Graafiteoriaa [lecture notes]

121 Pages·2007·0.793 MB·Finnish

by  Pertti Koivisto, Riitta Niemistö

GRAAFITEORIAA
Pertti Koivisto { Riitta Niemisto¨
Esipuhe
T(cid:228)m(cid:228)n monisteen tarkoituksena on tutustuttaa lukija graa(cid:28)teorian perusk(cid:228)sit-
teisiin ja -tuloksiin. Vaikka algoritminen graa(cid:28)teoria on tietokoneiden laskentate-
hon kasvun my(cid:246)t(cid:228) tullut yh(cid:228) merkitt(cid:228)v(cid:228)mm(cid:228)ksi, p(cid:228)(cid:228)paino t(cid:228)ss(cid:228) monisteessa on
kuitenkin perinteisell(cid:228) graa(cid:28)teorialla. Moniste siis sis(cid:228)lt(cid:228)(cid:228) huomattavan m(cid:228)(cid:228)r(cid:228)n
lauseita ja niiden todistuksia. Algoritmista graa(cid:28)teoriaa k(cid:228)siteell(cid:228)(cid:228)n vain lyhyes-
ti. Monisteen keskeisin(cid:228) l(cid:228)htein(cid:228) ovet olleet Thulasiramanin ja Swamyn [17] sek(cid:228)
Rosenin [15] kirjat. Muita kirjallisuusluettelossa mainittuja teoksia on k(cid:228)ytetty
tukemaan edell(cid:228) mainittuja l(cid:228)hteit(cid:228).
Monisteen aiempia versiota on k(cid:228)ytetty Tampereen yliopiston matematiikan
opiskelijoillepidetyill(cid:228)aineopintojentasoisillagraa(cid:28)teoriankursseilla.Esitietoina
kursseilla on edellytetty diskreetin matematiikan perustietoja (esimerkiksi Meri-
koski, Virtanen & Koivisto [13]). Monisteen teknisest(cid:228) toimitusty(cid:246)st(cid:228) haluamme
kiitt(cid:228)(cid:228) Heikki Rantalaihoa ja Helmi Untista.
Tampereella kes(cid:228)kuussa 2001
Pertti Koivisto Riitta Niemist(cid:246)
Sis(cid:228)lt(cid:246)
Esipuhe ii
Symbolit v
1 Perusk(cid:228)sitteit(cid:228) 1
1.1 M(cid:228)(cid:228)ritelmi(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Esimerkkej(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Terminologiaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Joitakin erikoisia yksinkertaisia graafeja . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Aligraa(cid:28) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Komplementtigraa(cid:28) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 Graa(cid:28)operaatioita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.8 Graa(cid:28)en esitt(cid:228)minen matriisien avulla . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Isomor(cid:28)suus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Yhten(cid:228)isyys 24
2.1 Polku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Lyhin painotettu polku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Yhten(cid:228)inen graa(cid:28) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Komponentti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 Aste ja nulliteetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Irrotussolmu ja lohko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 Irrotus ja irrotusjoukko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8 Yhten(cid:228)isyysaste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.9 S(cid:228)rm(cid:228)yhten(cid:228)isyys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.10 Mengerin lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Puut 60
3.1 Puu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Viritt(cid:228)v(cid:228) puu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3 Viritt(cid:228)v(cid:228)n puun konstruointi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
iii
SIS˜LT(cid:214) iv
3.4 Minimaalinen viritt(cid:228)v(cid:228) puu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.5 Mets(cid:228) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.6 Silmukka ja irrotusjoukko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.7 Perussilmukka ja perusirrotusjoukko . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.8 Graa(cid:28)n vektoriavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 Erilaisia graafeja 83
