Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupe de GL(E), applications

4 Pages·2007·0.116 MB·French

by  Pascal Boyer

Pr´eparation `a l’oral d’alg`ebre de l’agr´egation Ann´ee 2006-2007
Groupe lin´eaire d’un espace vectoriel de dimension
finie E; sous-groupes de GL(E), applications
Plan
Remarque d’ordre g´en´eral: il faut essayer de proposer un axe de pr´esentation coh´erent
Cequisuita´et´efait`alava-vite`alademandedes´el`eves, alorsenattendantuneversionplustravaill´ee, l’auteur
r´eclame l’indulgence du lecteur.
• Une premi`ere partie consacr´ee `a l’´etude de GL (K) pour lui mˆeme:
n
– une matrice est inversible si et seulement si ses vecteurs colonnes (lignes) forment une base. Une autre
fa¸con de dire la mˆeme chose revient `a parler de l’action transitive de GL(E) sur les base de E.
– GL (K) dans M (K):
n n
∗ le d´eterminant, le calcul de l’inverse: introduction de SL (K);
n
∗ il y est dense;
∗ classes d’´equivalences, de similitudes et de congruences
∗
– le groupe GL (K):
n
∗ sur un corps fini: calcul du cardinal...
∗ ses g´en´erateurs: les transvections engendrent SL (K) (on peut mˆeme se restreindre `a celles qui
n
s’´ecrivent simplement dans la base canonique...), les transvections et les dilatations ”simples” en-
gendrent GL (K) (attention si on prend toutes les dilatations alors celles-ci suffisent `a engen-
n
drer GL (K)). De mˆeme en prenant toutes les transvections, pour 1 (cid:54)= f ∈ SL(E) qui n’est
n E
pas une affinit´e (resp. une affinit´e) alors f est produit de r (resp. r + 1) transvections avec
r = n−dim Ker(f −1 ) et que ce nombre est minimal.
K V
∗ le centre de GL (K) est r´eduit aux matrices scalaires; introduction du groupe projectif PGL (K);
n n
∗ le groupe d´eriv´e: D(GL (K)) = D(SL (K)) = SL (K) sauf pour n = 2 et K = F ,F ; cela
n n n 2 3
d´ecoule de la simplicit´e de PSL (K)...
n
∗ propri´et´es topologiques: GL (C) est connexe, GL (R) a deux composantes connexes, SL (R) et
n n n
SL (C) sont connexes;
n
– ses sous-groupes compacts:
∗ GL (K) (cid:39) GL (K) (K = R,C) si et seulement si n = m (regarder les sous-groupes ou` tous les
n m
´el´ements sont d’ordre 2);
∗ soit G un sous-groupe de GL (C) est fini si et seulement s’il est d’exposant fini.
n
∗ introduction des groupes orthogonaux (unitaires): ce sont des compacts (composantes connexes...).
R´eciproquement tout sous-groupe compact de GL (R) est contenu dans un conjugu´e du groupe
n
orthogonal (idem pour C avec le groupe unitaire)
∗ les sous-groupes finis de GL (C):
n
· le cas ab´elien (facile on trouve des produits de k groupe cycliques avec k ≤ n)
· cesontdescompactsdonc,`aconjugaisonpr`es,contenudanslegroupeorthogonal. Pourn = 2,3
on peut proposer la liste, pour les autres, les matrices de permutations fournissent un exemple.
