Grimoire d’algèbre commutative [book draft]

526 Pages·2017·6.88 MB·French

by  Lorenzo Ramero

Lorenzo Ramero
Dernière mise-à-jour : 7 Septembre 2017
LES PRESSES INSOUMISES
To the great Variety of Readers.
Fromthe mostable,tohimthatcanbut spell:there youarenumber’d.We had
ratheryouwereweighed;especially,whenthefateofallbookesdependsuponyour
capacitiesandnotofyourheadsalone,butofyourpurses.Well!Itisnowpublique,
& you wil stand for your priviledges wee know : to read, and censure. Do so, but
buyitfirst.ThatdothbestcommendaBooke,theStationersaies.Then,howodde
soever your braines be, or your wisedomes, make your licence the same, and spare
not. Judge your six-pen’orth, your shillings worth, your five shillings worth at a
time, or higher, so you rise to the just rates, and welcome. But, whatever you do,
Buy. Censure will not drive a Trade, or make the Jacke go. And though you be a
Magistrateofwit,andsitonthe StageatBlack-Friers,orthe Cock-pit,toarraigne
Playes dailie, know, these Playes have had their triall alreadie, and stood out all
Appeales; and do now come forth quitted rather by a Decree of Court, then any
purchased letters of commendation.
[from the preface of the First Folio, the first collected edition of Shakespeare’s
plays, published posthumously in London, in 1623]
Voulez-vousmaintenantquevosenfants donnentdansles mathématiques?je ne
vous endétourneraipas sivous y tenez,mais il faut que l’enseignementen soit fait
avec précaution et avec prudence, c’est-à-dire dans un appartement intérieur, sans
se permettre de tracer sur les planchers, sur les murs, de figures de géométrie, de
caractèresougrimoired’algèbre.Ilnefautscandaliserpersonne;etsurtoutondoit
se garder de donner une réputation de sorcellerie à la maison d’un magistrat.
[extrait de Histoire des Français des divers états, de Amans-Alexis Monteil, pu-
blié à Paris en 1843]
Table des matières
Invocation des ténèbres.................................................... 5
1. Bélier à.............................................................. 8
1.1. Anneaux, idéaux, modules........................................... 8
1.2. Fonctions continues sur un espace topologique....................... 11
1.3. Le spectre maximal est non vide..................................... 15
1.4. Le spectre premier................................................... 18
1.5. Le langage catégoriel................................................ 21
1.6. Solutions aux exercices et problèmes................................. 30
2. Taureau á............................................................. 40
2.1. Intersections et réunions d’idéaux.................................... 40
2.2. Le lemme de Yoneda................................................ 42
2.3. Technique de localisation............................................ 49
2.4. Espaces spectraux................................................... 53
2.5. Premiers pas dans l’algèbre homologique............................. 62
2.6. Solutions aux exercices et problèmes................................. 65
3. Gémeaux â........................................................... 75
3.1. Limites et colimites.................................................. 75
3.2. Foncteurs exacts..................................................... 85
3.3. Limites et foncteurs adjoints......................................... 89
3.4. Faisceaux............................................................ 96
3.5. Le lemme du serpent................................................ 105
3.6. Solutions aux exercices et problèmes.................................111
4. Cancer ã............................................................. 131
4.1. Produit tensoriel de modules........................................ 131
4.2. Restriction et extension des scalaires ................................137
4.3. Produit tensoriel d’algèbres..........................................144
4.4. Le lemme de Nakayama............................................. 149
4.5. Modules plats et algèbres plates..................................... 153
4.6. Solutions aux exercices et problèmes.................................164
5. Lion ä................................................................182
5.1. Modules projectifs et modules injectifs...............................183
5.2. Groupes de Picard et anneaux factoriels............................. 191
5.3. Fibrés vectoriels et théorème de Swan............................... 197
5.4. Homotopies et résolutions........................................... 205
5.5. Schémas.............................................................214
5.6. Solutions aux exercices et problèmes.................................231
6. Vierge å..............................................................257
6.1. Extensions entières d’anneaux....................................... 258
6.2. Homomorphismes quasi-finis et “Main Theorem” de Zariski.......... 267
6.3. Anneaux noethériens................................................ 274
6.4. Variétés normales et normalisation...................................280
