Generalized Kantor Double

0.12 MB·

by  Ivan Kaygorodov

GENERALIZED KANTOR DOUBLE
Ivan Kaygorodov
Sobolev Inst. of Mathematics
Novosibirsk, Russia
[email protected]
Abstract:
1
We find necessary and sufficient conditions for a generalized Kantor double to be Jordan. We
1
0 also describe δ-superderivations of a generalized Kantor double whose even part is prime.
2

n
Key words: Kantor double, Jordan superalgebra, δ-superderivation.
a
J

7
2

1 Предварительные сведения
]
A
R
Пусть F — поле характеристики p 6= 2. Супералгеброй над полем F называется алгебра A,
.
h такая что A = A ⊕A с условием A A ⊆ A . Элементы супералгебры A = A ⊕A
0 1 i j i+j(mod2) 0 1
t ∗
a из множества A = A ∪ A будем называть однородными. Для однородного элемента x
0 1
m
супералгебры A будем считать p(x) = i, если x ∈ A .
i
[
Алгебра A над полем F называется йордановой, если она удовлетворяет тождествам

1
v
xy = yx,(x2y)x = x2(yx).
2
1
2 Пусть G — алгебра Грассмана над F, заданная образующими 1,ξ ,...,ξ ,... и опре-
1 n
5
деляющими соотношениями: ξ2 = 0,ξ ξ = −ξ ξ . Элементы 1,ξ ...ξ (i < ... < i ) обра-
1. i i j j i i1 ik 1 k
зуют базис алгебры G над F. Обозначим через G и G подпространства, порожденные,
0 0 1
1 соответственно, произведениями четной и нечетной длины; тогда G представляется в виде
1
прямой суммы этих подпространств: G = G ⊕ G , при этом справедливы соотношения
: 0 1
v
G G ⊆ G ,i,j = 0,1.
i i j i+j(mod2)
X Под суперпространством мы понимаем Z -градуированное пространство. На простран-
2
r стве End(A) эндоморфизмов супералгебры A = A +A зададим структуру супералгебры,
a 0 1
таким образом, что четными элементами будем считать те эндоморфизмы, которые инва-
риатны на A и A , а нечетными элементами будем считать такие эндоморфизмы φ, что
0 1
φ(A ) ⊆ A .
i i+1
Для супералгебры A подалгебра
G(A) = G ⊗A +G ⊗A
0 0 1 1
в тензорном произведении G⊗A называется грассмановой оболочкой супералгебры A.
Если Ω — некоторое многообразие алгебр над F. Супералгебра A называется Ω-
супералгеброй, если G(A) ∈ Ω. Таким образом, супералгебра A является йордановой су-
пералгеброй, если ее грассманова оболочка G(A) является йордановой алгеброй.
1
Дубль Кантора [1].ПустьΓ = Γ ⊕Γ —ассоциативнаясуперкоммутативная суперал-
0 1
гебра сединицей 1 и{,} : Γ×Γ → Γ — суперкососимметрическое билинейное отображение,
которое мы будем называть скобкой. По супералгебре Γ и скобке {,} можно построить су-
пералгебру J(Γ,{,}). Рассмотрим J(Γ,{,}) = Γ⊕Γx — прямую сумму пространств, где Γx
—изоморфнаякопия пространстваΓ.Считаем,чтоD(a) = {a,1}.Пусть a,b—однородные
элементы из Γ. Тогда операция умножения · на J(Γ,{,}) определяется формулами
a·b = ab,a·bx = (ab)x,ax·b = (−1)p(b)(ab)x,ax·bx = (−1)p(b){a,b}.
Положим A = Γ +Γ x,M = Γ +Γ x. Тогда J(Γ,{,}) = A⊕M — Z -градуированная
0 1 1 0 2
алгебра.
