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Fundamentos de matemática elementar ias d ez de matemática
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é uma coleção consagrada ao longo dos m n
anos por oferecer ao estudante o mais a
t o elementar
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completo conteúdo de Matemática m s
edlae mseegnutainr.t eO fos rvmoalu:mes estão organizados ática Gel Trigonometria
e
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VOLUME 1 conjuntos, funções e
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VOLUME 2 logaritmos a
r
VOLUME 3 trigonometria
sequências, matrizes,
VOLUME 4
determinantes, sistemas
combinatória,
VOLUME 5 3
probabilidade
3
complexos, polinômios,
VOLUME 6
equações
VOLUME 7 geometria analítica G
e
os volumes contêm teoria e l
s
limites, derivadas, o
VOLUME 8 exercícios de aplicação, além
noções de integral n
de uma seção de questões de ie
VOLUME 9 geometria plana vestibulares, acompanhadas de zz
i
respostas. Há ainda uma série
VOLUME 10 geometria espacial
de artigos sobre história da
matemática comercial, matemática relacionados aos
VOLUME 11 matemática financeira,
temas abordados.
estatística descritiva
na presente edição, a seção
A coleção atende a alunos do ensino
de questões de vestibulares foi
médio que procuram uma formação
atualizada, apresentando novos
mais aprofundada, estudantes em fase
testes e questões dissertativas
pré-vestibular e também universitários que
selecionados a partir dos
necessitam rever a Matemática elementar.
melhores vestibulares do país.
novAS QUESTÕES dE vESTibUlArES
CAPA_FME_3 LA.indd 1 05/08/13 12:01
GELSON IEZZI
FUNDAMENTOS
DE MATEMÁTICA
ELEMENTAR
Trigonometria
3
506 exercícios propostos
com resposta
167 questões de vestibulares
com resposta
9ª edição | São Paulo – 2013
I a VIII_iniciais_FME3.indd 1 24/07/13 16:07
© Gelson Iezzi, 2013
Copyright desta edição:
SARAIVA S.A. Livreiros Editores, São Paulo, 2013.
Rua Henrique Schaumann, 270 — Pinheiros
05413-010 — São Paulo — SP
Fone: (0xx11) 3611-3308 — Fax vendas: (0xx11) 3611-3268
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www.editorasaraiva.com.br
Todos os direitos reservados.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Iezzi, Gelson
Fundamentos de matemática elementar, 3 : trigonometria : 506 exercícios
propostos com resposta, 167 testes de vestibulares com resposta / Gelson
Iezzi. — 9. ed. — São Paulo : Atual, 2013.
ISBN 978-85-357-1684-9 (aluno)
ISBN 978-85-357-1685-6 (professor)
1. Matemática (Ensino médio) 2. Matemática (Ensino médio) — Proble-
mas e exercícios etc. 3. Matemática (Vestibular) — Testes I. Título. II. Título:
Trigonometria.
12-12852 CDD-510.7
Índice para catálogo sistemático:
1. Matemática: Ensino médio 510.7
Fundamentos de Matemática Elementar — vol. 3
Gerente editorial: Lauri Cericato
Editor: José Luiz Carvalho da Cruz
Editores-assistentes: Fernando Manenti Santos/Juracy Vespucci/Guilherme Reghin Gaspar
Auxiliares de serviços editoriais: Daniella Haidar Pacifico/Margarete Aparecida de Lima/Rafael Rabaçallo
Ramos/Vanderlei Aparecido Orso
Digitação e cotejo de originais: Guilherme Reghin Gaspar/Elillyane Kaori Kamimura
Pesquisa iconográfica: Cristina Akisino (coord.)/Enio Rodrigo Lopes
Revisão: Pedro Cunha Jr. e Lilian Semenichin (coords.)/Renata Palermo/Rhennan
Santos/Felipe Toledo
Pesquisa iconográfica: Cristina Akisino (coord.)
