FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode

396 Pages·2003·15.9 MB·German

by  Bernd Klein (auth.)

Bernd Klein
FEM
Man sollte alles so einfach wie möglich
machen, aber nicht einfacher.
A. Einstein
Aus dem Programm--------------......
Konstruktion
Lehr-und Lernsystem
1
Roloff Matek Maschinenelemente
von D. Muhs, H. Wittel, M. Becker, D. Jannasch und J. Voßiek
Konstruieren, Gestalten, Entwerfen
von H. Hintzen, H. Laufenberg und U. Kurz
Leichtbau-Konstruktion
vonB. Klein
FEM
Grundlagen und Anwendungen
der Finite-Element-Methode
von B. Klein
CATIA V5-Praktlkum
herausgegeben von P. Köhler
CATIAV5
von S. Vajna und R. tedderbogen
ProjENGINEER Praktikum
von P. Köhler, R. Hoffmann und M. Köhler
AutoCAD - Zeichenkurs
von H.-G. Harnisch
1-DEAS Praktikum
von W. Wagner und J. Schneider
vieweg _________________ ____
Bernd Klein
FEM
Grundlagen und Anwendungen der
Finite-Element-Methode
5., verbesserte
und erweiterte Auflage
Mit 215 Abbildungen
12 Fallstudien und
19 Übungsaufgaben
IJ
v1eweg
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Bibliographie information published by Die Deutsche Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie;
detailed bibliographic data is available in the Internet at <http:// dnb.ddb.de>.
1. Auflage 1990
2., neu bearbeitete Auflage 1997
3., überarbeitete Auflage 1999
4., verbesserte und erweiterte Auflage Dezember 2000
5., verbesserte und erweiterte Auflage, Oktober 2003
Alle Rechte vorbehalten
© Springer Fachmedien Wiesbaden 2003
Ursprünglich erschienen bei Friedr. Vieweg & Sohn Verlag/GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden, 2003
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Umschlaggestaltunf: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 978-3-528-45125-7 ISBN 978-3-663-10052-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-10052-2
V
Vorwort zur 1. Auflage
Das Buch gibt den Umfang meiner Vorlesung über die Finite-Elemente-Methode wieder, die
ich seit 1987 an der Universität Kassel fiir Studenten des Maschinenbaus halte.
Mein Anliegen ist es hierbei, nicht nur Theorie zu vermitteln, sondern auch die Handhabung
der Methode im Ablauf und die Anwendung an einigen typischen Problemstellungen in der
Elastostatik, Elastodynamik und Wärmeleitung zu zeigen. Das realisierte Konzept dürfte da
mit auch fiir viele Praktiker (Berechnungsingenieure, CAE-Konstrukteure und CAD-System
beauftragte) in der Industrie von Interesse sein, da sowohl ein Gesamtüberblick gegeben wird
als auch die fiir das Verständnis benötigten mathematisch-physikalischen Zusammenhänge
dargestellt werden.
Um damit auch direkt umsetzbare Erfahrungen vermitteln zu können, stützt sich der Anwen
dungsteil auf das verbreitete kommerzielle Programmsystem ASKA, das mir seit 1987 zur
VerfUgung steht. Bei der Lösung der mit ASKA bearbeiteten Beispiele haben mich die
Mitarbeiter des Bereiches CAE der Firma IKOSS, Stuttgart, stets gut beraten.
Die Erstellung des Manuskriptes hat Frau. M. Winter übernommen, der an dieser Stelle
ebenfalls herzlich gedankt sei.
Kassel, im September 1990 B. Klein
Vorwort zur 5. Auflage
Nachdem die 4. Auflage recht schnell vergriffen war, habe ich die Chance zu einer völligen
Überarbeitung des Textes ergriffen. In einigen Kapiteln habe ich die mathematischen Dar
stellungen vereinheitlicht und teils auch Ergänzungen angebracht. Erstmals wurden neben
I-DEAS und ABAQUS auch ANSYS-Anwendungen aufgenommen. Meine Hoffnung ist da
bei, dass damit dem Praktiker der Einstieg in die FEM noch leichter gemacht wird.
Bei der Anpassung der Beispiele hat mich Herr Dipl.-Ing. Uwe Klein unterstützt. Die mühe
volle Arbeit der Texterstellung hat wieder Frau Marina Winter übernommen. Beiden sei hier
fiir bestens gedankt.
Calden bei Kassel, im August 2003 B. Klein
VI
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung. ...................................................................................................................... !
