Table Of Content

i Reader feedback “Astonishinglyinsightfulexamples. Thisbookisalotlikehavinga good teacher — it never fails to provide the low-end information eventhoughIhavealreadymovedon. Sojustlikeagoodteacherisn’t presumptuousinwhatI’msupposedtoknow(whichmightforceme totryandsavefaceincaseIdonot,yet),informationconveniently resurfaces.” –DavidDeutsch “When@haskellbookisdone,itwillbeanunexpectedmilestone for#haskell. TherewillforeverbeHaskellbefore,andHaskellafter.” –JasonKuhrt “IfeelsaferecommendingHaskelltobeginnersnowthat@haskell- bookisavailable,whichisverybeginnerfriendly”–GabrielGonzalez “”Structure and Interpretation of Computer Programs” has its credit, but @haskellbook is now my #1 recommendation for FP beginners.” –IrioMusskopf “The book is long, but not slow — a large fraction of it is made upofexamplesandexercises. Youcantellit’swrittenbysomeone who’staughtHaskelltoprogrammersbefore.” –ChristopherJones “IalreadyhavealotofexperiencewithHaskell,butI’veneverfelt confidentinitthewaythisbookhasmademefeel.” –AlainO’Dea “Realdealwith@haskellbookisthatyoudon’tjustlearnHaskell; yougetahandsonexperienceastowhyfunctionalprogramming works.” –GeorgeMakrydakis “One of my goals this year is to evangelize @haskellbook and @HaskellForMac. I think these tools will make anyone who uses thembetter. IwanttogetcomfortablewithitsothatIcanshifthow IthinkaboutSwift.” –JanieClayton Contents Readerfeedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Contents ii Authors’preface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv Acknowledgements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx WhyThisBook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xx Afewwordstonewprogrammers . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii Haskevangelism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiv What’sinthisbook? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi Bestpracticesforexamplesandexercises . . . . . . . . . . . . xxix 1 AllYouNeedisLambda 1 1.1 AllYouNeedisLambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Whatisfunctionalprogramming? . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Whatisafunction? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Thestructureoflambdaterms . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Betareduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.6 Multiplearguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Evaluationissimplification. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.8 Combinators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.9 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.11 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.12 Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.13 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.14 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Hello,Haskell! 24 2.1 Hello,Haskell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ii CONTENTS iii 2.2 InteractingwithHaskellcode . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Understandingexpressions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.5 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.6 Infixoperators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.7 Declaringvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.8 ArithmeticfunctionsinHaskell . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.9 Parenthesization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.10 Letandwhere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.11 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.12 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.13 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3 Strings 65 3.1 Printingstrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2 Afirstlookattypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3 Printingsimplestrings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4 Top-levelversuslocaldefinitions . . . . . . . . . . . . . . 72 3.5 Typesofconcatenationfunctions . . . . . . . . . . . . . 74 3.6 Concatenationandscoping . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.7 Morelistfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.8 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.9 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Basicdatatypes 86 4.1 BasicDatatypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Whataretypes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3 Anatomyofadatadeclaration . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4 Numerictypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.5 Comparingvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.6 GoonandBoolme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.7 Tuples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.8 Lists. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.9 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.10 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.11 Namesandvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5 Types 117 5.1 Types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 CONTENTS iv 5.2 Whataretypesfor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.3 Howtoreadtypesignatures . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.4 Currying . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.5 Polymorphism. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.6 Typeinference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.7 Assertingtypesfordeclarations . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.8 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.9 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.10 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6 Typeclasses 162 6.1 Typeclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.2 Whataretypeclasses? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.3 BacktoBool . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 6.4 Eq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.5 Writingtypeclassinstances . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 6.6 Num . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.7 Type-defaultingtypeclasses . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.8 Ord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 6.9 Enum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.10 Show . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 6.11 Read . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.12 Instancesaredispatchedbytype . . . . . . . . . . . . . . 199 6.13 Gimmemoreoperations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.14 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.15 ChapterDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6.16 Typeclassinheritance,partial . . . . . . . . . . . . . . . . 214 6.17 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 7 Morefunctionalpatterns 215 7.1 Makeitfunc-y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.2 Argumentsandparameters . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.3 Anonymousfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 7.4 Patternmatching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.5 Caseexpressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.6 Higher-orderfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.7 Guards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.8 Functioncomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 7.9 Pointfreestyle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 CONTENTS v 7.10 Demonstratingcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.11 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 7.12 ChapterDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 7.13 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 8 Recursion 275 8.1 Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 8.2 Factorial! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 8.3 Bottom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 8.4 Fibonaccinumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.5 Integraldivisionfromscratch . . . . . . . . . . . . . . . . 289 8.6 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.7 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 9 Lists 300 9.1 Lists. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 9.2 Thelistdatatype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 9.3 Patternmatchingonlists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 9.4 List’ssyntacticsugar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 9.5 Usingrangestoconstructlists . . . . . . . . . . . . . . . . 305 9.6 Extractingportionsoflists . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 9.7 Listcomprehensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 9.8 Spinesandnonstrictevaluation . . . . . . . . . . . . . . . 318 9.9 Transforminglistsofvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 9.10 Filteringlistsofvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 9.11 Zippinglists . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 9.12 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.13 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 9.14 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 10 Foldinglists 348 10.1 Folds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 10.2 Bringingyouintothefold . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 10.3 Recursivepatterns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 10.4 Foldright . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 10.5 Foldleft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 10.6 Howtowritefoldfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.7 Foldingandevaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 10.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 CONTENTS vi 10.9 Scans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 10.10 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 10.11 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 10.12 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 11 Algebraicdatatypes 387 11.1 Algebraicdatatypes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 11.2 Datadeclarationsreview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 11.3 Dataandtypeconstructors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 11.4 Typeconstructorsandkinds . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 11.5 Dataconstructorsandvalues . . . . . . . . . . . . . . . . 393 11.6 What’satypeandwhat’sdata? . . . . . . . . . . . . . . . 397 11.7 Dataconstructorarities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 11.8 Whatmakesthesedatatypesalgebraic? . . . . . . . . . . 403 11.9 newtype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 11.10 Sumtypes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 11.11 Producttypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 11.12 Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 11.13 Constructinganddeconstructingvalues . . . . . . . . . 421 11.14 Functiontypeisexponential. . . . . . . . . . . . . . . . . 435 11.15 Higher-kindeddatatypes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 11.16 Listsarepolymorphic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 11.17 BinaryTree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 11.18 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 11.19 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 12 Signalingadversity 461 12.1 Signalingadversity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 12.2 HowIlearnedtostopworryingandloveNothing . . . 462 12.3 Bleatingeither . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 12.4 Kinds,athousandstarsinyourtypes . . . . . . . . . . . 471 12.5 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 12.6 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 13 Buildingprojects 492 13.1 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 13.2 MakingpackageswithStack . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 13.3 Workingwithabasicproject . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 13.4 Makingourprojectalibrary . . . . . . . . . . . . . . . . . 498 CONTENTS vii 13.5 Moduleexports . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 13.6 Moreonimportingmodules. . . . . . . . . . . . . . . . . 502 13.7 Makingourprograminteractive . . . . . . . . . . . . . . 507 13.8 dosyntaxandIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510 13.9 Hangmangame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 13.10 StepOne: Importingmodules . . . . . . . . . . . . . . . 516 13.11 StepTwo: Generatingawordlist . . . . . . . . . . . . . . 519 13.12 StepThree: Makingapuzzle . . . . . . . . . . . . . . . . 522 13.13 Addinganewtype. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530 13.14 Chapterexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 13.15 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 14 Testing 535 14.1 Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 14.2 Aquicktouroftestingfortheuninitiated . . . . . . . . 536 14.3 Conventionaltesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 14.4 EnterQuickCheck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 14.5 Morsecode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 14.6 Arbitraryinstances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565 14.7 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 14.8 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 14.9 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580 15 Monoid,Semigroup 581 15.1 Monoidsandsemigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 15.2 Whatwetalkaboutwhenwetalkaboutalgebras . . . . 582 15.3 Monoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 15.4 HowMonoidisdefinedinHaskell . . . . . . . . . . . . . 584 15.5 ExamplesofusingMonoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 15.6 WhyIntegerdoesn’thaveaMonoid . . . . . . . . . . . . 586 15.7 Whybother? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 15.8 Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 15.9 Diﬀerentinstance,samerepresentation . . . . . . . . . 594 15.10 Reusingalgebrasbyaskingforalgebras. . . . . . . . . . 596 15.11 Madness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 15.12 BetterlivingthroughQuickCheck . . . . . . . . . . . . . 605 15.13 Semigroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 15.14 Strengthcanbeweakness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 15.15 Chapterexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 CONTENTS viii 15.16 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 15.17 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625 16 Functor 626 16.1 Functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 16.2 What’safunctor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628 16.3 There’sawholelotoffmapgoin’round . . . . . . . . . . 629 16.4 Let’stalkabout𝑓,baby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 16.5 FunctorLaws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 16.6 TheGood,theBad,andtheUgly . . . . . . . . . . . . . . 641 16.7 Commonlyusedfunctors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 16.8 Transformingtheunappliedtypeargument . . . . . . 657 16.9 QuickCheckingFunctorinstances . . . . . . . . . . . . . 660 16.10 Exercises: InstancesofFunc . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 16.11 Ignoringpossibilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 16.12 Asomewhatsurprisingfunctor . . . . . . . . . . . . . . . 669 16.13 Morestructure,morefunctors . . . . . . . . . . . . . . . 672 16.14 IOFunctor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 16.15 Whatifwewanttodosomethingdiﬀerent? . . . . . . . 675 16.16 Functorsareuniquetoadatatype . . . . . . . . . . . . . 678 16.17 Chapterexercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 16.18 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683 16.19 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685 17 Applicative 686 17.1 Applicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 17.2 DefiningApplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 17.3 Functorvs. Applicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689 17.4 Applicativefunctorsaremonoidalfunctors . . . . . . . 691 17.5 Applicativeinuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 17.6 Applicativelaws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 17.7 Youknewthiswascoming . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 17.8 ZipListMonoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730 17.9 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 17.10 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742 17.11 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743 18 Monad 744 18.1 Monad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745 CONTENTS ix 18.2 Sorry—amonadisnotaburrito . . . . . . . . . . . . . 745 18.3 Dosyntaxandmonads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753 18.4 ExamplesofMonaduse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 18.5 Monadlaws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776 18.6 Applicationandcomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 783 18.7 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 788 18.8 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789 18.9 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791 19 Applyingstructure 792 19.1 Appliedstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793 19.2 Monoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793 19.3 Functor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798 19.4 Applicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 19.5 Monad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 19.6 Anend-to-endexample: URLshortener . . . . . . . . . 807 19.7 That’sawrap! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820 19.8 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 20Foldable 822 20.1 Foldable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823 20.2 TheFoldableclass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823 20.3 Revengeofthemonoids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824 20.4 DemonstratingFoldableinstances . . . . . . . . . . . . . 828 20.5 Somebasicderivedoperations . . . . . . . . . . . . . . . 831 20.6 ChapterExercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836 20.7 Follow-upresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837 21 Traversable 838 21.1 Traversable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 839 21.2 TheTraversabletypeclassdefinition . . . . . . . . . . . . 839 21.3 sequenceA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 840 21.4 traverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842 21.5 So,what’sTraversablefor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844 21.6 Morsecoderevisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 21.7 Axingtediouscode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848 21.8 Doallthethings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850 21.9 Traversableinstances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852 21.10 TraversableLaws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854