Дляунитальнойсупералгебрыскобка{,}называетсяйордановой,еслиприоднородных
элементах f ,g ,h ∈ Γ выполняются следующие соотношения
i i i i
{f ,g h } = {f ,g }h +(−1)ijg {f ,h }−D(f )g h , (1)
i j k i j k j i k i j k
{f ,{g ,h }} = {{f ,g },h }+(−1)ij{g ,{f ,h }}+
i j k i j k j i k
D(f ){g ,h }+(−1)jiD(g ){h ,f }+(−1)k(j+i)D(h ){f ,g }. (2)
i j k j k i k i j
В дальнейшем, элементы k ,f ,g ,h мы будем всегда считать однородными.
i i i i
Хорошо известно [2, 3], что супералгебра J(Γ,{,}) йорданова тогда и только тогда,
когда скобка {,} является йордановой. В силу йордановости супералгебры J(Γ,{,}) полу-
чаем, что D : a → {a,1} — дифференцирование супералгебры Γ.
Если D — нулевое дифференцирование, то {,} является скобкой Пуассона, т.е.
{a,bc} = {a,b}c+(−1)p(a)p(b)b{a,c}
и Γ — супералгебра Ли относительно операции {,}. Произвольная скобка Пуассона явля-
ется йордановой скобкой [4].
Хорошо известно [2, 3], что йорданова супералгебра J = Γ+Γx, полученная с помощью
процессаудвоенияКантора,будетявлятьсяпростойтогдаитолькотогда,когдаΓнеимеет
ненулевых идеалов B с условием {Γ,B} ⊆ B.
Супералгебра векторного типа J(Γ,D). Пусть Γ — ассоциативная суперкоммута-
тивная супералгебра с ненулевым четным дифференцированием D. Определим на Γ скоб-
ку {,} полагая {a,b} = D(a)b−aD(b). Тогда скобка {,} — йорданова скобка. Полученную
супералгебру J(Γ,{,}) будем обозначать как J(Γ,D).
2 Йордановость обобщенного дубля Кантора
В данной части работы мы рассмотрим обобщенный дубль Кантора. Мы ослабим условие
унитальности и суперкоммутативности супералгебры Γ и построим супералгебру J(Γ,{,})
по аналогии с выше приведенной конструкцией. Если супералгебра Γ обладает диффе-
ренцированием D, то, задав скобку {,} по правилу {a,b} = D(a) − aD(b), мы получим
супералгебру векторного типа (не обязательно унитальную).
Легко заметить, что условие простоты супералгебры J(Γ,{,}) влечет отсутствие идеа-
ловI всупералгебре Γcусловием {I,Γ} ⊆ I. Впротивномслучае,в супералгебре J(Γ,{,})
мы имели бы ненулевой градуированный идеал I +Ix.
2
Скобка {,}, определенная на супералгебре Γ, называется йордановой, если
(−1)(i+j)l{{f ,h }g ,k }+(−1)(k+j)i{{h ,k }g ,f }+
i k j l k l j i
(−1)(l+j)k{{k ,f }g ,h } = (−1)(i+j)l{f ,h }{g ,k }+
l i j k i k j l
(−1)(k+j)i{h ,k }{g ,f }+(−1)(l+j)k{k ,f }{g ,h }, (3)
k l j i l i j k
(−1)(k+j)i({h k ,g }f −h k {g ,f }) =
k l j i k l j i
(−1)(l+j)k({k f ,g }h −k f {g ,h }), (4)
l i j k l i j k
(−1)(i+j)l({f h g ,k }−f h {g ,k }) =
i k j l i k j l
(−1)(k+j)i({h k ,g }f −{h k ,g f })+
k l j i k l j i
(−1)(l+j)k({k f ,g }h −{k f ,g h }). (5)
l i j k l i j k
Теорема 2.1. Обобщенный дубль Кантора J(Γ,{,}) является йордановой суперал-
геброй тогда и только тогда, когда скобка {,} является йордановой и супералгебра Γ —
суперкоммутативна.
