Four-Nucleon Forces in Ab Initio Nuclear Structure

185 Pages·2017·3.53 MB·English

Four-Nucleon Forces in Ab Initio Nuclear Structure
Vierteilchenkräfte in der Ab Initio Kernstrukturtheorie
VomFachbereichPhysik
derTechnischenUniversitätDarmstadt
zurErlangungdesakademischenGrades
Doctorrerumnaturalium
(Dr. rer. nat.)
genehmigteDissertationvon
StefanSchulz,M.Sc.
geboreninGießen
Referent: Prof. Dr. RobertRoth
Korreferent: Prof. Dr. Hans-WernerHammer
TagderEinreichung: 6. Februar2018
TagderPrüfung: 23. April2018
Darmstadt2018
D17
Four-NucleonForcesinAbInitioNuclearStructure
VierteilchenkräfteinderAbInitioKernstrukturtheorie
GenehmigteDissertationvonStefanSchulz,geboreninGießen.
Referent: Prof.Dr.RobertRoth
Korreferent: Prof.Dr.Hans-WernerHammer
TagderEinreichung:6.Februar2018
TagderPrüfung: 23.April2018
2018–Darmstadt–D17
DiesesDokumentwirdbereitgestelltvontuprints,
E-Publishing-ServicederTUDarmstadt
http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de
URN:urn:nbn:de:tuda-tuprints-73842
URL:http://tuprints.ulb.tu-darmstadt.de/id/eprint/7384
VeröffentlichtunterCCBY-NC-SA4.0International
Siehehttps://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0fürmehrInformationen.
Four-Nucleon Forces in Ab Initio Nuclear Structure
Abstract
Inrecentyears,therehasbeentremendousprogressintheconstructionandapplicationofnuclearinter-
actionsfromchiraleffectivefieldtheory(EFT). Today,two-andthree-nucleoninteractionsareroutinely
usedinmany-bodycalculations,reachingunprecedentedqualityintheabinitiodescriptionofnuclei. Al-
thoughfour-nucleon(4N)forceshavebeenconstructedfromchiralEFT,theyhaveneverbeeninvestigated
systematicallyinfinitenuclei.
Thisworksaimsattheinclusionofexplicit4Nforcesinmany-bodynuclearstructurecalculations. We
investigatetwodifferentinteractions,asimple4Ncontactinteractionandthecompleteleadingorderofthe
chiral4Ninteraction. Toincludetheseinteractions,wedevelopapartial-wavedecomposition(PWD)and
representthe4NinteractionsinabasisofharmonicoscillatorstatesusingJacobicoordinates. Especially
thePWDforthechiral4Ninteractionrequiressignificanteffort,muchmorethanitsthree-nucleoncoun-
terpart,andconstitutesthemainpartofthiswork. However,theendeavorisworthwhile,asitmakesthe
consistentinclusionof4Ninteractioninmany-bodycalculationspossible.
Theinclusionofthe4NcontactinteractionanditsPWDissimplerthaninthechiralcase. It,neverthe-
less,yieldsvaluableinsightsintotheeffectof4Ninteractionsinnuclearstructurecalculations. Two-and
three-bodyinteractionsfromchiralEFToftenpredictanoverbindingofnuclei,androot-mean-squareradii
aremuchsmallerthantheexperimentalresults. We,therefore,focusonground-stateenergiesandcharge
radiiwiththecontactinteraction.Ourresultsclearlyshowthattheemployedcontactinteractionisnotable
tomitigatethiseffect. Itdoeshaveasizableeffectonradii, butimprovingtheagreementofchargeradii
withexperimentyieldsunphysicalbindingenergies. Furthermore,thecontactinteractioniscomparedto
theeffectofneglectedmany-bodycontributions, whichareinducedbytransformingthetwo-andthree-
bodyinteractionsusingthesimilarityrenormalizationgroup.Theseneglectedcontributionsscalestrongly
withthenumberofnucleons,andwefindthecontactinteractiontohaveafargentlerscaling.
Forthefirsttime, wepresentground-stateenergiescalculatedusingapartial-wavedecomposedrepre-
sentationofthechiral4Ninteraction. Althoughwecannotachievemodel-spaceconvergenceduetothe
computationalcostofthePWD,ouranalysisstronglyindicatesthattheorderofmagnitudeoftheeffect
ofthe4Nforceiscorrectlyreflectedeveninsmallmodelspaces. Overall,wefindtheeffectofthechiral4N
interactiontobeextremelysmallinallinvestigatednuclei,yieldingcontributionsbelow1%ofthebinding
energyinallcasesandevensmallereffectsinlightnuclei. Weconcludethat,intheforeseeablefuture,the
chiral4Ninteractionhasnorelevanceforabinitiodescriptionsofnucleibasedontypicalchiralinteractions.
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Vierteilchenkräfte in der Ab Initio Kernstrukturtheorie
Zusammenfassung
IndenvergangenenJahrengabeserheblicheFortschrittebeiderKonstruktionundAnwendungvonKern-
kräften,dieausderchiraleneffektivenFeldtheorie(EFT)hergeleitetwerden.Unteranderemwerdenheutzu-
tageZwei-undDrei-Teilchen-KräfteroutinemäßiginVielteilchenrechnungenverwendetunddieabinitio
BeschreibungvonKerneigenschaftenistwesentlichpräzisergeworden.ObwohleineVier-Nukleonen-Wech-
selwirkung(4N-Wechselwirkung)imRahmenderchiralenEFTkonstruiertwurde,gibtesbisheutekeine
systematischeUntersuchungvonendlichenKernen,welchedieseKräftemiteinbezieht.
