Table Of ContentGeometry of Strings and Branes
FoarHeitenMem
The work described in this thesis was performed at the Centre for Theoretical Physics in
Groningenand attheInstitut HenriPoincaré inParis, withsupport fromthefoundationfor
FundamenteelOnderzoekderMaterie,aswellasaMarieCuriefellowshipoftheEuropean
Union research program “Improving Human Research Potential and the Socio-Economic
KnowledgeBase”,contractnumberHPMT-CT-2000-00165.
PrintedbyUniversalPress-SciencePublishers/Veenendaal,TheNetherlands.
Copyright©2002ReinHalbersma.
Rijksuniversiteit Groningen
Geometry of Strings and Branes
Proefschrift
terverkrijgingvanhet doctoraatinde
WiskundeenNatuurwetenschappen
aandeRijksuniversiteitGroningen
opgezagvande
RectorMagnificus,dr.D.F.J.Bosscher,
inhetopenbaarte verdedigenop
vrijdag21juni2002
om14.15uur
door
Reinder Simon Halbersma
geborenop18november1974
te Oostermeer
Promotor: Prof.dr. E.ABergshoeff
Referent: Dr.M.deRoo
Beoordelingscommissie: Prof.dr. B.E.W.Nilsson
Prof.dr. A.VanProeyen
Prof.dr. D.Zanon
ISBN-nummer: 90-367-1627-6
vi Contents
2.2.1 Embeddingandmetric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 Curvatureandcosmologicalconstant . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.3 Boundaryandconformalstructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Conformalfieldtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.1 Atoymodelexample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Approximationsofthecorrespondence . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3 EvidencefortheAdS/CFTcorrespondence . . . . . . . . . . . . . . 52
3 TheDW/QFTcorrespondence 55
3.1 Near-horizongeometriesofp-branes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.1 Two-blocksolutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.2 Thenear-horizonlimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.3 Interpolatingsolitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Domain-walls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.1 SolutionAnsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Asymptoticgeometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.3 Spherereductions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Quantumfieldtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.1 Dualworldvolumetheories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3.2 Deformationsandrenormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3 Domain-wallsasRG-flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 Braneworldscenarios 75
4.1 Fine-tuningproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.1.1 Thehierarchyproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.2 Thecosmologicalconstantproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 TheRandall-Sundrumscenarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Two-branesetup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Single-branesetup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2.3 Localizationofgravityonthebrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3 Supersymmetricbraneworlds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.1 Conditionsonthescalarpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.2 Overviewof =2supergravityinD =5 . . . . . . . . . . . . . . 86
N
5 Weylmultipletsofconformalsupergravity 87
5.1 Rigidsuperconformalsymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.1 ConformalKillingvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.1.2 ConformalKillingspinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.3 ThesuperconformalalgebraF2(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1.4 Representationtheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Localsuperconformalsymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.1 Gaugefieldsandcurvatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Contents vii
5.2.2 Curvatureconstraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 Thesupercurrentmethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.1 ThesupercurrentoftheMaxwellmultiplet . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3.2 Theimprovedsupercurrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3.3 ThelinearizedWeylmultiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4 TheWeylmultiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.4.1 Themodifiedsuperconformalalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.4.2 TheStandardWeylmultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4.3 TheDilatonWeylmultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5 ConnectionbetweentheWeylmultiplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.5.1 TheimprovedMaxwellmultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.5.2 CouplingtotheStandardWeylmultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.5.3 Solvingtheequationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6 Matter-couplingsofconformalsupergravity 119
6.1 Thevector-tensormultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.1 Adjointrepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.1.2 Reduciblerepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1.3 Completelyreduciblerepresentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.1.4 Themassiveself-dualtensormultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2 Thehypermultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.2.1 Rigidsupersymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.2.2 Superconformalsymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.3 Gaugingsymmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.3 Superconformalactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3.1 TheYang-Millsmultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3.2 Thevector-tensormultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.3.3 Thehypermultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.4 CouplingtotheWeylmultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4.1 Vector-tensormultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4.2 Thehypermultiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.5 Discussionandoutlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.5.1 Summaryofgeometricalobjects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.5.2 Gauge-fixingtheconformalsymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5.3 Thescalarpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Bibliography 155
viii Contents
A Conventions 173
A.1 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
A.2 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
A.3 Differentialforms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.4 Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
A.5 Gamma-matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
A.6 Fierz-identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Samenvatting 179
Dankwoord 187
List of Figures
1.1 Aparticleworldlineandstringworldsheets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Theperiodic,Neumann,andDirichletboundaryconditionsforstrings. . . . . 11
1.3 Thegenusexpansionofstringtheoryinteractions. . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 TheM-theorywebofstringtheoriesandtheirdualities. . . . . . . . . . . . . 24
1.5 ThevariousbranesinD =10andD =11andtheirdualities. . . . . . . . . 29
2.1 D-branesasopenstringboundaryconditionsandclosedstringsources.. . . . 36
2.2 TheinterpolatingD3-branegeometry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 AstackofD3-branesprobedbyanotherD3-brane. . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 AstackofD3-braneprobedbyasupergravityfield . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 AdS anddS ashyperboloidsinR2;d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
d+1 d+1
2.6 TheprojectiveboundaryofAnti-de-Sitterspacetime. . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 Wittendiagramsof2-,3-and4-pointcorrelationfunctions. . . . . . . . . . . 51
3.1 Abeta-functionwithUVandIRfixedpoints. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1 Thetwo-braneRandall-Sundrumsetup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2 Thesingle-braneRandall-Sundrumsetup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
x ListofFigures
List of Tables
1 (Semi-)classicalelectromagnetismversusgravity. . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Quantizingtheweakorstronginteractionversusgravity. . . . . . . . . . . . 4
2.1 RegimesoftheAdS/CFTcorrespondence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Agravity/gaugetheorydictionary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 RegimesoftheDW/QFTcorrespondence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Classificationofoperatorsineffectivefieldtheory. . . . . . . . . . . . . . . 69
3.3 Adomain-wall/RG-flowdictionary. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1 ThegeneratorsofthesuperconformalalgebraF2(4). . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 ThegaugefieldsofthesuperconformalalgebraF2(4). . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Theon-shellMaxwellmultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Thecurrentmultiplet: (cid:18) (cid:22)and(cid:13)(cid:22)Ji formseparatecurrents. . . . . . . . . . 103
(cid:22) (cid:22)
5.5 Theimprovedcurrentmultipletwithconstrainedcurrents.. . . . . . . . . . . 106
5.6 GaugefieldsandmatterfieldoftheWeylmultiplets.. . . . . . . . . . . . . . 107
6.1 Theoff-shellYang-Millsmultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6.2 Theon-shelltensormultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3 Theon-shellhypermultiplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.4 Theholonomygroupsofthefamilyofquaternionic-likemanifolds.. . . . . . 132
6.5 Thesuperconformalmattermultipletsandtheiressentialgeometricaldata. . . 150
A.1 Coefficientsusedincontractionsofgamma-matrices. . . . . . . . . . . . . . 177
