Introduction to modern solid state physics

477 Pages·2001·4.522 MB·English

by  Galperin Y.M.

Introduction to Modern
Solid State Physics
Yuri M. Galperin
FYS 448
Department of Physics, P.O. Box 1048 Blindern, 0316 Oslo, Room 427A
Phone: [phone], E-mail: iouri.galperinefys.uio.no

Contents
I Basic concepts 1
1 Geometry of Lattices ... 3
1.1 Periodicity: Crystal Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 The Reciprocal Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 X-Ray Diffraction in Periodic Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Lattice Vibrations: Phonons 21
2.1 Interactions Between Atoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Lattice Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Quantum Mechanics of Atomic Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Phonon Dispersion Measurement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Electrons in a Lattice. 45
3.1 Electron in a Periodic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1 Electron in a Periodic Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 Tight Binding Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 The Model of Near Free Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Main Properties of Bloch Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1 Effective Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Wannier Theorem → Effective Mass Approach . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Electron Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.1 Electric current in a Bloch State. Concept of Holes. . . . . . . . . . 54
3.6 Classification of Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Dynamics of Bloch Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7.1 Classical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7.2 Quantum Mechanics of Bloch Electron . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8 Second Quantization of Bosons and Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.9 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
i
ii CONTENTS
II Normal metals and semiconductors 69
4 Statistics and Thermodynamics ... 71
4.1 Specific Heat of Crystal Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Statistics of Electrons in Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Specific Heat of the Electron System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Magnetic Properties of Electron Gas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5 Summary of basic concepts 93
6 Classical dc Transport ... 97
6.1 The Boltzmann Equation for Electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Conductivity and Thermoelectric Phenomena. . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.3 Energy Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.4 Neutral and Ionized Impurities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.5 Electron-Electron Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.6 Scattering by Lattice Vibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.7 Electron-Phonon Interaction in Semiconductors . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.8 Galvano- and Thermomagnetic .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.9 Shubnikov-de Haas effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.10 Response to “slow” perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.11 “Hot” electrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.12 Impact ionization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.13 Few Words About Phonon Kinetics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.14 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7 Electrodynamics of Metals 155
7.1 Skin Effect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.2 Cyclotron Resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.3 Time and Spatial Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.4 ... Waves in a Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8 Acoustical Properties... 171
8.1 Landau Attenuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.2 Geometric Oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
8.3 Giant Quantum Oscillations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.4 Acoustical properties of semicondictors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
CONTENTS iii
9 Optical Properties of Semiconductors 181
9.1 Preliminary discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.2 Photon-Material Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
9.3 Microscopic single-electron theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.4 Selection rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.5 Intraband Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.7 Excitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.7.1 Excitonic states in semiconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.7.2 Excitonic effects in optical properties . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
9.7.3 Excitonic states in quantum wells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
10 Doped semiconductors 211
10.1 Impurity states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
10.2 Localization of electronic states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.3 Impurity band for lightly doped semiconductors. . . . . . . . . . . . . . . . 219
10.4 AC conductance due to localized states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.5 Interband light absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
III Basics of quantum transport 237
11 Preliminary Concepts 239
11.1 Two-Dimensional Electron Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11.2 Basic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
11.3 Degenerate and non-degenerate electron gas . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
11.4 Relevant length scales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
12 Ballistic Transport 255
12.1 Landauer formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.2 Application of Landauer formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12.3 Additional aspects of ballistic transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.4 e−e interaction in ballistic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
13 Tunneling and Coulomb blockage 273
13.1 Tunneling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
13.2 Coulomb blockade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
14 Quantum Hall Effect 285
14.1 Ordinary Hall effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.2 Integer Quantum Hall effect - General Picture . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.3 Edge Channels and Adiabatic Transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
14.4 Fractional Quantum Hall Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
iv CONTENTS
IV Superconductivity 307
15 Fundamental Properties 309
15.1 General properties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
16 Properties of Type I .. 313
16.1 Thermodynamics in a Magnetic Field. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
16.2 Penetration Depth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
16.3 ...Arbitrary Shape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
16.4 The Nature of the Surface Energy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
16.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
17 Magnetic Properties -Type II 331
17.1 Magnetization Curve for a Long Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
17.2 Microscopic Structure of the Mixed State . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
17.3 Magnetization curves. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
17.4 Non-Equilibrium Properties. Pinning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
17.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
18 Microscopic Theory 353
18.1 Phonon-Mediated Attraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
18.2 Cooper Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
18.3 Energy Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
18.4 Temperature Dependence ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
18.5 Thermodynamics of a Superconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
18.6 Electromagnetic Response ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
18.7 Kinetics of Superconductors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
18.8 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
19 Ginzburg-Landau Theory 377
19.1 Ginzburg-Landau Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
19.2 Applications of the GL Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
19.3 N-S Boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
20 Tunnel Junction. Josephson Effect. 391
20.1 One-Particle Tunnel Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
20.2 Josephson Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
20.3 Josephson Effect in a Magnetic Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
20.4 Non-Stationary Josephson Effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
20.5 Wave in Josephson Junctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
20.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
CONTENTS v
21 Mesoscopic Superconductivity 409
21.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
21.2 Bogoliubov-de Gennes equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
21.3 N-S interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
21.4 Andreev levels and Josephson effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
21.5 Superconducting nanoparticles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
V Appendices 431
22 Solutions of the Problems 433
A Band structure of semiconductors 451
A.1 Symmetry of the band edge states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
A.2 Modifications in heterostructures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
A.3 Impurity states . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
B Useful Relations 465
B.1 Trigonometry Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
B.2 Application of the Poisson summation formula . . . . . . . . . . . . . . . . 465
C Vector and Matrix Relations 467
vi CONTENTS
Part I
Basic concepts
1