1.1 Historischer Überblick ................................ :. ................................................................ 1
1.2 Generelle Vo rgehensweise ........................................................................................... .4
1.3 Aussagesicherheit .......................................................................................................... 8
1.4 Qualitätsstandards ....................................................................................................... 10
2 Anwendungsgebiete ...................................................................................................... 11
3 Grundgleichungen der linearen Finite-Element-Methode ....................................... 13
3 .1 Matrizenrechnung ......................................................................................................... 13
3.2 Gleichungen der Elastostatik ......................................................................................... 16
3.3 Grundgleichungen der Elastodynamik .......................................................................... 23
3.4 Finites Grundgleichungssystem .................................................................................... 24
3.4.1 Variationsprinzip ................................................................................................. 24
3.4.2 Methode von Galerkin ....................................................................................... .28
4 Die Matrix-Steifigkeitsmethode ................................................................................... 31
5 Das Konzept der Finite-Element-Methode ................................................................. 38
5.1 Allgemeine Vorgehensweise ....................................................................................... 38
5.2 FE-Programmsystem ................................................................................................... 41
5.3 Mathematische Formulierung ..................................................................................... 42
5.3.1 Ebenes Stab-Element .......................................................................................... 42
5.3.2 Ebenes Dreh-Stab-E1ement ................................................................................. 47
5.3.3 Ebenes Balkenelement ........................................................................................ 50
5.4 Prinzipieller Verfahrensablauf .................................................................................... 59
5.4.1 Steifigkeitstransformation ................................................................................... 59
5.4.2 Äquivalente Knotenkräfte ................................................................................... 63
5.4.3 Zusammenbau und Randbedingungen ................................................................ 65
5.4.4 Sonderrandbedingungen ...................................................................................... 69
5.4.5 Lösung des Gleichungssystems ........................................................................... 71
5.4.6 Berechnung der Spannungen ............................................................................... 78
5.4. 7 Systematische Problembehandlung ..................................................................... 79
6 Wahl der Ansatzfunktionen ......................................................................................... 86
7 Elementkatalog für elastostatische Probleme ............................................................. 90
7.1 3D-Balken-Element. .................................................................................................... 90
7.2 Scheibenelemente ........................................................................................................ 94
7.2.1 Belastungs-und Beanspruchungszustand ........................................................... 94
7.2.2 Dreieck-Element ................................................................................................. 95
7 .2.3 Flächenkoordinaten ........................................................................................... 10 2
7.2.4 Erweiterungen des Dreieck-Elements ............................................................... 107
7 .2.5 Rechteck-Element ............................................................................................. 108
7 .2.6 Konvergenz Balken-Scheiben-Elemente ........................................................... 116
7.2.7 Exkurs Schubverformung ................................................................................. 117
Inhaltsverzeichnis VII
7.2.8 Viereck-Element ............................................................................................... 122
7.2.9 Isoparametrische Elemente ............................................................................... 126
7.2.10 Numerische Integration ..................................................................................... l31
7.3 Platten-Elemente ....................................................................................................... 136
7.3 .I Belastungs-und Beanspruchungszustand ......................................................... 136
7.3 .2 Problematik der Plattenelemente ...................................................................... 140
7.3.3 Rechteck-Platten-Element ................................................................................. 143
7.3.4 Dreieck-Platten-Element ................................................................................... 149
7.3 .5 Konvergenz ....................................................................................................... 150
7.3.6 Schubverformung am Plattenstreifen ................................................................ 152
7.3.7 Beulproblematik ................................................................................................ 153
7.4 Schalen-Elemente ...................................................................................................... 162
7.5 Volumen-Elemente ................................................................................................... 167
7.6 Kreisring-Element ....................................................................................................... 172
8 Kontaktprobleme ........................................................................................................ 179
8.1 Problembeschreibung ................................................................................................ 179
8.2 Einfache Lösungsmethode fiir Kontaktprobleme ...................................................... 181
8.3 Lösung zweidimensionaler Kontaktprobleme ........................................................... l85
8.3.1 Iterative Lösung nichtlinearer Probleme ohne Kontakt .................................... 185
8.3 .2 Iterative Lösung mit Kontakt ............................................................................ 186
9 FEM-Ansatz für dynamische Probleme .................................................................... 200
9.1 Virtuelle Arbeit in der Dynamik ............................................................................... 200
9.2 Elementmassenmatrizen ............................................................................................ 202
9.2.1 3D-Balken-Element. ......................................................................................... .203
9.2.2 Endmassenwirkung ........................................................................................... 206
9.2.3 Dreieck-Scheibenelement ................................................................................. 207
9.3 Dämpfungsmatrizen .................................................................................................. 21 0
9.4 Eigenschwingungen ungedämpfter Systeme ............................................................. 211
