Table Of ContentOperator Theory: Advances and Applications
Vol. 178
Editor:
I. Gohberg
Editorial Office: H. G. Kaper (Argonne)
School of Mathematical S. T. Kuroda (Tokyo)
Sciences P. Lancaster (Calgary)
Tel Aviv University L. E. Lerer (Haifa)
B. Mityagin (Columbus)
Ramat Aviv, Israel
V. Olshevsky (Storrs)
M. Putinar (Santa Barbara)
Editorial Board:
L. Rodman (Williamsburg)
D. Alpay (Beer-Sheva) J. Rovnyak (Charlottesville)
J. Arazy (Haifa) D. E. Sarason (Berkeley)
A. Atzmon (Tel Aviv) I. M. Spitkovsky (Williamsburg)
J. A. Ball (Blacksburg) S. Treil (Providence)
A. Ben-Artzi (Tel Aviv) H. Upmeier (Marburg)
H. Bercovici (Bloomington) S. M. Verduyn Lunel (Leiden)
D. Voiculescu (Berkeley)
A. Böttcher (Chemnitz)
D. Xia (Nashville)
K. Clancey (Athens, USA)
D. Yafaev (Rennes)
L. A. Coburn (Buffalo)
R. E. Curto (Iowa City)
Honorary and Advisory
K. R. Davidson (Waterloo, Ontario)
Editorial Board:
R. G. Douglas (College Station)
C. Foias (Bloomington)
A. Dijksma (Groningen)
T. Kailath (Stanford)
H. Dym (Rehovot)
H. Langer (Vienna)
P. A. Fuhrmann (Beer Sheva)
P. D. Lax (New York)
B. Gramsch (Mainz)
H. Widom (Santa Cruz)
J. A. Helton (La Jolla)
M. A. Kaashoek (Amsterdam)
Subseries Joseph A. Ball
Linear Operators and Department of Mathematics
Linear Systems Virginia Tech
Blacksburg, VA 24061
Subseries editors: USA
Daniel Alpay André M.C. Ran
Department of Mathematics Division of Mathematics and
Ben Gurion University of the Negev Computer Science
Beer Sheva 84105 Faculty of Sciences
Israellbeverio Vrije Universiteit
Universität Bonn NL-1081 HV Amsterdam
Germany The Netherlands
Factorization of Matrix
and Operator Functions:
The State Space Method
Harm Bart
Israel Gohberg
Marinus A. Kaashoek
André C.M. Ran
Birkhäuser
Basel . Boston . Berlin
Authors:
Harm Bart (cid:44)(cid:86)(cid:85)(cid:68)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:42)(cid:82)(cid:75)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:74)
Econometrisch Instituut School of Mathematical Sciences
Erasmus Universiteit Rotterdam (cid:53)(cid:68)(cid:92)(cid:80)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:54)(cid:68)(cid:70)(cid:78)(cid:79)(cid:72)(cid:85)
Postbus 1738 (cid:41)(cid:68)(cid:70)(cid:88)(cid:79)(cid:87)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:40)(cid:91)(cid:68)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:86)
3000 DR Rotterdam (cid:55)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:36)(cid:89)(cid:76)(cid:89)(cid:3)(cid:56)(cid:81)(cid:76)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:86)(cid:76)(cid:87)(cid:92)
The Netherlands (cid:53)(cid:68)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:36)(cid:89)(cid:76)(cid:89)(cid:3)(cid:25)(cid:28)(cid:28)(cid:26)(cid:27)
e-mail: bart@few.eur.nl Israel
(cid:72)(cid:16)(cid:80)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:29)(cid:3)(cid:74)(cid:82)(cid:75)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:74)(cid:35)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:17)(cid:87)(cid:68)(cid:88)(cid:17)(cid:68)(cid:70)(cid:17)(cid:76)(cid:79)
André C.M. Ran (cid:48)(cid:68)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:88)(cid:86)(cid:3)(cid:36)(cid:17)(cid:3)(cid:46)(cid:68)(cid:68)(cid:86)(cid:75)(cid:82)(cid:72)(cid:78)
Department of Mathematics, FEW Department of Mathematics, FEW
Vrije Universiteit Amsterdam Vrije Universiteit
De Boelelaan 1081a De Boelelaan 1081A
1081 HV Amsterdam NL-1081 HV Amsterdam
The Netherlands The Netherlands
e-mail: ACM.Ran@few.vu.nl (cid:72)(cid:16)(cid:80)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:29)(cid:3)(cid:80)(cid:17)(cid:68)(cid:17)(cid:78)(cid:68)(cid:68)(cid:86)(cid:75)(cid:82)(cid:72)(cid:78)(cid:35)(cid:73)(cid:72)(cid:90)(cid:17)(cid:89)(cid:88)(cid:17)(cid:81)(cid:79)
(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:19)(cid:3)(cid:48)(cid:68)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:70)(cid:86)(cid:3)(cid:54)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:38)(cid:79)(cid:68)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:80)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:23)(cid:27)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:25)(cid:27)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:37)(cid:22)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:21)(cid:25)(cid:38)(cid:20)(cid:24)(cid:30)(cid:3)
(cid:86)(cid:72)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:71)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:20)(cid:24)(cid:36)(cid:21)(cid:20)(cid:15)(cid:3)(cid:20)(cid:24)(cid:36)(cid:21)(cid:23)(cid:15)(cid:3)(cid:22)(cid:19)(cid:42)(cid:22)(cid:19)(cid:15)(cid:3)(cid:23)(cid:26)(cid:36)(cid:25)(cid:21)(cid:15)(cid:3)(cid:28)(cid:19)(cid:37)(cid:22)(cid:24)(cid:15)(cid:3)(cid:28)(cid:22)(cid:37)(cid:21)(cid:27)
