Euclides, jaargang 85 // 2009-2010, nummer 6

2009·7.4 MB·Dutch

by  Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

(cid:59) (cid:75) (cid:57) (cid:66) (cid:63) (cid:58)(cid:59) (cid:73)
(cid:108) (cid:87) (cid:97) (cid:88) (cid:98) (cid:87) (cid:90) (cid:22) (cid:108) (cid:101) (cid:101) (cid:104) (cid:22) (cid:90) (cid:91) (cid:22) (cid:109) (cid:95) (cid:105) (cid:97) (cid:107) (cid:100) (cid:90) (cid:91) (cid:98) (cid:91) (cid:104) (cid:87) (cid:87) (cid:104)
(cid:99) (cid:91) (cid:95)
(cid:39) (cid:38)(cid:22)(cid:44)
(cid:100) (cid:104)
(cid:96) (cid:87) (cid:87) (cid:104) (cid:93) (cid:87) (cid:100) (cid:93) (cid:22) (cid:46) (cid:43)
(cid:69)(cid:102)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:93)(cid:22)(cid:100)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:63)(cid:67)(cid:69)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:39)
(cid:68)(cid:101)(cid:93)(cid:99)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:105)(cid:48)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:89)(cid:87)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)
(cid:57)(cid:101)(cid:99)(cid:102)(cid:98)(cid:91)(cid:110)(cid:91)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:106)(cid:87)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:100)
(cid:67)(cid:95)(cid:100)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:91)(cid:100)(cid:35)(cid:22)
(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:39)(cid:38)(cid:35)(cid:39)(cid:42)
(cid:62)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:77)(cid:109)(cid:60)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:56)(cid:101)(cid:98)(cid:95)(cid:108)(cid:95)(cid:87)
(cid:22)
(cid:66)(cid:107)(cid:90)(cid:101)(cid:98)(cid:102)(cid:94)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)
(cid:30)(cid:39)(cid:43)(cid:42)(cid:38)(cid:35)(cid:39)(cid:44)(cid:39)(cid:38)(cid:31)
(cid:69)(cid:104)(cid:93)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:68)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:76)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:93)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:104)(cid:87)(cid:104)(cid:91)(cid:100)
040_EuclidesOms_85-6.indd 1 04-05-2010 09:00:15
(cid:57)(cid:69)(cid:66)(cid:69)(cid:60)(cid:69)(cid:68)
Eenvoudig
(cid:99) (cid:91) (cid:95)
het geheel zien
(cid:39) (cid:38)(cid:22)(cid:44)
(cid:100) (cid:104)
(cid:96) (cid:87) (cid:87) (cid:104) (cid:93) (cid:87) (cid:100) (cid:93) (cid:22) (cid:46) (cid:43) Elke leerling leert op een andere manier.
De een begrijpt vergelijkingen vlot, de ander
grafieken. De nieuwe TI-Nspire™ technologie
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging
voor Wiskunde en Exact is geschikt voor
van Wiskundeleraren.
Het blad verschijnt 7 maal per verenigingsjaar. verschillende individuele manieren van
ISSN 0165-0394 leren. Lesmateriaal wordt gepresenteerd
en onderzocht naar de voorkeur van de
(cid:72)(cid:91)(cid:90)(cid:87)(cid:89)(cid:106)(cid:95)(cid:91) individuele leerling. Leerlingen kunnen
Bram van Asch daardoor wiskundige relaties en verbanden
Klaske Blom, hoofdredacteur veel gemakkelijker waarnemen.
Rob Bosch
Hans Daale
Dick Klingens, eindredacteur
www.education.ti.com/nederland
Wim Laaper, secretaris
Marjanne de Nijs
Joke Verbeek
Heiner Wind, voorzitter
Nu tijdelijk
(cid:63)(cid:100)(cid:112)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:104)(cid:87)(cid:93)(cid:91)(cid:100)
Artikelen en mededelingen naar de (cid:68)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:76)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:93)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22) (cid:66)(cid:95)(cid:90)(cid:99)(cid:87)(cid:87)(cid:106)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:87)(cid:102) TI-Nspire™ 2in1
(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:104)(cid:87)(cid:104)(cid:91)(cid:100)
hoofdredacteur: Klaske Blom, Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides.
-rekenmachine + software-
Westerdoksdijk 39, 1013 AD Amsterdam Website: www.nvvw.nl De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor
€ 55* !
E-mail: [email protected] - leden: € 65,00 voor slechts
(cid:76)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:112)(cid:95)(cid:106)(cid:106)(cid:91)(cid:104) - leden, maar dan zonder Euclides: € 37,50
(cid:72)(cid:95)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:98)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:87)(cid:104)(cid:106)(cid:95)(cid:97)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:100) tel. [phone]
Marian Kollenveld, - studentleden: € 32,50
Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk - gepensioneerden: € 37,50 (gratis)
drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op Tel. [phone] - leden van de VVWL of het KWG: € 37,50
papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. E-mail: [email protected] Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50
Zie voor nadere aanwijzingen: Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te
* exclusief 9 € verzendkosten
www.nvvw.nl/euclricht.html (cid:73)(cid:91)(cid:89)(cid:104)(cid:91)(cid:106)(cid:87)(cid:104)(cid:95)(cid:105) geven bij de ledenadministratie.
Kees Lagerwaard, Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli.
(cid:72)(cid:91)(cid:87)(cid:98)(cid:95)(cid:105)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91)
Eindhovensingel 15, 6844 CA Arnhem NU MET
Ontwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk Tel. [phone] (cid:55)(cid:88)(cid:101)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:95)(cid:91)(cid:106)(cid:35)(cid:98)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)
TOUCHPAD EN
en mailingservices E-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende
LETTERTOETSEN!
(cid:22) De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v. nummer.
Veenendaal, www.dekleuver.nl (cid:66)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:87)(cid:90)(cid:99)(cid:95)(cid:100)(cid:95)(cid:105)(cid:106)(cid:104)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91) Personen (niet-leden van de NVvW): € 60,00
(cid:22)
Elly van Bemmel-Hendriks, Instituten en scholen: € 140,00
(cid:73)
De Schalm 19, 8251 LB Dronten Losse nummers zijn op aanvraag leverbaar: € 17,50
(cid:59)
Tel. [phone] Betaling per acceptgiro.
(cid:58) E-mail: [email protected]
(cid:55)(cid:90)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:95)(cid:96)(cid:105)(cid:98)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:105)
(cid:63)
(cid:62)(cid:91)(cid:98)(cid:102)(cid:90)(cid:91)(cid:105)(cid:97)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:105)(cid:102)(cid:101)(cid:105)(cid:95)(cid:106)(cid:95)(cid:91) De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v.:
(cid:66)
NVvW - Rechtspositie-Adviesbureau, t.a.v. Sepideh Moosavi
(cid:57) Postbus 405, 4100 AK Culemborg Kerkewijk 63, 3901 EC Veenendaal
(cid:75) Tel. [phone] Tel. [phone]
E-mail: [email protected]
(cid:59)
040_EuclidesOms_85-6.indd 2 04-05-2010 09:00:20
(cid:59)(cid:59) (cid:75)(cid:75) (cid:57)(cid:57) (cid:66)(cid:66) (cid:63)(cid:63) (cid:58)(cid:58)(cid:59)(cid:59) (cid:73)(cid:73)
(cid:65) (cid:22) (cid:22) (cid:63)
(cid:69)(cid:72)(cid:74) (cid:76)(cid:69)(cid:69)(cid:72)(cid:55)(cid:60) (cid:68)(cid:62)(cid:69)(cid:75)(cid:58)
(cid:81)(cid:22)(cid:65)(cid:98)(cid:87)(cid:105)(cid:97)(cid:91)(cid:22)(cid:56)(cid:98)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:83)
(cid:22) (cid:22)(cid:22)(cid:22)
(cid:80)(cid:101)(cid:100)(cid:100)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:22)(cid:106)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:53)
Na een zonovergoten en heel warm weekeind in Limburg zit ik nu onder een halfbewolkte, maar
nog steeds blauwe hemel in Amsterdam mijn stukje te schrijven voor dit Euclides-nummer, me
afvragend of de periode waarin u dit leest, ook zonnig zal zijn; letterlijk, maar vooral ook
229 Kort vooraf
figuurlijk. De meivakantie is achter de rug en de examens zijn begonnen. Heeft u al werk gezien
[Klaske Blom]
van uw havo-leerlingen? Wat was uw indruk van het examen? Na de ervaringen van vorig jaar
230 Duytsche Mathematicque
lijkt het me dit jaar extra spannend. Misschien heeft u meegedaan met de pilot computer-
examens in het vmbo. Hoe deden uw leerlingen het? Konden ze hun kennis en vaardigheden [Jantien Dopper]
kwijt op het scherm? Ik wens u allen goede moed en wijsheid bij het corrigeren. Mocht u tussen- 234 Op weg naar IMO2011
door even pauze willen houden, dan hoop ik dat u al lezend in Euclides even de zinnen kunt [Esther Bod]
verzetten. 236 Decanteren en ggd
[Rob Bosch]
(cid:57)(cid:101)(cid:100)(cid:89)(cid:104)(cid:91)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:95)(cid:87)(cid:87)(cid:98) 238 Rectificatie Euclides 85-5
Het is niet onze sterkste kant om zeer concreet lesmateriaal aan te reiken in Euclides, maar deze 239 Complexe getallen voor Wiskunde
keer moet u toch zorgen dat u het niet mist: het prachtige aanbod aan concrete lesideeën rond D en NLT
het materiaal van Ludoph van Ceulen in het artikel van de Marjanne de Nijs en Margot Rijnierse. [Henk Broer, Kees van der
Verder heeft Kim Kaars een heus werkblad over het tekenen van hoeken toegevoegd aan haar Straaten]
artikel; zo te gebruiken! Via de verwijzing in het persbericht over de samenwerking tussen Math4all 242 De 8e Wiskundeconferentie
en GeoEnZo komt u snel terecht bij een basispakket voor het digitale schoolbord. [Gert de Kleuver]
De bijdrage van Henk Broer en Kees van der Straaten vraagt weer meer eigen ‘vertaalactiviteit’,
243 Verschenen
maar u krijgt wel een aantal teksten aangereikt voor het behandelen van complexe getallen bij
244 Ludolph van Ceulen in de klas
wiskunde D of NLT.
[Marjanne de Nijs, Margot
Uiteraard is er nog een groot aantal informatieve stukken en artikelen waarin u tot verder
Rijnierse]
nadenken en/of reageren opgeroepen wordt. Twee bijdragen wil ik u nog kort onder de aandacht
248 Moet dat zo? Kan het niet anders?
brengen, namelijk de twee artikelen op de verenigingspagina’s: u vindt een artikel over het
[Sieb Kemme]
bijhouden van onze eigen bekwaamheid door middel van adequate scholing. De overheid heeft
249 Vanuit de oude doos
ter ondersteuning daarvan de lerarenbeurs in het leven geroepen. Als u deze beurs had willen
[Ton Lecluse]
aanvragen voor het komend schooljaar, had u dat al voor 13 mei moeten doen. Maar voor (cid:47)
251 De normaaldriehoek (cid:40)
scholing bent u niet afhankelijk van deze beurs; er is veel geld beschikbaar binnen de scholen.