9 .4.1 Gleichungssystem ............................................................................................. 211
9.4.2 Numerische Ermittlung der Eigenwerte ............................................................ 219
9.4.3 Statische Reduktion nach Guyan ...................................................................... 220
9.5 Freie Schwingungen .................................................................................................. 225
9.6 Erzwungene Schwingungen ...................................................................................... 227
9.7 Beliebige Anregungsfunktion ................................................................................... 233
9.8 Lösung der Bewegungsgleichung ............................................................................. 235
10 Grundgleichungen der nichtlinearen Finite-Element-Methode ............................. 242
10.1 Lösungsprinzipien fiir nichtlineare Aufgaben ....................................................... 242
10.2 Nichtlineares Elastizitätsverhalten ........................................................................ 245
10.3 Plastizität ............................................................................................................... 248
I 0.4 Geometrische Nichtlinearität ................................................................................ 252
10.5 Instabilitätsprobleme ............................................................................................. 254
11 FEM-Ansatz für Wärmeübertragungsprobleme ..................................................... 261
11.1 Physikalische Grundlagen ..................................................................................... 261
11.2 Diskretisierte Wärmeleitungsgleichung ................................................................ 266
11.3 Lösungsverfahren .................................................................................................. 268
VIII Inhaltsverzeichnis
11.4 Thermisch-stationäre strukturmechanische Berechnung ...................................... 270
11.5 Thermisch-transiente strukturmechanische Berechnung ...................................... 271
12 Grundregeln der FEM-Anwendung .... :. .................................................................... 274
12.1 Fehlerquellen ......................................................................................................... 274
12.2 Elementierung und Vemetzung ............................................................................. 275
12.3 Netzaufbau ............................................................................................................ 279
12.4 Bandbreiten-Optimierung ..................................................................................... 283
12.5 Genauigkeit der Ergebnisse ................................................................................... 286
12.6 Qualitätssicherung ................................................................................................. 288
13 Die Optimierungsproblematik ................................................................................... 290
13.1 Formulierung einer Optimierungsaufgabe ............................................................ 290
13.2 Variation der Parameter ........................................................................................ 291
13.3 Bionische Strategie ................................................................................................ 293
13.4 Selektive Kräftepfadoptiinierung .......................................................................... 296
Fallstudie l: zu Kapitel4 Matrix-Steifigkeitsmethode .......................................................... 300
Fallstudie 2: zu Kapitel 5 Konzept der FEM I Allgemeine Vorgehensweise ........................ .302
Fallstudie 3: zu KapitelS Konzept der FEM I Schiefo Randbedingungen ........................... .307
Fallstudie 4: zu Kapitel 5 Konzept der FEM I Durchdringung ............................................ .308
Fallstudie 5: zu Kapitel 7 Anwendung von Schalen-Eiementen ............................................ 3l 0
Fallstudie 6: zu Kapitel 7.5 Anwendung von Volumen-Elementen I Mapped meshing ........ .312
Fallstudie 7: zu Kapitel 7.5 Anwendung der Volumen-Elemente I Free meshing ................. 314
Fallstudie 8: zu Kapitel 9 Dynamische Probleme ................................................................. 317
Fallstudie 9: zu Kapitel 9.6 Erzwungene Schwingungen ...................................................... 320
Fallstudie 10: zu KapitellO Materialnichtlinearität ............................................................ 325
Fallstudie 11: zu Kapitel 10.4 Geometrische Nichtlinearität ............................................... 328
Fallstudie 12: zu Kapitell! Wärmeleitungsprobleme .......................................................... 331
Übungsaufgabe 4.1 .............................................................................................................. 335
Übungsaufgabe 5.1 .............................................................................................................. 336
Übungsaufgabe 5.2 .............................................................................................................. 337
Übungsaufgabe 5.3 .............................................................................................................. 339
Übungsaufgabe 5.4 .............................................................................................................. 341
Übungsaufgabe 5.5 .............................................................................................................. 343
Übungsaufgabe 5.6 .............................................................................................................. 346
Übungsaufgabe 5.7 .............................................................................................................. 347
Übungsaufgabe 5.8 .............................................................................................................. 350
Übungsaufgabe 6.1 .............................................................................................................. 351
Übungsaufgabe 7 .1 .............................................................................................................. 3 52
Übungsaufgabe 7.2 .............................................................................................................. 353
Übungsaufgabe 9.1 .............................................................................................................. 354
Übungsaufgabe 9.2 .............................................................................................................. 355
Übungsaufgabe 9.3 .............................................................................................................. 356
Übungsaufgabe 9.5 .............................................................................................................. 357
Übungsaufgabe 10.4 .............................................................................................................. 358
Übungsaufgabe 11.1 .............................................................................................................. 359
Inhaltsverzeichnis IX
Übungsaufgabe 11.2 .............................................................................................................. 360
Mathematischer Anhang ...................................................................................................... 361
Checkliste einer FE-Berechnung ........................................................................................... 370
Literaturverzeichnis ............................................................................................................... 37 2
Sachwortverzeichnis ............................................................................................................. 377