6.5. Platitude générique et théorème de Chevalley........................289
6.6. Solutions aux exercices et problèmes.................................295
7. Balance æ.............................................................315
7.1. Idéaux premiers associés à un module................................315
7.2. Décomposition primaire............................................. 320
7.3. Anneaux noethériens de dimension zéro et un........................323
7.4. Un exemple géométrique.............................................330
7.5. Foncteurs dérivés d’un foncteur additif...............................334
7.6. Solutions aux exercices et problèmes.................................346
8. Scorpion ç........................................................... 364
3
4 Table des Matières
8.1. Valuations sur les anneaux...........................................365
8.2. Ordres sur les anneaux et corps formellement réels...................373
8.3. Le spectre réel.......................................................387
8.4. Le spectre valuatif...................................................400
8.5. Complexes doubles.................................................. 408
8.6. Solutions aux exercices et problèmes.................................416
9. Sagittaire è...........................................................435
9.1. Anneaux et modules topologiques....................................436
9.2. Technique de complétion............................................ 444
9.3. Complétion et limites inverses....................................... 451
9.4. Valuations continues.................................................458
9.5. Anneaux affinoïdes.................................................. 464
9.6. Solutions aux exercices et problèmes.................................471
10. Capricorne é........................................................ 485
10.1. Le lemme d’Artin-Rees.............................................485
10.2. Complétions d’anneaux noethériens.................................487
10.3. Le complexe de Koszul............................................. 493
10.4. Solutions aux exercices et problèmes................................495
11. Verseau ê........................................................... 497
11.1. Modules de longueur finie.......................................... 497
11.2. Série de Hilbert-Poincaré d’un module gradué...................... 499
11.3. Modules filtrés et polynôme de Samuel............................. 502
11.4. Théorie de la dimension des anneaux locaux noethériens............505
11.5. Solutions aux exercices............................................. 509
12. Poissons ë........................................................... 512
12.1. Systèmes de paramètres............................................ 512
12.2. Anneaux locaux réguliers...........................................513
12.3. Dimension homologique............................................ 514
12.4. Le théorème de Serre...............................................517
Références.................................................................519
Index.....................................................................521
Laquêtedel’esprittournait encercle.ABâlejadis,et
enbiend’autres lieux,ilavaitpasséparlamêmenuit.
Lesmêmesvérités avaientétéréapprises plusieursfois.
Maisl’experienceétaitcumulative:lepasàlalongue
sefaisaitplussûr;l’œilvoyaitplusloindanscertaines
ténèbres;l’espritconstataitaumoinscertaines lois.
Marguerite Yourcenar – L’Œuvre au Noir
Invocation des ténèbres
Si vous cherchez une Bible de l’algèbre commutative – un survol complet et
systématique d’un territoire des mathématiques bien démarqué – mon texte n’est
pas pour vous.Ce que je vouspropose,c’est plutôt un apprentissageexpérimental,
dans un atelier d’alambics et chaudrons bouillonnants, où les outils proprement
algébriques en côtoient des autres, récupérés des champs de l’analyse réelle ou
complexe, de la topologie générale, de la théorie des nombres, voire même de la
théorie des représentations.
En fait, le caractère hybride de notre sujet se manifestera dès la première leçon,
et nous fournira un motif conducteur inépuisable : car d’un côté, un effet collaté-
ral de nombreuses investigations mathématiques est la production d’une quantité
importanted’anneaux,demodules,d’homomorphismes...etleseffortsvisantàana-
lyser et interpréter ces données n’ont jamais cessé de stimuler le développement de
l’algèbrecommutative.Ainsi,unthéorèmedeGelfandnousmontrequetoutespace
topologiquecompactetséparéestdéterminé,àhoméomorphismeprès,parl’anneau
des ses fonctions continues à valeurs réels. De même, si C est une surface de Rie-
mann complexe compacte, et P C un point arbitraire,les fonctions holomorphes
∈
sur C P et méromorphes en P forment une C-algèbre de type fini qui encode
\{ }
fidèlement la géométrie de C; à l’aide de cet anneau, on peut plonger C dans un
espaceprojectif,etdonclamunird’une structureintrinsèquede courbealgébrique.