DieseArbeithatdieVerwendungvonexpliziten4N-WechselwirkunginKernstrukturrechnungenzum
Ziel, insbesondere die Anwendung in Vielteilchensystemen. Zum einen verwenden wir eine simple 4N-
Kontaktwechselwirkung,zumanderendiekompletteführendeOrdnungderchiralen4N-Wechselwirkung.
InbeidenFällenwirdeinePartialwellenzerlegung(PWZ)entwickelt.DerzentraleAspektdieserArbeitist
diePWZderchiralen4N-Wechselwirkung,welcheäußerstaufwendigist,insbesondereimVergleichmitder
PWZvonDrei-Teilchen-Kräften.DerhoheAufwandistaberlohnenswert,daeskonsistenteVielteilchen-
rechnungenunterEinbeziehungder4N-Wechselwirkungüberhaupterstermöglicht.
Fürdie4N-KontaktwechselwirkungistdiePWZerheblicheinfacheralsfürdiechiralenKräfte.Nichts-
destotrotzerhältmanmitdiesereinfachenKraftnützlicheEinsichtenindenEffektvon4N-Wechselwirkung
inKernstrukturrechnungen.WiruntersuchenvorallemdenEffektaufGrundzustandsenergienundLa-
dungsradien.DiesenvergleichenwirmitdemEffektvernachlässigterVielteilchenbeiträge,diedurchdieVer-
wendungderSimilarityRenormalizationGroupinduziertwerden.DieBeiträgedieserinduziertenWech-
selwirkungskalierenabersehrstarkmitderAnzahlderNukleonen,ganzimGegensatzzurverwendeten
Kontaktwechselwirkung,fürdiewireindeutlichschwächeresSkalierungsverhaltenfinden.Außerdemzei-
genschonBerechnungen,dieaufchiralenZwei-undDrei-Teilchen-Kräftenberuhen,ofteineÜberbindung
derAtomkerne,alsozukleineRadienundEnergienimVergleichmitexperimentellenDaten.Dieverwen-
deteKontaktwechselwirkungführtaberzuunphysikalischkleinenBindungsenergien,wenndieKraftstark
genugseinsollumdeutlichgrößereRadienvorherzusagen.
Im Rahmen dieser Arbeit wurden zum ersten Mal Grundzustandsenergien von Kernen mit Hilfe ei-
ner chiralen 4N-Wechselwirkung berechnet, die vorher in einzelne Partialwellen zerlegt wurde. Obwohl
wiraufgrunddeshohenRechenaufwandesderPWZkeineKonvergenzbezüglichdes4N-Modellraumser-
halten,zeigtdieAnalysesehrdeutlich,dassauchkleineModellräumedieGrößenordnungdesEffektsder
4N-Wechselwirkunggutwiedergeben.InsgesamtfindenwirnureinensehrkleinenEffektderchiralen4N-
Wechselwirkung,mitBeiträgendieimmerunterhalbvon1%derBindungsenergieliegen,wobeidieBeiträge
inleichtenKernennochdeutlichkleinersind.Deshalbwirddiechirale4N-Wechselwirkunginabsehbarer
ZukunftkeineRelevanzfürtypischeabinitioKernstrukturrechnungenhaben.
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Contents
ListofAbbreviations ix
1 Introduction 1
2 ChiralEffectiveFieldTheory 5
2.1 ChiralSymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 EffectiveLagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 EffectiveInteraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 RegularizationandRenormalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5 ChiralForces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 AngularMomentum 17
3.1 BasicConcepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 SphericalTensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 RecouplingCoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4 InteractionMatrixElements 31
4.1 JacobiHarmonicOscillatorBasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.2 Four-NucleonPartial-WaveDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 ContactInteraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4 ChiralFour-NucleonInteraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Many-BodyCalculations 57
5.1 SimilarityRenormalizationGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 JT-coupledscheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3 No-CoreShellModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.4 Hartree-FockMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
vii
6 ResultsforaFour-BodyContactInteraction 69
6.1 TheEM/N500Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
6.2 TheSMS/H500Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
7 EffectsoftheChiral4NInteraction 87
7.1 MomentumGrids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2 ModelSpaceConvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.3 InteractionClasses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4 RegulatorDependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.5 PerturbativeInclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.6 ChannelStructure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.7 FrequencyVariation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
7.8 RelevanceoftheFour-NucleonForce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8 Conclusions 113
Appendices 117
A Partial-WaveDecompositionoftheChiralFour-NucleonInteraction . . . . . . . . . . 119
B Four-NucleonExtensionofSphericalHartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
References 159
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List of Abbreviations
3N three-nucleon
4N four-nucleon
CFP coefficientoffractionalparentage
CGC Clebsch-Gordancoefficient
EFT effectivefieldtheory
GFMC Green’sfunctionMonteCarlo
HF Hartree-Fock
HO harmonicoscillator
HOB harmonicoscillatorbracket
IMSRG in-mediumsimilarityrenormalizationgroup
IT-NCSM importance-truncatedno-coreshellmodel
LEC low-energyconstant
LO leadingorder
QCD quantumchromodynamics
QED quantumelectrodynamics
NCSM no-coreshellmodel
NLO next-to-leadingorder
N2LO next-to-next-to-leadingorder
ix
NN nucleon-nucleon
PWD partial-wavedecomposition
𝜋N pion-nucleon
rms root-mean-square
SRG similarityrenormalizationgroup
UCOM unitarycorrelationoperatormethod
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