(cid:47)(cid:76)(cid:69)(cid:85)(cid:68)(cid:85)(cid:92)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:74)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:38)(cid:82)(cid:81)(cid:87)(cid:85)(cid:82)(cid:79)(cid:3)(cid:49)(cid:88)(cid:80)(cid:69)(cid:72)(cid:85)(cid:29)(cid:3)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:26)(cid:28)(cid:22)(cid:22)(cid:28)(cid:20)(cid:20)
(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:73)(cid:82)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:75)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:69)(cid:92)(cid:3)(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)
(cid:39)(cid:76)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:78)(cid:3)(cid:79)(cid:76)(cid:86)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:70)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:39)(cid:72)(cid:88)(cid:87)(cid:86)(cid:70)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:49)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:68)(cid:79)(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:191)(cid:72)(cid:30)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:87)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:72)(cid:71)(cid:3)
(cid:69)(cid:76)(cid:69)(cid:79)(cid:76)(cid:82)(cid:74)(cid:85)(cid:68)(cid:83)(cid:75)(cid:76)(cid:70)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:89)(cid:68)(cid:76)(cid:79)(cid:68)(cid:69)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:44)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:87)(cid:3)(cid:68)(cid:87)(cid:3)(cid:31)(cid:75)(cid:87)(cid:87)(cid:83)(cid:29)(cid:18)(cid:18)(cid:71)(cid:81)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:71)(cid:69)(cid:17)(cid:71)(cid:72)(cid:33)(cid:17)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:25)(cid:26)(cid:16)(cid:23)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:3)(cid:36)(cid:42)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:3)(cid:16)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:16)(cid:3)(cid:37)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:76)(cid:81)
(cid:55)(cid:75)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:90)(cid:82)(cid:85)(cid:78)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:86)(cid:88)(cid:69)(cid:77)(cid:72)(cid:70)(cid:87)(cid:3)(cid:87)(cid:82)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:17)(cid:3)(cid:36)(cid:79)(cid:79)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:68)(cid:85)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:89)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:72)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:90)(cid:75)(cid:82)(cid:79)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)
(cid:80)(cid:68)(cid:87)(cid:72)(cid:85)(cid:76)(cid:68)(cid:79)(cid:3)(cid:76)(cid:86)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:85)(cid:81)(cid:72)(cid:71)(cid:15)(cid:3)(cid:86)(cid:83)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:191)(cid:70)(cid:68)(cid:79)(cid:79)(cid:92)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:81)(cid:86)(cid:79)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:16)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)
(cid:76)(cid:79)(cid:79)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:85)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:70)(cid:76)(cid:87)(cid:68)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:15)(cid:3)(cid:69)(cid:85)(cid:82)(cid:68)(cid:71)(cid:70)(cid:68)(cid:86)(cid:87)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:15)(cid:3)(cid:85)(cid:72)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:87)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:80)(cid:76)(cid:70)(cid:85)(cid:82)(cid:191)(cid:79)(cid:80)(cid:86)(cid:3)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:90)(cid:68)(cid:92)(cid:86)(cid:15)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:71)(cid:3)
(cid:86)(cid:87)(cid:82)(cid:85)(cid:68)(cid:74)(cid:72)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:71)(cid:68)(cid:87)(cid:68)(cid:3)(cid:69)(cid:68)(cid:81)(cid:78)(cid:86)(cid:17)(cid:3)(cid:41)(cid:82)(cid:85)(cid:3)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)(cid:78)(cid:76)(cid:81)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:76)(cid:86)(cid:86)(cid:76)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:87)(cid:75)(cid:72)(cid:3)(cid:70)(cid:82)(cid:83)(cid:92)(cid:85)(cid:76)(cid:74)(cid:75)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:90)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:80)(cid:88)(cid:86)(cid:87)(cid:3)(cid:69)(cid:72)
obtained.