Voici un autre exemple avec une longue histoire, sur lequel on se penchera : pour
tout corps K et toute représentation d’un groupe G sur un K-espace vectoriel V,
on peut considérer l’anneau K[V]G des fonctions polynomiales sur V qui sont in-
variantes sous l’action induite de G, et maints problèmes de théorie des invariants
se ramènent à des questions sur les propriétés de cet anneau; en particulier, le cé-
lèbre XIVème problème de Hilbert porte sur les conditions que l’on doit imposer
surG, afind’assurerque K[V]G soitune K-algèbrede type fini,quelque soitV de
K-dimension finie.
De l’autre côté, un des buts principaux de ce cours est l’explication de certains
procédés pour transmuter tout anneau (commutatif, associatif et unitaire) en un
5
6 Invocation desTénèbres
objetgéométrique:celanouspermettrad’étudierdesquestionsalgébriquespardes
méthodes géométriques (mais aussi, réciproquement, des questions géométriques
par des moyens algébriques).Le prototype – et jusqu’à nos jours, l’exemple le plus
important – est l’opération qui consiste à associer à chaque anneau son spectre
premier, i.e. l’ensemble des ses idéaux premiers, muni d’une topologie convenable,
appelée souvent topologie de Zariski, du nom du premier mathématicien qui a mis
en évidence l’utilité de cette construction. En effet, la notion de spectre premier,
et celle de schéma affine qui en dérive naturellement, constituent les piliers sur
lesquelssefondelagéométriealgébriquetellequ’elleestconçueaujourd’hui.Maison
s’intéresseraaussiauxspectresvaluatifs etauxspectresréels desanneaux,quidepuis
une vingtaine d’années jouent un rôle analogue respectivement pour la géométrie
analytique non-archimédienne, et la géométrie semi-algébrique réelle.
Tout au long du parcours, la collaboration du lecteur sera sollicitée, car une
proportion importante du matériel présenté ici, y paraît sous forme d’exercices et
problèmes de niveaux assez variables, les deuxièmes étant en général plus difficiles
que les premiers; en fait, certains problèmes sont probablement trop durs pour les
débutants auxquelsce cours s’adresseenpriorité :sivousn’aimez pas les bouquins
qui vous interpellent et vous défient de temps en temps, mon texte n’est pas pour
vousnon plus.D’autre part,pour presquetout problème et exerciceje proposedes
solutionsdétaillées;onpeutainsimoduleràsouhaitsondegréd’implication:d’une
consultation modérée des solutions pour un entraînement plus sportif, jusqu’à la
balade touristique pour les vacanciers de l’algèbre.
Ce Grimoire est l’aboutissement imparfait d’une longue et, en bonne partie,
accidentelle gestation: il s’est d’abord matérialisé sous forme d’un recueil de notes
manuscrites, pour des cours au niveau de la deuxième année de Maîtrise que j’ai
eu occasion d’enseigner à plusieurs reprises à Bordeaux et plus tard à Lille. Son
format trahit la cadence hebdomadaire des ses origines orales, avec ses contraintes
detemps etleschoixpédagogiquesque j’aiinfligésàmes différentsauditeurs;c’est
pourquoi il n’est pas organisé en chapitres (terminologie qui évoque un découpage
en unités thématiques), mais plutôt en leçons qui suivent un tracé approximatif, à
partir d’une dotation légère de quelques questions initiales, revisitées et enrichies
en route, à la lumière des techniques et des théorèmes appris chemin faisant.
Ma référence principale était le classique [2] de Atiyah-Macdonald, et j’avais
aussi utilisé le livre [26] de Matsumura comme source secondaire; même après de
nombreuxréaménagements,desajoutsetsuppressions,jecroisquel’onpeutencore
apercevoirenfiligranel’influence ataviquede ces deuxtextes (surtoutdupremier).
