Ingeniería de los Algoritmos Numéricos

268 Pages·2017·16.04 MB·Spanish

Rudimentos matemáticos
para el dominio de la
Ingeniería de los
Algoritmos Numéricos
José Luis de la Fuente O’Connor
Rudimentos matemáticos para el dominio de la ingeniería de los algoritmos numéricos
Primera edición: abril 2017
Depósito legal: AL 856-2017
ISBN: 978-84-9160-826-4
Impresión y encuadernación: Editorial Círculo Rojo
© Del texto: JLFO
© Maquetación y diseño: Equipo de Editorial Círculo Rojo
© Fotografía de cubierta: Fotolia
Editorial Círculo Rojo
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Amifamilia.
III
IV
Índice
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
1 Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Espaciosvectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Espaciosvectorialesconestructurasadicionales . . . . . . . . . 9
2.1.1 Espaciosnormadosyespaciosmétricos . . . . . . . . 9
2.1.2 Espaciosconproductointerior . . . . . . . . . . . . 21
2.1.3 EspaciosdeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 EspaciosdeLebesgueyespaciosdeSobolev . . . . . 25
3 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1 Normasdematrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Matricesinteresantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Valorespropios,valoressingularesyformascuadráticas . . . . 39
3.3.1 Valorespropios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3.2 Valoressingulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Formascuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Funciones,sucesionesyseriesdefunciones . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1 Derivadaydiferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1.1 Subgradienteysubdiferencial . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Sucesionesdefunciones,seriesfuncionalesydepotencias.Con-
vergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.1 Convergenciapuntual . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.2 Convergenciauniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.3 Seriesfuncionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3.4 Seriesdepotencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Resultadosimportantesdeanálisisfuncional . . . . . . . . . . 62
5 OptimizaciónyProgramaciónMatemática . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1 Condiciones necesarias y suficientes de existencia de un punto
mínimodeunafunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Conjuntosconvexosygeometríadelaconvexidad . . . . . . . 70
5.2.1 Conosapropiadosydesigualdadesgeneralizadas . . . 80
5.2.2 Elementosmínimosyminimales.Conodual . . . . . 80
5.2.3 Hiperplanoseparador.LemadeFarkas . . . . . . . . 84
5.3 Caracterizacióndelassolucionesdelproblemadeoptimización
ycondicionesquecumpleunpuntoóptimo . . . . . . . . . . . 90
V
VI Índice
j
5.4 Dualidadenoptimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.1 DualidadLagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.2 DualidaddeWolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5 Funcionesconjugadas-funcionesdeFenchel . . . . . . . . . . . 103
5.6 OptimizaciónSDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.6.1 Definicionesyplanteamientodelproblema . . . . . . 107
5.7 Optimizaciónvectorialymulticriterioomultiobjetivo . . . . . 111
5.7.1 ÓptimoyóptimosdePareto . . . . . . . . . . . . . . 112
5.7.2 Escalarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.7.3 Optimizaciónmulticriterio . . . . . . . . . . . . . . 115
6 Elementosdecálculointegral,camposescalaresycamposvectoriales 119
6.1 Integralesdelínea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.1.1 Integralesdelíneaencamposvectoriales . . . . . . . 124
6.2 ElteoremadeGreen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.3 ElteoremadeStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7 Sobre el método de los elementos finitos de Ritz-Galerkin para re-
solverecuacionesenderivadasparciales . . . . . . . . . . . . . . . . 131
7.1 Solucióndeunaecuaciónenderivadasparciales . . . . . . . . 134
7.1.1 Elproblemaenformadébilovariacional . . . . . . . 136
7.1.2 Espaciosdetrabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.1.3 Discretizacióndelproblemaenunsubespaciodeele-
mentosfinitoslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.1.4 Reformulacióndelproblemacomounsistemadeecua-
cioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.2 Fundamentosdefuncionalesycálculodevariaciones . . . . . . 145
7.2.1 Proposicionesesenciales . . . . . . . . . . . . . . . 149
8 Análisisdecomponentesprincipales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
8.1 Algunosconceptosdeestadística. . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.2 Planteamientodelproblemamatemático . . . . . . . . . . . . . 156
9 Númeroscomplejos,funcioneseintegración . . . . . . . . . . . . . 161
9.1 Integración.TeoremadeCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10 AnálisisdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.1 SeriesdeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10.1.1 ExpresióncomplejadelaseriedeFourier. . . . . . . 171
10.1.2 ConvergenciadelasseriesdeFourier . . . . . . . . . 173
10.1.3 PropiedadesdelasseriesdeFourier . . . . . . . . . . 175
10.2 LaTransformadadeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.2.1 PropiedadesdelatransformadadeFourier . . . . . . 181
10.2.2 LaTransformadadeFourierdiscreta . . . . . . . . . 183
11 LaTransformadadelcosenodiscreta . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12 LaTransformadadeLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
13 Cálculoestocásticoysimulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
13.1 Variablesaleatoriasyespaciosdeprobabilidad . . . . . . . . . 199
Índice VII
j
13.2 Procesosestocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
13.2.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
13.3 Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.3.1 Generacióndenúmerosaleatorios. . . . . . . . . . . 213
13.3.2 Simulacióndevariablesaleatorias . . . . . . . . . . 214
13.3.3 ElmétodoMontecarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.4 Ecuacionesdiferencialesestocásticas . . . . . . . . . . . . . . 218
13.4.1 Integración numérica de ecuaciones diferenciales es-
tocásticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
13.5 Aplicacióndelcálculoestocásticoalacoberturayvaloraciónde
derivadosfinancieros.ElmodelodeBlackyScholes . . . . . . 221
Bibliografía 225
Índicedemateriasyautores 249
VIII Índice
j
Prefacio
E STE libro tiene que ver con el análisis numérico, la computación científica e in-
genieril ylos elementosde matemáticasque yo entiendoson fundamentalespara
entender una parte de sus porqués. Los componentes que se presentan se explican de
formasucintaydirectaconelobjetodepoderponerenmarcha,oanalizar,herramien-
tasymétodosnuméricosparamodelizaryresolverproblemasrealesquesurgenenlas
cienciasylaingeniería.