Доказательство. Известно, что йорданова супералгебра удовлетворяет тождествам
f ·g −(−1)ijg ·f = 0, (6)
i j j i
(−1)(i+j)l[f ·h ,g ,k ]+
i k j l
(−1)(k+j)i[h ·k ,g ,f ]+(−1)(l+j)k[k ·f ,g ,h ] = 0, (7)
k l j i l i j k
где [f,g,h] = (f·g)·h−f·(g·h) — обычный неградуированный ассоциатор и f = f +f x
i i i+1
— базисные элементы J = F +F x.
i i i+1
Легко заметить, что супералгебра J(Γ,{,}) удовлетворяет условию (6) тогда и только
тогда, когда Γ — суперкоммутативная супералгебра.
Для установления эквивалентности между тождеством (7) и соотношениями йорда-
новой скобки (3-5) нам достаточно проверить эквивалентность на однородных элементах
супералгебры J(Γ,{,}). В дальнейшем, считаем, что f ,g ,h ,k ∈ Γ . Поскольку Γ — ассо-
t t t t t
циативна, то
[f ·h ,g ,k ] = 0,[f x·h ,g ,k ] = 0,[f ·h x,g ,k ] = 0,
i k j l i k j l i k j l
[f ·h ,g x,k ] = 0,[f ·h ,g ,k x] = 0.
i k j l i k j l
Таким образом, достаточно рассмотреть случаи, когда в тождестве (7) среди элементов
f ,g ,h ,k два или более являются элементами Γx. Проведем последовательные вычисле-
i j k l
ния.
0 = (−1)(i+j)l[f x·h x,g x,k x]+
i+1 k+1 j+1 l+1
(−1)(k+j)i[h x·k x,g x,f x]+(−1)(l+j)k[k x·f x,g x,h x] =
k+1 l+1 j+1 i+1 l+1 i+1 j+1 k+1
(−1)(i+j)l+k+l({{f ,h }g ,k }−{f ,h }{g ,k })+
i+1 k+1 j+1 l+1 i+1 k+1 j+1 l+1
3
(−1)(k+j)i+l+i({{h ,k }g ,f }−{h ,k }{g ,f })+
k+1 l+1 j+1 i+1 k+1 l+1 j+1 i+1
(−1)(l+j)k+i+k({{k ,f }g ,h }−{k ,f }{g ,h }).
l+1 i+1 j+1 k+1 l+1 i+1 j+1 k+1
Легко заметить, что мы получаем аналог тождества (3).
0 = (−1)(i+j)l[f x·h x,g x,k ]+
i+1 k+1 j+1 l
(−1)(k+j)i[h x·k ,g x,f x]+(−1)(l+j)k[k ·f x,g x,h x] = (8)
k+1 l j+1 i+1 l i+1 j+1 k+1
(−1)(i+j)l+k+l+1({f ,h }g k −{f ,h }g k )x+
i+1 k+1 j+1 l i+1 k+1 j+1 l
(−1)(k+j)i+l+j+1({h k ,g }f −h k {g ,f })x+
k+1 l j+1 i+1 k+1 l j+1 i+1
(−1)(l+j)k+j+1({k f ,g }h −k f {g ,h })x.
l i+1 j+1 k+1 l i+1 j+1 k+1
Заметим, что мы имеем аналог тождества (4).
Вычисляя, видимчто [fx·hx,g,kx] = 0,следовательно,приподстановке f = f x,g =
i i+1 j
g ,h = h x,k = k x в соотношение (7), в правой части мы имеем нулевое выражение.
j k k+1 l l+1
0 = (−1)(i+j)l[f x·h ,g x,k x]+
i+1 k j+1 l+1
(−1)(k+j)i[h ·k x,g x,f x]+(−1)(l+j)k[k x·f x,g x,h ]
k l+1 j+1 i+1 l+1 i+1 j+1 k
Отметим, что при замене f 7→ h ,h 7→ k ,k 7→ f мы получим выражение (8), которое
i k k l l i
эквивалентно (4).
0 = (−1)(i+j)l[f ·h x,g x,k x]+
i k+1 j+1 l+1
(−1)(k+j)i[h x·k x,g x,f ]+(−1)(l+j)k[k x·f ,g x,h x]
k+1 l+1 j+1 i l+1 i j+1 k+1
Элементарнозаметить,чтопризаменеf 7→ k ,k 7→ h ,h 7→ f мыполучимвыражение
i l l k k i
(8), которое эквивалентно (4).