(cid:139)(cid:3)(cid:21)(cid:19)(cid:19)(cid:27)(cid:3)(cid:37)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:108)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:57)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:74)(cid:3)(cid:36)(cid:42)(cid:15)(cid:3)(cid:51)(cid:17)(cid:50)(cid:17)(cid:3)(cid:37)(cid:82)(cid:91)(cid:3)(cid:20)(cid:22)(cid:22)(cid:15)(cid:3)(cid:38)(cid:43)(cid:16)(cid:23)(cid:19)(cid:20)(cid:19)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)(cid:15)(cid:3)(cid:54)(cid:90)(cid:76)(cid:87)(cid:93)(cid:72)(cid:85)(cid:79)(cid:68)(cid:81)(cid:71)
(cid:51)(cid:68)(cid:85)(cid:87)(cid:3)(cid:82)(cid:73)(cid:3)(cid:54)(cid:83)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:74)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:54)(cid:70)(cid:76)(cid:72)(cid:81)(cid:70)(cid:72)(cid:14)(cid:37)(cid:88)(cid:86)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:86)(cid:86)(cid:3)(cid:48)(cid:72)(cid:71)(cid:76)(cid:68)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:82)(cid:81)(cid:3)(cid:68)(cid:70)(cid:76)(cid:71)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:68)(cid:83)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:83)(cid:85)(cid:82)(cid:71)(cid:88)(cid:70)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:73)(cid:85)(cid:82)(cid:80)(cid:3)(cid:70)(cid:75)(cid:79)(cid:82)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:72)(cid:16)(cid:73)(cid:85)(cid:72)(cid:72)(cid:3)(cid:83)(cid:88)(cid:79)(cid:83)(cid:17)(cid:3)(cid:55)(cid:38)(cid:41)(cid:3)(cid:146)
(cid:38)(cid:82)(cid:89)(cid:72)(cid:85)(cid:3)(cid:71)(cid:72)(cid:86)(cid:76)(cid:74)(cid:81)(cid:29)(cid:3)(cid:43)(cid:72)(cid:76)(cid:81)(cid:93)(cid:3)(cid:43)(cid:76)(cid:79)(cid:87)(cid:69)(cid:85)(cid:88)(cid:81)(cid:81)(cid:72)(cid:85)(cid:15)(cid:3)(cid:37)(cid:68)(cid:86)(cid:72)(cid:79)
(cid:51)(cid:85)(cid:76)(cid:81)(cid:87)(cid:72)(cid:71)(cid:3)(cid:76)(cid:81)(cid:3)(cid:42)(cid:72)(cid:85)(cid:80)(cid:68)(cid:81)(cid:92)(cid:3)
(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:25)(cid:26)(cid:16)(cid:23)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:72)(cid:16)(cid:44)(cid:54)(cid:37)(cid:49)(cid:3)(cid:28)(cid:26)(cid:27)(cid:16)(cid:22)(cid:16)(cid:26)(cid:25)(cid:23)(cid:22)(cid:16)(cid:27)(cid:21)(cid:25)(cid:27)(cid:16)(cid:20)
(cid:28)(cid:3)(cid:27)(cid:3)(cid:26)(cid:3)(cid:25)(cid:3)(cid:24)(cid:3)(cid:23)(cid:3)(cid:22)(cid:3)(cid:21)(cid:3)(cid:20)(cid:3) (cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:3)(cid:90)(cid:90)(cid:90)(cid:17)(cid:69)(cid:76)(cid:85)(cid:78)(cid:75)(cid:68)(cid:88)(cid:86)(cid:72)(cid:85)(cid:17)(cid:70)(cid:75)
Dedicated to the memory of
Moshe Livsic
the founding father of the
characteristic function
in operator theory
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
0 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Part I Motivating Problems, Systems and Realizations
1 Motivating Problems
1.1 Linear time invariant systems and cascade connection . . . . . . . 7
1.2 Characteristic operator functions and invariant subspaces (1) . . . 11
1.3 Characteristic operator functions and invariant subspaces (2) . . . 14
1.4 Factorization of monic matrix polynomials . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Wiener-Hopf integral operators and factorization . . . . . . . . . . 18
1.6 Block Toeplitz equations and factorization . . . . . . . . . . . . . . 21
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Operator Nodes, Systems, and Operations on Systems
2.1 Operator nodes, systems and transfer functions . . . . . . . . . . . 25
2.2 Inversion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Products. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Factorization and matching of invariant subspaces . . . . . . . . . 32
2.5 Factorization and inversionrevisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Various Classes of Systems
3.1 Brodskii systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Kreˇın systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Unitary systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Monic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Polynomial systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Mo¨bius transformation of systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
viii Contents
4 Realization and Linearization of Operator Functions
4.1 Realization of rational operator functions . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Realization of analytic operator functions . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Linearization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Linearization and Schur complements . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5 Factorization and Riccati Equations