4.1 Eulerin graa(cid:28) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.2 Hamiltonin graa(cid:28) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Tasograa(cid:28) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Graa(cid:28)n v(cid:228)ritt(cid:228)minen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 Juurelliset puut 97
5.1 Juurellinen puu . . .m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Bin(cid:228)(cid:228)ripuut ja muut -puut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Juurellisen puun l(cid:228)pik(cid:228)ynti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4 Aritmeettisten lausekkeiden esitysmuotoja . . . . . . . . . . . . . 108
Kirjallisuutta 111
Hakemisto 113
Symbolit
Symboli Selitys Sivu
(cid:14)((cid:1))
(cid:20)((cid:1)) minimiaste 8
(cid:20)0((cid:1)) solmuyhten(cid:228)isyysaste 47
(cid:22)((cid:1)) s(cid:228)rm(cid:228)yhten(cid:228)isyysaste 55
(cid:26)((cid:1)) nulliteetti 36
(cid:31)((cid:1)) graa(cid:28)n aste 36
(cid:1)((cid:1)) v(cid:228)riluku 94
deg((cid:1)) maksimiaste 8
deg+((cid:1)) solmun tai alueen aste 7, 90
deg−((cid:1)) solmun l(cid:228)ht(cid:246)aste 9
r(m;n) solmun tuloaste 9
w((cid:1)) Ramsayn luku 16
C paino 4
n
H silmukka 11
k;n
K Hararyn graa(cid:28) 52
m;n
K t(cid:228)ydellinen kaksijakoinen graa(cid:28) 11
n
W t(cid:228)ydellinen graa(cid:28) 10
n
W py(cid:246)r(cid:228) 11
C
W silmukka-avaruus 79
S
irrotusavaruus 80
Luku 1
Perusk(cid:228)sitteit(cid:228)
Aluksi m(cid:228)(cid:228)rittelemme muutamia perusk(cid:228)sitteit(cid:228). On syyt(cid:228) huomata, ett(cid:228) graa(cid:28)-
teorian terminologiassa on kirjallisuudessa paljon kirjavuutta. T(cid:228)ss(cid:228) monisteessa
k(cid:228)ytetyt m(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228)t ja termit eiv(cid:228)t v(cid:228)ltt(cid:228)m(cid:228)tt(cid:228) ole aivan samat kuin jossain
muussa esityksess(cid:228). Esimerkiksi jo pelkk(cid:228) graa(cid:28)n k(cid:228)site voidaan m(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228) (ja
my(cid:246)s m(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228)(cid:228)n) hyvinkin monella toisistaan eroavalla tavalla. Keskeisimm(cid:228)t
k(cid:228)sitteetonannettumy(cid:246)senglanniksi,jottakirjallisuuteentutustuminenolisihel-
pompaa.Onkuitenkinmuistettava,ett(cid:228)my(cid:246)senglanninkielisess(cid:228)terminologiassa
on kirjavuutta.
1.1 M(cid:228)(cid:228)ritelmi(cid:228)
G (V;E)
VM(cid:228)6=(cid:228)r;itelm(cid:228) 1.1. YksinkertainEen graa(cid:28) (simple graph) on pari , miss(cid:228)
fu;vg on (cid:228)(cid:228)ure;lvlin2enV jouu6=kkov ja onV(cid:228)(cid:228)rellinen joukko j(cid:228)rjest(cid:228)m(cid:228)tt(cid:246)mi(cid:228) pareja
, miss(cid:228) , . JoEukon alkioita sanotaan solmuiksi (vertex, mon.
vertices) tai pisteiksi ja joukon alkioita s(cid:228)rmiksi (edge) tai viivoiksi.
Yksisolmuista yksinkertaista graa(cid:28)a sanotaan triviaaliksi graa(cid:28)ksi (trivial
graph). Yksinkertaisen graa(cid:28)n m(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228)st(cid:228) seuraa, ett(cid:228) triviaalissa graa(cid:28)ssa ei
oleyht(cid:228)(cid:228)ns(cid:228)rm(cid:228)(cid:228)(ks.kuva1.1).Joissakinkirjoissamy(cid:246)snollagraa(cid:28)a(null graph)
G : G :
1 2 v v
1 2
v v v
3 4
G = (fvg;;) G = (fv ;v ;v ;v g;
1 2 1 2 3 4
Kffuvv;av1g.;1f.vT;rviviga;aflvi g;rvaag(cid:28);fv ;v gg) ja yksinkertainen graa(cid:28)
1 2 1 3 2 3 3 4
.
1
LUKU 1. PERUSK˜SITTEIT˜ 2
(;;;)
eli paria pidet(cid:228)(cid:228)n graa(cid:28)na. T(cid:228)ss(cid:228) monisteessa nollagraa(cid:28) ei ole graa(cid:28) (ellei
erikseen toisin mainita).