0 = (−1)(i+j)l[f ·h ,g x,k x]+
i k j+1 l+1
(−1)(k+j)i[h ·k x,g x,f ]+(−1)(l+j)k[k x·f ,g x,h ] = (9)
k l+1 j+1 i l+1 i j+1 k
(−1)(i+j)l+l+1({f h g ,k }−f h {g ,k })+
i k j+1 l+1 i k j+1 l+1
(−1)(k+j)i+j+1({h k ,g }f −{h k ,g f })+
k l+1 j+1 i k l+1 j+1 i
(−1)(l+j)k+i+j+1({k f ,g }h −{k f ,g h }).
l+1 i j+1 k l+1 i j+1 k
Очевидно замечаем, что мы имеем аналог тождества (5).
0 = (−1)(i+j)l[f ·h x,g ,k x]+
i k+1 j l+1
(−1)(k+j)i[h x·k x,g ,f ]+(−1)(l+j)k[k x·f ,g ,h x] =
k+1 l+1 j i l+1 i j k+1
(−1)(i+j)l+j+l+1({f h g ,k }−{f h ,g k })+
i k+1 j l+1 i k+1 j l+1
(−1)(k+j)i+l+1({h ,k }g f −{h ,k }g f )+
k+1 l+1 j i k+1 l+1 j i
(−1)(l+j)k+i+j+k+1({k f g ,h }−{k f ,g h }).
l+1 i j k+1 l+1 i j k+1
Легко заметить, что полученное соотношение эквивалентно
(−1)(i+j)l({f h g ,k }−{f h ,g k }) =
i k j l i k j l
(−1)(l+j)k({k f g ,h }−{k f ,g h }). (10)
l i j k l i j k
0 = (−1)(i+j)l[f ·h x,g x,k ]+
i k+1 j+1 l
(−1)(k+j)i[h x·k ,g x,f ]+(−1)(l+j)k[k ·f ,g x,h x]
k+1 l j+1 i l i j+1 k+1
Заметим, что при замене f 7→ h ,h 7→ k ,k 7→ f мы имеем выражение (9), которое
i k k l l i
эквивалентно (5).
0 = (−1)(i+j)l[f x·h ,g ,k x]+
i+1 k j l+1
(−1)(k+j)i[h ·k x,g ,f x]+(−1)(l+j)k[k x·f x,g ,h ]
k l+1 j i+1 l+1 i j k+1
4
Легко заметить, что при замене f 7→ k ,k 7→ h ,h 7→ f мы получим выражение
i l l k k i
эквивалентное (10).
0 = (−1)(i+j)l[f x·h ,g x,k ]+
i+1 k j+1 l
(−1)(k+j)i[h ·k ,g x,f x]+(−1)(l+j)k[k ·f x,g x,h ]
k l j+1 i+1 l i+1 j+1 k
Очевидно замечаем, что при замене f 7→ k ,k 7→ h ,h 7→ f мы имеем выражение (9),
i l l k k i
которое эквивалентно (5).
0 = (−1)(i+j)l[f x·h x,g ,k ]+
i+1 k+1 j l
(−1)(k+j)i[h x·k ,g ,f x]+(−1)(l+j)k[k ·f x,g ,h x]
k+1 l j i+1 l i+1 j k+1
Легко заметить, что при замене f 7→ h ,h 7→ k ,k 7→ f мы получим выражение
i k k l l i
эквивалентное (10).
Для доказательства теоремы осталось показать, что система тождеств (5,10) эквива-
лентна системе тождеств (4,5). Из (10) и (5) можем получить
(−1)(i+j)l{f h ,g k }+(−1)(l+j)k{k f g ,h }+(−1)(k+j)i{h k ,g f } =
i k j l l i j k k l j i
(−1)(i+j)lf h {g ,k }+(−1)(l+j)k{k f ,g }h +(−1)(k+j)i{h k ,g }f .
