Haskell school of music

387 Pages·2013·2.529 MB·English

by  Hudak P.

The Haskell School of Music
— From Signals to Symphonies —
Paul Hudak
Yale University
Department of Computer Science
Version 2.5 (January 2013)
i
The Haskell School of Music
— From Signals to Symphonies —
Paul Hudak
Yale University
Department of Computer Science
New Haven, CT, USA
Version 2.5 (January 2013)
Copyright (cid:2)c Paul Hudak
January 2011, 2012, 2013
All rights reserved. No part of this publication may be reproduced or
distributed in any form or by any means, or stored in a data base or
retrieval system, without the prior written permission of the author.
Cover image: Euterpe, the Greek Muse of Music
(attribution unknown)
Contents
Preface xv
1 Computer Music, Euterpea, and Haskell 1
1.1 The Note vs. Signal Dichotomy . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Basic Principles of Programming . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Computation by Calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Expressions and Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Function Types and Type Signatures . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Abstraction, Abstraction, Abstraction . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.1 Naming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.7.2 Functional Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.3 Data Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Haskell Equality vs. Euterpean Equality . . . . . . . . . . . . 22
1.9 Code Reuse and Modularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.10 [Advanced] Programming with Numbers . . . . . . . . . . . . 24
2 Simple Music 28
2.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Notes, Music, and Polymorphism . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Convenient Auxiliary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 A Simple Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Absolute Pitches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
ii
CONTENTS iii
3 Polymorphic & Higher-Order Functions 44
3.1 Polymorphic Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Abstraction Over Recursive Definitions . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Map is Polymorphic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Using map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Append . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3.1 [Advanced] The Efficiency and Fixity of Append . . . 51
3.4 Fold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1 Haskell’s Folds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.2 [Advanced] Why Two Folds? . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.3 Fold for Non-empty Lists . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 [Advanced] A Final Example: Reverse . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Currying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.1 Currying Simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.6.2 [Advanced] Simplification of reverse . . . . . . . . . . 61
3.7 Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4 A Musical Interlude 66
4.1 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2 Transcribing an Existing Score . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.1 Auxiliary Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2.2 Bass Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.3 Main Voice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2.4 Putting It All Together . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Simple Algorithmic Composition . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Syntactic Magic 76
5.1 Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2 Anonymous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 List Comprehensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3.1 Arithmetic Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4 Function Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
CONTENTS iv
5.5 Higher-Order Thinking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.6 Infix Function Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6 More Music 86
6.1 Delay and Repeat. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.2 Inversion and Retrograde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Polyrhythms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4 Symbolic Meter Changes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.5 Computing Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.6 Super-retrograde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.7 takeM and dropM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.8 Removing Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.9 Truncating Parallel Composition . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.9.1 Lazy Evaluation to the Rescue . . . . . . . . . . . . . 96
6.10 Trills . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.11 Grace Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.12 Percussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.13 A Map for Music . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.14 A Fold for Music . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
6.15 Crazy Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7 Qualified Types and Type Classes 108
7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.2 Equality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3 Defining Our Own Type Classes . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.3.1 Dervived Instances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.3.2 Default Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.3.3 Inheritance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.4 Haskell’s Standard Type Classes . . . . . . . . . . . . . . . . 118
7.4.1 The Num Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.4.2 The Show Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.4.3 The Functor Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
CONTENTS v
7.5 Other Derived Instances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.6 The type of play . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.7 Reasoning With Type Classes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
8 Interpretation and Performance 130
8.1 Abstract Performance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
8.1.1 Context . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
8.1.2 Player Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
8.1.3 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
8.1.4 Efficiency Concerns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2 Players . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
8.2.1 Example of Player Construction . . . . . . . . . . . . 141
8.2.2 Deriving New Players From Old Ones . . . . . . . . . 143
8.2.3 A Fancy Player . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.3 Putting it all Together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9 Self-Similar Music 148
9.1 Self-Similar Melody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.1.1 Sample Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.2 Self-Similar Harmony . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
9.3 Other Self-Similar Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10 Proof by Induction 156
10.1 Induction and Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
10.2 Examples of List Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.3 Proving Function Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.3.1 [Advanced] Reverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.4 Useful Properties on Lists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.4.1 [Advanced] Function Strictness . . . . . . . . . . . . . 163
10.5 Induction on the Music Data Type . . . . . . . . . . . . . . . 167