En particulier, le cœur du cours reste toujours la théorie des anneaux noethériens,
dans son articulation classique, canonisée au début des années 60 : d’abord les
résultats fondateurs de Hilbert (théorème de la base et Nullstellensatz), puis la
décomposition primaire de Noether, l’étude détaillée en dimension zéro (anneaux
artiniens) et un (anneaux de Dedekind), les topologies adiques et la technique de
complétion,lathéoriedeladimension,pourconclureaveclesanneauxlocauxrégu-
liersetleurcaractérisationhomologique(théorèmedeSerre).L’algèbrehomologique
dontonsesertestdéveloppéeab ovo, d’unstyleminimalistemaistoutàfaitrigou-
reux; pour la rendre plus digeste, elle est administrée en pilules : en moyenne, une
section par leçon, mêlée à du contenu plus appétissant. Autour de ce noyau, j’ai
ajouté un assortiment de sujets détachés : en premier lieu des éléments de théorie
des valuations, un sujet assez ancien – son origine remonte au travaux de Krull
des années 30 – dont les cotations dans la bourse des valeurs algébriques ont étés,
pendant longtemps, assez volatiles : aux années 40 elle était au centre des intérêts
deZariski,quiyvoyaitlaclefpoursonprogrammededésingularisationdesvariétés
algébriques;reléguée,dèslesannées60,audeuxièmeplanàlasuitedelapercéede
Invocation des ténèbres 7
Hironaka, établissant la désingularisation en caractéristique zéro par des idées et
avec un langage différents, entièrement basés sur la nouvelle théorie des schémas;
récupérée aux années 90 pour l’étude des variétés analytiques définies sur les corps
ultramétriques.Unautresujetrécurrentseral’algèbredesfonctionscontinuesàva-
leurs réels sur un espace topologique : il s’agit d’une classe d’anneaux très éloignés
de ceux que l’on rencontre lors de l’étude de la géométrie algébrique,dans lesquels
on retrouve pourtant des échos étonnants de la théorie noethérienne. Par exemple,
lethéorèmede Gelfandcité ci-dessuspeutse voircommeune contrepartieduNull-
stellensatz;aussi,l’analyseduspectrepremierd’unealgèbredefonctionscontinues
révèle d’un côté des analogies avec les anneaux des valuations, et de l’autre côté
conduitnaturellementàladécouvertedetoute unepanopliede structuresd’intérêt
général:notamment,lesfiltrespremiersetlesultrafiltres,lesanneauxordonnés,et
enfin la notion de spectre réel d’un anneau.
Les prérequis sont assez modestes : une familiarité avec les notions de base sur
anneaux et idéaux, et plus généralement, l’algèbre élémentaire du niveau de la Li-
cence;quelquesunsdesproblèmesproposésdemandenttoutefoisdesconnaissances
de théorie de Galois.
Suggestions, corrections et remarques sont bienvenues!
JeremercieBenjaminBeutin,LutherBlissett,NielsBorne,Jean-FrançoisBurnol,
PietroCorvaja,MladenDimitrov,MichelEmsalem,BarbaraFantechi,OferGabber,
HanaHancinova,StevenKleiman,PietroMajer,MohamedRafikMammeri,Dimitri
Markushevich, William D. Montoya, Maxime Oger, Pierre-Antoine Oria, Maëva
Ostermann, Giulia Pilli et Andrei Zinovyev pour des nombreuses observations très
utiles et intéressantes. Mes remerciements aussi à Marie-Claude Vergne pour son
assistance avec Photoshop.
L’imagedecouvertureestbaséesurlepentagrammeinversé contenudanslelivre
“LaClefdelaMagieNoire” del’occultistefrancaisStanislasdeGuaita(1861–1897).