Joskus on tarkoituksenmukaista tarkastella graafeja alkeellisemmin, esimer-
kiksi kuvion avulla (ks. esimerkiksi kuva 1.1). T(cid:228)ll(cid:246)in esimerkiksi yksinkertainen
graa(cid:28) voidaan m(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228) seuraavalla m(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228)n 1.1 kanssa yht(cid:228)pit(cid:228)v(cid:228)ll(cid:228) taval-
la.
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.2. Yksinkertainen graa(cid:28) koostuu solmuista ja niit(cid:228) yhdist(cid:228)vist(cid:228)
s(cid:228)rmist(cid:228), miss(cid:228)
1. kahden eri solmun v(cid:228)lill(cid:228) voi olla korkeintaan yksi s(cid:228)rm(cid:228),
2. solmusta ei voi olla s(cid:228)rm(cid:228)(cid:228) solmuun itseens(cid:228).
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.3. Multigraa(cid:28)(multigraph)on yksinkertaisengraa(cid:28)nyleistys,jos-
sa kahden eri solmun v(cid:228)lill(cid:228) voi olla useita ((cid:228)(cid:228)rellinen m(cid:228)(cid:228)r(cid:228)) s(cid:228)rmi(cid:228).
v
1
e e
1 2
v2 e v3
3
(V;E) V = fv ;v ;v g E = fe ;e ;e g
1 2 3 1 2 3
Kuva 1.2. Multigraa(cid:28) , miss(cid:228) ja .
Vaikka edell(cid:228) oleva multigraa(cid:28)n m(cid:228)(cid:228)rittely tuntuu luonnolliselta, m(cid:228)(cid:228)ritel-
m(cid:228)ss(cid:228) on tiettyj(cid:228) ongelmia. Multigraa(cid:28) voidaan nimitt(cid:228)in m(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228) kahdella
toisistaan poikkeavalla tavalla.
Ensiksikin voidaan ajatella, ett(cid:228) kun meill(cid:228) on moninkertainen s(cid:228)rm(cid:228), niin
itse asiassa t(cid:228)ll(cid:246)(inV;vEa)in sama Vs(cid:228)rm(cid:228) esiintyy useamman kerran. Multigraa(cid:28) on
t(cid:228)ll(cid:246)in Esiis pari V , miss(cid:228) on (cid:228)(cid:228)rellinen ep(cid:228)tyfhuj(cid:228);vsgol(muu6=jovu)kko ja s(cid:228)rm(cid:228)-
joukko on joukon j(cid:228)rjest(cid:228)m(cid:228)tt(cid:246)mien pisteparien muodostama
multijoukko (multiset). S(cid:228)rm(cid:228)n kertaluku ilmoittaa, kuinka monta kertaa s(cid:228)rm(cid:228)
kuuluu multijoukkoon. Joissakin tilanteissa t(cid:228)m(cid:228) on hyvinkin j(cid:228)rkev(cid:228) tulkinta
multijoukolle. Tulkintaa k(cid:228)ytt(cid:228)v(cid:228)t esimerkiksi Ruohonen [16] ja Wilson [21].
Toisaalta voidaan ajatella, ett(cid:228) kun meill(cid:228) on moninkertainen s(cid:228)rm(e(cid:228);,fum;evigll)(cid:228)
on useita eri(Vs(cid:228);rEm)i(cid:228). T(cid:228)ll(cid:246)in s(cid:228)rm(cid:228) on siis itse asiassa j(cid:228)rjestetty pari V .
Multigraa(cid:28) muodoEstuu nyt (cid:228)(cid:228)rellisest(cid:228) ep(cid:228)tyhj(cid:228)st(cid:228) solmujoukosta , (cid:228)(cid:228)-
rellisest(cid:228) s(cid:228)rm(cid:228)joukosta ja funktiosta
f:E ! ffu;vgj u;v 2 V;u 6= vg:
LUKU 1. PERUSK˜SITTEIT˜ 3
f(e ) = f(e ) e e
1 2 1 2
Jos , s(cid:228)rm(cid:228)t ja ovat rinnakkaisia (parallel). T(cid:228)m(cid:228)kin tulkinta
on joissakin tilanteissa luonnollinen. Tulkintaa k(cid:228)ytt(cid:228)v(cid:228)t esimerkiksi Rosen [15]
sek(cid:228) Thulasiraman ja Swamy [17].