(cid:40)
[Jan Ketting]
Vergeet niet er gebruik van te maken! En de tweede bijdrage vanuit de vereniging is een verslag
252 Het Geheugen
van de vmbo-werkgroep. Het is interessant om te weten welke onderwerpen aan de orde komen
in de werkgroep. Als u ook thema’s op de agenda wilt plaatsen van deze werkgroep, kunt u zich [Harm Jan Smid]
aanmelden. Sinds dit schooljaar ligt mijn hoofdactiviteit in het vmbo. Een fantastische plek waar 254 Minor rekenen-wiskunde 10-14
ik kinderen tegenkom die heel leergierig zijn, maar ook zo veel teleurstellingen te verwerken [Frank van Merwijk]
krijgen, omdat juist dat leren zoveel problemen oproept. Het is dus niet alleen een Euclides- maar 257 Dat was vet juf!
ook een persoonlijk belang dat ik hier nogmaals graag collega’s oproep om te schrijven over hun [Kim Kaars]
ervaringen: hoe stimuleert en bemoedigt u juist déze leerlingen en helpt u ze om te leren 258 Persbericht / Math4all
structureren en over dompers heen te komen? Wat is úw speciale didactiek? Ik lees er graag over! 259 Het WwF helpt een school in
Bolivia
(cid:77)(cid:91)(cid:106)(cid:93)(cid:91)(cid:108)(cid:95)(cid:100)(cid:93) 261 Persbericht / Scholenprijs NWO (cid:22)
Het is u vast niet ontgaan dat er veel belangstelling is voor goed reken-, wiskunde- en taal- 262 Verschenen (cid:22)
onderwijs. In januari j.l. stemde de ministerraad in met het wetsvoorstel ‘Referentieniveaus taal 262 Boekbespreking / Rekenen is leuker (cid:44)
en rekenen’ en vervolgens werd het referentiekader bij wet vastgesteld. Daarmee ligt dus vast dan je denkt
(cid:114)
wat leerlingen op bepaalde momenten in hun schoolcarrière moeten kennen en kunnen op het
[Epi van Winsen]
(cid:43)
gebied van rekenen. Hoe we dat gaan toetsen en welke rol de behaalde resultaten gaan spelen in
263 Onderhoud van eigen bekwaam-
de slaag/zak-regeling, is iets dat de komende tijd duidelijk zal moeten worden. Er wordt op veel (cid:46)
heden door scholing
fronten aan gewerkt. Het lijkt raadzaam om de informatie daarover goed in de gaten te houden
[Henk Rozenhart] (cid:22)
zodat u weet wat u op uw school wel, maar vooral ook wat u niet in gang moet zetten. We doen (cid:22)
265 Nieuws uit de Werkgroep-VMBO
ons best om u in Euclides te informeren met achtergrondartikelen. Voor de actualiteit verwijs (cid:73)
[Henk Bijleveld]
ik u graag naar relevante websites en de WiskundE-brief. In dit nummer vindt u een artikel van
266 Recreatie (cid:59)
Frank van Merwijk met informatie over een minor rekenen die gegeven wordt aan de diverse
[Frits Göbel] (cid:58)
lerarenopleidingen.
268 Servicepagina
(cid:63)
(cid:74)(cid:101)(cid:106)(cid:22)(cid:105)(cid:98)(cid:101)(cid:106)
(cid:66)
Aan dit nummer werkte verder mee: Juliëtte
Met onze excuses voor een enkele weggevallen regel en een foto in het artikel ‘Viervlakken tussen
Kunst en Wiskunde’ van Ton Konings in Euclides nr. 5 plaatsen we het ontbrekende alsnog in Feitsma. (cid:57)
een erratum elders in dit nummer. (cid:75)
Rest mij u sterkte te wensen in de examentijd en de vaak hectische eindejaarsperiode die daarna
(cid:59)
aanbreekt en met u te hopen op goede resultaten!
040_Euclides_Biw_85-6a.indd 1 04-05-2010 08:57:52
(cid:58) (cid:107) (cid:111) (cid:106) (cid:105) (cid:89) (cid:94) (cid:91)(cid:22)
(cid:67) (cid:87) (cid:106) (cid:94) (cid:91) (cid:99) (cid:87) (cid:106) (cid:95) (cid:89)(cid:103) (cid:107) (cid:91)
(cid:81)(cid:22)(cid:64)(cid:87)(cid:100)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:58)(cid:101)(cid:102)(cid:102)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:83)
(cid:63)(cid:100)(cid:22)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:38)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:42)(cid:38)(cid:38)(cid:22)(cid:96)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:66)(cid:107)(cid:90)(cid:101)(cid:98)(cid:102)(cid:94)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:90)(cid:36)(cid:22)(cid:69)(cid:99)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:95)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22) atief tot het oprichten van de Duytsche
(cid:104)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:101)(cid:101)(cid:95)(cid:22)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:87)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22)(cid:76)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22) Mathematicque. Hij liet zijn vertrouweling
(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:109)(cid:101)(cid:91)(cid:90)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:91)(cid:108)(cid:87)(cid:105)(cid:106)(cid:22)(cid:187)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:98)(cid:107)(cid:105)(cid:106)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:104)(cid:88)(cid:91)(cid:111)(cid:106)(cid:188)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22) Simon Stevin een opzet maken van het
(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:102)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22)(cid:58)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:100)(cid:95)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:87)(cid:89)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:99)(cid:95)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:101)(cid:101)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:105)(cid:34)(cid:22)(cid:100)(cid:87)(cid:99)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:100)(cid:95)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:87)(cid:98)(cid:106)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22) lesprogramma en daarnaast beval hij Ludolph
(cid:99)(cid:91)(cid:91)(cid:105)(cid:106)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:94)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:22)(cid:98)(cid:95)(cid:93)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:93)(cid:49)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:90)(cid:104)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:100)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:101)(cid:100)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22) van Ceulen en Simon van Merwen aan als
(cid:100)(cid:95)(cid:108)(cid:91)(cid:87)(cid:107)(cid:36)(cid:22)(cid:59)(cid:104)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:90)(cid:87)(cid:87)(cid:90)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:95)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22) docenten.[1] Van Merwen was landmeter en
(cid:76)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:104)(cid:97)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:99)(cid:101)(cid:91)(cid:95)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:105)(cid:91)(cid:104)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:104)(cid:106)(cid:95)(cid:97)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22) oud-burgemeester van de stad Leiden.
(cid:80)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:104)(cid:97)(cid:22)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:99)(cid:106)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:91)(cid:90)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:104)(cid:97)(cid:98)(cid:107)(cid:105)(cid:106)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:22)(cid:92)(cid:104)(cid:95)(cid:105)(cid:94)(cid:91)(cid:95)(cid:90)(cid:34)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:87)(cid:97)(cid:22)(cid:99)(cid:101)(cid:101)(cid:95)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22) Simon Stevin en Ludolph van Ceulen
(cid:88)(cid:101)(cid:91)(cid:95)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:34)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:87)(cid:87)(cid:97)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:106)(cid:101)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:105)(cid:105)(cid:87)(cid:100)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:95)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22) waren voor elkaar geen onbekenden. Reeds
(cid:109)(cid:91)(cid:104)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22)(cid:62)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:97)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:102)(cid:104)(cid:101)(cid:88)(cid:98)(cid:91)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:99)(cid:91)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:22)(cid:109)(cid:101)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:34)(cid:22) in 1582 had Van Ceulen een oplossing
(cid:93)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:102)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:101)(cid:101)(cid:98)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:107)(cid:36)(cid:22)(cid:58)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:97)(cid:101)(cid:99)(cid:106)(cid:22)(cid:100)(cid:101)(cid:93)(cid:22)(cid:88)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:76)(cid:87)(cid:100)(cid:22) gegeven voor een probleem dat hem door
(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:105)(cid:105)(cid:87)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:34)(cid:22)(cid:105)(cid:101)(cid:99)(cid:105)(cid:22)(cid:112)(cid:91)(cid:98)(cid:92)(cid:105)(cid:22)(cid:105)(cid:102)(cid:91)(cid:106)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:34)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:98)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:105)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:99)(cid:93)(cid:91)(cid:108)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:94)(cid:87)(cid:90)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22) Simon Stevin was aangedragen. Het is
(cid:90)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:95)(cid:91)(cid:106)(cid:105)(cid:22)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:106)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:90)(cid:91)(cid:36)(cid:22)(cid:55)(cid:98)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:90)(cid:107)(cid:105)(cid:22) dus goed mogelijk dat Stevin Van Ceulen
(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:101)(cid:91)(cid:93)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:107)(cid:22)(cid:87)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:22)(cid:30)(cid:100)(cid:107)(cid:22)(cid:100)(cid:101)(cid:93)(cid:22)(cid:108)(cid:95)(cid:96)(cid:92)(cid:31)(cid:22)(cid:100)(cid:107)(cid:99)(cid:99)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:22)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:106)(cid:104)(cid:87)(cid:97)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:76)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:35) heeft aangedragen als docent bij Maurits,
(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:94)(cid:87)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:34)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:104)(cid:91)(cid:108)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:102)(cid:91)(cid:89)(cid:95)(cid:87)(cid:98)(cid:95)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:36) alhoewel Van Ceulen zelf ook connecties
met de Oranjes had. Voor zijn verhuizing
Op 10 januari 1600 werd Ludolph van 1625, kapitein-generaal van het leger en naar Leiden in 1594 was Ludolph van
Ceulen op 59-jarige leeftijd aangesteld als wilde het leger hervormen en moderniseren. Ceulen werkzaam als schermmeester in
een van de twee professoren aan de net Tevens had hij had een grote belangstelling Delft en zijn schermschool was gevestigd
opgerichte Duytsche Mathematicque, een voor de wetenschappen en wiskunde. Zijn in de kapel van het Sint Agathaklooster,
(cid:38)
(cid:41) ingenieursschool. Van Ceulen was zijn belangrijkste gesprekspartner voor wiskundige waarvan ook een deel in gebruik was als hof
(cid:40)
loopbaan begonnen als scherm- en reken- onderwerpen was Simon Stevin, die vanaf van Willem van Oranje. Zijn meesterwerk,
meester en de functie als hoogleraar aan de 1593 ook actief was in het leger, alhoewel Vanden Circkel (1596), droeg Van Ceulen
ingenieursschool vormde de erkenning van zijn positie pas in 1604 formeel werd op aan Willem’s zoon Maurits, de oprichter
zijn capaciteiten en kwaliteiten. Tot aan zijn vastgelegd. De lessen en gesprekken tussen van de Duytsche Mathematicque.
dood op 31 december 1610 bleef Ludolph Maurits en Stevin resulteerden in het werk
van Ceulen als hoogleraar aangesteld. Wisconstige Ghedachtenissen. De belangstelling (cid:59)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:88)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:96)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:107)(cid:100)(cid:95)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:95)(cid:106)(cid:91)(cid:95)(cid:106)
Na het overlijden van Van Ceulen kwam van Maurits voor wiskunde was ingegeven De Duytsche Mathematicque was een
het hoogleraarschap van de Duytsche door de opvatting dat het gebruik van vreemde eend in de bijt van de Leidse
Mathematicque in handen van de familie wiskunde kon leiden tot een beter georgani- universiteit. Sinds de oprichting van de
Van Schooten. Achtereenvolgens werden seerd en vaardiger leger. Bovendien had hij academie was deze sterk humanistisch van
Frans van Schooten senior, Frans van behoefte aan praktisch geschoolde vaklieden karakter geweest, waarbij bestudering
(cid:22) Schooten junior en Pieter van Schooten die kennis hadden van landmeten en van klassieke bronnen centraal stond. De
(cid:44) aangesteld als hoogleraar. In 1679 werd er fortificatie om het land te kunnen dienen. meer praktische aanpak van de Duytsche
na de dood van Pieter van Schooten geen En ook werden er in de maatschappij in Mathematicque lag niet in het verlengde
(cid:114)
opvolger benoemd en zo kwam er een toenemende mate hogere eisen gesteld van de humanistische stijl. Bovendien
(cid:43)
einde aan bijna acht decennia Duytsche aan ingenieurs en landmeters. Zo kregen was de voertaal aan de Duytsche
(cid:46)
Mathematicque. landmeters naast het bepalen van opper- Mathematicque afwijkend van de voertaal
(cid:22)
vlakten van percelen steeds vaker de taak aan de rest van de universiteit. Normaliter
(cid:22)
Met de oprichting van de Duytsche om kaarten te maken van de percelen die zij werden colleges in het Latijn gegeven,
(cid:73)
Mathematicque ontstond er in Holland een opmaten, en dat vereiste meer wiskundige maar Maurits stond er op dat de lessen aan
(cid:59) nieuwe instelling waarin praktisch onder- kennis. Om de aankomend ingenieurs en voor de toekomstig ingenieurs ‘in goeder
(cid:58) wijs in de wiskunde centraal stond. Het landmeters van de noodzakelijke kennis te duytscer tale’ werden gedoceerd. Dit besluit
bestaansrecht van de opleiding was sterk voorzien nam Maurits in 1600 het initi- zal er mee te maken hebben gehad dat de
(cid:63)
gerelateerd aan de politiek-militaire situatie
(cid:66)
in de Nederlanden. De jonge Republiek
(cid:57) was in 1600 in een felle strijd verwikkeld
met de voormalige landsheer Filips II van
(cid:75)
Spanje. Maurits, de zoon van Willem van
(cid:59)
Oranje, was vanaf 1585 tot zijn dood in
040_Euclides_Biw_85-6a.indd 2 04-05-2010 08:57:53
kennis van het Latijn van de beoogde Hiertoe werden delen van de arithmetica en lijnige figuren ook met driehoeken goed te
doelgroep, de aankomend ingenieurs het landmeten onderwezen, benaderen zijn.