Lessignesastrologiquesquiouvrentchaqueleçonsontempruntés(àl’exceptionprès
duBélier,CapricorneetPoissons)àunecollectiond’imagesnumériquesréaliséespar
une équipe du Hubble Space Telescope Institute, à partir de l’ouvrage “Firmamen-
tum Sobiescianum sive Uranographia” de l’astronome polonais Johannes Hevelius
(1611–1687).Les autres signes proviennentdu “Liber Astronomiae” de l’astrologue
italienGuidoBonatti(XIII siècle).Lesdeuxpetitsdiablesquientourentlelogodes
Presses Insoumises sont dus au célèbre dessinateur pour enfants A.Grothendieck,
et sont conservés à l’Université de Bielefeld, en Allemagne. Ces images sont dans
le domainepublic.La malédictionquiclôturele volumereproduitcelle d’unancien
parchemin de l’Abbaye de Sainte Marie et Saint Nicolas à Arnstein (Allemagne),
actuellementdanslacollectiondelaBritishLibrarydeLondres(MS.Harley2798);
sonauteur– un obscurmoine copiste dontl’histoire n’a gardéque le nom:Lunan-
dus – y promet fièvres pestilentielles, supplice par la roue, meurtre par pendaison,
et j’en passe et des meilleurs, à l’intention de toute crapule déplorable qui oserait
soustraire ou endommager le fruit de ses labeurs.
Pour finir, ce cours a été rédigé avec l’éditeur de textes LYX, une interface gra-
phique pour le logiciel LATEX.
1. Bélier à
1.1. Anneaux, idéaux, modules. Lelecteurauradéjàrencontrélesconceptsba-
siquesdel’algèbredanslescoursetlestextes duniveaude laLicence;notamment,
les notions d’anneau, d’idéal, de module, de homomorphisme d’anneaux, que l’on
ne reproduira pas ici. Néanmoins, ajoutons que – sauf mention contraire – dans ce
cours, tout anneau A sera :
— commutatif : x y =y x pour tout x,y A
· · ∈
— associatif : x(yz)=(xy)z pour tout x,y,z A
∈
— unitaire : il existe 1 A tel que 1 x=x pour tout x A.
∈ · ∈
Aussi, tout homomorphisme d’anneaux f : A B préserve les unités : f(1) = 1.
→
On notera A× le groupe multiplicatif des éléments inversibles de A. On dira qu’un
élément a A est :
∈
— nilpotent, s’il existe n N tel que an =0 dans A.
∈
— diviseur de zéro, s’il existe b A 0 tel que ab=0.
∈ \{ }
— régulier, si a=0 et il n’est pas diviseur de zéro.
6
Onditque Aestintègre (resp.estun corps) siA= 0 et toutélémentnonnulde
6 { }
Aest régulier(resp.inversible).OnnoteraZ l’anneaudes entiers, N l’ensemble des
entiersnon-négatifs,Q,RetClescorpsdesnombresrationnels,réelsetcomplexes.
Un idéal I A est principal s’il existe a A tel que I =Aa:= ab b A ; on
⊂ ∈ { | ∈ }
dit que I est de type fini, s’il existe a ,...,a A (pour quelque n A) tels que
1 n
∈ ∈
I =Aa + +Aa .Ondit que Aestprincipal sitous sesidéaux sontprincipaux.
1 n
···
Exemple 1.1. (i) L’anneauZestprincipal;rappelonslapreuve:ondoitmontrer
que tout idéal I Z est principal; si I = 0, l’assertion est triviale, et sinon, soit
⊂
a I le pluspetit élément>0.Pourtoutb I ilexisteq,r Ztels queb=aq+r
∈ ∈ ∈
et0 r <a;ils’ensuitquer I,doncr=0,parlaminimalité dea,d’oùI =aZ.
≤ ∈
(ii) Si K est un corps, le même argument s’applique à l’anneau des polynômes
K[X] : pour tout idéal non nul I K[X] on choisit p(X) I non nul de degré
⊂ ∈
minimal; si b(X) I, la division euclidienne nous donne q(X),r(X) K[X] tels
∈ ∈
que b(X) = p(X) q(X)+r(X) avec soit r(X) = 0, soit deg r(X) < deg p(X).
· X X
Mais r(X) I, donc finalement r(X) = 0 par la minimalité de deg p(X), d’où
∈ X
I =p(X) K[X]. (Voir le problème 5.34 pour une généralisation.)
·
1.1.1. Algèbres. Une A-algèbre est une donnée (B,f) constituée d’un anneau B et
un homomorphisme d’anneaux f : A B, appelé le morphisme structurel de B.
