Introduç˜ao aos Grupos de Lie

166 Pages·2007·1 MB·Portuguese

Universidade Federal de Santa Catarina
Curso de Graduac¸˜ao em Matem´atica
Introdu¸c˜ao aos Grupos de Lie
e `as Variedades Diferenci´aveis
por
Conrado Damato de Lacerda
sob a orientac¸˜ao de
Dr. Eliezer Batista
Trabalho de Conclus˜ao de Curso apresentado
ao Curso de Graduac¸˜ao em Matem´atica da
Universidade Federal de Santa Catarina
para a obtenc¸˜ao do t´ıtulo de Bacharel em
Matem´atica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica
Florian´opolis, 3 de dezembro de 2007

Resumo
O objetivo deste trabalho ´e discutir os fundamentos da Teoria dos Grupos
de Lie. Em primeiro lugar, analisamos cuidadosamente uma classe especial
de grupos, a dos lineares, e para ela apresentamos diversos resultados que,
mais tarde, ser˜ao generalizados para o contexto mais amplo. Em seguida,
damos uma introduc¸˜ao suficientemente auto-contida a respeito de variedades
diferenci´aveis para que possamos, por fim, apresentar os Grupos Lie e estudar
as suas propriedades b´asicas. Dois apˆendices s˜ao fornecidos ao final do traba-
lho: um sobre o Teorema da Func¸˜ao Inversa, e o outro sobre A´lgebras de Lie
abstratas.

Agradecimentos
Gostaria de dedicar algumas linhas para agradecer `as pessoas que, ao longo
dos u´ltimos anos, mostraram o seu apoio `a minha escolha de carreira profis-
sional e que exerceram (e exercem) grande influˆencia sobre mim, como futuro
matem´atico e como ser humano.
Aos meus pais, Jos´e e L´ıgia, por sempre me oferecerem as condic¸˜oes ne-
cess´arias e o apoio incondicional para o desenvolvimento das minhas aptid˜oes
e afinidades.
Aos meus av´os, tantos para citar, com quem sempre aprendi muito. Em
especial, ao meu avˆo Roberto Mu¨ndell de Lacerda, que quando contei que
resolvera estudar Matem´atica exclamou: “Que inveja!”.
Ao meu primo Fernando, que me mostrou, pela primeira vez, o que era a
Matem´atica.
A` Andr´ea, de quem sou primo.
Aos meus amigos e colegas, especialmente ao Leonardo e `a Monique.
A todos os professores com quem estudei; em especial, aos professores Gus-
tavo Adolfo Torres Fernandes da Costa, Eliezer Batista (que orientou meus
estudos durante trˆes dos quatro anos do curso), Oscar Ricardo Janesch e Ruy
Exel Filho pelo papel de destaque que tiveram na minha formac¸˜ao.
A`s professoras Carmem Suzane Comitre Gimenez, por coordenar o Curso
de Matem´atica de maneira impec´avel, e Elisa Zunko Toma, por ser uma das
principais culpadas por eu ter escolhido a carreira da Matem´atica.
Aos funcion´arios da Secretaria do Curso de Matem´atica, em especial `a
Silvia e `a Iara, e do Departamento de Matem´atica.

Sum´ario
Introduc¸˜ao i
Nota¸c˜ao e Terminologia iii
1 Grupos Lineares 1
1.1 A Func¸˜ao Exponencial e EDOs Lineares . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 O Logaritmo de Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Grupos Lineares e suas A´lgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Um Teorema Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5 A Representac¸˜ao Adjunta de um Grupo Linear . . . . . . . . . . 31
1.6 A Diferenciabilidade de exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
SL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
O Referencial de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2 Variedades Diferenci´aveis 57
2.1 Estruturas Diferenci´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Func¸˜oes Diferenci´aveis e Vetores Tangentes . . . . . . . . . . . . 67
2.3 O Fibrado Tangente e Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . 79
2.4 A Diferencial de uma Aplicac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Curvas Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.5 Mais Sobre Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3 Grupos de Lie 105
3.1 Definic¸˜oes e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2 A A´lgebra de Lie de um Grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3 De Volta aos Grupos Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Considera¸c˜oes Finais 129
A O Teorema da Fun¸c˜ao Inversa 131
B A´lgebras de Lie 139
Referˆencias 151

Lista de Figuras
2.1 A projec¸˜ao estereogr´afica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2 Transic¸˜ao de cartas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3 Aplicac¸˜ao diferenci´avel entre variedades. . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Demonstrac¸˜ao do lema 2.2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.5 Um campo vetorial numa variedade. . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.1 O transporte de Xg por d(Lhg−1). . . . . . . . . . . . . . . . . . 112