Gerente de arte: Nair de Medeiros Barbosa
Supervisor de arte: Antonio Roberto Bressan
Projeto gráfico: Carlos Magno
Capa: Homem de Melo & Tróia Design
Imagem de capa: Stockbyte/Getty Images
Ilustrações: Conceitograf/Mario Yoshida
Diagramação: TPG
Assessoria de arte: Maria Paula Santo Siqueira
Encarregada de produção e arte: Grace Alves
Coordenadora de editoração eletrônica: Silvia Regina E. Almeida
Produção gráfica: Robson Cacau Alves
Impressão e acabamento:
729.191.009.002
Rua Henrique Schaumann, 270 Ð Cerqueira CŽsar Ð S‹o Paulo/SP Ð 05413-909
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Apresentação
Fundamentos de Matemática Elementar é uma coleção elaborada com o objetiv o de ofere-
cer ao estudante uma visão global da Matemática, no ensino médio. De senvolvendo os programas
em geral adotados nas escolas, a coleção dirige-se aos vestibulandos, aos universitários que ne-
cessitam rever a Matemática elementar e tam bém, como é óbvio, àqueles alunos de ensino médio
cujo interesse se focaliza em ad quirir uma formação mais consistente na área de Matemática.
No desenvolvimento dos capítulos dos livros de Fundamentos procuramos seguir uma or-
dem lógica na apresentaçâo de conceitos e propriedades. Salvo algumas exce ções bem conheci-
das da Matemática elementar, as proposições e os teoremas estão sempre acompanhados das
respectivas demonstrações.
Na estruturação das séries de exercícios, buscamos sempre uma ordenação crescen te de
dificuldade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que en volvem outros
assuntos já vistos, levando o estudante a uma revisão. A sequência do tex to sugere uma dosagem
para teoria e exercícios. Os exercícios resolvidos, apresentados em meio aos propostos, preten-
dem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece. No final de cada volume, o aluno
pode encontrar as respostas para os problemas propostos e assim ter seu reforço positivo ou
partir à procura do erro cometido.
A última parte de cada volume é constituída por questões de vestibulares, selecionadas dos
melhores vestibulares do país e com respostas. Essas questões podem ser usadas para uma
revisão da matéria estudada.
Aproveitamos a oportunidade para agradecer ao professor dr. Hygino H. Domingues, autor
dos textos de história da Matemática que contribuem muito para o enriquecimento da obra.
Neste volume, em que é estudada a Trigonometria, fizemos mudanças substanciais na orde-
nação do conteúdo, procurando ser mais graduais na abordagem das quest ões de aprendizagem
complicada. O texto é desenvolvido em três níveis de profundid ade: a Trigonometria no triângulo
retângulo, a Trigonometria na circunferência e a Trigonometria no ciclo. Como é inevitável em abor-
dagens em “espiral”, ocorrem repet ições toda vez que um assunto é retomado e aprofundado;
entretanto, isto é preferível a uma abordagem prematura do assunto central do livro: as funções
circulares.
Finalmente, como há sempre uma certa distância entre o anseio dos autores e o valor de
sua obra, gostaríamos de receber dos colegas professores uma apreciação s o bre este trabalho,
notadamente os comentários críticos, os quais agradecemos.
Os autores
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Sumário
1ª PARTE: Trigonometria no triângulo retângulo ........................................ 1
CAPÍTULO I — Revisão inicial de geometria .............................................. 2
CAPÍTULO II — Razões trigonométricas no triângulo retângulo .................. 10
I. Triângulo retângulo: conceito, elementos, teorema de Pitágoras .......... 10
II. Triângulo retângulo: razões trigonométricas ........................................ 11
III. Relações entre seno, cosseno, tangente e cotangente ....................... 14
IV. Seno, cosseno, tangente e cotangente de ângulos complementares .... 15
V. Razões trigonométricas especiais ..................................................... 16
2ª PARTE: Trigonometria na circunferência ............................................... 23
CAPÍTULO III — Arcos e ângulos .............................................................. 24
I. Arcos de circunferência .................................................................... 24
II. Medidas de arcos ............................................................................ 25
III. Medidas de ângulos ......................................................................... 30
IV. Ciclo trigonométrico ......................................................................... 33
Leitura: Hiparco, Ptolomeu e a Trigonometria .............................................. 36
CAPÍTULO IV — Razões trigonométricas na circunferência ......................... 39
I. Noções gerais ................................................................................. 39
II. Seno ............................................................................................... 40
III. Cosseno .......................................................................................... 45
IV. Tangente ......................................................................................... 51
V. Cotangente ...................................................................................... 55
VI. Secante .......................................................................................... 57
VII. Cossecante ..................................................................................... 59
CAPÍTULO V — Relações fundamentais .................................................... 61
I. Introdução ....................................................................................... 61
II. Relações fundamentais .................................................................... 61
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CAPÍTULO VI — Arcos notáveis ................................................................ 72
I. Teorema .......................................................................................... 72
II. Aplicações ....................................................................................... 73
Leitura: Viète, a Notação Literal e a Trigonometria ...................................... 77
CAPÍTULO VII — Redução ao 1º quadrante ............................................... 79