5.1 Angular subspaces and angular operators . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Angular subspaces and the algebraic Riccati equation . . . . . . . 79
5.3 Angular operators and factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4 Angular spectral subspaces and the algebraic Riccati equation . . . 86
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6 Canonical Factorization and Applications
6.1 Canonical factorization of rational matrix functions . . . . . . . . . 89
6.2 Application to Wiener-Hopf integral equations . . . . . . . . . . . 92
6.3 Application to block Toeplitz operators . . . . . . . . . . . . . . . 97
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Part II Minimal Realization and Minimal Factorization
7 Minimal Systems
7.1 Minimality of systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 Controllability and observability for finite-dimensional systems . . 109
7.3 Minimality for finite-dimensional systems . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4 Minimality for Hilbert space systems . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7.5 Minimality in special cases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.5.1 Brodskii systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.5.2 Kreˇın systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.5.3 Unitary systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.5.4 Monic systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.5.5 Polynomialsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
8 Minimal Realizations and Pole-ZeroStructure
8.1 Zero data and Jordan chains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 Pole data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.3 Minimal realizations in terms of zero or pole data . . . . . . . . . . 145
8.4 Local degree and local minimality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.5 McMillan degree and minimality of systems . . . . . . . . . . . . . 160
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Contents ix
9 Minimal Factorization of Rational Matrix Functions
9.1 Minimal factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9.2 Pseudo-canonicalfactorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
9.3 Minimal factorization in a singular case . . . . . . . . . . . . . . . 172
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Part III Degree One Factors, Companion Based Rational
Matrix Functions, and Job Scheduling
10 Factorization into Degree One Factors
10.1 Simultaneous reduction to complementary triangular forms . . . . 184
10.2 Factorization into elementary factors and realization . . . . . . . . 188
10.3 Complete factorization (general) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10.4 Quasicomplete factorization (general) . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11 Complete Factorization of Companion Based Matrix Functions
11.1 Companion matrices: preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.2 Simultaneous reduction to complementary triangular forms . . . . 216
11.3 Preliminaries about companion based matrix functions . . . . . . . 231
11.4 Companion based matrix functions: poles and zeros. . . . . . . . . 234
11.5 Complete factorization (companion based) . . . . . . . . . . . . . . 244
11.6 Maple procedures for calculating complete factorizations . . . . . . 246
11.6.1 Maple environment and procedures . . . . . . . . . . . . . . 247
11.6.2 Poles, zeros and orderings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
11.6.3 Triangularizationroutines (complete) . . . . . . . . . . . . 251
11.6.4 Factorization procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
11.6.5 Example. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
11.7 Appendix: invariant subspaces of companion matrices . . . . . . . 260
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
12 Quasicomplete Factorization and Job Scheduling
12.1 A combinatorial lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
12.2 Quasicomplete factorization (companion based) . . . . . . . . . . . 272
12.3 A review of the two machine flow shop problem . . . . . . . . . . . 288
12.4 Quasicomplete factorization and the 2MSFP. . . . . . . . . . . . . 293
12.5 Maple procedures for quasicomplete factorizations . . . . . . . . . 301
12.5.1 Maple environment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