Pour n = 2,3, GL (C) contient des groupes aussi-gros que l’on veut mais qui sont ab´eliens ou
n
presque. Cette remarque reste valable en toute dimension au sens ou` si on veut plonger un gros
groupe ”compliqu´e” dans un GL alors il faut que n soit grand (cf. ci apr`es)
n
· cas de GL (Z): si p ≥ 3 alors la restriction `a un sous-groupe fini de la surjection canonique
n
GL (Z) → GL (Z/pZ) est injective de sorte que le cardinal d’un sous-groupe fini de GL (Z)
n n n
est un diviseur de (3n−1)···(3n−3n−1);
· th´eor`eme de Jordan-Schur: soit G un sous-groupe fini de GL (C) alors G poss`ede un sous-
√ √ n
groupe ab´elien d’indice ≤ ( 8n+1)2n2 −( 8n−1)2n2
1
• sous-groupes et d´ecompositions
– SL : GL (K) (cid:39) SL (K)(cid:111)K×, le produit peut-ˆetre pris direct ssi il existe un morphisme de groupe
n n n
K× → K× inverse de l’´el´evation `a la puissance n
– O(n):
∗ d´ecomposition polaire: (O,S) ∈ O(n)×Sym++ (cid:55)→ OS ∈ GL (R) est un hom´eomorphisme (ici on
n
peut prouver que O(n) est un sous-groupe compact maximal).
∗ d´ecomposition de Cartan: G = O(n)D O(n)
n
∗ L’enveloppe convexe de O(n) est la boule unit´e et O(n) en est l’ensemble des points extr´emaux.
∗ O(p,q): exemple p = q = 1 d´efinitions des angles hyperboliques et de la g´eom´etrie du mˆeme nom
– le Borel: la simplicit´e de PSL revient `a dire que les sous-groupes distingu´es de GL sont contenus
n n
dans le centre en particulier on a vu que GL n’est pas r´esoluble
n
∗ T le sous-groupe des matrices triangulaires sup´erieures de GL est r´esoluble et le th´eor`eme de
n n
Lie-Kochin dit que tout sous-groupe r´esoluble connexe de GL (C) est contenu dans un conjugu´e
n
de T (C).
n
∗ d´ecomposition d’Iwasawa: G = D U O ou` U est le sous-groupe unipotent maximal de T .
n n n n n
∗ plus g´en´eralement ´etant donn´e un drapeau, on consid`ere le parabolique associ´e P = LU ou` L =
(cid:81)
GL est le sou-groupe de Levi et N son radical unipotent. On a encore G = PO(n).
ni
∗ d´ecomposition de Bruhat
– sous-groupes libres de GL (R):
2
(cid:181) (cid:182) (cid:181) (cid:182)
1 a 1 0
∗ Soient a,b ≥ 2 des r´eels: A = et B = . Le groupe L engendr´e par A et B
0 1 b 1 a,b
est libre et discret dans SL (R). Si a est transcendant alors L est libre de rang 2 alors que L
2 a,a 1,1
ne l’est pas.
∗ lemmeduping-pong: soitGungroupeop´erantsurunensembleX etsoientH,H(cid:48) deuxsous-groupes
de G. On suppose qu’il existe deux parties non vides X,X(cid:48) de X telles que
hX(cid:48) ⊂ X si h ∈ H\1 et h(cid:48)X ⊂ X(cid:48) si h(cid:48) ∈ H(cid:48)\1
AlorssiH(cid:48)n’estpasr´eduit`a2´el´ementsetX(cid:48) (cid:42) X alorslemorphismecanoniqueH∗H(cid:48) →< H,H(cid:48) >
est un isomorphisme. (applications `a PSL (R) = Z/3Z∗Z/2Z
2
– sous-groupe arithm´etique
∗ sous-groupe fini de GL (Z) (cf. ci-avant)
2
∗ un sous-groupe de SL (Q) est dit arithm´etique s’il est commensurable avec SL (Z). Si on note
2 2
N(m) (resp. N(cid:48)(m)) le nombre de sous-groupe (resp. de congruence) de SL (Z) d’indice < m alors
2
N(cid:48)(m)/N(m) → 0 quand m → +∞. Par ailleurs il y a beaucoup de sous-groupe discret de SL (R)
2
qui ne sont pas arithm´etique: parmi ceux-ci ceux de ”premi`ere esp`ece” correspondent `a Γ\H de
volume fini.
Parmi les groupes de matrices SL poss`ede beaucoup de sous-groupes discrets. Pour les autres
2
groupes, Margulis a montr´e, sous certaines hypoth`eses qui excluent SL (R), que les sous-groupes
2
discrets Γ de G(R) tels que Γ\G(R) est de volume fini, sont arithm´etiques et que pour beaucoup
de ces groupes G, tous les sous-groupes arithm´etiques sont de congruence.