10.5.1 The Need for Musical Equivalence . . . . . . . . . . . 170
10.6 [Advanced] Induction on Other Data Types . . . . . . . . . . 171
CONTENTS vi
10.6.1 A More Efficient Exponentiation Function . . . . . . . 173
11 An Algebra of Music 177
11.1 Musical Equivalance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.1.1 Literal Player . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.2 Some Simple Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.3 The Fundamental Axiom Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.4 An Algebraic Semantics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.5 Other Musical Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
12 Musical L-Systems and Generative Grammars 186
12.1 Generative Grammars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
12.1.1 A Simple Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . 187
12.1.2 A More General Implementation . . . . . . . . . . . . 189
12.2 An L-System Grammar for Music . . . . . . . . . . . . . . . . 192
12.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
13 Random Numbers ... and Markov Chains 196
13.1 Random Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
13.2 Probability Distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
13.2.1 Random Melodies and Random Walks . . . . . . . . . 203
13.3 Markov Chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
13.3.1 Training Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
14 From Performance to Midi 209
14.1 An Introduction to Midi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
14.1.1 General Midi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
14.1.2 Channels and Patch Maps . . . . . . . . . . . . . . . . 211
14.1.3 Standard Midi Files . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
14.2 Converting a Performance into Midi . . . . . . . . . . . . . . 215
14.3 Putting It All Together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
15 Basic Input/Output 219
CONTENTS vii
15.1 IO in Haskell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
15.2 do Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.3 Actions are Just Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
15.4 Reading and Writing MIDI Files . . . . . . . . . . . . . . . . 224
16 Higher-Order Types and Monads 225
16.1 The Functor Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
16.2 The Monad Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
16.2.1 Other Instances of Monad . . . . . . . . . . . . . . . . 232
16.2.2 Other Monadic Operations . . . . . . . . . . . . . . . 235
16.3 The MonadPlus Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
16.4 State Monads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
16.5 Type Class Type Errors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
17 Musical User Interface 242
17.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
17.2 Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
17.2.1 The Type of a Signal Function . . . . . . . . . . . . . 244
17.2.2 proc Declarations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
17.2.3 Four Useful Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
17.2.4 [Advanced] Why Arrows? . . . . . . . . . . . . . . . . 246
17.3 The UISF Arrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
17.3.1 Graphical Input and Output Widgets . . . . . . . . . 248
17.3.2 Widget Transformers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
17.4 Events and Mediators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
17.4.1 Mediators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
17.4.2 MIDI Input and Output . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
17.4.3 MIDI Device IDs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
17.4.4 Timers and Delays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
17.5 A Graphical Canvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
17.6 Putting It All Together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
17.7 Musical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
CONTENTS viii
17.7.1 Chord Builder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
17.7.2 Chaotic Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
17.7.3 MIDI Echo Effect. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
17.8 General I/O From Within a MUI . . . . . . . . . . . . . . . . 263
18 Sound and Signals 266
18.1 The Nature of Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
18.1.1 Frequency and Period . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
18.1.2 Amplitude and Loudness . . . . . . . . . . . . . . . . 270
18.1.3 Frequency Spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
18.2 Digital Audio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
18.2.1 From Continuous to Discrete . . . . . . . . . . . . . . 278
18.2.2 Fixed-Waveform Table-Lookup Synthesis . . . . . . . 280
18.2.3 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
18.2.4 Quantization Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
18.2.5 Dynamic Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
19 Euterpea’s Signal Functions 288
19.1 Signals and Signal Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
19.1.1 The Type of a Signal Function . . . . . . . . . . . . . 291
19.1.2 Four Useful Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
19.1.3 Some Simple Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
19.2 Generating Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
19.3 Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
19.3.1 Turning a Signal Function into an Instruement . . . . 301
19.3.2 Envelopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
20 Spectrum Analysis 307
20.1 Fourier’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
20.1.1 The Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
20.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
20.2 The Discrete Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
CONTENTS ix
20.2.1 Interpreting the Frequency Spectrum . . . . . . . . . . 314
20.2.2 Amplitude and Power of Spectrum . . . . . . . . . . . 316
20.2.3 A Haskell Implementation of the DFT . . . . . . . . . 318
20.3 The Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
20.4 Further Pragmatics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
20.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
21 Additive Synthesis and Amplitude Modulation 327
21.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
21.2 A Bell Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
21.3 Amplitude Modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
21.3.1 AM Sound Synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
21.4 What do Tremolo and AM Radio Have in Common? . . . . . 333
A The PreludeList Module 335
A.1 The PreludeList Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
A.2 Simple List Selector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
A.3 Index-Based Selector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
A.4 Predicate-Based Selector Functions . . . . . . . . . . . . . . . 339
A.5 Fold-like Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
A.6 List Generators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
A.7 String-Based Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
A.8 Boolean List Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
A.9 List Membership Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
A.10 Arithmetic on Lists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
A.11 List Combining Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
B Haskell’s Standard Type Classes 346
B.1 The Ordered Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
B.2 The Enumeration Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
B.3 The Bounded Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
B.4 The Show Class . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349