Edell(cid:228) esitetyt m(cid:228)(cid:228)rittelytavat johtavat joissakin tapauksissa my(cid:246)s eri tulok-
siin. Esimerkiksi multigraa(cid:28)en leikkaus (ks. m(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.32, s. 17) riippuu olen-
naisesti siit(cid:228), kumpaa m(cid:228)(cid:228)rittelytapaa k(cid:228)ytet(cid:228)(cid:228)n. T(cid:228)ss(cid:228) monisteessa pyrit(cid:228)(cid:228)n
kuitenkin v(cid:228)ltt(cid:228)m(cid:228)(cid:228)n tilanteita, joissa m(cid:228)(cid:228)rittelytapojen eroista voi aiheutua se-
kaannusta. Jos kuitenkin ep(cid:228)selvyytt(cid:228) esiintyy, k(cid:228)ytet(cid:228)(cid:228)n j(cid:228)lkimm(cid:228)ist(cid:228)m(cid:228)(cid:228)ritte-
lytapaa (ellei toisin mainita).
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.4. Pseudograa(cid:28) (pseudograph) on multigraa(cid:28)n yleistys, jossa sol-
mustavoiollas(cid:228)rm(cid:228)tais(cid:228)rmi(cid:228)solmuunitseens(cid:228).N(cid:228)it(cid:228)s(cid:228)rmi(cid:228)sanotaanluupeiksi
(loop).
e
1 v
2
e
2
v1 e3 v3
(V;E) = (fv ;v ;v g;fe ;e ;e g)
1 2 3 1 2 3
Kuva 1.3. Pseudograa(cid:28) .
G
M(cid:228)(cid:228)rite(lVm;E(cid:228))1.5. SuuVnna6=ttu; graa(cid:28) (directed graph, oriEented graph) eli digraa(cid:28)
on pari(u;v) , missu(cid:228);v 2 V on (cid:228)(cid:228)rellinen joukko ja on joukko j(cid:228)rjestettyj(cid:228)
pareja , miss(cid:228) .
v v
1 2
v v
4 3
(V;E) = (fv ;v ;v ;v g;f(v ;v );(v ;v );(v ;v );(v ;v )
1 2 3 4 1 2 1 4 2 1 2 3
K(vu;vva)1;.(4v.;Svuu)gn)nattugraa(cid:28) ,
4 3 4 4
.
Suunnatun graa(cid:28)n s(cid:228)rmi(cid:228) sanotaan kaariksiut6=aivnuoliksi (arc). Koska suun-
natun graa(cid:28)n m(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228)ss(cid:228) ei edellytet(cid:228), ett(cid:228) , suunnatussa graa(cid:28)ssa voi
olla luuppeja. My(cid:246)s suunnatun graa(cid:28)n voi m(cid:228)(cid:228)ritell(cid:228) alkeellisemmin.
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.6. Suunnattu graa(cid:28) koostuu solmuista ja niit(cid:228) yhdist(cid:228)vist(cid:228) kaa-
rista, miss(cid:228)
LUKU 1. PERUSK˜SITTEIT˜ 4
1. kahdenerisolmunv(cid:228)lill(cid:228)voiollakorkeintaankaksikaarta,yksikumpaankin
suuntaan,
2. solmusta voi olla kaari solmuun itseens(cid:228).
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.7.Suunnattumultigraa(cid:28)(directedmultigraph)onsuunnatungraa-
(cid:28)n yleistys, jossa voi olla moninkertaisia kaaria.
e
1
e
2
v v
1 2
e
3
(V;E) = (fv ;v g;fe ;e ;e g)
1 2 1 2 3
Kuva 1.5. Suunnattu multigraa(cid:28) .
Kun t(cid:228)ss(cid:228) monisteessa puhutaan pelk(cid:228)st(cid:228) graa(cid:28)sta, tarkoitetaan yleens(cid:228) mit(cid:228)
tahansa suuntaamatonta graa(cid:28)a. Jos kuitenkin graa(cid:28)n luonne on asiayhteydest(cid:228)
selv(cid:228), lis(cid:228)m(cid:228)G(cid:228)r=e o(nV;uEse)in j(cid:228)tetty pois. V
V(GG)raa(cid:28)n EsolmujoukolleE(Gv)oidaan tarvittaessa k(cid:228)ytt(cid:228)(cid:228) merkint(cid:228)(cid:228)
ja s(cid:228)rm(cid:228)joukolle merkint(cid:228)(cid:228) .