• exponentielle de matrices et alg`ebres de Lie
– d´efinition de l’exponentielle d’une matrice (avec norme d’alg`ebre): cas des matrices nilpotentes et
sym´etriques r´eelles
– d´efinition de l’alg`ebre de Lie d’un sous-groupe ferm´e connexe G de GL (R):
n
G = {M ∈ M (R)/exp(tM) ∈ G∀t ∈ R}.
n
2
En utilisant les faits suivants:
−X −Y
lim (exp( )exp( ))k = exp(X +Y)
k→∞ k k
X Y −X −Y
lim (exp( )exp( )exp( )exp( ))k2 = exp([X,Y])
k→∞ k k k k
on en d´eduit que G est une sous-alg`ebre de Lie de M (R).
n
– un sous-groupe ferm´e G de GL (R) est discret ssi G = 0. Plus g´en´eralement le th´eor`eme de Cartan dit
n
que l’exponentielle r´ealise un hom´eomorphisme local (G,0) (cid:39) (G,Id) et que si G est connexe exp(G)
engendre G. En particulier deux sous-groupe ferm´es connexes de GL (R) sont ´egaux ssi ils ont mˆeme
n
alg`ebre de Lie
– Le sous-groupe L est libre de g´en´erateurs A,B dense d`es que 0 < t < 1/4 et t transcendant
t,t
• repr´esentations des groupes finis...
D´eveloppements
• g´en´erateurs de GL : la version simple est celle matricielle en consid´erant des transvections et dilatations
n
particuli`eres, la version plus difficile est celle ou` on autorise toutes les transvections et dilatations (pour SL
n
on donne alors le nombre optimal de transvections et pour GL seules les dilatations sont n´ecessaires)
n
• simplicit´e de PSL
n
• quelques propri´et´es topologiques: densit´e et connexit´e...
• th´eor`eme de Burnside (fini ssi d’exposant fini)
• sous-groupes fini de GL (Z) (plus difficile est le th´eor`eme de Jordan-Schur)
n
• compact maximaux de GL (R)
n
• th´eor`eme de Lie-Kochin
• d´ecomposition d’Iwassawa
• construction de groupes libres denses
Questions
• quels sont les sous-groupes distingu´es de GL ?
n
• quels sont les sous-groupes finis de GL (R)?
3
• Montrez en utilisant la d´ecomposition polaire que O(n) est un compact maximal.
• Quelles sont les composantes connexes de O(p,q)?
• D´ecrivez les sous-groupes ab´eliens de GL (C).
n
• Montrez que les matrices de dilatations engendrent GL .
n
exos
Exercice 1. Soient a,b des entiers relatifs et soit B = B la Q-alg`ebre de base {1,i,j,k} ou` la multiplication est
a,b
donn´ee par
i2 = a, j2 = b, ij = k = −ji
√ √
• Montrez que B⊗Q( a) (cid:39) M (Q( a) et en d´eduire que B⊗ R est soit isomorphe `a M (R) soit `a l’alg`ebre
2 Q 2
de quaternion usuelle H. Dans la suite on supposera que B := B est telle que B⊗R (cid:39) M (R).
a,b 2
3
• Pour α = c+di+ej+fk ∈ B on d´efinit N(α) = c2−d2−e2−f2 ∈ Q. Montrez que l’ensemble des α ∈ B⊗R
tels que N(α) = 1 est isomorphe `a SL (R).
2
• Un ordre dans B est un sous-anneau O libre de rang 4. On d´efinit
Γ = {α ∈ O | N(α) = 1}
a,b
ainsi que les sous-groupes de congruence qui lui sont associ´es. Montrez que Γ est isomorphe `a un sous-
a,b
groupe discret de SL (R).
2
• Trouvez a,b,O tels que Γ = SL (Z).
a, 2
• On peut montrer que B n’est pas isomorphe `a M (Q) si et seulement si Γ \H est compact (cf. la litt´erature
2 a,b
sur le sujet).
4