en landmeters, over het algemeen niet maar enkel ‘soo veel als tot het dadelijck Wanneer de student bedreven was in de
van voldoende niveau was om colleges gemeen ingenieurschap noodich is’. Welke theorie van het landmeten was het tijd de
in die taal te kunnen volgen. Daarnaast onderdelen voor een ingenieur nodig waren, geleerde kennis in de praktijk te brengen.
was Simon Stevin van mening dat de zette Stevin daarna uiteen. Grofweg zijn In het veld leerde de student een op papier
Nederlandse taal het meest geschikt was drie fasen te onderscheiden. getekende figuur met bakens uit te zetten,
voor het uitwisselen van wetenschappelijke In de eerste fase van de opleiding moesten de en een kaart te maken van een in het veld
ideeën. aankomend ingenieurs de basisbewerkingen uitgezette figuur. Daarnaast werd in de
Rond dezelfde tijd gebeurde iets vergelijk- van het rekenen (optellen, aftrekken, praktijklessen geoefend met instrumenten
baars in Friesland. Daar had de in 1598 aan vermenigvuldigen en delen) in gehele waarmee hoeken gemeten konden worden
de universiteit van Franeker aangestelde getallen, breuken en decimale breuken en andere instrumenten die de landmeter
wiskundige en vestingbouwer Adriaan onder de knie krijgen. Deze decimale tot nut konden zijn.
Metius bedongen dat hij zijn lessen naar breuken waren door Stevin in 1585
keuze in het Latijn of Nederlands mocht gepropageerd in het werk De Thiende en Hierna volgde de derde en laatste fase van
geven. Later werd het voorbeeld gevolgd nog een relatieve noviteit in de wiskunde. de opleiding: de fortificatie. Net als het
in Amsterdam, waar vanaf 1653 aan het In de bijlage bij De Thiende had Stevin landmeten viel dit onderdeel uiteen in een
Athenaeum ook wiskundecolleges in het reeds uit de doeken gedaan hoe het werken theoretisch en praktisch gedeelte in het
Nederlands werden verzorgd door De Bie. met decimale breuken in de landmeetkunde veld. Tijdens de theorielessen leerde de
Hoewel het college van curatoren en het rekenwerk kon vereenvoudigen. Het student de terminologie van de vestingbouw
burgemeesters Van Ceulen en Van Merwen opstellen van het lesprogramma bood en de beginselen van het fortificeren van
benoemden, en Maurits wilde dat de Stevin de kans de verspreiding van decimale steden. Wanneer dit onder de knie was,
opleiding deel van de universiteit uitmaakte, breuken verder te stimuleren. Verder moest raadde Stevin de student aan ’s zomers in
namen de hoogleraren van de Duytsche de toekomstig ingenieur kunnen werken het leger mee te lopen om zo de aanleg van
Mathematicque een aparte positie in. Zij met de ‘regel van drieën’, dat wil zeggen, versterkingswerken in de praktijk te kunnen
maakten bijvoorbeeld geen deel uit van de hij moest x kunnen bepalen uit x : a = b : c aanschouwen. In de winter, zo besloot
Senaat, het college van professoren waarin waarbij a, b en c gegeven zijn. Deze reken- Stevin, mochten de ingenieurs altijd terug
zaken aangaande de universiteit werden regel kwam in zowat alle rekenboekjes van komen naar Leiden om zich daar nog meer
besproken en de rectorsverkiezingen de vroegmoderne tijd onder deze naam voor. te verdiepen in ‘diepsinnigher stoffen’ van
plaatsvonden.[2] Voor de studenten van de het ingenieurschap.
Duytsche Mathematicque gold ook dat Zodra de student ervaren was in het
(cid:40)(cid:39)
hun positie afweek van die van de reguliere rekenen, kon er een begin worden gemaakt (cid:66)(cid:91)(cid:105)(cid:102)(cid:104)(cid:87)(cid:97)(cid:106)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:100) (cid:41)(cid:41)
studenten aan de academie. Uit verzoek- met het tweede onderdeel van de opleiding: Uit de opzet van het lesprogramma van (cid:41)(cid:40)
schriften van studenten, met als inzet het landmeten. Deze fase bestond uit eerst Simon Stevin blijkt het ideaalbeeld waaraan
vrijstelling van de bier- en wijnaccijns, een theoretisch deel, en wanneer de student de opleiding moest voldoen. Over de praktijk
blijkt dat zij niet dezelfde voorrechten daarin voldoende geoefend was, een praktisch van de lessen uit de beginjaren zijn we
genoten als de studenten ingeschreven aan deel. Het theoretische deel week sterk af van echter veel minder goed geïnformeerd. Wel
andere faculteiten van de universiteit.[3] de klassieke meetkunde. In problemen uit is bekend dat Ludolph van Ceulen vanwege
de klassieke meetkunde werd een lijnstuk zijn gevorderde leeftijd al snel een van zijn
(cid:62)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:105)(cid:102)(cid:104)(cid:101)(cid:93)(cid:104)(cid:87)(cid:99)(cid:99)(cid:87)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:98)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:105)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:112)(cid:91)(cid:106)(cid:22) (of een punt of een verzameling punten) meest getalenteerde studenten aannam
(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:73)(cid:106)(cid:91)(cid:108)(cid:95)(cid:100) met een bepaalde eigenschap gezocht. Een als assistent. Deze assistent was Frans van
De opzet van Stevin geeft aan hoe er probleem was opgelost wanneer er een Schooten senior, de latere opvolger van Van
volgens hem invulling moest worden constructie van het lijnstuk (of het punt of Ceulen als hoogleraar.
gegeven aan de lessen. Iedere les duurde een de verzameling punten) was gegeven. Verder Van Schooten begon als manusje van alles (cid:22)
uur, waarvan het eerste half uur bestemd kwamen er in de klassieke meetkunde geen en was in het begin belast met hand- en
(cid:44)
was voor een algemeen hoorcollege en er in getallen voor, hetgeen betekende dat een spandiensten zoals het dragen van instru-
(cid:114)
het tweede half uur tijd was voor het oefenen lijnstuk geen lengte had die in een getal was menten en het uitzetten van de bakens
(cid:43)
met de leerstof en het beantwoorden van uitgedrukt. Nadrukkelijk stelt Stevin dat tijdens de praktijklessen landmeten in het
vragen van studenten. De studenten het in de te onderwijzen meetkunde aan de veld. Na enkele jaren van assistentschap (cid:46)(cid:22)
moesten dus niet enkel luisteren, maar zich Duytsche Mathematicque niet de bedoeling nam Van Schooten steeds meer taken van
(cid:22)(cid:22)
ook de leerstof eigen maken. De theorie- is de klassieke lijn te volgen, maar dat men in Van Ceulen over omdat Van Ceulen ‘een
(cid:73)(cid:73)
lessen vonden plaats in de Faliebagijnkerk de meetkunde moet werken met lijnstukken oudt man was’ [4]. De praktijklessen in het
aan het Rapenburg, waar ook het anatomisch die juist wél een lengte hebben. Het doel van veld kwamen nu volledig voor rekening (cid:59)(cid:59)
theater en de bibliotheek gevestigd waren, de meetkunde was het bepalen van opper- van Van Schooten en daarnaast nam hij (cid:58)(cid:58)
evenals Van Ceulen’s schermschool. De vlakten van tweedimensionale figuren en ook de schermlessen aan de schermschool
(cid:63)(cid:63)
instructie geeft ook een overzicht van het de inhoud van driedimensionale objecten. voor zijn rekening. Na het overlijden van
(cid:66)(cid:66)
curriculum van de Duytsche Mathema- Verder hoefde de ingenieur geen kennis Simon van Merwen in het voorjaar van
ticque. Stevin had een opbouw voor ogen in te hebben van kegelsneden (ellipsen, 1610 verdubbelde de werklast van Van (cid:57)(cid:57)
het lesprogramma. Het doel was de jonge- parabolen en hyperbolen) aangezien hij Ceulen, waardoor hij nog meer taken
(cid:75)(cid:75)
mannen kennis bij te brengen zodat zij ‘het deze krommen in de praktijk niet snel zou overdroeg aan Van Schooten. Volgens
(cid:59)(cid:59)
landt als ingenieurs (...) connen dienen’. tegenkomen, en oppervlakten van krom- zeggen van Van Schooten was Ludolph
040_Euclides_Biw_85-6a.indd 3 04-05-2010 08:57:53
van Ceulen zeer content met hem en had (cid:57)(cid:101)(cid:99)(cid:102)(cid:91)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:95)(cid:91) met Simon van Merwen de eerste tien jaar
Van Ceulen graag dat Van Schooten hem In het vorige nummer van Euclides [6] heeft vorm te geven aan de dagelijkse praktijk
zou opvolgen. Na de dood van Van Ceulen Fokko Jan Dijksterhuis gewezen op het van de Duytsche Mathematicque in Leiden.
zou Van Schooten inderdaad de lessen aan gebrek aan formele structuren om iemands Voor Van Ceulen moet de benoeming tot
de Duytsche Mathematicque voortzetten. wiskundige competentie te bepalen. hoogleraar de kroon op zijn carrière zijn
Hij kreeg echter pas een vaste aanstelling Gevolg hiervan was dat wiskundigen zelf geweest.
als hoogleraar in 1615. Uit de opzet van de publiciteit zochten om zo hun kunde
het lesprogramma van Stevin blijkt dat de te verkondigen en andermans onkunde
fortificatie een belangrijk onderdeel van de aan de kaak te stellen. Aan de Duytsche
opleiding was. Van actieve bemoeienis door Mathematicque speelde ook de kwestie
Ludolph van Ceulen of Simon van Merwen van de deskundigheid van de studenten.
