Table Of Content

Operator Theory: Advances and Applications Vol. 178 Editor: I. Gohberg Editorial Office: H. G. Kaper (Argonne) School of Mathematical S. T. Kuroda (Tokyo) Sciences P. Lancaster (Calgary) Tel Aviv University L. E. Lerer (Haifa) B. Mityagin (Columbus) Ramat Aviv, Israel V. Olshevsky (Storrs) M. Putinar (Santa Barbara) Editorial Board: L. Rodman (Williamsburg) D. Alpay (Beer-Sheva) J. Rovnyak (Charlottesville) J. Arazy (Haifa) D. E. Sarason (Berkeley) A. Atzmon (Tel Aviv) I. M. Spitkovsky (Williamsburg) J. A. Ball (Blacksburg) S. Treil (Providence) A. Ben-Artzi (Tel Aviv) H. Upmeier (Marburg) H. Bercovici (Bloomington) S. M. Verduyn Lunel (Leiden) D. Voiculescu (Berkeley) A. Böttcher (Chemnitz) D. Xia (Nashville) K. Clancey (Athens, USA) D. Yafaev (Rennes) L. A. Coburn (Buffalo) R. E. Curto (Iowa City) Honorary and Advisory K. R. Davidson (Waterloo, Ontario) Editorial Board: R. G. Douglas (College Station) C. Foias (Bloomington) A. Dijksma (Groningen) T. Kailath (Stanford) H. Dym (Rehovot) H. Langer (Vienna) P. A. Fuhrmann (Beer Sheva) P. D. Lax (New York) B. Gramsch (Mainz) H. Widom (Santa Cruz) J. A. Helton (La Jolla) M. A. Kaashoek (Amsterdam) Subseries Joseph A. Ball Linear Operators and Department of Mathematics Linear Systems Virginia Tech Blacksburg, VA 24061 Subseries editors: USA Daniel Alpay André M.C. Ran Department of Mathematics Division of Mathematics and Ben Gurion University of the Negev Computer Science Beer Sheva 84105 Faculty of Sciences Israellbeverio Vrije Universiteit Universität Bonn NL-1081 HV Amsterdam Germany The Netherlands Factorization of Matrix and Operator Functions: The State Space Method Harm Bart Israel Gohberg Marinus A. Kaashoek André C.M. Ran Birkhäuser Basel . Boston . Berlin Authors: Harm Bart (cid:44)(cid:86)(cid:85)(cid:68)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:42)(cid:82)(cid:75)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:74) Econometrisch Instituut School of Mathematical Sciences Erasmus Universiteit Rotterdam (cid:53)(cid:68)(cid:92)(cid:80)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:54)(cid:68)(cid:70)(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:85) Postbus 1738 (cid:41)(cid:68)(cid:70)(cid:88)(cid:79)(cid:87)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:40)(cid:91)(cid:68)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:86) 3000 DR Rotterdam (cid:55)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:36)(cid:89)(cid:76)(cid:89)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:92) The Netherlands (cid:53)(cid:68)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:36)(cid:89)(cid:76)(cid:89)(cid:3)(cid:25)(cid:28)(cid:28)(cid:26)(cid:27) e-mail: [email protected] Israel (cid:72)(cid:16)(cid:80)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:29)(cid:3)(cid:74)(cid:82)(cid:75)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:74)(cid:35)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:17)(cid:87)(cid:68)(cid:88)(cid:17)(cid:68)(cid:70)(cid:17)(cid:76)(cid:79) André C.M. Ran (cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:88)(cid:86)(cid:3)(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:46)(cid:68)(cid:68)(cid:86)(cid:75)(cid:82)(cid:72)(cid:78) Department of Mathematics, FEW Department of Mathematics, FEW Vrije Universiteit Amsterdam Vrije Universiteit De Boelelaan 1081a De Boelelaan 1081A 1081 HV Amsterdam NL-1081 HV Amsterdam The Netherlands The Netherlands e-mail: [email protected] (cid:72)(cid:16)(cid:80)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:29)(cid:3)(cid:80)(cid:17)(cid:68)(cid:17)(cid:78)(cid:68)(cid:68)(cid:86)(cid:75)(cid:82)(cid:72)(cid:78)(cid:35)(cid:73)(cid:72)(cid:90)(cid:17)(cid:89)(cid:88)(cid:17)(cid:81)(cid:79) (cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:23)(cid:27)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:25)(cid:27)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:37)(cid:22)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:21)(cid:25)(cid:38)(cid:20)(cid:24)(cid:30)(cid:3) (cid:86)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:20)(cid:24)(cid:36)(cid:21)(cid:20)(cid:15)(cid:3)(cid:20)(cid:24)(cid:36)(cid:21)(cid:23)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:19)(cid:42)(cid:22)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:25)(cid:21)(cid:15)(cid:3)(cid:28)(cid:19)(cid:37)(cid:22)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:28)(cid:22)(cid:37)(cid:21)(cid:27) (cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:87)(cid:85)(cid:82)(cid:79)(cid:3)(cid:49)(cid:88)(cid:80)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:29)(cid:3)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:26)(cid:28)(cid:22)(cid:22)(cid:28)(cid:20)(cid:20) (cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78) (cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:191)(cid:72)(cid:30)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:72)(cid:71)(cid:3) (cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:44)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:87)(cid:3)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:31)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:71)(cid:81)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:71)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:17) (cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:25)(cid:26)(cid:16)(cid:23)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:3)(cid:36)(cid:42)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:16)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:16)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81) (cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3) (cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3) (cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:69)(cid:85)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:70)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:85)(cid:82)(cid:191)(cid:79)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:90)(cid:68)(cid:92)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3) (cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:69)(cid:68)(cid:81)(cid:78)(cid:86)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:78)(cid:76)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