→
Si le contexte ne donne pas lieu à des ambiguités, onnotera souventune A-algèbre
simplement par son anneau sous-jacent B. Un homomorphisme de A-algèbres
g :(B,f) (B′,f′)
→
8
§1.1: Idéaux premiers et maximaux 9
est un homomorphisme d’anneaux g :B B′ qui fait commuter le diagramme :
→
A
}}③③f③③③③③ g ❊❊❊❊❊f❊′❊"" i.e. f′ =g◦f.
B // B′
Evidemment, la composition de deux homomorphismes de A-algèbres g : B B′
→
et g′ :B′ B′′ est un homomorphisme de A-algèbres g′ g :B B′′. On notera
→ ◦ →
Hom (B,B′)
A−Alg
l’ensemble des homomorphismes de A-algèbres B B′. Par exemple, pour tout
→
n N, l’anneau des polynômes de n variables A[X ,...,X ] à coefficients dans
1 n
∈
A est muni d’une structure canonique de A-algèbre, dont le morphisme structurel
est l’inclusion naturelle A A[X ,...,X ] qui identifie A avec le sous-anneaudes
1 n
→
polynômes de degré total 0. Aussi, pour tout idéal I A, la projection canonique
⊂
A A/I munit l’anneau quotient A/I d’une structure naturelle de A-algèbre.
→
Remarque 1.2. (i) ToutanneauAadmetununique homomorphismeZ A,donc
→
tout anneau est canoniquement une Z-algèbre.
(ii) Soit A un anneau, B une A-algèbre, et n N un entier. Noter que pour
∈
toute suite (b ,...,b ) Bn il existe un unique homomorphisme de A-algèbres
1 n
∈
f : A[X ,...,X ] B tel que f(X ) = b pour i = 1,...,n : en effet, cet homo-
1 n i i
→
morphisme est défini par
f(P):=P(b ,...,b ) P A[X ,...,X ].
1 n 1 n
∀ ∈
Autrementdit,pourtouteA-algèbreBettoutn Nilexisteunebijectionnaturelle
∈
Bn ∼ Hom (A[X ,...,X ],B).
A−Alg 1 n
→
On verra dans la section 2.2 comment cette propriété caractérise A[X ,...,X ] à
1 n
isomorphisme canonique près.
Onditqu’uneA-algèbreBestdetypefini,s’ilexisteunhomomorphismesurjectif
de A-algèbres π : A[X ,...,X ] B, pour quelque n N. Au vu de la remarque
1 n
→ ∈
1.2(ii), cela revient à dire qu’il existe un système fini b := (b ,...,b ) d’éléments
• 1 n
de B tel que tout b B s’écrit sous la forme b = P(b ,...,b ) pour quelque
1 n
∈
polynôme P A[X ,...,X ]; on dit que b est un système fini de générateurs de
1 n •
∈
la A-algèbreB, et onécritaussiB =A[b ,...,b ]. Ondit que B est une A-algèbre
1 n
de présentation finie, si on peut trouver une surjection π comme ci-dessus, dont le
noyau π−1(0)soit un idéalde type fini; dans ce casB est isomorpheà un quotient
A[X ,...,X ]/I, avec I A[X ,...,X ] un idéal de type fini.
1 n 1 n
⊂
1.1.2. Idéaux premiers et maximaux. On rappelle qu’un idéal I A est dit :
⊂
— premier si 1 / I et x,y / I xy / Ipour tout x,y A.
∈ ∈ ⇒ ∈ ∈
— maximal si 1 / I et les seuls idéaux de A qui contiennent I sont I et A.
∈
Proposition 1.3. Soit A un anneau, I A un idéal. On a :
⊂
(i) I est premier si et seulement si A/I est un anneau intègre.
(ii) I est maximal si et seulement si A/I est un corps.
Démonstration. (i) : Soient x,y A, et notons x¯,y¯ A/I les classes de x et y.
∈ ∈
Si x¯,y¯= 0, on a x,y / I; si maintenant I est premier, on déduit xy / I, et donc
6 ∈ ∈
x¯ y¯=0, ce qui montre que A/I est intègre. D’autre part, si A/I est intègre, on a
· 6
x¯ y¯=0, donc xy / I, d’où l’on voit que I est premier.