met vestingbouw is echter niets bekend. Reeds in augustus 1600 meldden zich de
Hun opvolger Frans van Schooten sr. was eerste toehoorders bij Ludolph van Ceulen
in 1629 wel betrokken bij de versterkingen omdat zij een getuigenis van hun bekwaam- (cid:74)(cid:104)(cid:87)(cid:100)(cid:105)(cid:92)(cid:101)(cid:104)(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:104)(cid:91)(cid:100)
van de waterlinie tussen de Zuiderzee en heid in het landmeten wilden. Hierop
de Lek. Aangezien een Spaanse inval vanaf gaven de curatoren en burgemeesters de Van n-hoek naar driehoek met dezelfde
de Veluwe dreigde, ontwierpen de Staten beide hoogleraren toestemming tot het oppervlakte
een plan voor een versterkte linie om de examineren van de kandidaten. Geslaagden In zijn werk Vanden Circkel (1596)
stad Utrecht en het gewest Holland te kregen dan een brief van bekwaamheid wijdt Ludolph van Ceulen enkele van de
beschermen. Deze linie liep van Vreeswijk voorzien van het zegel van de universiteit. honderd voorbeelden uit het 22e hoofd-
aan de Lek via de oostkant van Utrecht en Blijkbaar was de kwestie hiermee nog niet stuk aan een methode om een willekeurige
dan langs de Vecht naar Muiden. De stad voldoende opgelost, want in november n-hoek te transformeren in een driehoek
Utrecht huurde Van Schooten sr. samen 1602 werd er weer gedebatteerd in het met hetzelfde oppervlakte als de gegeven
met zijn zoon en twee andere ingenieurs in college van curatoren en burgemeesters over n-hoek. In het postuum verschenen
om de vestingwerken aan de oostkant van het examen en de te behalen akte. Ditmaal Arithmetische en Geometrische Fondamenten
de stad te ontwerpen en uit te voeren. werd besloten dat de studenten, ten einde (1615) handelt het begin van het derde deel
Over de herkomst van de studenten een brief van bekwaamheid te krijgen, over deze materie. In een handschrift van
is bijzonder weinig bekend, omdat de examen moesten afleggen in aanwezigheid Frans van Schooten,[8] die na de dood van
studenten niet werden genoteerd in het van zowel de professoren van de Duytsche Van Ceulen diens lessen overnam aan de
inschrijfregister van de universiteit. Uit Mathematicque als de hoogleraar wiskunde Duytsche Mathematicque, komt hetzelfde
overgeleverde verzoekschriften van de van de universiteit, in dit geval Rudolph onderwerp ook aan de orde.
(cid:42)(cid:40)
(cid:42)(cid:41) studenten uit de periode 1611-1615 blijkt Snellius. Daarnaast probeerde de universiteit De methode om een n-hoek te transformeren
(cid:40)(cid:40)
dat het publiek onder meer bestond uit de Staten van Holland zover te krijgen dat tot een driehoek komt neer op herhaald
timmergezellen, landmeters, schoolmeesters aspirant-landmeters het toelatingsexamen toepassen van hetzelfde stappenplan. Een
en steenhouwers. Het is maar de vraag in tot landmeter voortaan in Leiden zouden stap transformeert een n-hoek in een
hoeverre de opleiding inderdaad de afleggen en dat iedere landmeter in Holland (n-1)-hoek met dezelfde oppervlakte. Aan
ingenieurs heeft afgeleverd die Maurits verplicht de opleiding te Leiden zou moeten de hand van het voorbeeld van een onregel-
voor ogen had. In het leger waren er in doorlopen. matige vierhoek illustreren we de werkwijze.
ieder geval slechts een beperkt aantal Dit door Leiden gewenste monopolie op de Laat ABCD een onregelmatige vierhoek
ingenieurs met een vaste aanstelling; het landmetersopleiding heeft het echter niet zijn (zie figuur 1). We willen deze vierhoek
merendeel werd op projectbasis ingehuurd gehaald en de bestaande structuur, met transformeren tot een driehoek met gelijke
als er versterkingen gebouwd moesten een examen in Den Haag, bleef in stand. oppervlakte. Trek de lijn AC en trek door
worden. In 1646 schreef Van Schooten jr. Van de 187 landmeters die de Staten het punt B de lijn l evenwijdig aan AC. Het
(cid:22) aan Constantijn Huygens dat de Duytsche van Holland in de periode 1602-1641 snijpunt van de lijn l en DC verlengd is E.
(cid:44) Mathematicque naast ingenieurs ook admitteerden, noemden 69 de Duytsche Nu is de oppervlakte van driehoek ADE
bedoeld was om schoolmeesters, land- Mathematicque als genoten opleiding. gelijk aan de oppervlakte van de vierhoek
(cid:114)
meters en wijnroeiers op te leiden.[5] Deze Verder traden de professoren van de ABCD. Dit zien we door te kijken naar
(cid:43)
verandering waarbij ook civiele beroepen Duytsche Mathematicque tot 1641 de driehoeken. Eerst merken we op dat de
(cid:46)
(cid:22) uitdrukkelijk worden genoemd als doel van regelmatig op als examinatoren van de oppervlakte van de driehoek ABC gelijk
(cid:22) de opleiding, heeft te maken met de veran- landmeters bij de Staten. Zo heeft Ludolph is aan de oppervlakte van de driehoek
(cid:22)(cid:22)
derende situatie in de Republiek. Met de van Ceulen in de periode 1602-1608 regel- ACE aangezien ze dezelfde basis en hoogte
(cid:73)(cid:73)
Vrede van Münster in 1648 erkende Spanje matig aspirant-landmeters aan een examen hebben. Omdat de oorspronkelijke vierhoek
(cid:59)(cid:59) de Republiek als soevereine staat en hiermee onderworpen.[7] ABCD bestaat uit de driehoeken ACD en
(cid:58)(cid:58) kwam er een einde aan de oorlogssituatie De oprichting van de Duytsche ABC en de geconstrueerde driehoek AED
met Spanje. Direct werden de budgetten Mathematicque toont de belangstelling bestaat uit de driehoeken ADC en ACE,
(cid:63)(cid:63)
voor het leger gekort. De directe noodzaak voor praktisch georiënteerde wiskunde aan concluderen we dat de oppervlakten gelijk
(cid:66)(cid:66)
tot het opleiden van ingenieurs en vesting- het begin van de 17de eeuw. De actieve zijn. Tenslotte merken we op dat het punt
(cid:57)(cid:57) bouwers voor het leger kwam hiermee weg bemoeienis van Maurits bij de oprichting E ook gedefinieerd kan worden als het
te vallen. laat zien dat deze belangstelling zich ook tot snijpunt van de lijn l met het verlengde van
(cid:75)(cid:75)
hogere kringen uitstrekte. Na de oprichting AD. In dat geval is de gevraagde driehoek
(cid:59)(cid:59)
was het aan Ludolph van Ceulen om samen DCE een lange smalle driehoek.
040_Euclides_Biw_85-6a.indd 4 04-05-2010 08:57:54
In figuur 2 is een zeshoek ABCDEF (cid:68)(cid:101)(cid:106)(cid:91)(cid:100) Universiteitsbibliotheek Leiden,
gegeven. Herhaald toepassen van de [1] Simon Stevin: Maniere en ordre Archief Curatoren 1, inv. nr. 42/2.
methode levert via de vijfhoek ABCGF en .... (Leiden, 1600); Amsterdam, [5] Frans van Schooten jr. aan Constantijn
de vierhoek ABCH uiteindelijk de driehoek Scheepvaartmuseum, signatuur Huygens op 4 februari 1646. In:
ICH, die dezelfde oppervlakte heeft als de B-I-0073 (II, 37). De opzet van het Briefwisseling Constantijn Huygens, deel
oorspronkelijke zeshoek. lesprogramma is ook afgedrukt in: 4 (1644-1649); Den Haag: J.A. Worp
P.C. Molhuysen: Bronnen tot de ed., 1915; pp. 278-279.
geschiedenis der Leidsche Universiteit. [6] F.J. Dijksterhuis (2010): Wiskunde op
Cirkelkwadratuur Den Haag, 1913; pp. 389-391 (RGP stand. In: Euclides 85(5); pp. 186-188.
Ludoph van Ceulen is met name bekend 20). [7] E. Muller, K. Zandvliet (red.):
geworden door zijn berekeningen van [2] ‘Ende also vorders deselve professie Admissies als landmeter in Nederland
(uiteindelijk) 35 decimalen van pi. bedient wort op een plaets buiten voor 1811. Alphen aan den Rijn:
Daarnaast heeft Van Ceulen in druk de d’Academie, ende de professoren Canaletto, 1987; p. 150, 154.
cirkelkwadraturen van Simon van der Eycke derselve in de Senatus Academicus [8] Bron: Universiteitsbibliotheek Leiden,
en Scaliger bekritiseerd. In de Arithmetische niet en syn begreepen, nochte BPL 626.
en Geometrische Fondamenten vinden we gemoeijt en werden, om over eenige
op pagina 148 echter toch enkele manieren questien ofte decisien te staen.’ Frans (cid:63)(cid:100)(cid:92)(cid:101)
om bij een gegeven cirkel een vierkant van Schooten jr. aan Constantijn Zie verder ook: www.ludolphvanceulen.nl
te construeren met dezelfde oppervlakte Huygens, 4 februari 1646. In:
als de cirkel. Van Ceulen vertelt de lezer Briefwisseling Constantijn Huygens, deel
er dan wel bij dat tot nu toe niemand 4 (1644-1649); Den Haag: J.A. Worp (cid:69)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:107)(cid:106)(cid:91)(cid:107)(cid:104)
het probleem ‘volcomen’ heeft kunnen ed., 1915; p. 278. Jantien Dopper is als promovenda
oplossen, maar dat wel velen een methode [3] Bron: Universiteitsbibliotheek Leiden, verbonden aan het Mathematisch Instituut
hebben gevonden die een goede Archief Curatoren 1, inv. nr. 42/2. van de Universiteit Utrecht. Zij werkt aan
benadering geeft. De gevolgde methode [4] Frans van Schooten in een ongeda- een proefschrift over de wiskundige Frans
staat zowel in de Arithmetische en teerde brief aan het college van van Schooten (1615-1660).
Geometrische Fondamenten als in het curatoren en burgemeesters. Bron: E-mailadres: [email protected]
hierboven vermelde handschrift van Frans
van Schooten.
Gegeven is een cirkel met diameter AC en
middelpunt O; zie figuur 3. Verdeel AC in
(cid:43)(cid:42)(cid:41)
14 gelijke stukken. Het punt D ligt op de (cid:42)(cid:47)(cid:41)
diameter op 3e deel van het eindpunt A. (cid:40)(cid:40)(cid:40)
14
Trek vanuit D een loodlijn op de diameter;
deze snijdt de cirkel in het punt B. Verbind
B en C. Het lijnstuk BC is nu de zijde van
het gezochte vierkant.
Uit deze constructie kunnen we de
gebruikte benadering voor pi afleiden. (cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:39) (cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:41)
Hiervoor stellen we dat de diameter van de
cirkel 14 bedraagt. Omdat driehoek ADB
gelijkvormig is met driehoek BDC, volgt:
AD : BD = BD : DC, en dus:
BD(cid:29) AD(cid:150)DC (cid:29)(cid:149)33 (cid:22)
In de cirkel is nu: (cid:44)
BC (cid:29) BD2(cid:13)DC2 (cid:29)(cid:149)154
(cid:114)
De oppervlakte van het vierkant op BC
(cid:43)
dus 154, en de oppervlakte van de cirkel
is (cid:80)r2(cid:29)49(cid:80). Aangezien de cirkel en het (cid:46)(cid:22)(cid:22)
(cid:22)
vierkant dezelfde oppervlakte hebben, blijkt
(cid:22)(cid:22)(cid:22)
dat de gebruikte benadering van pi het getal
(cid:73)(cid:73)(cid:73)
154 (cid:29)22 is.
