Introduccion Al Calculo

317 Pages·9.519 MB·Spanish

by  Franco Brañas Jose Ramon

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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO
José Ramón Franco Brañas
PEARSON EDUCACIÓN, S. A., Madrid, 2003
ISBN 10: 84-205-3676-8
ISBN 13: 978-84-205-3676-7
Materia: Cálculo 372
Formato 195 x 270 mm Páginas: 320
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INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO
José Ramón Franco Brañas
ISBN 10: 84-205-3676-8
ISBN 13: 978-84-205-3676-7
Depósito legal: M. 13.985-2006
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Última reimpresión, 2006
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Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecológicos
ÍNDICE GENERAL
PRÓLOGO................................................................................................................................................................... XI
SÍMBOLOS Y EXPRESIONES.......................................................................... ......................................................xm
CAPÍTULO 1. EL NÚMERO REA L....................................................................................................................... 1
1.1. Introducción........................................................................................................................................ 1
1.2. El conjunto de los números racionales............................................................................................... 2
1.3. Forma decimal de un número racional............................................................................................... 3
1.4. Segmentos conmensurables............................................................................................................... 4
1.5. El método de inducción..................................................................................................................... 5
1.6. Numerabilidad..................................................................................................................................... 6
1.7. Propiedades algebraicas de K ............................................................................................................ 7
1.8. El orden en E ........................................................................................................................................ 8
1.9. Densidad de los números racionales en K ......................................................................................... 10
1.10. Valor absoluto de un número real..................................................................................................... 10
1.11. Intervalos de E ................................................................................................................................. 11
1.12. Postulado de Cantor........................................................................................................................... 12
1.13. C otas................................................................................................................................................. 12
1.14. Completitud de E .............................................................................................................................. 12
1.15. Propiedad arquimediana de E ........................................................................................................ 12
1.16. Entorno de un punto ........................................................................................................................ 13
1.17. Puntos interiores, de acumulación, aislados, adherentes y frontera........................................... 13
1.18. Conjuntos abiertos y cerrados ........................................................................................................ 14
Problemas resueltos......................................................................................................................................... 14
Problemas propuestos...................................................................................................................................... 19
VI índice general
CAPÍTULO 2. EL NÚMERO COMPLEJO...................................................................................................... 23
2.1. La unidad imaginaria........................................................................................................................... 23
2.2. El número complejo........................................................................................................................... 24
2.3. Operaciones con números complejos............................................................................................... 24
2.4. Representación gráfica de un complejo............................................................................................ 25
2.5. Módulo y argumento de un complejo............................................................................................... 25
2.6. Propiedades del módulo..................................................................................................................... 26
2.7. Forma polar y trigonométrica de un complejo.................................................................................. 26
2.8. Producto y cociente de complejos en forma polar............................................................................ 26
2.9. Potencia de un número complejo en forma polar............................................................................ 27
2.10. Raíces n-ésimas de un número complejo......................................................................................... 27
2.11. Fórmula de Euler............................................................................................................................... 27
2.12. Logaritmo de un número complejo................................................................................................... 28
2.13. Las funciones hiperbólicas................................................................................................................ 29
2.14. Relación entre las funciones circulares y las hiperbólicas............................................................. 30
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 30
Problemas propuestos................................................................................................................................... 35
CAPÍTULO 3. SUCESIONES................................................................................................................................ 37
3.1. Definiciones........................................................................................................................................ 37
3.2. Límite de una sucesión........................................................................................................................ 38
3.3. Sucesiones divergentes........................................................................................................................ 39
3.4. Clasificación de las sucesiones............................................................................................................ 39
3.5. Operaciones con sucesiones............................................................................................................... 39
3.6. Propiedades de los límites.................................................................................................................. 40
3.7. Operaciones con sucesiones divergentes............................................................................................ 40
3.8. Cálculo de lím ites............................................................................................................................... 41
3.9. Ordenes de infinitud para n -> o o .............................................................. 42
3.10. El número e......................................................................................................................................... 42
3.11. Aplicaciones del número e ................................................................................................................ 43
3.12. Sucesiones de Cauchy ...................................................................................................................... 44
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 44
Problemas propuestos................................................................................................................................... 51
CAPÍTULO 4. SERIES NUMÉRICAS................................................................................................................ 53
4.1. Concepto de serie ............................................................................................................................... 53
4.2. Series convergentes ........................................................................................ 54
4.3. Series divergentes............................................................................................................................... 54
4.4. Criterio general de convergencia........................................................................................................ 54
4.5. Serie armónica..................................................................................................................................... 55
4.6. Serie geométrica.................................................................................................................................. 55
4.7. Series de términos positivos............................................................................................................... 55
4.8. Suma de una serie............................................................................................................................... 58
4.9. Convergencia de series alternadas..................................................................................................... 59
4.10. Suma de dos series............................................................................................................................ 60
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 61
Problemas propuestos......................................................................................................... 71
índice general VII
CAPÍTULO 5. LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN............................................................... 73
