lons vivement de fournir les explications manquantes, soit sur-le-champ,
soit au cours d'une seconde lecture. Chaque chapitre se termine par une
viii
liste d'exercices - plus de deux cent cinquante en tout - qui sont de trois
sortes : Les premiers sont de simples applications ou vérifications de la
théorie exposée. Les seconds sont précédés d'une étoile (*) et exigent soit
plus de réflexion, soit des calculs plus élaborés et sont en général accom
pagnés d'une indication qui en facilite la solution. Les derniers, précédés
de deux étoiles(**), mentionnent des prolongements des connaissances ex
posées dans ce livre et sont accompagnés d'une référence bibliographique
où l'on trouvera les informations nécessaires.
La plupart des références que nous avons données sont en langue an
glaise. Ce choix est délibéré car nous pensons que tout étudiant avancé
se doit de pouvoir lire des ouvrages de mathématiques dans cette langue.
Nous adjoignons en fin d'ouvrage un petit glossaire dans lequel sont tra
duits quelques-uns des termes anglais qui ne correspondent pas de façon
immédiate aux mots français utilisés.
Les prérequis demandés pour une bonne compréhension de ce livre
sont les suivants :
1) Notions élémentaires de théorie des ensembles.
2) Arithmétique dans les entiers : principe d'induction, nombres pre
miers, algorithme d'Euclide de division avec reste, décomposition d'un
entier en nombres premiers, pgcd et ppcm, identité de Bezout.
3) Algèbre linéaire: espaces vectoriels de dimension finie, indépendance
linéaire, bases, dimension d'un espace vectoriel, applications linéaires et
matrices, déterminant d'une matrice, valeurs propres et espaces propres,
diagonalisation d'une matrice, polynômes minimal et caractéristique d'une
matrice. Produit scalaire standard de !Rn et produit hermitien standard de
en.
Endomorphisme adjoint et endomorphisme normal. Ces connaissances
sont développées par exemple dans le livre de J. Grifone [9] que nous
employons comme référence.
Un livre tel que le nôtre est le fruit de l'interaction des auteurs avec de
nombreux autres mathématiciens et il est impossible d'attribuer à chacun
la part qui lui est due.
Nous tenons à remercier plus particulièrement :
Michel Kervaire et François Sigrist qui nous ont donné le goût de
l'algèbre lorsque nous étions étudiants;
Tony Armstrong dont le bel ouvrage Croups and Symmetry [1] nous a
indiqué la manière dont cette branche pouvait être enseignée;
ix
Louis Magnin, Lucy Moser-Jauslin, Ahmed Jebrane, François Blais,
Raouf Mourtada, Alain Jacquemard, enseignants à Dijon, qui ont été à
l'origine de nombre d'exercices figurant dans ce texte, Sylvain Jugé pour
ses explications sur la chimie du benzène;
Christine Riedtmann, enseignante à Berne;
Pierre Rui qui a dessiné avec soin les figures qui ornent ce livre;
Bernard Dudez, bibliothécaire à Genève, pour son aide dans nos re-
cherches bibliographiques.
Nous sommes particulièrement reconnaissants à Nicolas de Vallière
pour sa lecture attentive des épreuves de notre livre et ses judicieux
conseils de style.