i k j l l i j k k l j i
Откуда, путем замены h 7→ k ,k 7→ h получим
k l l k
(−1)(i+j)k{f k ,g h }+(−1)(k+j)l{h f g ,k }+(−1)(l+j)i{k h ,g f } =
i l j k k i j l l k j i
(−1)(i+j)kf k {g ,h }+(−1)(k+j)l{h f ,g }k +(−1)(l+j)i{k h ,g }f .
i l j k k i j l l k j i
Применим (5) и получим
(−1)(i+j)kf k {g ,h }+(−1)(k+j)l{h f ,g }k +(−1)(l+j)i{k h ,g }f =
i l j k k i j l l k j i
(−1)ik+il+lk((−1)il+jlf h {g ,k }+(−1)(k+j)i{h k ,g }f +(−1)(l+j)k{k f ,g }h ).
i k j l k l j i l i j k
Откуда, путем замены f 7→ k ,k 7→ f , получаем
i l l i
(−1)(l+j)kk f {g ,h }+(−1)(k+j)l{h k ,g }f =
l i j k k l j i
(−1)(k+j)ih k {g ,f }+(−1)(l+j)k{k f ,g }h .
k l j i l i j k
Что, в свою очередь, является полным аналогом (4). Таким образом, теорема доказана.
Отметим, что для неунитальной ассоциативно-суперкоммутативной супералгебры Γ c
дифференцированием D супералгебра векторного типа J(Γ,D) будет являться йордано-
вой. Доказательство легко следует из проверки тождеств (3-5).
3 О δ-супердифференцированиях обобщенного дубля
Кантора с первичной четной частью
Исследование δ-дифференцирований вытекает из работ Н. С. Хопкинс [5] и В. Т. Фи-
липпова [6], где рассматривались антидифференцирования (т.е. (-1)-дифференцирования)
алгебр Ли.В дальнейшем, этирезультаты получили обобщениев работахВ. Т.Филиппова
[7, 8]. Дальнейшее исследование δ-дифференцирований связано с работами В. Т. Филли-
пова [9], И. Б. Кайгородова [11, 12, 13, 15], И. Б. Кайгородова и В. Н. Желябина [14], и П.
5
Зусмановича [10]. В результате, были описаны δ-дифференцирования первичных ассоци-
ативных, альтернативных, лиевых и мальцевских нелиевых алгебр, полупростых йорда-
новых алгебр, первичных лиевых супералгебр, полупростых конечномерных йордановых
супералгебр и простых унитальных супералгебр йордановой скобки. Более подробную ин-
формацию по описанию δ-дифференцирований и δ-супердифференцирований можно най-
ти в обзоре [16].
Однородный элемент ψ суперпространства эндоморфизмов A → A называется супер-
дифференцированием, если
ψ(xy) = ψ(x)y +(−1)p(x)p(ψ)xψ(y).
Рассмотрим супералгебру Ли A и зафиксируем элемент x ∈ A . Тогда u : y → [x,y]
i x
является супердифференцированием супералгебры A и его четность p(u ) = i.
x
Для фиксированного элемента δ из основного поля, под δ-супердифференцированием
супералгебры A = A ⊕ A мы понимаем однородное линейное отображение φ : A → A,
0 1
такое что для однородных x,y ∈ A выполнено
φ(xy) = δ(φ(x)y +(−1)p(x)p(φ)xφ(y)). (11)
Под суперцентроидом Γ (A) супералгебры A мы будем понимать множество всех од-
s
нородных линейных отображений χ : A → A, для произвольных однородных элементов
a,b удовлетворяющих условию
χ(ab) = χ(a)b = (−1)p(a)p(χ)aχ(b).
Центроид алгебры A определяется по аналогии и обозначется Γ(A).
Заметим, что 1-супердифференцирование является обыкновенным супердифференци-
рованием; 0-супердифференцированием является произвольный эндоморфизм φ суперал-
гебры A такой, что φ(A2) = 0.
Ненулевое δ-супердифференцирование φ будем считать нетривиальным, если δ 6= 0,1
и φ ∈/ Γ (A).
s
В данной части мы рассмотрим δ-супердифференцирования обобщенного дубля Кан-
тораJ(Γ,{,}),построенномисходя изA = Γ—первичнойассоциативнойалгебрыискобки
{,}. Напомним, что A является первичной алгеброй, если из равенства aAb = 0 для неко-
торых элементов a,b алгебры A следует, что либо a = 0 либо b = 0.