· 6 ∈
(ii):Soitx Atelquex / I,doncx¯=0.SiA/I estuncorps,ilexistey Atel
∈ ∈ 6 ∈
que x¯ y¯=1 dans A/I, donc xy 1 I,d’où I+Ax=A; comme x est arbitraire,
· − ∈
on déduit que les seuls idéaux qui contiennent I sont I et A, i.e. I est maximal.
10 à Bélier
D’autre part, si I est maximal, l’hypothèse x / I implique que l’on a I +Ax=A,
∈
donc il existe a I, y A tel que xy+a = 1, d’où x¯ y¯ = 1, ce qui montre que
∈ ∈ ·
A/I est un corps. (cid:3)
La propositionimplique notammentque tout idéalmaximalest premier.Onnote :
— MaxA l’ensemble des idéaux maximaux de A (spectre maximal de A)
— SpecA l’ensemble des idéaux premiers de A (spectre premier de A)
Un des objectifs de ce cours est d’expliquer pourquoi MaxA et SpecA sont des
“objets géométriques”.Par ce qui précède, on a :
MaxA SpecA.
⊂
Lemme 1.4. Si I A est un idéal, on a une bijection canonique :
⊂
idéaux J de A tels que I J idéaux de A/I
{ ⊂ }←→{ }
qui associe à tout idéal J de A qui contient I, l’idéal J/I de A/I. Cette bijection
induit par restriction des bijections :
p SpecA I p SpecA/I
{ ∈ | ⊂ }←→
m MaxA I m MaxA/I.
{ ∈ | ⊂ }←→
Démonstration. Siπ :A A/I estlaprojectioncanonique,labijectionréciproque
→
associe à l’idéal J de A/I, l’idéal π−1(J) A. Si p est un idéal de A et I p,
⊂ ⊂
on a A/p = (A/I)/(p/I), donc A/p est intègre (resp. un corps) si et seulement
si (A/I)/(p/I) est intègre (resp. un corps), et avec la proposition 1.3 l’on déduit
que p est premier (resp. maximal) dans A si et seulement si p/I est premier (resp.
maximal) dans A/I. (cid:3)
1.1.3. Modules. Rappelonsaussiquelquesnotationsetterminologiesstandardcon-
cernant les A-modules. Si M,N sont deux A-modules, un homomorphisme de A-
modules f :M N est une application A-linéaire de M dans N, et on notera
→
Ker(f):=f−1(0) M (le noyau de f)
⊂
Im(f):=f(M) N (l’image de f)
⊂
Coker(f):=N/f(M) (le conoyau de f).
Rappelons que f est injectif (resp. surjectif) si et seulement si Kerf = 0 (resp.
Cokerf = 0). On dit que f est un isomorphisme de A-modules s’il est bijectif, le
cas échéant l’application réciproque f−1 : N M est un homomorphisme de A-
→
modules.SiM estunA-moduleetI Aunidéal,onnoteIM M lesous-module
⊂ ⊂
engendré par am a I, m M . L’annulateur du module M est l’idéal de A
{ | ∈ ∈ }
Ann (M):= a A ax=0 x M .
A
{ ∈ | ∀ ∈ }
OnditqueM estfidèle,siAnn (M)=0.L’annulateur d’unéléméntx M,noté
A
∈
Ann (x)
A
est l’annulateur du sous-module Ax M : i.e. l’idéal a A ax=0 . On dit que
⊂ { ∈ | }
M est sans torsion, si Ann (x)=0 pour tout x M 0 .
A
∈ \{ }
Exemple 1.5. Soit Λ un ensemble, (M λ Λ) une famille de A-modules.
λ
| ∈
(i) Le produit direct
M
λ
λ∈Λ
Y
est l’ensemble des suites (m λ Λ) avec m M pour tout λ Λ. Il est
λ λ λ
| ∈ ∈ ∈
muni d’une structure de A-module naturelle : à savoir, si m := (m λ Λ) et
• λ
| ∈
m′ :=(m′ λ Λ) sont deux suites, et a A un élément, on pose
• λ| ∈ ∈
m +m′ :=(m +m′ λ Λ) a m :=(a m λ Λ).
• • λ λ| ∈ · • · λ| ∈