El contenido del libro complementa el programa de la asignatura Matemáticas de
la Especialidad–Ingeniería Eléctrica, que desde hace varios años dicto en la Escuela
Técnica Superior de Ingenieros Industriales, de la Universidad Politécnica de Madrid,
enEspaña.
Todo el material —bastante estándar— que se expone en las páginas de este libro
es una síntesis muy densa de lo que este autor entiende puede ser una buena base para
consolidar(yconsultar)unosfundamentosmatemáticossólidosdemuchodeenloquese
basanlastécnicasyalgoritmosnuméricosquepermiten,medianteelCálculoyAnálisis
Matemático,ylaIngenieríadesusMétodosNuméricos,modelizarysimularlarealidad
con la que ingenieros y científicos se enfrentan a diario para poner sus conocimientos
al servicio de resolver los diversos problemas prácticos que acucian a la sociedad. La
experiencia del autor se refiere a este respecto a algo tan amplio como la ingeniería
delossistemaseconómico-eléctricos,aunqueesextensibleaotrosmuchoscamposdel
conocimientoylacienciaaplicada.Esospuntosdevistadebenserampliadosenmuchas
direccionessisequierenconstruirotrosedificiosdeconocimientomatemáticoaplicado
aotrasáreasdelsaberpráctico.
Losaspectosmásgeneralescubiertosenestelibrosonelanálisismatemáticoyfun-
cional básico, el álgebra matricial, la optimización matemática de problemas lineales
y no lineales, la convexidad y dualidad de estos, elementos de cálculo integral básico,
campos escalares y vectoriales, los números complejos y el cálculo estocástico y la si-
mulación numérica. Con el fin de hacer mucho más intuitiva la comprensión de cómo
funcionan las matemáticas y los algoritmos detrás de muchos de los procedimientos y
métodos que hoy en día están presentes en los desarrollos del Big Data, la simulación
y la optimización matemática, y otras cada día más extensas cuestiones de la econo-
míadigitalconlaqueconvivimosasiduamente,tambiénsepresentanelmétododelos
elementosfinitospararesolverecuacionesenderivadasparciales,elanálisisdecompo-
nentes principales, el análisis y la transformada de Fourier, la transformada del coseno
paracompresióndeimágenesyvídeoylatransformadadeLaplace.
Alfinaldellibroselistanquinientasochentayunareferenciasdelasquehesacado
casi todo el conocimiento que utilizo sobre la temática objeto del libro. Deberían ser
muchasmáspueshaymuchospequeñosdetallesqueexpongoqueapenasconsultéunos
IX
X Prefacio
j
minutosenalgúnlibro,artículooenInternetpararetenerlaidea,elresultado,oelefecto
de un figura para resaltarlo. No me quedé con el nombre del autor, el departamento o
departamentosuniversitariosqueloutilizan,olaeditorialquelopublicó.Siomitopor
errorlareseñaoeltrabajocorrespondiente,ruegosuclemenciaaesosmisinspiradores.
Elresultadoque esmaterialmenteestelibrono habríasidoposiblesinel concurso,
inconscienteoperfectamenteconsciente,demuchaspersonasindividualesycolectivas.
Me gustaría mencionar aquí las contribuciones concretas de autores —a los que he se-
guidofundamentalmente—comoStephenBoyd,colegadelaUniversidaddeStanford,
DavidNualart,IgnacioVillanueva,TimothySauer,DavidLuenberger,FranciscoJavier
Sayas,DavidAledoyManuelContreras.TambiénamiscompañerosdelDepartamento
deIngenieríaMatemáticadelaUniversidadPolitécnicadeMadrid.Sobresuesfuerzome
hanpermitidoauparmishumildesconocimientosahombrosdelosdeellos.Megustaría
tambiénagradecersusmaterialeseinmaterialesaportacionesatodosmisalumnosdela
EscuelaTécnicaSuperiordeIngenierosIndustrialesdeMadrid,delosqueheaprendido
muchísimascosasenmitareacomoprofesorenlacotidianidaddelasclasesenlasque
tratodetransmitirlesloquecreoesbuenoparasuformación,ademásdelconocimiento
prácticosobreelquebasomisaportaciones.
LaelaboracióndellibrohasidoposiblegraciasaleditorWinEdtyalsoftwarepara
preparación de documentos científicos y técnicos denominado LATEX. Este sistema y la
multituddeprogramasyaplicacionesquelosoportanypotencianesunamaravilladela
expresióntécnicadigitalmodernadelatipografíadesiempre.Tambiénquieromencio-
nar,yagradecer,loútilquemehasidoWIKIPEDIAcomofuentedeinspiración,material,
verificaciónyconocimiento.
JoséLuisdelaFuenteO’Connor
Alcobendas,Madrid,España,10demayode2017
www.jldelafuenteoconnor.es