:80)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:3)(cid:69)(cid:72) obtained. (cid:139)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:27)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:3)(cid:36)(cid:42)(cid:15)(cid:3)(cid:51)(cid:17)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:91)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:43)(cid:16)(cid:23)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71) (cid:51)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:14)(cid:37)(cid:88)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:48)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:68) (cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:70)(cid:76)(cid:71)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:79)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:79)(cid:83)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:38)(cid:41)(cid:3)(cid:146) (cid:38)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:93)(cid:3)(cid:43)(cid:76)(cid:79)(cid:87)(cid:69)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79) (cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3) (cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:25)(cid:26)(cid:16)(cid:23)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:25)(cid:27)(cid:16)(cid:20) (cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:3)(cid:25)(cid:3)(cid:24)(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:21)(cid:3)(cid:20)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:69)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:70)(cid:75) Dedicated to the memory of Moshe Livsic the founding father of the characteristic function in operator theory Contents Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi 0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Part I Motivating Problems, Systems and Realizations 1 Motivating Problems 1.1 Linear time invariant systems and cascade connection . . . . . . . 7 1.2 Characteristic operator functions and invariant subspaces (1) . . . 11 1.3 Characteristic operator functions and invariant subspaces (2) . . . 14 1.4 Factorization of monic matrix polynomials . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Wiener-Hopf integral operators and factorization . . . . . . . . . . 18 1.6 Block Toeplitz equations and factorization . . . . . . . . . . . . . . 21 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Operator Nodes, Systems, and Operations on Systems 2.1 Operator nodes, systems and transfer functions . . . . . . . . . . . 25 2.2 Inversion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Factorization and matching of invariant subspaces . . . . . . . . . 32 2.5 Factorization and inversionrevisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Various Classes of Systems 3.1 Brodskii systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Kreˇın systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Unitary systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.4 Monic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5 Polynomial systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.6 Mo¨bius transformation of systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 viii Contents 4 Realization and Linearization of Operator Functions 4.1 Realization of rational operator functions . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 Realization of analytic operator functions . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3 Linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.4 Linearization and Schur complements . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5 Factorization and Riccati Equations 5.1 Angular subspaces and angular operators . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Angular subspaces and the algebraic Riccati equation . . . . . . . 79 5.3 Angular operators and factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4 Angular spectral subspaces and the algebraic Riccati equation . . . 86 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6 Canonical Factorization and Applications 6.1 Canonical factorization of rational matrix functions . . . . . . . . . 89 6.2 Application to Wiener-Hopf integral equations . . . . . . . . . . . 92 6.3 Application to block Toeplitz operators . . . . . . . . . . . . . . . 97 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Part II Minimal Realization and Minimal Factorization 7 Minimal Systems 7.1 Minimality of systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 7.2 Controllability and observability for finite-dimensional systems . . 109 7.3 Minimality for finite-dimensional systems . . . . . . . . . . . . . . 112 7.4 Minimality for Hilbert space systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.5 Minimality in special cases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.5.1 Brodskii systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.5.2 Kreˇın systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.5.3 Unitary systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.5.4 Monic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.5.5 Polynomialsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8 Minimal Realizations and Pole-ZeroStructure 8.1 Zero data and Jordan chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 8.2 Pole data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.3 Minimal realizations in terms of zero or pole data . . . . . . . . . . 145 8.4 Local degree and local minimality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 8.5 McMillan degree and minimality of systems . . . . . . . . . . . . . 160 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Contents ix 9 Minimal Factorization of Rational Matrix Functions 9.1 Minimal factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 9.2 Pseudo-canonicalfactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9.3 Minimal factorization in a singular case . . . . . . . . . . . . . . . 172 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Part III Degree One Factors, Companion Based Rational Matrix Functions, and Job Scheduling 10 Factorization into Degree One Factors 10.1 Simultaneous reduction to complementary triangular forms . . . . 184 10.2 Factorization into elementary factors and realization . . . . . . . . 