49 7
(cid:59)(cid:59)(cid:59)
(cid:58)(cid:58)(cid:58)
(cid:63)(cid:63)(cid:63)
(cid:66)(cid:66)(cid:66)
(cid:57)(cid:57)(cid:57)
(cid:75)(cid:75)(cid:75)
(cid:59)(cid:59)(cid:59)
(cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:40)
040_Euclides_Biw_85-6a.indd 5 04-05-2010 08:57:55
(cid:69) (cid:102) (cid:22) (cid:109) (cid:91) (cid:93) (cid:22) (cid:100) (cid:87) (cid:87) (cid:104)(cid:22) (cid:63) (cid:67) (cid:69) (cid:40) (cid:38) (cid:39) (cid:39)
(cid:63)(cid:67)(cid:69)(cid:40)(cid:38)(cid:38)(cid:41)(cid:22)(cid:183)(cid:22)(cid:69)(cid:70)(cid:61)(cid:55)(cid:76) (cid:59)(cid:22)(cid:39)
(cid:81)(cid:22)(cid:59)(cid:105)(cid:106)(cid:94)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:56)(cid:101)(cid:90)(cid:22)(cid:83)
(cid:69)(cid:102)(cid:98)(cid:101)(cid:105)(cid:105)(cid:95)(cid:100)(cid:93) minstens 989799 getallen, en proberen nu (cid:74)(cid:101)(cid:106)(cid:22)(cid:105)(cid:98)(cid:101)(cid:106)
Laten we nu proberen om de opgave op een t te kiezen. Er mogen geen a en a zijn En mijn hoop om een goede score te halen?
3 i j
te lossen. Van de voorbeelden hebben zodat a + t = a + t of a + t = a + t. Dat Ik dacht dat ik deze opgave goed had en
i 3 j 1 i 3 j 2
we geleerd dat het aantal getallen dat het betekent dat t niet gelijk mag zijn aan a hoopte nog een punt voor opgave 2 te
3 j
(cid:76)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:39)(cid:41)(cid:22)(cid:106)(cid:37)(cid:99)(cid:22)(cid:40)(cid:42)(cid:22)(cid:96)(cid:107)(cid:98)(cid:95)(cid:22)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:22)(cid:108)(cid:95)(cid:100)(cid:90)(cid:106)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:68)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22) Waarom kunnen we in dit voorbeeld geen verschil is tussen twee getallen uit A – a + t, en ook niet gelijk aan a − a + t. hebben; dus was ik tevreden over de eerste
i 1 j i 2
(cid:63)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:100)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:101)(cid:100)(cid:87)(cid:98)(cid:91)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:69)(cid:98)(cid:111)(cid:99)(cid:102)(cid:95)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:30)(cid:63)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:100)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:101)(cid:100)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:67)(cid:87)(cid:106)(cid:94)(cid:91)(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:89)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:69)(cid:98)(cid:111)(cid:99)(cid:102)(cid:95)(cid:87)(cid:90)(cid:34)(cid:22)(cid:63)(cid:67)(cid:69)(cid:31)(cid:22) t vinden, terwijl we in het vorige voorbeeld belangrijk is. In het eerste voorbeeld waren Daarom mogen er hoogstens 2 · 10201 = dag. Helaas bleek ik een foutje te hebben
2
(cid:102)(cid:98)(cid:87)(cid:87)(cid:106)(cid:105)(cid:36)(cid:22)(cid:80)(cid:101)(cid:188)(cid:100)(cid:22)(cid:44)(cid:38)(cid:38)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:39)(cid:38)(cid:38)(cid:22)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:107)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:109)(cid:91)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:93)(cid:22) maar liefst t tot en met t konden vinden er niet veel mogelijkheden voor het verschil 20402 getallen niet voor t; dus er zijn nog gemaakt in opgave 1: als ik het me goed
1 4 3
(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:55)(cid:99)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:90)(cid:87)(cid:99)(cid:22)(cid:94)(cid:107)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:106)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:91)(cid:105)(cid:106)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:112)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:102)(cid:95)(cid:106)(cid:106)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:101)(cid:102)(cid:93)(cid:87)(cid:108)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22) zodat de verzamelingen A disjunct zijn? We van de getallen uit A. Daarom konden we minstens 979598 mogelijkheden over. herinner, was ik vergeten om het verschil
j
(cid:69)(cid:102)(cid:93)(cid:87)(cid:108)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:101)(cid:97)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:104)(cid:101)(cid:91)(cid:102)(cid:105)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:87)(cid:97)(cid:22)(cid:100)(cid:101)(cid:93)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:92)(cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:97)(cid:91)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:107)(cid:95)(cid:92)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:88)(cid:88)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22) moeten t zo kiezen dat t + 1, t + 2 en t + daar meer t’s vinden zodat de verzamelingen Nu proberen we dit ook te doen voor t, t, a − a = 0 mee te tellen, zodat ik maar
2 2 2 2 j 4 5 j j
(cid:62)(cid:101)(cid:91)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:93)(cid:87)(cid:108)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:91)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:98)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:53)(cid:22)(cid:59)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:106)(cid:104)(cid:91)(cid:97)(cid:106)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:100)(cid:91)(cid:99)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:104)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:101)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:53)(cid:22) 4 niet gelijk zijn aan 4, 5 en 7, dus aan 3 + A disjunct zijn, dan in het tweede voorbeeld, …, t . Als we t, …, t al gekozen hebben, 10100 mogelijkheden voor a − a + t had
j 100 l k–l j i l
(cid:69)(cid:99)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:106)(cid:90)(cid:91)(cid:97)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:104)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:107)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:97)(cid:101)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:100)(cid:107)(cid:99)(cid:99)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:59)(cid:107)(cid:89)(cid:98)(cid:95)(cid:90)(cid:91)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:98)(cid:97)(cid:91)(cid:22)(cid:97)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22) 1, 3 + 2 en 3 + 4. Anders gezegd, er mogen waarin er veel meer mogelijkheden waren moeten we t zo kiezen, dat er geen a en a geteld. De tweede dag leverde maar 1 extra
k i j
(cid:63)(cid:67)(cid:69)(cid:35)(cid:101)(cid:102)(cid:93)(cid:87)(cid:108)(cid:91)(cid:22)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:34)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:105)(cid:102)(cid:104)(cid:101)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:106)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22) geen getallen a en b in A bestaan zodat t voor het verschil van de getallen uit A. Nu in A en t (met l < k) zijn zodat a + t = a punt op, zodat mijn score tegenviel. Door
2 l i k j
(cid:68)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:87)(cid:99)(cid:22)(cid:112)(cid:87)(cid:106)(cid:36) + a = 3 + b. Dat betekent dat t niet gelijk is A een gegeven, vaste verzameling, dus we + t. Daarom mag t niet gelijk zijn aan a de training wist ik wel beter hoe je zulke
2 l k j
mag zijn aan b − a + 3, voor alle a en b in A. kunnen er niet voor zorgen dat het aantal – a + t. Voor iedere l neemt dit hoogstens opgaven aan kunt pakken. Dat leverde
i l
In 2002 en 2003 heb ik deelgenomen aan S = {1, 2, …, 10}. Voor A gaan we uit van Als we alle mogelijke a en b proberen, zien verschillen klein is. We moeten er dus 10201 waarden aan, en l loopt van 1 tot niet alleen punten op bij de olympiade,
de Internationale Wiskunde Olympiade. een verzameling met 4 elementen: we dat b − a + 3 een getal tussen 0 en 6 is rekening mee houden dat A heel ongunstig k – 1; dus in totaal zijn er hoogstens maar is ook tijdens mijn studie goed van
Mijn eerste deelname, in Glasgow, was een A = {2, 4, 6, 8}. De verzameling A bestaat (inclusief 0 en 6). Omdat alle getallen uit S kan zijn. 10201(k – l) getallen waaraan t niet gelijk pas gekomen. Bovenal is de olympiade
j k
erg leuke en bijzondere ervaring, maar dan uit t + 2, t + 4, t + 6 en t + 8. Laten al in dit rijtje voorkomen, kunnen we geen Laten we de elementen van A een naam mag zijn. Zolang 10201(k – l) kleiner is een mooie uitdaging voor leerlingen met
j j j j
ondanks een goede voorbereiding bleek het we gewoon proberen een aantal t’s te t meer kiezen. Dat kunnen we ook zien in geven: A = {a, a, …, a }. De verzameling dan 1000000, kunnen we dus een t kiezen. interesse in wiskunde.
j 2 1 2 101 k
niveau van de opgaven voor mij iets te hoog kiezen, en kijken hoeveel we er kunnen tabel 1, waarin alle waarden staan die b − a A bestaat dan uit de getallen t + a, t + a, Het aantal mogelijkheden is natuurlijk het Voor mij was het een heel leuke ervaring om
j j 1 j 2
gegrepen. Na een leerzame en gezellige vinden zodat de verzamelingen A disjunct aanneemt, en alle waarden van b − a + 3. …, t + a . Nu gaan we t, t, …, t kleinst voor k = 100. Hiervoor mogen we intensief en op hoog niveau met wiskunde
j j 101 1 2 100
training mocht ik in 2003 opnieuw zijn. Om te beginnen kiezen we t = 1. Dan Hierin komen alle getallen uit S voor, dus proberen te kiezen, zodat ieder nieuw getal 10201 · 99 = 1009899 getallen niet kiezen. bezig te zijn en andere leerlingen van over
1
meedoen. Deze keer ging de reis helemaal is A = {3, 5, 7, 9}. We willen dat A geen kunnen we geen t kiezen. t een verzameling A geeft die disjunct is Maar er zijn maar 1000000 getallen om de hele wereld met dezelfde interesse te
1 2 2 j j
naar Tokio, wat het natuurlijk extra leuk elementen hiermee gemeenschappelijk met A, …, A . Het idee is dat we gaan uit te kiezen! Deze methode werkt dus niet ontmoeten.
1 j−1
maakte. Ik was vastbesloten meer punten te heeft. Dat gaat zeker goed als A alleen afschatten hoeveel getallen we niet meer als helemaal: we moeten iets scherper schatten
2
halen dan het jaar ervoor, en misschien zelfs grote getallen bevat. Daarom kiezen we t t mogen kiezen. Als er nog ten minste één hoeveel getallen we niet meer mogen kiezen
2 j
een eervolle vermelding voor een volledig zo groot mogelijk: t = 10. Dan krijgen we mogelijkheid is voor t die wel mag (dus voor t.
