Game theory through examples

308 Pages·2014·4.564 MB·English

by  Prisner, Erich

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Game Theory
Through Examples
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c 2014bytheMathematicalAssociationofAmerica,Inc.
(cid:13)
ElectroniceditionISBN978-1-61444-115-1
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Game Theory
Through Examples
Erich Prisner
Franklin University Switzerland
PublishedandDistributedby
TheMathematicalAssociationofAmerica
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SolveThis:MathActivitiesforStudentsandClubs,JamesS.Tanton
Student Manual for Mathematics for Business Decisions Part 1: Probability and Simulation, David
Williamson,MarilouMendel,JulieTarr,andDeborahYoklic
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Williamson,MarilouMendel,JulieTarr,andDeborahYoklic
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WritingProjects for Mathematics Courses: Crushed Clowns, Cars, and Coffee to Go, Annalisa Crannell,
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Contents
Preface xvi
1 Theory1: Introduction 1
1.1 What’saGame? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Game,Play,Move: SomeDefinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 ClassificationofGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Theory2: SimultaneousGames 4
2.1 NormalForm—BimatrixDescription. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 TwoPlayers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2 TwoPlayers,Zero-sum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 ThreeorMorePlayers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.4 SymmetricGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 WhichOptiontoChoose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 MaximinMoveandSecurityLevel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 DominatedMoves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.3 BestResponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.4 NashEquilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 AdditionalTopics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 BestResponseDigraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.2 2-PlayerZero-sumSymmetricGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Project1:Reactingfastorslow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Example:SelectingaClass 19
3.1 ThreePlayers,TwoClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 “Ilikeyouboth” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 DislikingtheRival . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.3 Outsider. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 LargerCases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Project2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Project3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Project4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
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viii Contents
4 Example:DoctorLocationGames 25
4.1 DoctorLocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.1 AnExampleGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.2 No(Pure)NashEquilibrium? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.1.3 HowGoodaretheNashEquilibriaforthePublic? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Trees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 MorethanoneOffice(optional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Project5:DoctorlocationonMOPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Project6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Project7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Example:RestaurantLocationGames 34
5.1 AFirstGraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2 ASecondGraph. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3 ExistenceofPureNashEquilibria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.4 MorethanoneRestaurant(optional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 UsingExcel 42
6.1 SpreadsheetProgramslikeExcel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2 Two-PersonSimultaneousGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.3 Three-PersonSimultaneousGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Project8:SimultaneousQuatro-Uno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Project9:RestaurantLocationGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Project10:5Knights . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Project11:5Cardinals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 Example:ElectionI 47
7.1 FirstExample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.2 SecondExample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.3 TheGeneralModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.4 ThirdExample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7.5 TheEightCases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
7.6 VotingPowerIndices(optional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8 Theory3: SequentialGamesI:PerfectInformationandnoRandomness 53
8.1 ExtensiveForm: GameTreeandGameDigraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2 AnalyzingtheGame: BackwardInduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.2.1 FiniteGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.2.2 TheProcedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
8.2.3 Zermelo’sTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.3 AdditionalTopics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.3.1 RealityCheck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8.3.2 PlayingitSafe—GuaranteedPayoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.3.3 Two-personZero-sumGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
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Contents ix
8.3.4 BreakingTies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3.5 ExistingGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
8.3.6 GreedyStrategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Project12:TAKESOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Project13:WHO’sNEXT(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Project14:LISA’sGAME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Project15:2-AUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Project16:3-AUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9 Example:DividingAFewItemsI 70
9.1 GreedyStrategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.2 BackwardInduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.2.1 GameTree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.2.2 GameDigraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.2.3 Example: GameDigraphforABBAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.3 AnAbbreviatedAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9.3.1 WhyitMatters:Complexity(optional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.4 Bottom-UpAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.5 InterdependenciesbetweentheItems(optional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
10 Example:ShubikAuctionI 77
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Project17:SHUBIKAUCTION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11 Example:SequentialDoctorandRestaurantLocation 80
11.1 GeneralObservationsforSymmetricGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.2 DoctorLocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11.3 Constant-SumGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11.4 RestaurantLocation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
11.5 NashEquilibriaandFirstMoverAdvantageforSymmetricGames . . . . . . . . . . . . . . . 84
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Project18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Project19:HostileversusFriendlyPlay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
12 Theory4: Probability 86
12.1 Terminology. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
12.2 ComputingProbabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12.2.1 EquallyLikelySimpleEvents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12.2.2 SimpleEventsnotEquallyLikely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
12.3 ExpectedValue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
12.4 MultistepExperiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.4.1 ProbabilityTrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.4.2 ConditionalProbabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
12.4.3 ProbabilityDigraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.5 RandomnessinSimultaneousGames . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
12.6 CountingwithoutCounting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
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