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.8. Painotettu graa(cid:28) (weighted graph) on graa(cid:28)n yleistys, jossa
jokaiseen s(cid:228)rm(cid:228)(cid:228)n on liitetty jokin luku. T(cid:228)t(cid:228) lukua sanotaan s(cid:228)rm(cid:228)n painoksi.
w((cid:1))
M(cid:228)(cid:228)ritelm(cid:228) 1.9. Merkinn(cid:228)ll(cid:228) tarkoitetaan s(cid:228)rm(cid:228)n painoa tai painotetun
graa(cid:28)n s(cid:228)rmien yhteenlaskettua painoa.
G w(fv ;v g) = 5
1 3
wE(sfimv e;vrkgk)i=1.31. Kwu(fvvan;v1.g6)g=ra4a(cid:28)ssa sG(cid:228)rmien painot ovat w(G),
2 3 1 2
ja . Graa(cid:28)n s(cid:228)rmien yhteenlaskettu paino
on 12.
G: v
3
5 3
v 4 v
1 2
G
Kuva 1.6. Painotettu graa(cid:28) , joka mallintaa Pythagoraan lausetta.
LUKU 1. PERUSK˜SITTEIT˜ 5
1.2 Esimerkkej(cid:228)
Graafeillavoidaan mallintaamonia asioita.Seuraavassa on nelj(cid:228) esimerkki(cid:228) graa-
(cid:28)en k(cid:228)yt(cid:246)st(cid:228) mallina.
Esimerkki 1.2. Graa(cid:28)en avulla voidaan mallintaa eri el(cid:228)inlajien v(cid:228)list(cid:228) vuoro-
vaikutusta. Esimerkiksi ekosysteemiss(cid:228) lajien v(cid:228)list(cid:228) kilpailua voidaan mallintaa
graa(cid:28)lla,jokakuvaaekologistenlokeroidenp(cid:228)(cid:228)llekk(cid:228)isyytt(cid:228)(nicheoverlapgraph).
Graa(cid:28)ssa kutakin el(cid:228)inlajia vastaa oma solmunsa ja kaksi eri solmua on yhdis-
tetty s(cid:228)rm(cid:228)ll(cid:228) vain, jos kyseisi(cid:228) s(cid:228)rmi(cid:228) edustavat el(cid:228)inlajit kilpailevat kesken(cid:228)(cid:228)n
eli k(cid:228)ytt(cid:228)v(cid:228)t samoja ravintovaroja. Kuvan 1.7 graa(cid:28) mallintaa mets(cid:228)n ekosys-
teemi(cid:228). Graa(cid:28)n perusteella esimerkiksi orava ja supi ovat kesken(cid:228)(cid:228)n kilpailevia
lajeja, mutta varis ja p(cid:228)(cid:228)st(cid:228)inen eiv(cid:228)t ole.
Haukka
Supi Pöllö
Orava
Opossumi Varis
Päästäinen Tikka
Hiiri
Kuva 1.7. Ekologisten lokeroiden p(cid:228)(cid:228)llekk(cid:228)isyys.
Esimerkki 1.3. Ryhm(cid:228)n k(cid:228)ytt(cid:228)ytymist(cid:228) tutkittaessa voidaan havaita, ett(cid:228) jot-
kut ryhm(cid:228)n j(cid:228)senet voivat vaikuttaa ryhm(cid:228)n muiden j(cid:228)senten k(cid:228)ytt(cid:228)ytymiseen.
T(cid:228)llaista k(cid:228)ytt(cid:228)ytymist(cid:228) voidaan mallintaa suunnatulla vaaikubtusvaltagraa(cid:28)lla.
Kutakin ryhm(cid:228)n j(cid:228)sent(cid:228) edustaa oma solmunsa. Solmujen ja v(cid:228)lill(cid:228) on s(cid:228)rm(cid:228)
Tiina Mira
Anna
Raija Kaisa
Kuva 1.8. Ryhm(cid:228)n j(cid:228)senten vaikutus toistensa k(cid:228)ytt(cid:228)ytymiseen.