12.5.2 Triangularizationroutines (quasicomplete) . . . . . . . . . 303
12.5.3 Transformations into upper triangular form . . . . . . . . . 307
12.5.4 Transformationinto complementary triangular forms . . . 308
x Contents
12.5.5 An example: symbolic and quasicomplete . . . . . . . . . . 309
12.5.6 Concluding remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Part IV Stability of Factorization and of Invariant Subspaces
13 Stability of Spectral Divisors
13.1 Examples and first results for the finite-dimensional case . . . . . . 319
13.2 Opening between subspaces and angular operators . . . . . . . . . 322
13.3 Stability of spectral divisors of systems . . . . . . . . . . . . . . . . 327
13.4 Applications to transfer functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
13.5 Applications to Riccati equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
14 Stability of Divisors
14.1 Stable invariant subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
14.2 Lipschitz stable invariant subspaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
14.3 Stable minimal factorizations of rational matrix functions . . . . . 348
14.4 Stable complete factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
14.5 Stable factorizations of monic matrix polynomials. . . . . . . . . . 356
14.6 Stable solutions of the operator Riccati equation . . . . . . . . . . 359
14.7 Stability of stable factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
14.8 Isolated factorizations and related topics . . . . . . . . . . . . . . . 363
14.8.1 Isolated invariant subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
14.8.2 Isolated chains of invariant subspaces . . . . . . . . . . . . 366
14.8.3 Isolated factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
14.8.4 Isolated solutions of the Riccati equation . . . . . . . . . . 372
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
15 Factorization of Real Matrix Functions
15.1 Real matrix functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
15.2 Real monic matrix polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
15.3 Stable and isolated invariant subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . 379
15.4 Stable and isolated real factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . 385
15.5 Stability of stable real factorizations . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Preface
Thepresentbookdealswithvarioustypesoffactorizationproblemsformatrixand
operatorfunctions.Theproblemsappearindifferentareasofmathematicsandits
applications. A unified approach to treat them is developed. The main theorems
yieldexplicitnecessaryandsufficientconditionsforthefactorizationstoexistand
explicit formulas for the corresponding factors. Stability of the factors relative to
a small perturbation of the original function is also studied in this book.
Theunifying theorydevelopedinthe bookis basedonageometricapproach
which has its origins in different fields. A number of initial steps can be found in:
(1) the theory of non-selfadjoint operators, where the study of invariant sub-
spaces of an operator is related to factorization of the characteristic matrix
or operator function of the operator involved,
(2) mathematical systems theoryand electricalnetworktheory,where a cascade
decomposition ofan input-output systemor a network is relatedto a factor-
ization of the associated transfer function, and
(3) thefactorizationtheoryofmatrixpolynomialsintermsofinvariantsubspaces
of a corresponding linearization.
In all three cases a state space representation of the function to be factored is
used,and the factors areexpressedin state spaceform too.We call this approach
thestatespace method.Ithasalargenumberofapplications.Forinstance,besides
theareasreferredtoabove,Wiener-Hopffactorizationsofsomeclassesofsymbols
can also be treated by the state space method.
The present book is the second book which is devoted to the state space
factorizationtheory.Thefirstwaspublishedin1979asthemonographbyH.Bart,
I. Gohberg and M.A. Kaashoek, “Minimal factorization of matrix and operator
functions,” Operator Theory: Advances and Applications 1, Birkha¨user Verlag.
This 1979 book appeared very soon after the first main results were obtained. In
fact, some of these results where published in the 1979 book for the first time.
This second book, which is written by the authors of the first book jointly
with A.C.M. Ran, consists of four parts. Parts I, II and IV contain a substantial
selection from the first book, in a reorganized and updated form. Part III, which
coversmorethanaquarterofthebook,is entirelynew.Thisthirdpartisdevoted