188 10.3 Complete factorization (general) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 10.4 Quasicomplete factorization (general) . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 11 Complete Factorization of Companion Based Matrix Functions 11.1 Companion matrices: preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 11.2 Simultaneous reduction to complementary triangular forms . . . . 216 11.3 Preliminaries about companion based matrix functions . . . . . . . 231 11.4 Companion based matrix functions: poles and zeros. . . . . . . . . 234 11.5 Complete factorization (companion based) . . . . . . . . . . . . . . 244 11.6 Maple procedures for calculating complete factorizations . . . . . . 246 11.6.1 Maple environment and procedures . . . . . . . . . . . . . . 247 11.6.2 Poles, zeros and orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 11.6.3 Triangularizationroutines (complete) . . . . . . . . . . . . 251 11.6.4 Factorization procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 11.6.5 Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 11.7 Appendix: invariant subspaces of companion matrices . . . . . . . 260 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 12 Quasicomplete Factorization and Job Scheduling 12.1 A combinatorial lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 12.2 Quasicomplete factorization (companion based) . . . . . . . . . . . 272 12.3 A review of the two machine flow shop problem . . . . . . . . . . . 288 12.4 Quasicomplete factorization and the 2MSFP. . . . . . . . . . . . . 293 12.5 Maple procedures for quasicomplete factorizations . . . . . . . . . 301 12.5.1 Maple environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 12.5.2 Triangularizationroutines (quasicomplete) . . . . . . . . . 303 12.5.3 Transformations into upper triangular form . . . . . . . . . 307 12.5.4 Transformationinto complementary triangular forms . . . 308 x Contents 12.5.5 An example: symbolic and quasicomplete . . . . . . . . . . 309 12.5.6 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 Part IV Stability of Factorization and of Invariant Subspaces 13 Stability of Spectral Divisors 13.1 Examples and first results for the finite-dimensional case . . . . . . 319 13.2 Opening between subspaces and angular operators . . . . . . . . . 322 13.3 Stability of spectral divisors of systems . . . . . . . . . . . . . . . . 327 13.4 Applications to transfer functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 13.5 Applications to Riccati equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 14 Stability of Divisors 14.1 Stable invariant subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 14.2 Lipschitz stable invariant subspaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 14.3 Stable minimal factorizations of rational matrix functions . . . . . 348 14.4 Stable complete factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 14.5 Stable factorizations of monic matrix polynomials. . . . . . . . . . 356 14.6 Stable solutions of the operator Riccati equation . . . . . . . . . . 359 14.7 Stability of stable factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 14.8 Isolated factorizations and related topics . . . . . . . . . . . . . . . 363 14.8.1 Isolated invariant subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 14.8.2 Isolated chains of invariant subspaces . . . . . . . . . . . . 366 14.8.3 Isolated factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 14.8.4 Isolated solutions of the Riccati equation . . . . . . . . . . 372 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 15 Factorization of Real Matrix Functions 15.1 Real matrix functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 15.2 Real monic matrix polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 15.3 Stable and isolated invariant subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . 379 15.4 Stable and isolated real factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . 385 15.5 Stability of stable real factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 Preface Thepresentbookdealswithvarioustypesoffactorizationproblemsformatrixand operatorfunctions.Theproblemsappearindifferentareasofmathematicsandits applications. A unified approach to treat them is developed. The main theorems yieldexplicitnecessaryandsufficientconditionsforthefactorizationstoexistand explicit formulas for the corresponding factors. Stability of the factors relative to a small perturbation of the original function is also studied in this book. Theunifying theorydevelopedinthe bookis basedonageometricapproach which has its origins in different fields. A number of initial steps can be found in: (1) the theory of non-selfadjoint operators, where the study of invariant subspaces of an operator is related to factorization of the characteristic matrix or operator function of the operator involved, (2) mathematical systems theoryand electricalnetworktheory,where a cascade decomposition ofan input-output systemor a network is relatedto a factorization of the associated transfer function, and (3) thefactorizationtheoryofmatrixpolynomialsintermsofinvariantsubspaces of a corresponding linearization. In all three cases a state space representation of the function to be factored is used,and the factors areexpressedin state spaceform too.We call this approach thestatespace method.Ithasalargenumberofapplications.Forinstance,besides theareasreferredtoabove,Wiener-Hopffactorizationsofsomeclassesofsymbols can also be treated by the state space method. The present book is the second book which is devoted to the state space factorizationtheory.Thefirstwaspublishedin1979asthemonographbyH.Bart, I. Gohberg and M.A. Kaashoek, “Minimal factorization of matrix and operator functions,” Operator Theory: Advances and Applications 1, Birkhaüser Verlag. This 1979 book appeared very soon after the first main results were obtained. In fact, some of these results where published in the 1979 book for the first time. This second book, which is written by the authors of the first book jointly with A.C.M. Ran, consists of four parts. Parts I, II and IV contain a substantial selection from the first book, in a reorganized and updated form. Part III, which coversmorethanaquarterofthebook,is entirelynew.Thisthirdpartisdevoted