(cid:42) 2 j k (cid:43)
(cid:41) correct opgeloste opgave. De olympiade A = {12, 14, 16, 18}. zodat A disjunct is met A, …, A ), dan (cid:41)
2 j 1 j−1
(cid:40) (cid:40)
begon met een opgave die me wel leek te Voor t proberen we gewoon de kleinste (cid:106)(cid:87)(cid:88)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:39)(cid:22)(cid:56)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:88)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:40)(cid:22) kunnen we nog een t kiezen. We zouden Laten we nog eens kijken naar het aantal
3 j
liggen. mogelijkheid: t = 2. Dan is A = {4, 6, 8, 10}. (cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:97)(cid:105)(cid:48)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:22)(cid:183)(cid:22)(cid:87)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:91)(cid:99)(cid:106)(cid:34)(cid:22) kunnen proberen om de getallen slim te waarden dat a – a kan aannemen. We
3 3 j i
Dit mag, want A is nu disjunct met zowel (cid:104)(cid:91)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:105)(cid:48)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:87)(cid:22)(cid:33)(cid:22)(cid:41)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:91)(cid:99)(cid:106) kiezen, zodat er nog veel mogelijkheden hebben dit afgeschat op 1012. Echter, als
3
(cid:58)(cid:91)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:93)(cid:87)(cid:108)(cid:91) A als A. over zijn. Dat is echter moeilijk omdat we i = j is a – a = 0. Eigenlijk zijn er dus
1 2 j i
Laat S de verzameling {1, 2, …, 1 000 000} Wat kunnen we nu nog kiezen voor t? Als In het eerste voorbeeld mocht t2 niet gelijk niets over A weten. Daarom kiezen we t minder mogelijkheden voor a – a: er zijn
4 j j i
zijn, en laat A een deelverzameling van S we t = 3 kiezen, is A = {5, 7, 9, 11}; dus zijn aan b − a + 1. In dit geval was b − a willekeurig uit alle mogelijkheden die een hoogstens 101 · 100 = 10100 mogelijk-
4 4
zijn met precies 101 elementen. dan zijn A en A niet disjunct. Hetzelfde altijd een even getal, namelijk 0, ±2, ±4 of A geven die disjunct is met de rest van de heden met i = j, en één mogelijkheid met (cid:63)(cid:100)(cid:92)(cid:101)
1 4 j
Bewijs dat er in S getallen t, t, …, t geldt voor t = 5 en t = 7. Als we t = 4, ±6. Daarom was b − a + 1 altijd oneven, verzamelingen. i = j. In de tabellen bij de voorbeelden Website IMO2011: www.imo2011.nl
1 2 100 4 4 4
bestaan zodat de verzamelingen t = 6 of t = 8 kiezen, zijn A en A niet dus voor t konden we elk even getal uit Voor t kunnen we een willekeurig element kunnen we dit ook al zien: op de diagonaal Zie ook:
4 4 3 4 2 1
A = {t + a | a (cid:141) A} voor j = 1, 2, …, 100 disjunct. We kunnen wel t = 9 kiezen: A S kiezen. Er zijn zelfs nog meer mogelijk- van S kiezen. Nu willen we t zo kiezen, staan alleen nullen. In totaal neemt a − a - Quintijn Puite (2010): Van Bijsterveldt
j j 4 4 2 j i
(cid:22) onderling disjunct zijn. = {11, 13, 15, 17} is disjunct met A, A en heden: 9 mocht ook. Het bijzondere aan dat er geen a en a zijn zodat a + t = a + dus hoogstens 10101 waarden aan. Als we lanceert IMO2011. In: Euclides 85(5), (cid:22)
1 2 i j i 2 j
(cid:44) A. Iedere keuze voor t levert nu een deze verzameling A is dat b − a weinig t; dus t mag niet gelijk zijn aan a − a + hiermee bovenstaande methode om t, t, p. 209. (cid:44)
3 5 1 2 j i 2 3
(cid:114) Ter herinnering, verzamelingen zijn verzameling op die niet disjunct is met verschillende waarden aanneemt: de t. We weten natuurlijk niet welke waarden …, t te kiezen herhalen, dan zien we dat - Birgit van Dalen (2010): Op weg naar (cid:114)
1 100
(cid:43) disjunct als geen enkel getal in twee of meer A, A, A of A. opeenvolgende getallen verschillen altijd a − a + t aanneemt, maar dat is ook niet er hoogstens 10101(k − 1) getallen zijn IMO2011 / IMO2002 - Opgave 1. In (cid:43)
1 2 3 4 j i 1
van die verzamelingen voorkomt. 2, dus 2 komt meerdere malen voor als nodig: we hoeven alleen te weten hoeveel waaraan t niet gelijk mag zijn. Als we nu Euclides 85(5), pp. 210-211.
(cid:46) k (cid:46)
We kunnen ons A voorstellen als een kopie (cid:76)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:88)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:40) verschil. Hetzelfde geldt voor -4, -2, 0 en mogelijkheden voor t we overhouden. k = 100 nemen, zijn er hoogstens 999999
j 2
(cid:22) van A, maar dan ‘verschoven’ over t . We We bekijken nog een ander voorbeeld: 4. Dat zien we ook als we weer een tabel Omdat A precies 101 elementen heeft, getallen die we niet mogen kiezen als t . Er (cid:69)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:107)(cid:106)(cid:91)(cid:107)(cid:104) (cid:22)
j 100
moeten dus 100 van zulke verschoven S = {1, 2, 3, 4, 5} en A = {1, 2, 4}. We maken met alle mogelijke waarden van zijn er in totaal 1012 = 10201 mogelijke is dus nog één mogelijkheid voor t over! Esther Bod heeft in 2002 en 2003 deel-
(cid:22) 100 (cid:22)
kopieën van A vinden, zodat ieder getal in kiezen t willekeurig: t = 3. Dan is A = b − a en b − a + 1; zie tabel 2. tweetallen (a, a) en dus hoogstens 10201 Zelfs als we de getallen willekeurig kiezen, genomen aan de Internationale Wiskunde
(cid:73) 1 1 1 i j (cid:73)
hoogstens één kopie ligt. {4, 5, 7}. Nu proberen we t zo te kiezen, mogelijkheden voor a − a. Als we t kunnen we dus nog een t kiezen. We Olympiade en in 2006 en 2007 aan de
2 j i 1 100
(cid:59) dat A en A disjunct zijn. Als we t = gekozen hebben, is t een vast getal en zijn kunnen de getallen t, …, t dus kiezen International Mathematics Competition (cid:59)
1 2 2 1 1 100
(cid:58) (cid:76)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:88)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:39) 1 kiezen, krijgen we A = {2, 3, 5}. Nu zijn er dus ook hoogstens 10201 mogelijkheden door steeds een willekeurig getal te nemen for University Students. Daarnaast is ze (cid:58)
2
We bekijken eerst een klein voorbeeld. Dat A en A niet disjunct, omdat ze allebei 5 voor a − a + t. We mogen t niet gelijk aan zodat A disjunct is met A, …, A . Omdat als deelnemer en organisator betrokken
(cid:63) 1 2 j i 1 2 j 1 j–1 (cid:63)
helpt vaak om meer inzicht te krijgen in de bevatten. We mogen ook niet t = 2 kiezen, een van deze (hoogstens) 10201 getallen we hebben laten zien dat er steeds nog zo’n geweest bij de Landelijk Interuniversitaire
(cid:66) 2 (cid:66)
opgave, en om een idee voor de aanpak van want dan is A = {3, 4, 6} en bevatten zowel kiezen (waarvan een aantal mogelijk niet getal bestaat, is het bewijs afgerond: we Mathematische Olympiade. Ze werkt als
2
(cid:57) het algemene probleem op te doen. A als A het getal 4. Als we t = 4 kiezen, (cid:106)(cid:87)(cid:88)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:40)(cid:22)(cid:56)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:88)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:39) eens in S liggen), maar dan zijn er nog kunnen inderdaad getallen t, t, …, t promovendus aan het Mathematisch (cid:57)
1 2 2 1 2 100
(cid:75) In plaats van een verzameling S met komt 5 in zowel A1 als A2 voor. Met t2 = 5 (cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:97)(cid:105)(cid:48)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:22)(cid:183)(cid:22)(cid:87)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:91)(cid:99)(cid:106)(cid:34)(cid:22)(cid:22) minstens 1000000 – 10201 = 989799 kiezen zodat de verzamelingen A1, A2, …, Instituut van de Universiteit Utrecht. (cid:75)
1 000 000 elementen gaan we voor S uit komt 7 in zowel A als A voor. De getallen (cid:104)(cid:91)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:105)(cid:48)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:87)(cid:22)(cid:33)(cid:22)(cid:39)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:91)(cid:99)(cid:106)(cid:22) mogelijkheden voor t in S over. A disjunct zijn. E–mailadres: [email protected]
1 2 2 100
(cid:59) (cid:59)
van een verzameling met 10 elementen: uit S mogen dus allemaal niet meer! We kiezen t gelijk aan een van deze
2
040_Euclides_Biw_85-6a.indd 6 04-05-2010 08:57:56 040_Euclides_Biw_85-6a.indd 7 04-05-2010 08:57:57
(cid:69) (cid:102) (cid:22) (cid:109) (cid:91) (cid:93) (cid:22) (cid:100) (cid:87) (cid:87) (cid:104)(cid:22) (cid:63) (cid:67) (cid:69) (cid:40) (cid:38) (cid:39) (cid:39)
(cid:63)(cid:67)(cid:69)(cid:40)(cid:38)(cid:38)(cid:41)(cid:22)(cid:183)(cid:22)(cid:69)(cid:70)(cid:61)(cid:55)(cid:76) (cid:59)(cid:22)(cid:39)
(cid:81)(cid:22)(cid:59)(cid:105)(cid:106)(cid:94)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:56)(cid:101)(cid:90)(cid:22)(cid:83)
(cid:69)(cid:102)(cid:98)(cid:101)(cid:105)(cid:105)(cid:95)(cid:100)(cid:93) minstens 989799 getallen, en proberen nu (cid:74)(cid:101)(cid:106)(cid:22)(cid:105)(cid:98)(cid:101)(cid:106)
Laten we nu proberen om de opgave op een t te kiezen. Er mogen geen a en a zijn En mijn hoop om een goede score te halen?