В дальнейшем, через (∆12(J(Γ,{,})))i будем обозначать пространство 21-
супердифференцирований супералгебры J(Γ,{,})), имеющих четность i.
Теорема 3.1. Супералгебра J(Γ,{,}) не имеет ненулевых δ-супердифференцирований,
если δ 6= 0, 1,1. Если φ — четное 1-супердифференцирование J(Γ,{,}), то {φ| ,φ ∈
2 2 A
(∆1(J(Γ,{,})))0} = Γ(A) ∩ ∆1(A,{,}) и φ(ax) = φ|A(a)x. В частности, если J(Γ,{,})
2 2
— супералгебра векторного типа, то {φ|A,φ ∈ (∆1(J(Γ,{,})))0} = Γ(A).
2
Доказательство. Пусть φ — четное δ-супердифференцирование и φ(cx) = φ x. Рас-
c
смотримограничение φ| на подалгебру A.Таким образом,φ| есть δ-дифференцирование
A A
первичнойассоциативнойалгебрыA.Согласно [9],приδ = 1 имеемφ| ∈ Γ(A),априδ 6= 1
2 A 2
имеем φ| = 0.
A
В дальнейшем, через a,b,c,d мы обозначаем произвольные элементы алгебры A. Рас-
смотрим случай δ 6= 1, тогда
2
δ2abφ(cx) = δaφ(bcx) = φ(abcx) = δabφ(cx),
6
что влечет abφ(cx) = 0, то есть abφ = 0. В силу первичности A, это влечет φ = 0. Таким
c c
образом, мы имеем тривиальность φ.
Если δ = 1, то
2
1 1 1 1 1
φ(a)bcx+ aφ(b)cx+ abφ(cx) = φ(abcx) = φ(ab)cx+ abφ(cx).
2 4 4 2 2
Откуда, пользуясь тем, что φ(a)bc = abφ(c) = aφ(b)c = φ(ab)c, легко получаем
ab(φ −φ(c)) = 0,
c
что, в силу первичности A, дает φ(c) = φ . Отметим, что
c
1 1 1
φ{a,b} = φ(ax·bx) = (φ(ax)·bx+ax·φ(bx)) = {φ(a),b}+ {a,φ(b)},
2 2 2
то есть φ|A ∈ ∆1(A,{,}). Заметим, что любой элемент ψ|A ∈ Γ(A)∩∆1(A,{,}) продолжа-
2 2
ется до четного 1-супердифференцирования ψ по правилу ψ(ax) = ψ| (a)x.
2 A
Пусть φ — нечетное 1-супердифференцирование супералгебры J(Γ,{,}), тогда
2
δ2φ(a)bc+δ2aφ(b)c+δabφ(c) = φ(abc) = δφ(a)bc+δ2aφ(b)c+δ2abφ(c).
Откуда легко следует φ(a)bc = abφ(c), пользуясь чем, имеем
φ(ab)dc = abdφ(c) = aφ(b)dc.
Откуда, в силу первичности A, вытекает φ(ab) = φ(a)b = aφ(b). Воспользовавшись (11),
имеем
φ(ab) = δ(φ(a)b+aφ(b)) = 2δφ(ab).
Таким образом, возможны два случая δ = 1 или δ 6= 1 и φ(ab) = 0.
2 2
Из второго случая, легко вытекает 0 = φ(ab)c = φ(a)bc. Откуда в силу первичности A,
получаем φ(A) = 0. Осталось заметить, что
δabφ(cx)+δφ(ab)·cx = φ(abcx) = δφ(a)(bcx)+δ2a(φ(b)·cx)+δ2abφ(cx),
то есть (δ2 − δ)abφ(cx) = 0. Таким образом, используя первичность A, имеем φ(cx) = 0.
Основное утверждение теоремы доказано.