5.1. Introducción........................................................................................................................................ 73
5.2. Tipos de funciones.............................................................................................................................. 74
5.3. Suma, producto y cociente de dos funciones .................................................................................. 74
5.4. Composición de funciones.................................................................................................................. 74
5.5. Función inversa..................................................................................................................................... 75
5.6. limite de una función........................................................................................................................ 75
5.7. Propiedades de los límites.................................................................................................................. 76
5.8. Función continua.................................................................................................................................. 76
5.9. Tipos de discontinuidad..................................................................................................................... 77
5.10. Crecimiento y decrecimiento........................................................................................................... 78
5.11. Máximo y mínimo de una función. Acotación............................................................................... 79
5.12. Continuidad uniforme........................................................................................................................ 81
5.13. Infinitésimos .............................................................................................................................. 81
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 82
Problemas propuestos................................................................................................................................... 91
CAPÍTULO 6. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ............................................................................................ 95
6.1. Concepto de derivada......................................................................................................................... 95
6.2. Derivada de una función constante..................................................................................................... 96
6.3. Derivada de la función f(x) — xn..................................................................................................... 97
6.4. Derivada de la suma de dos funciones............................................................................................... 97
6.5. Derivada del producto de dos funciones.................................. 97
6.6. Derivada de fe •/(x )............................................................................................................................ 97
6.7. Derivada de .................................................................................................................................. 97
6.8. Derivada del cociente de dos funciones............................................................................................ 98
6.9. Derivada de / " ..................................................................................................................................... 98
6.10. Derivada de las funciones hiperbólicas............................................................................................ 98
6.11. Regla de la cadena............................................................................................................................ 98
6.12. Derivación implícita .' ....................... 99
6.13. Derivadas laterales............................................................................................................................ 99
6.14. Relación entre derivabilidad y continuidad...................................................................................... 100
6.15. Diferencial de una función............................................................................................................... 101
6.16. Teoremas sobre derivabilidad............................................................................................................ 102
6.17. Crecimiento y decrecimiento............................................................................................................ 104
6.18. Máximos y mínimos......................................................................................................................... 104
6.19. Concavidad y convexidad.................................................................................................................. 105
6.20. Puntos de inflexión............................... 105
6.21. Representación gráfica de y = /( x ) ............................................................................................... 106
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 107
Problemas propuestos................................................................................................................................... 124
CAPÍTULO 7. APROXIMACIÓN LOCAL DE UNA FUNCIÓN ................................................................ 131
7.1. Desarrollo de un polinomio en potencias de x — a ......................................................................... 131
7.2. Fórmulas de Taylor y Mac-Laurin...................................................................................................... 132
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 133
Problemas propuestos................................................................................................................................... 139
VIII índice general
CAPÍTULO 8. LA INTEGRAL INDEFINIDA................................................................................................... 141
8.1. Introducción........................................................................................................................................ 141
8.2. Propiedades elementales..................................................................................................................... 142
8.3. Tabla de integrales.............................................................................................................................. 142
8.4. Integración por sustitución.................................................................................................................. 143
8.5. Integración por partes........................................................................................................................ 143
8.6. Integración de funciones racionales.................................................................................................. 143
8.7. Método de Hermite.............................................................................................................................. 144
8.8. Integración de funciones racionales trigonométricas ..................................................................... 145
8.9. Integrales irracionales........................................................................................................................ 145
8.10. Integrales binomias........................................................................................................................... 145
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 146
Problemas propuestos................................................................................................................................... 151
CAPÍTULO 9. LA INTEGRAL DEFINIDA...................................................................................................... 155
9.1. El área bajo una función f{x)........................................................................................................... 155
9.2. El área y la integral.............................................................................................................................. 156
9.3. Propiedades de la integral definida..................................................................................................... 158
9.4. Teorema del valor medio..................................................................................................................... 158
9.5. Cambio de variable en una integral definida..................................................................................... 158
9.6. Volumen de revolución........................................................................................................................ 159
9.7. Longitud de un arco.................................................................................... 159
9.8. Area de la superficie de revolución.................................................................................................. 160
9.9. Volumen de un sólido de sección conocida........................................................................ 161
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 161
Problemas propuestos................................................................................................................................... 171
CAPÍTULO 10. INTEGRALES IMPROPIAS................................................................................................... 173
10.1. Cálculo de integrales impropias ..................................................................................................... 173
10.2. La función gamma T (p ).................................................................................................................. 175
10.3. Propiedades de la función T(p) ..................................................................................................... 175
10.4. Gráfica de la función T(p)............................................................................................................... 177
10.5. La función beta B(p, q) .................................................................................................................. 178
10.6. Propiedades de la función B{p,q).................................................................................................. 178
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 179