I. Redução do 2º ao 1º quadrante ........................................................ 79
II. Redução do 3º ao 1º quadrante ........................................................ 80
III. Redução do 4º ao 1º quadrante ........................................................ 81
3p p4 3 p4
IV. Redução de , a 0, ............................................................ 82
4 2 4
3ª PARTE: Funções trigonométricas ......................................................... 85
CAPÍTULO VIII — Funções circulares ........................................................ 86
I. Noções básicas ............................................................................... 86
II. Funções periódicas .......................................................................... 87
III. Ciclo trigonométrico ......................................................................... 88
IV. Função seno .................................................................................... 93
V. Função cosseno ............................................................................... 103
VI. Função tangente .............................................................................. 106
VII. Função cotangente ........................................................................... 110
VIII. Função secante ............................................................................... 112
IX. Função cossecante .......................................................................... 114
X. Funções pares e funções ímpares ..................................................... 116
CAPÍTULO IX — Transformações .............................................................. 119
I. Fórmulas de adição .......................................................................... 119
II. Fórmulas de multiplicação ................................................................ 126
III. Fórmulas de divisão ......................................................................... 131
x
IV. É dada a tg .................................................................................. 135
2
V. Transformação em produto ............................................................... 136
Leitura: Fourier, o Som e a Trigonometria .................................................... 145
CAPÍTULO X — Identidades ..................................................................... 147
I. Demonstração de identidade ............................................................ 148
II. Identidades no ciclo trigonométrico ................................................... 155
CAPÍTULO XI — Equações ....................................................................... 159
I. Equações fundamentais ................................................................... 159
II. Resolução da equação sen a 5 sen b ............................................... 160
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III. Resolução da equação cos a 5 cos b ............................................... 165
IV. Resolução da equação tg a 5 tg b .................................................... 169
V. Equações clássicas ......................................................................... 172
CAPÍTULO XII — Inequações .................................................................... 182
I. Inequações fundamentais ................................................................. 182
II. Resolução de sen x . m .................................................................. 183
III. Resolução de sen x , m .................................................................. 184
IV. Resolução de cos x . m .................................................................. 186
V. Resolução de cos x , m .................................................................. 187
VI. Resolução de tg x . m ..................................................................... 191
VII. Resolução de tg x , m ..................................................................... 192
Leitura: Euler e a incorporação da trigonometria à análise ........................... 194
CAPÍTULO XIII — Funções circulares inversas .......................................... 197
I. Introdução ....................................................................................... 197
II. Função arco-seno ............................................................................. 200
III. Função arco-cosseno ........................................................................ 204
IV. Função arco-tangente ....................................................................... 207
4ª PARTE: Apêndices ............................................................................... 213
APÊNDICE A: Resolução de equações e inequações em intervalos
determinados .......................................................................................... 214
I. Resolução de equações ................................................................... 214
II. Resolução de inequações ................................................................. 220
APÊNDICE B: Trigonometria em triângulos quaisquer ................................ 226
I. Lei dos cossenos ............................................................................. 226
II. Lei dos senos .................................................................................. 229
III. Propriedades geométricas ................................................................ 236
APÊNDICE C: Resolução de triângulos ...................................................... 240
I. Triângulos retângulos ....................................................................... 240
II. Triângulos quaisquer ........................................................................ 243
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS ................................................................. 247
QUESTÕES DE VESTIBULARES ................................................................. 267
RESPOSTAS DAS QUESTÕES DE VESTIBULARES ....................................... 305
TABELA DE RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS ................................................. 309
SIGNIFICADO DAS SIGLAS DE VESTIBULARES .......................................... 311
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