Fundamentos de Calculo y Aplicaciones

361 Pages·2005·2.08 MB·Spanish

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMA´TICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS
Fundamentos de C´alculo
y Aplicaciones
Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez
Caracas, Venezuela
Septiembre 2005
Ram´on Bruzual
Correo-E: [email protected]
Marisela Dom´ınguez
Correo-E: [email protected]
Laboratorio de Formas en Grupos
Centro de An´alisis
Escuela de Matem´atica
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg
Nota: Este material est´a disponible en la p´agina web
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´eplica en un servidor externo a la Universidad Central de
Venezuela, el v´ınculo se encuentra indicado en esa misma p´agina web.
Pr´ologo
Estas notas han sido concebidas para ser utilizadas en el curso de Matem´atica III de
la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela. En este curso participan
estudiantes de las Licenciaturas en Biolog´ıa, Geoqu´ımica, Qu´ımica, Computaci´on, F´ısica y
Matem´atica.
Para los estudiantes de estas licenciaturas que no cursan paralelamente asignaturas de
´algebra y geometr´ıa se han incorporado los Cap´ıtulos 7, 10 y 11.
Los estudiantes de la Licenciatura en Matem´atica cursan paralelamente asignaturas de
´algebraygeometr´ıa, porlotantopodr´anleerm´asr´apidamenteloscap´ıtulosdedicadosaestos
temas y tendr´an la oportunidad de hacer lecturas adicionales. Estas lecturas se encuentran
a lo largo del texto y est´an dedicadas especialmente a los estudiantes que pr´oximamente se
iniciar´an en las asignaturas de An´alisis Matem´atico. Creemos que estas lecturas podr´ıan ser
optativas para los estudiantes de otras licenciaturas y por eso las hemos diferenciado.
Ofrecemos esta versi´on preliminar con la intencio´n de colaborar con el dictado de la asig-
natura y de ir recogiendo las observaciones del personal docente para mejorarla y adaptarla.
El trabajo de mecanograf´ıa y la elaboraci´on de los gr´aficos est´a a cargo de los autores.
Agradecemos cualquier observacio´n o comentario que deseen hacernos llegar.
Ram´on Bruzual.
Marisela Dom´ınguez.
Septiembre 2005.
iii