3 i j
te lossen. Van de voorbeelden hebben zodat a + t = a + t of a + t = a + t. Dat Ik dacht dat ik deze opgave goed had en
i 3 j 1 i 3 j 2
we geleerd dat het aantal getallen dat het betekent dat t niet gelijk mag zijn aan a hoopte nog een punt voor opgave 2 te
3 j
(cid:76)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:39)(cid:41)(cid:22)(cid:106)(cid:37)(cid:99)(cid:22)(cid:40)(cid:42)(cid:22)(cid:96)(cid:107)(cid:98)(cid:95)(cid:22)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:39)(cid:22)(cid:108)(cid:95)(cid:100)(cid:90)(cid:106)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:68)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22) Waarom kunnen we in dit voorbeeld geen verschil is tussen twee getallen uit A – a + t, en ook niet gelijk aan a − a + t. hebben; dus was ik tevreden over de eerste
i 1 j i 2
(cid:63)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:100)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:101)(cid:100)(cid:87)(cid:98)(cid:91)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:69)(cid:98)(cid:111)(cid:99)(cid:102)(cid:95)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:30)(cid:63)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:100)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:101)(cid:100)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:67)(cid:87)(cid:106)(cid:94)(cid:91)(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:89)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:69)(cid:98)(cid:111)(cid:99)(cid:102)(cid:95)(cid:87)(cid:90)(cid:34)(cid:22)(cid:63)(cid:67)(cid:69)(cid:31)(cid:22) t vinden, terwijl we in het vorige voorbeeld belangrijk is. In het eerste voorbeeld waren Daarom mogen er hoogstens 2 · 10201 = dag. Helaas bleek ik een foutje te hebben
2
(cid:102)(cid:98)(cid:87)(cid:87)(cid:106)(cid:105)(cid:36)(cid:22)(cid:80)(cid:101)(cid:188)(cid:100)(cid:22)(cid:44)(cid:38)(cid:38)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:39)(cid:38)(cid:38)(cid:22)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:107)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:109)(cid:91)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:93)(cid:22) maar liefst t tot en met t konden vinden er niet veel mogelijkheden voor het verschil 20402 getallen niet voor t; dus er zijn nog gemaakt in opgave 1: als ik het me goed
1 4 3
(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:55)(cid:99)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:90)(cid:87)(cid:99)(cid:22)(cid:94)(cid:107)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:106)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:91)(cid:105)(cid:106)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:112)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:102)(cid:95)(cid:106)(cid:106)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:101)(cid:102)(cid:93)(cid:87)(cid:108)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22) zodat de verzamelingen A disjunct zijn? We van de getallen uit A. Daarom konden we minstens 979598 mogelijkheden over. herinner, was ik vergeten om het verschil
j
(cid:69)(cid:102)(cid:93)(cid:87)(cid:108)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:101)(cid:97)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:104)(cid:101)(cid:91)(cid:102)(cid:105)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:87)(cid:97)(cid:22)(cid:100)(cid:101)(cid:93)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:92)(cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:97)(cid:91)(cid:22)(cid:97)(cid:98)(cid:107)(cid:95)(cid:92)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:88)(cid:88)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22) moeten t zo kiezen dat t + 1, t + 2 en t + daar meer t’s vinden zodat de verzamelingen Nu proberen we dit ook te doen voor t, t, a − a = 0 mee te tellen, zodat ik maar
2 2 2 2 j 4 5 j j
(cid:62)(cid:101)(cid:91)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:93)(cid:87)(cid:108)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:91)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:98)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:22)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:53)(cid:22)(cid:59)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:106)(cid:104)(cid:91)(cid:97)(cid:106)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:100)(cid:91)(cid:99)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:91)(cid:104)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:101)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:53)(cid:22) 4 niet gelijk zijn aan 4, 5 en 7, dus aan 3 + A disjunct zijn, dan in het tweede voorbeeld, …, t . Als we t, …, t al gekozen hebben, 10100 mogelijkheden voor a − a + t had
j 100 l k–l j i l
(cid:69)(cid:99)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:106)(cid:90)(cid:91)(cid:97)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:104)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:107)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:97)(cid:101)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:100)(cid:107)(cid:99)(cid:99)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:59)(cid:107)(cid:89)(cid:98)(cid:95)(cid:90)(cid:91)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:98)(cid:97)(cid:91)(cid:22)(cid:97)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22) 1, 3 + 2 en 3 + 4. Anders gezegd, er mogen waarin er veel meer mogelijkheden waren moeten we t zo kiezen, dat er geen a en a geteld. De tweede dag leverde maar 1 extra
k i j
(cid:63)(cid:67)(cid:69)(cid:35)(cid:101)(cid:102)(cid:93)(cid:87)(cid:108)(cid:91)(cid:22)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:34)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:105)(cid:102)(cid:104)(cid:101)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:106)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22) geen getallen a en b in A bestaan zodat t voor het verschil van de getallen uit A. Nu in A en t (met l < k) zijn zodat a + t = a punt op, zodat mijn score tegenviel. Door
2 l i k j
(cid:68)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:87)(cid:99)(cid:22)(cid:112)(cid:87)(cid:106)(cid:36) + a = 3 + b. Dat betekent dat t niet gelijk is A een gegeven, vaste verzameling, dus we + t. Daarom mag t niet gelijk zijn aan a de training wist ik wel beter hoe je zulke
2 l k j
mag zijn aan b − a + 3, voor alle a en b in A. kunnen er niet voor zorgen dat het aantal – a + t. Voor iedere l neemt dit hoogstens opgaven aan kunt pakken. Dat leverde
i l
In 2002 en 2003 heb ik deelgenomen aan S = {1, 2, …, 10}. Voor A gaan we uit van Als we alle mogelijke a en b proberen, zien verschillen klein is. We moeten er dus 10201 waarden aan, en l loopt van 1 tot niet alleen punten op bij de olympiade,
de Internationale Wiskunde Olympiade. een verzameling met 4 elementen: we dat b − a + 3 een getal tussen 0 en 6 is rekening mee houden dat A heel ongunstig k – 1; dus in totaal zijn er hoogstens maar is ook tijdens mijn studie goed van
Mijn eerste deelname, in Glasgow, was een A = {2, 4, 6, 8}. De verzameling A bestaat (inclusief 0 en 6). Omdat alle getallen uit S kan zijn. 10201(k – l) getallen waaraan t niet gelijk pas gekomen. Bovenal is de olympiade
j k
erg leuke en bijzondere ervaring, maar dan uit t + 2, t + 4, t + 6 en t + 8. Laten al in dit rijtje voorkomen, kunnen we geen Laten we de elementen van A een naam mag zijn. Zolang 10201(k – l) kleiner is een mooie uitdaging voor leerlingen met
j j j j
ondanks een goede voorbereiding bleek het we gewoon proberen een aantal t’s te t meer kiezen. Dat kunnen we ook zien in geven: A = {a, a, …, a }. De verzameling dan 1000000, kunnen we dus een t kiezen. interesse in wiskunde.
j 2 1 2 101 k
niveau van de opgaven voor mij iets te hoog kiezen, en kijken hoeveel we er kunnen tabel 1, waarin alle waarden staan die b − a A bestaat dan uit de getallen t + a, t + a, Het aantal mogelijkheden is natuurlijk het Voor mij was het een heel leuke ervaring om
j j 1 j 2
gegrepen. Na een leerzame en gezellige vinden zodat de verzamelingen A disjunct aanneemt, en alle waarden van b − a + 3. …, t + a . Nu gaan we t, t, …, t kleinst voor k = 100. Hiervoor mogen we intensief en op hoog niveau met wiskunde
j j 101 1 2 100
training mocht ik in 2003 opnieuw zijn. Om te beginnen kiezen we t = 1. Dan Hierin komen alle getallen uit S voor, dus proberen te kiezen, zodat ieder nieuw getal 10201 · 99 = 1009899 getallen niet kiezen. bezig te zijn en andere leerlingen van over
1
meedoen. Deze keer ging de reis helemaal is A = {3, 5, 7, 9}. We willen dat A geen kunnen we geen t kiezen. t een verzameling A geeft die disjunct is Maar er zijn maar 1000000 getallen om de hele wereld met dezelfde interesse te
1 2 2 j j
naar Tokio, wat het natuurlijk extra leuk elementen hiermee gemeenschappelijk met A, …, A . Het idee is dat we gaan uit te kiezen! Deze methode werkt dus niet ontmoeten.
1 j−1
maakte. Ik was vastbesloten meer punten te heeft. Dat gaat zeker goed als A alleen afschatten hoeveel getallen we niet meer als helemaal: we moeten iets scherper schatten
2
halen dan het jaar ervoor, en misschien zelfs grote getallen bevat. Daarom kiezen we t t mogen kiezen. Als er nog ten minste één hoeveel getallen we niet meer mogen kiezen
2 j
een eervolle vermelding voor een volledig zo groot mogelijk: t = 10. Dan krijgen we mogelijkheid is voor t die wel mag (dus voor t.
(cid:42) 2 j k (cid:43)
(cid:41) correct opgeloste opgave. De olympiade A = {12, 14, 16, 18}. zodat A disjunct is met A, …, A ), dan (cid:41)
2 j 1 j−1
(cid:40) (cid:40)
begon met een opgave die me wel leek te Voor t proberen we gewoon de kleinste (cid:106)(cid:87)(cid:88)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:39)(cid:22)(cid:56)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:88)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:40)(cid:22) kunnen we nog een t kiezen. We zouden Laten we nog eens kijken naar het aantal
3 j
liggen. mogelijkheid: t = 2. Dan is A = {4, 6, 8, 10}. (cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:97)(cid:105)(cid:48)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:22)(cid:183)(cid:22)(cid:87)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:91)(cid:99)(cid:106)(cid:34)(cid:22) kunnen proberen om de getallen slim te waarden dat a – a kan aannemen. We
3 3 j i
Dit mag, want A is nu disjunct met zowel (cid:104)(cid:91)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:105)(cid:48)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:87)(cid:22)(cid:33)(cid:22)(cid:41)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:91)(cid:99)(cid:106) kiezen, zodat er nog veel mogelijkheden hebben dit afgeschat op 1012. Echter, als
3
(cid:58)(cid:91)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:93)(cid:87)(cid:108)(cid:91) A als A. over zijn. Dat is echter moeilijk omdat we i = j is a – a = 0. Eigenlijk zijn er dus
1 2 j i
Laat S de verzameling {1, 2, …, 1 000 000} Wat kunnen we nu nog kiezen voor t? Als In het eerste voorbeeld mocht t2 niet gelijk niets over A weten. Daarom kiezen we t minder mogelijkheden voor a – a: er zijn
4 j j i
zijn, en laat A een deelverzameling van S we t = 3 kiezen, is A = {5, 7, 9, 11}; dus zijn aan b − a + 1. In dit geval was b − a willekeurig uit alle mogelijkheden die een hoogstens 101 · 100 = 10100 mogelijk-
4 4
zijn met precies 101 elementen. dan zijn A en A niet disjunct. Hetzelfde altijd een even getal, namelijk 0, ±2, ±4 of A geven die disjunct is met de rest van de heden met i = j, en één mogelijkheid met (cid:63)(cid:100)(cid:92)(cid:101)
1 4 j
Bewijs dat er in S getallen t, t, …, t geldt voor t = 5 en t = 7. Als we t = 4, ±6. Daarom was b − a + 1 altijd oneven, verzamelingen. i = j. In de tabellen bij de voorbeelden Website IMO2011: www.imo2011.nl
1 2 100 4 4 4
bestaan zodat de verzamelingen t = 6 of t = 8 kiezen, zijn A en A niet dus voor t konden we elk even getal uit Voor t kunnen we een willekeurig element kunnen we dit ook al zien: op de diagonaal Zie ook:
4 4 3 4 2 1
A = {t + a | a (cid:141) A} voor j = 1, 2, …, 100 disjunct. We kunnen wel t = 9 kiezen: A S kiezen. Er zijn zelfs nog meer mogelijk- van S kiezen. Nu willen we t zo kiezen, staan alleen nullen. In totaal neemt a − a - Quintijn Puite (2010): Van Bijsterveldt
j j 4 4 2 j i
(cid:22) onderling disjunct zijn. = {11, 13, 15, 17} is disjunct met A, A en heden: 9 mocht ook. Het bijzondere aan dat er geen a en a zijn zodat a + t = a + dus hoogstens 10101 waarden aan. Als we lanceert IMO2011. In: Euclides 85(5), (cid:22)
1 2 i j i 2 j
(cid:44) A. Iedere keuze voor t levert nu een deze verzameling A is dat b − a weinig t; dus t mag niet gelijk zijn aan a − a + hiermee bovenstaande methode om t, t, p. 209. (cid:44)
3 5 1 2 j i 2 3
(cid:114) Ter herinnering, verzamelingen zijn verzameling op die niet disjunct is met verschillende waarden aanneemt: de t. We weten natuurlijk niet welke waarden …, t te kiezen herhalen, dan zien we dat - Birgit van Dalen (2010): Op weg naar (cid:114)
1 100
(cid:43) disjunct als geen enkel getal in twee of meer A, A, A of A. opeenvolgende getallen verschillen altijd a − a + t aanneemt, maar dat is ook niet er hoogstens 10101(k − 1) getallen zijn IMO2011 / IMO2002 - Opgave 1. In (cid:43)
1 2 3 4 j i 1
van die verzamelingen voorkomt. 2, dus 2 komt meerdere malen voor als nodig: we hoeven alleen te weten hoeveel waaraan t niet gelijk mag zijn. Als we nu Euclides 85(5), pp. 210-211.