Отметим, что если J(Γ,{,}) — супералгебра векторного типа и φ| ∈ Γ(A), то
A
D(aφ| (b)−φ| (a)b) = 0,
A A
D(a)φ| (b)+aD(φ| (b))−(D(φ| (a))b−φ| D(b)) = 0,
A A A A
2φ| (D(a)b−aD(b)) = D(φ| (a))b−φ| (a)D(b)+D(a)φ| (b)−aD(φ| (b)),
A A A A A
1 1
φ| {a,b} = {φ| (a),b}+ {a,φ| (b)},
A A A
2 2
то есть φ|A ∈ ∆1(A,{,}). Теорема доказана.
2
Отметим, что в случае когда Γ — является ассоциативно-коммутативной первичной
алгеброй и скобка {,} является йордановой скобкой, то по теореме 2.1 мы получаем отсут-
ствие ненулевых δ-супердифференцирований при δ 6= 0, 1,1 для супералгебр йордановой
2
скобки с первичной коммутативно-ассоциативной четной частью.
7
Список литературы
[1] Кантор И.Л., Йордановы и лиевы супералгебры, определяемые алгеброй Пуассона //
Алгебра и анализ. Томск, изд-во ТГУ (1989). С.55–80.
[2] King D., McCrimmon K., The Kantor construction of Jordan Superalgebras // Comm.
Algebra. 20 (1992). №1. P.109–126.
[3] King D., McCrimmon K., The Kantor doubling process revisited // Comm. Algebra. 23
(1995). №1. P.357–372.
[4] Kantor I. L., Connection between Poisson brackets and Jordan and Lie superalgebras //
in «Lie Theory, Differential Equations and Representation Theory», publications in CRM,
Montreal (1990). С.213–225.
[5] Hopkins N.C., Generalizes Derivations of Nonassociative Algebras //Nova J. Math.Game
Theory Algebra. 5 (1996). №3. P.215–224.
[6] Филиппов В. Т., Об алгебрах Ли, удовлетворяющих тождеству 5-ой степени // Ал-
гебра и логика. 34 (1995). №6. C.681–705.
[7] Филиппов В. Т., О δ-дифференцированиях алгебр Ли // Сиб. матем. ж. 39 (1998).
№6. С.1409–1422.
[8] Филиппов В. Т., О δ-дифференцированиях первичных алгебр Ли // Сиб. матем. ж.
40 (1999). № 1. С.201–213.
[9] Филиппов В.Т.,Оδ-дифференцированияхпервичных альтернативныхимальцевских
алгебр // Алгебра и Логика. 39 (2000). № 5. С.618–625.
[10] Zusmanovich P., On δ-derivations of Lie algebras and superalgebras // J. of Algebra, 324
(2010), №12, 3470–3486. arXiv:0907.2034v2.
[11] Кайгородов И. Б., О δ-дифференцированиях простых конечномерных йордановых
супералгебр // Алгебра и Логика. 46 (2007). №5. С.585–605.
[12] Кайгородов И. Б., О δ-дифференцированиях классических супералгебр Ли // Сиб.
матем. ж. 50 (2009). №3. С.547–565.
[13] Кайгородов И. Б., О δ-супердифференцированиях простых конечномерных йордано-
вых и лиевых супералгебр // Алгебра и логика. 49 (2010). №2. С.195–215.
[14] Желябин В.Н., Кайгородов И.Б., О δ-супердифференцированиях простых суперал-
гебр йордановой скобки // Алгебра и Анализ. 23 (2011). // http://math.nsc.ru/~
kaygorodov/art/st_delta_4_rus.pdf
[15] Кайгородов И.Б., О δ-супердифференцированиях полупростых конечномерных йор-
дановых супералгебр // Математические заметки. 88 (2011). // http://math.nsc.ru/~
kaygorodov/art/st_delta_5_rus.pdf
[16] Кайгородов И. Б., О δ-дифференцированиях алгебр и супералгебр // «Проблемы
теоретической и прикладной математики», Tезисы 41-ой Всероссийской молодежной
школы-конференции 1 февраля – 5 февраля 2010 г.. C.27–33.
8