CONTENIDO
Parte 1. Ecuaciones Diferenciales. 1
Cap´ıtulo 1. Conceptos b´asicos y ecuaciones diferenciales de primer orden. 3
1. Motivaci´on. 3
2. Conceptos b´asicos 5
3. Ecuaciones con variables separables y aplicaciones. 6
4. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones con variables separables. 14
5. Ecuaci´on lineal de primer orden. 19
6. Ecuaci´on de Bernoulli. 21
7. Aplicaciones 22
Ejercicios.
Nociones b´asicas y ecuaciones diferenciales de primer orden. 29
Cap´ıtulo 2. Ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden con coeficientes constantes. 37
1. Soluci´on general de la ecuaci´on homog´enea. 37
2. Soluci´on general de la ecuaci´on no homog´enea. 39
3. Aplicaciones 43
Ejercicios.
Ecuaciones diferenciales lineales de
segundo orden con coeficientes constantes. 48
Cap´ıtulo 3. Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden. 51
1. Motivaci´on. 51
2. El m´etodo de eliminaci´on. 54
3. Competencia e interacci´on entre especies. 59
4. Las ecuaciones predador-presa de Lotka y Volterra. 63
5. Secci´on optativa: Uso del computador
para resolver y analizar ecuaciones diferenciales. 65
v
vi CONTENIDO
Ejercicios.
Sistemas de dos ecuaciones lineales de primer orden. 67
Parte 2. Sucesiones y Series Num´ericas. 69
Cap´ıtulo 4. Sucesiones num´ericas. 71
1. Definiciones y resultados b´asicos 71
2. Sucesiones convergentes. 74
3. El nu´mero e. 75
4. Sucesiones mon´otonas. 75
5. Operaciones con sucesiones 75
6. Repaso de la regla de L’Hˆopital. 76
7. L´ımite infinito 79
8. Sumas finitas y el s´ımbolo sumatorio. 81
Ejercicios.
Sucesiones. 83
Cap´ıtulo 5. Series num´ericas. 89
1. Series. 89
2. Convergencia y divergencia de series. 92
3. Criterios de convergencia para series de t´erminos positivos. 94
4. Criterios de convergencia para series de t´erminos alternadas. 100
5. Series telesc´opicas. 100
Ejercicios.
Series. 102
Cap´ıtulo 6. F´ormula de Stirling y producto de Wallis. 107
1. La f´ormula de Stirling. 107
2. El producto de Wallis. 108
Ejercicios.
F´ormula de Stirling y producto de Wallis. 111
Parte 3. Nociones de Geometr´ıa en el Plano
y en el Espacio. Curvas. 113
Cap´ıtulo 7. Nociones de geometr´ıa plana y del espacio. 115
1. El plano R2. 115
2. El espacio R3. 119
CONTENIDO vii
3. Producto escalar, norma y distancia. 121
4. Producto cruz o producto vectorial. 124
5. Rectas y planos en el espacio. 125
6. Relaciones entre subconjuntos y desigualdades sencillas 128
7. Superficies en R3. 129
8. Lectura adicional: Abiertos y cerrados. 133
9. Distintos sistemas de coordenadas en R2 y en R3. 136
Ejercicios.
Geometr´ıa plana y del espacio. 141
Cap´ıtulo 8. Curvas en el plano y en el espacio. 147
1. Motivaci´on.
Descripci´on del movimiento de un proyectil, despreciando la resistencia del aire.147
2. Curvas y trayectorias. 149
3. L´ımites y continuidad de las trayectorias. 151
4. Vector tangente a una curva. 151
5. Reparametrizaci´on. 155
6. Longitud de arco. 155
Ejercicios.
Curvas en el plano y en el espacio. 159
Cap´ıtulo 9. Integrales de l´ınea. 163
1. Definici´on y ejemplos de integrales de l´ınea. 163
2. Interpretaci´on como trabajo mec´anico. 166
3. Lectura adicional: Integrales de l´ınea sobre curvas lisas a trozos. 167
Ejercicios.
Integrales de l´ınea. 169
Parte 4. A´lgebra Lineal. 171
Cap´ıtulo 10. Matrices y Sistemas lineales. 173
1. Matrices. 173
2. Sistemas de Ecuaciones Lineales 187
3. Determinantes 194
Ejercicios.
Matrices y Sistemas lineales. 202
viii CONTENIDO
Cap´ıtulo 11. Transformaciones Lineales. 207
1. Transformaci´on lineal 207
2. Bases. 209
Ejercicios.
Transformaciones Lineales. 212
Parte 5. C´alculo Diferencial en Varias Variables. 215
Cap´ıtulo 12. Campos escalares. 217
1. Funciones de R2 en R y de R3 en R 217
2. Dominio y rango de funciones de R2 en R y de R3 en R. 218
3. Gr´afico y representacio´n gr´afica de funciones de R2 en R. 219
4. Curvas de nivel y superficies de nivel. 221
Ejercicios.
Campos escalares. 224
Cap´ıtulo 13. L´ımites de campos escalares. 225
1. L´ımite a lo largo de curvas para una funci´on de R2 en R. 225
2. L´ımite en R2. 229
3. Relaci´on entre l´ımite en R2 y l´ımite a lo largo de curvas. 230
4. L´ımites iterados 232
5. L´ımite a lo largo de curvas para una funci´on de R3 en R. 233
6. L´ımite en R3. 235
7. Relaci´on entre l´ımite en R3 y l´ımite a lo largo de una curva. 235
8. Continuidad. 236
9. Lectura adicional: Demostraciones de algunos teoremas de l´ımites. 237
10. Lectura adicional: Continuidad de la norma y del producto interno. 241
Ejercicios.
L´ımites de campos escalares. 243
Cap´ıtulo 14. Diferenciaci´on de campos escalares. 245
1. Diferenciabilidad de un campo escalar en un punto. 245
2. Derivadas parciales y direccionales. 248
3. Concepto de gradiente. 252
4. Direcci´on de m´aximo crecimiento. 254
5. Condici´on suficiente de diferenciabilidad. 255
6. Regla de la cadena. 256
CONTENIDO ix
7. Teorema fundamental del c´alculo para integrales de l´ınea. 260
8. Diferenciaci´on de funciones definidas en forma impl´ıcita. 261
Ejercicios.
Diferenciaci´on de campos escalares. 264
Cap´ıtulo 15. Plano tangente a algunas superficies. 269
1. Plano tangente a una superficie dada como un conjunto de nivel. 270
2. Plano tangente a una superficie dada como un gr´afico. 271
Ejercicios.
Plano tangente a algunas superficies. 273
Cap´ıtulo 16. Derivadas de orden superior y desarrollo de Taylor. 275
1. Derivadas de orden superior para funciones de una variable. 275
2. Derivadas de orden superior para funciones de dos variables. 276
3. Desarrollo de Taylor para funciones de una variable. 278
4. Desarrollo de Taylor para funciones de dos variables. 278
5. C´alculos aproximados y errores. 280
Ejercicios.
Derivadas de orden superior y desarrollo de Taylor. 283
Cap´ıtulo 17. M´aximos y m´ınimos. 285
1. M´aximos y m´ınimos locales. 285
2. Criterio del Hessiano en dos variables. 287
3. M´etodo de los multiplicadores de Lagrange. 292
Ejercicios.
M´aximos y m´ınimos. 297
Parte 6. C´alculo Integral en Varias Variables. 299
Cap´ıtulo 18. Integrales dobles. 301
1. El caso de una dimensi´on. 301
2. Integrales dobles sobre rect´angulos. 304
3. Integrales dobles sobre conjuntos m´as generales. 309
4. C´alculo de ´areas y volu´menes usando integrales dobles. 316
5. Cambio de coordenadas cartesianas a polares. 318
6. Lectura adicional: Justificaci´on de la f´ormula del cambio de variables para
coordenadas polares. 321
x CONTENIDO
(cid:82)
7. C´alculo de +∞e−x2dx. 322
0
Ejercicios.
Integrales dobles. 325
Cap´ıtulo 19. Integrales triples. 329
1. Definiciones y resultados b´asicos. 329
2. Cambio de coordenadas cartesianas a cil´ındricas. 331
3. Cambio de coordenadas cartesianas a esf´ericas. 332
4. Aplicaci´on a c´alculo de volu´menes. 334
Ejercicios.
Integrales triples. 339
Cap´ıtulo 20. Lectura adicional: El teorema de Green. 341
Ejercicios.
El teorema de Green. 345
Bibliograf´ıa 347
´
Indice 349