(cid:46) k (cid:46)
We kunnen ons A voorstellen als een kopie (cid:76)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:88)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:40) verschil. Hetzelfde geldt voor -4, -2, 0 en mogelijkheden voor t we overhouden. k = 100 nemen, zijn er hoogstens 999999
j 2
(cid:22) van A, maar dan ‘verschoven’ over t . We We bekijken nog een ander voorbeeld: 4. Dat zien we ook als we weer een tabel Omdat A precies 101 elementen heeft, getallen die we niet mogen kiezen als t . Er (cid:69)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:107)(cid:106)(cid:91)(cid:107)(cid:104) (cid:22)
j 100
moeten dus 100 van zulke verschoven S = {1, 2, 3, 4, 5} en A = {1, 2, 4}. We maken met alle mogelijke waarden van zijn er in totaal 1012 = 10201 mogelijke is dus nog één mogelijkheid voor t over! Esther Bod heeft in 2002 en 2003 deel-
(cid:22) 100 (cid:22)
kopieën van A vinden, zodat ieder getal in kiezen t willekeurig: t = 3. Dan is A = b − a en b − a + 1; zie tabel 2. tweetallen (a, a) en dus hoogstens 10201 Zelfs als we de getallen willekeurig kiezen, genomen aan de Internationale Wiskunde
(cid:73) 1 1 1 i j (cid:73)
hoogstens één kopie ligt. {4, 5, 7}. Nu proberen we t zo te kiezen, mogelijkheden voor a − a. Als we t kunnen we dus nog een t kiezen. We Olympiade en in 2006 en 2007 aan de
2 j i 1 100
(cid:59) dat A en A disjunct zijn. Als we t = gekozen hebben, is t een vast getal en zijn kunnen de getallen t, …, t dus kiezen International Mathematics Competition (cid:59)
1 2 2 1 1 100
(cid:58) (cid:76)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:88)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:39) 1 kiezen, krijgen we A = {2, 3, 5}. Nu zijn er dus ook hoogstens 10201 mogelijkheden door steeds een willekeurig getal te nemen for University Students. Daarnaast is ze (cid:58)
2
We bekijken eerst een klein voorbeeld. Dat A en A niet disjunct, omdat ze allebei 5 voor a − a + t. We mogen t niet gelijk aan zodat A disjunct is met A, …, A . Omdat als deelnemer en organisator betrokken
(cid:63) 1 2 j i 1 2 j 1 j–1 (cid:63)
helpt vaak om meer inzicht te krijgen in de bevatten. We mogen ook niet t = 2 kiezen, een van deze (hoogstens) 10201 getallen we hebben laten zien dat er steeds nog zo’n geweest bij de Landelijk Interuniversitaire
(cid:66) 2 (cid:66)
opgave, en om een idee voor de aanpak van want dan is A = {3, 4, 6} en bevatten zowel kiezen (waarvan een aantal mogelijk niet getal bestaat, is het bewijs afgerond: we Mathematische Olympiade. Ze werkt als
2
(cid:57) het algemene probleem op te doen. A als A het getal 4. Als we t = 4 kiezen, (cid:106)(cid:87)(cid:88)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:40)(cid:22)(cid:56)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:88)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:39) eens in S liggen), maar dan zijn er nog kunnen inderdaad getallen t, t, …, t promovendus aan het Mathematisch (cid:57)
1 2 2 1 2 100
(cid:75) In plaats van een verzameling S met komt 5 in zowel A1 als A2 voor. Met t2 = 5 (cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:97)(cid:105)(cid:48)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:22)(cid:183)(cid:22)(cid:87)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:91)(cid:99)(cid:106)(cid:34)(cid:22)(cid:22) minstens 1000000 – 10201 = 989799 kiezen zodat de verzamelingen A1, A2, …, Instituut van de Universiteit Utrecht. (cid:75)
1 000 000 elementen gaan we voor S uit komt 7 in zowel A als A voor. De getallen (cid:104)(cid:91)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:105)(cid:48)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:22)(cid:20)(cid:22)(cid:87)(cid:22)(cid:33)(cid:22)(cid:39)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:91)(cid:99)(cid:106)(cid:22) mogelijkheden voor t in S over. A disjunct zijn. E–mailadres: [email protected]
1 2 2 100
(cid:59) (cid:59)
van een verzameling met 10 elementen: uit S mogen dus allemaal niet meer! We kiezen t gelijk aan een van deze
2
040_Euclides_Biw_85-6a.indd 6 04-05-2010 08:57:56 040_Euclides_Biw_85-6a.indd 7 04-05-2010 08:57:57
(cid:58) (cid:91) (cid:89) (cid:87) (cid:100) (cid:106) (cid:91) (cid:104)(cid:91) (cid:100)(cid:22) (cid:91) (cid:100)(cid:22) (cid:93) (cid:93) (cid:90)
(cid:81)(cid:22)(cid:72)(cid:101)(cid:88)(cid:22)(cid:56)(cid:101)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:22)(cid:83)
(cid:63)(cid:100)(cid:98)(cid:91)(cid:95)(cid:90)(cid:95)(cid:100)(cid:93) We volgen hier de lijn van het in dat boek Uit deze voorbeelden zien we dat de ggd
In de vorige aflevering van Euclides stond gegeven bewijs. van twee getallen weliswaar geschreven
een mooi artikel van Hans Schipper (of kan worden als een lineaire combinatie
misschien beter Hans Schipper en zijn Stelling 1. Laten a en b positieve natuurlijke van deze getallen, maar dat die combinatie
leerlingen van het Baudartius College te getallen zijn, dan bestaan er gehele getallen x niet uniek is; dat wil zeggen dat de ggd op
Zutphen) met de titel Decanteerproblemen en y zodat ggd(a, b)= x · a + y · b. meerdere manieren als lineaire combinatie
in een Heraklesweek [1], waarin hij verslag Bewijs. We bekijken de verzameling S van van deze getallen kan worden geschreven.
doet van de wijze waarop leerlingen van zijn alle positieve lineaire combinaties van a en
school uitdagende problemen aanpakken b, dat wil zeggen: (cid:58)(cid:91)(cid:89)(cid:87)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)
en tot welke resultaten zij komen. In het S = {u · a + v · b | ua + vb > 0, met u, v In deze paragraaf passen we Corollarium
artikel komt een probleem aan de orde geheel} 1 toe op een decanteerprobleem. Gegeven
waarbij met twee vaten waarvan de volumes We merken op dat de verzameling S niet zijn een onuitputtelijke waterbron en twee
A en B onderling priem zijn, een bepaalde leeg is. Nemen we u = 1 en v = 0, dan zien vaten waarvan de volumes respectievelijk
hoeveelheid water moet worden afgemeten. we dat a element is van S. Een niet-lege 8 en 5 liter zijn. Gevraagd wordt om met
Aangezien de vaten niet voorzien zijn verzameling natuurlijke getallen bevat deze twee vaten precies 1 liter af te meten.
van maatstrepen, beschikken we in eerste uiteraard (volgens het welordeningsprin- We merken op dat 8 en 5 onderling priem
instantie slechts over de twee maten A en B. cipe) een kleinste element d. Er bestaan dus zijn en dat 1 als lineaire combinatie van 8
De vraag is nu welke hoeveelheden kunnen gehele getallen x en y waarvoor d = xa + yb. en 5 te schrijven is:
worden afgepast. Uiteraard kan zo’n In het vervolg tonen we aan dat d = ggd(a, b). ggd(8, 5) = 1 = 2 · 8 – 3 · 5
hoeveelheid de capaciteit van het grootste Met het algoritme van Euclides (delen met Deze lineaire combinatie vertelt ons dat
vat niet overschrijden. In het genoemde rest) kunnen we a schrijven als: als we uit 2 vaten van 8 liter, 3 vaten van
artikel wordt hierover een stelling afgeleid. a = qd + r, met 0 (cid:98) r < d 5 liter halen, er 1 liter overblijft in een vat
In deze reactie laten we zien dat het De rest r kan geschreven worden als: van 8 liter.
probleem en die stelling alles te maken r(cid:29)a(cid:13)qd (cid:29)a(cid:13)q(xa(cid:11)yb) We gaan dit even na in de overzichtelijke
hebben met de ggd van de volumes van (cid:29)(1(cid:13)qx)a(cid:11)(-qy)b situatie waarin we beschikken over 2
de vaten. Omdat de inhoud van de vaten Deze rest r kan, in dit geval, niet positief gevulde vaten van 8 liter en 3 lege vaten van
(cid:44)
(cid:41) uiteraard positieve natuurlijke getallen zijn, zijn, want dan is: 5 liter. We gieten het water uit het eerste
(cid:40)
beperken we ons in deze reactie tot dat type 0 < r = (1 – qx)a + (-qy)b < d en r is vat van 8 liter over in de vaten van 5 liter.
getallen. daarmee een element van S dat kleiner is Daarna is er 1 vat van 5 liter gevuld en een
dan d, en dat is in tegenspraak met het feit tweede vat van 5 liter bevat dan 3 liter. Het
(cid:58)(cid:91)(cid:22)(cid:93)(cid:93)(cid:90) dat d het kleinste element is in S. tweede vat van 8 liter gieten we nu over in
De grootste gemene deler (ggd) van twee Dus is r = 0, wat betekent dat a = qd, met de twee nog niet gevulde vaten van 5 liter.
natuurlijke getallen is het grootste getal andere woorden d is een deler van a. Op In het tweede vat van 5 liter gieten we nog
dat deler is van beide getallen. Zo is dezelfde wijze kunnen we aantonen dat d 2 liter en daarna vullen we het derde vat
bijvoorbeeld: een deler is van b. De lineaire combinatie van 5 liter, waarna er 1 liter in het tweede
ggd(12, 16) = 4, ggd(21, 35) = 7 en ggd d = xa + yb is dus een gemeenschappelijke vat van 8 liter overblijft. De gevolgde
(18, 25) = 1. deler van a en b. methode kan als volgt worden weergegeven:
Twee getallen waarvan de ggd gelijk is aan Als c een gemeenschappelijke deler is van
(cid:22) 1, heten onderling priem (ook wel relatief a en b, dan deelt c ook d = xa + yb. Iedere
(cid:44) priem). Een fraaie eigenschap van de ggd gemeenschappelijke deler c van a en b is dus
van twee getallen is dat deze te schrijven kleiner dan of gelijk aan d. Waaruit volgt
(cid:114)
is als lineaire combinatie van die getallen. dat d = ggd(a, b). ◊
(cid:43)
Voor de bovenstaande voorbeelden vinden
(cid:46)
we de volgende lineaire combinaties: Voor twee getallen a en b die onderling De lezer kan terecht opmerken dat we
(cid:22) ggd(16, 12) = 4 = 1 · 16 – 1 · 12 priem zijn, geldt dus het volgende: in het oorspronkelijke probleem slechts
(cid:22)
ggd(21, 35) = 7 = 2 · 21 – 1 · 35 Corollarium 1. Laten a en b positieve beschikken over twee vaten: één van 8 liter
(cid:73)
ggd(18, 25)= 1 = 7 · 18 – 5 · 25 natuurlijke getallen zijn met ggd(a, b) = 1, en één van 5 liter, en dat de bovenstaande
(cid:59) De volgende stelling laat zien dat de dan bestaan er gehele getallen x en y zodat xa methode dus niet van toepassing is op het
(cid:58) ggd van twee getallen altijd kan worden + yb = 1. probleem van de twee vaten. We kunnen
geschreven als lineaire combinatie van die Ter illustratie van deze stelling nog enkele onze variant echter eenvoudig vertalen
(cid:63)
getallen. Hoewel het resultaat voor gehele voorbeelden: naar de situatie waarin we over slechts twee
(cid:66) getallen (niet beide nul) geldt, beperken ggd(16,28)(cid:29)4(cid:29)2(cid:150)16(cid:13)1(cid:150)28 vaten beschikken. Nadat het eerste vat van
(cid:57) we ons – zoals gezegd – tot positieve (cid:29)-5(cid:150)16(cid:11)3(cid:150)28 8 liter geleegd is, vullen we deze weer en
ggd(35,14)(cid:29)7(cid:29)1(cid:150)35(cid:13)2(cid:150)14
natuurlijke getallen. De algemene stelling vatten dit op als het tweede vat. Evenzo, als
(cid:75) (cid:29)3(cid:150)35(cid:13)7(cid:150)14
en het bewijs daarvan kan de lezer onder een vat van 5 liter gevuld is, legen we deze
ggd(11,35)(cid:29)1(cid:29)16(cid:150)11(cid:13)5(cid:150)35
(cid:59) andere vinden in het boek van Burton [2]. (cid:29)-19(cid:150)11(cid:11)6(cid:150)35 en vatten het lege vat op als het tweede van
040_Euclides_Biw_85-6a.indd 8 04-05-2010 08:57:58