Problemas propuestos................................................................................................................................... 183
CAPÍTULO 11. FUNCIONES DE DOS VARIABLES...................................................................................... 185
11.1. Función de dos variables.................................................................................................................. 185
11.2. Gráfica de una función de dos variables........................................................................................ 186
11.3. Funciones notables........................................................................................................................... 187
11.4. Entorno de un punto ........................................................................................................................ 189
11.5. Límite de una función........................................................................................................................ 189
11.6. Propiedades de los Emites ................................................................................................................ 192
11.7. Continuidad de una función ............................................................................................................ 192
11.8. Propiedades de las funciones continuas ......................................................................................... 193
11.9. Derivadas parciales........................................................................................................................... 193
11.10. Diferencial total................................................................................................................................ 195
11.11. Máximos y mínimos......................................................................................................................... 196
índice general IX
11.12. Método de los multiplicadores de Lagrange ............................................................................... 197
Problemas resueltos...................................................................................................................................... 197
Problemas propuestos ...................................................................................................................................206
CAPÍTULO 12. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE.....................................................................................................209
12.1. La integral doble...................................................................................................................................209
12.2. Cálculo de la integral doble...............................................................................................................211
12.3. Cambios de variable ............................................................................................................................212
12.4. La integral triple ..................................................................................................................................212
12.5. Cálculo de la integral triple...................................................................................................................213
12.6. Coordenadas cilindricas y esféricas ...................................................................................................213
12.7. Cambios de variable................................................................................................................................215
Problemas resueltos..........................................................................................................................................216
Problemas propuestos.......................................................................................................................................227
CAPÍTULO 13. ECUACIONES DIFERENCIALES............................................................................................229
13.1. Introducción...........................................................................................................................................229
13.2. Teorema de existencia y unicidad.........................................................................................................230
13.3. Ecuación diferencial de variables separadas.....................................................................................230
13.4. Ecuación diferencial de variables separables.....................................................................................231
13.5. Ecuaciones diferenciales homogéneas................................................................................................231
13.6. Ecuaciones diferenciales exactas.........................................................................................................232
13.7. Ecuaciones diferenciales de factor integrante ...................................................................................233
13.8. Ecuación lineal......................................................................................................................................233
13.9. Ecuación de Bemouilli.........................................................................................................................233
13.10. Trayectorias ortogonales ...................................................................................................................234
13.11. Ecuaciones lineales con coeficientes constantes .............................................................................234
Problemas resueltos..........................................................................................................................................236
Problemas propuestos.......................................................................................................................................242
CAPÍTULO 14. MÉTODOS NUMÉRICOS.........................................................................................................243
14.1. Error absoluto y relativo.....................................................................................................................243
14.2. Aritméticas de punto fijo y punto flotante.........................................................................................243
14.3. Interpolación........................................................................................................................................245
14.4. Resolución de ecuaciones.....................................................................................................................246
14.5. Resolución de sistemas de ecuaciones...............................................................................................248
14.6. Integración numérica............................................................................................................................254
14.7. Resolución numérica de la e. d. y' — f(x, y )..................................................................................255
Problemas resueltos..........................................................................................................................................256
Problemas propuestos.......................................................................................................................................268
APÉNDICE: FORMULARIO.......................................................................................................................................271
A.l. Áreas y volúmenes..................................................................................................................................271
A.2. Logaritmos...............................................................................................................................................271
A. 3. Progresiones............................................................................................................................................272
A.4. Trigonometría........................................................................................................................................274
A.5. Funciones hiperbólicas........................................................................................................................278
A.6. Combinatoria.................................................................................................................................... 278
A.7. Geometría analítica plana.....................................................................................................................279
A. 8. Vectores en R3 ............................................................................................................................280
X índice general
A.9. Geometría analítica en R3 .......................................................................................................................281
A. 10. Cónicas...................................................................................................................................................282
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS .......................................................................................285
BIBLIOGRAFÍA.............................................................................................................................................................299
PROLOGO
Este texto trata de ser un puente entre la enseñanza media y la enseñanza universitaria. Nuestra inten­
ción al escribir estas páginas fue la de proporcionar al alumno los conocimientos básicos para seguir con
aprovechamiento un primer curso de Cálculo en una carrera técnica. Así, este libro va primordialmente
dirigido a aquellos alumnos que inician sus estudios universitarios. También puede ser utilizado como
libro de texto en un curso elemental de Cálculo en las distintas Escuelas Universitarias de Ingeniería.
Por otra parte, en el texto se presupone el conocimiento de la Geometría analítica y la Trigonometría.
En cada capítulo, las explicaciones teóricas van acompañadas de ejemplos aclaratorios. Además, se
proponen 700 ejercicios, la mitad totalmente resueltos y el resto con sus soluciones, que tratan de aclarar
los conceptos teóricos, sin detenerse en posibles casos particulares.
Por último, queremos expresar nuestro agradecimiento a todos los profesores y a todos los estudiantes
que nos ayudaron con sus sugerencias y críticas.
José Ramón Franco Brañas
Ponte Aranga, agosto de 2002