Euclides, jaargang 85 // 2009-2010, nummer 4

2009·7.7 MB·Dutch

by  Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

(cid:59) (cid:75) (cid:57) (cid:66) (cid:63) (cid:58)(cid:59) (cid:73)
(cid:108) (cid:87) (cid:97) (cid:88) (cid:98) (cid:87) (cid:90) (cid:22) (cid:108) (cid:101) (cid:101) (cid:104) (cid:22) (cid:90) (cid:91) (cid:22) (cid:109) (cid:95) (cid:105) (cid:97) (cid:107) (cid:100) (cid:90) (cid:91) (cid:98) (cid:91) (cid:104) (cid:87) (cid:87) (cid:104)
(cid:92) (cid:91) (cid:88) (cid:104) (cid:107) (cid:87) (cid:104) (cid:95)
(cid:39) (cid:38)(cid:22)(cid:42)
(cid:100) (cid:104)
(cid:96) (cid:87) (cid:87) (cid:104) (cid:93) (cid:87) (cid:100) (cid:93) (cid:22) (cid:46) (cid:43)
(cid:74)(cid:109)(cid:91)(cid:91)(cid:106)(cid:87)(cid:98)(cid:95)(cid:93)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:105)
(cid:61)(cid:101)(cid:101)(cid:93)(cid:98)(cid:91)(cid:188)(cid:105)(cid:22)(cid:70)(cid:87)(cid:93)(cid:91)(cid:72)(cid:87)(cid:100)(cid:97)
(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:56)(cid:87)(cid:105)(cid:91)
(cid:59)(cid:107)(cid:104)(cid:101)(cid:102)(cid:91)(cid:91)(cid:105)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:105)
(cid:56)(cid:87)(cid:104)(cid:106)(cid:96)(cid:91)(cid:100)(cid:105)(cid:22)(cid:72)(cid:91)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:89)(cid:106)(cid:91)(cid:91)(cid:22)
(cid:66)(cid:107)(cid:90)(cid:101)(cid:98)(cid:102)(cid:94)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)
(cid:30)(cid:39)(cid:43)(cid:42)(cid:38)(cid:35)(cid:39)(cid:44)(cid:39)(cid:38)(cid:31)
(cid:69)(cid:104)(cid:93)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:68)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:76)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:93)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:104)(cid:87)(cid:104)(cid:91)(cid:100)
038_EuclidesOms_85-4.indd 1 20-01-2010 09:35:51
CASIO dè nr.1 in rekenmachines
(cid:57)(cid:69)(cid:66)(cid:69)(cid:60)(cid:69)(cid:68)
(cid:92) (cid:91) (cid:88) (cid:104) (cid:107) (cid:87) (cid:104) (cid:95)
(cid:39) (cid:38)(cid:22)(cid:42)
(cid:100) (cid:104)
(cid:96) (cid:87) (cid:87) (cid:104) (cid:93) (cid:87) (cid:100) (cid:93) (cid:22) (cid:46) (cid:43)
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging
van Wiskundeleraren.
Het blad verschijnt 7 maal per verenigingsjaar.
ISSN 0165-0394
(cid:72)(cid:91)(cid:90)(cid:87)(cid:89)(cid:106)(cid:95)(cid:91)
Bram van Asch
Klaske Blom, hoofdredacteur
Rob Bosch
Hans Daale
Dick Klingens, eindredacteur
Wim Laaper, secretaris
CASIO FX-9860GII SD
Marjanne de Nijs
Joke Verbeek
Snelste grafische rekenmachine
Heiner Wind, voorzitter
(cid:63)(cid:100)(cid:112)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:104)(cid:87)(cid:93)(cid:91)(cid:100) Comfortabel: de grafische rekenmachine FX-9860GII SD
Artikelen en mededelingen naar de (cid:68)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:76)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:93)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22) (cid:66)(cid:95)(cid:90)(cid:99)(cid:87)(cid:87)(cid:106)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:87)(cid:102)
met Natural tekstboek display, backlight voor de donkere
(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:104)(cid:87)(cid:104)(cid:91)(cid:100)
hoofdredacteur: Klaske Blom, Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides.
Westerdoksdijk 39, 1013 AD Amsterdam Website: www.nvvw.nl De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor momenten, spreadsheet, uitwisseling via de PC en
E-mail: [email protected] - leden: € 65,00
natuurlijk een SD-kaartslot.
(cid:76)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:112)(cid:95)(cid:106)(cid:106)(cid:91)(cid:104) - leden, maar dan zonder Euclides: € 37,50
(cid:72)(cid:95)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:98)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:87)(cid:104)(cid:106)(cid:95)(cid:97)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:100)
Marian Kollenveld, - studentleden: € 32,50
Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk - gepensioneerden: € 37,50
drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op Tel. [phone] - leden van de VVWL of het KWG: € 37,50
(cid:40)(cid:21)(cid:95)(cid:86)(cid:86)(cid:103)
papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. E-mail: [email protected] Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50
Zie voor nadere aanwijzingen: Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te (cid:92)(cid:86)(cid:103)(cid:86)(cid:99)(cid:105)(cid:94)(cid:90)
www.nvvw.nl/euclricht.html (cid:73)(cid:91)(cid:89)(cid:104)(cid:91)(cid:106)(cid:87)(cid:104)(cid:95)(cid:105) geven bij de ledenadministratie.
Kees Lagerwaard, Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli.
(cid:72)(cid:91)(cid:87)(cid:98)(cid:95)(cid:105)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91)
Eindhovensingel 15, 6844 CA Arnhem
Ontwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk Tel. [phone] (cid:55)(cid:88)(cid:101)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:95)(cid:91)(cid:106)(cid:35)(cid:98)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)
en mailingservices E-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende
(cid:22) De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v. nummer.
CASIO FX-82ES
Veenendaal, www.dekleuver.nl (cid:66)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:87)(cid:90)(cid:99)(cid:95)(cid:100)(cid:95)(cid:105)(cid:106)(cid:104)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91) Personen (niet-leden van de NVVW): € 60,00
(cid:22)
Elly van Bemmel-Hendriks, Instituten en scholen: € 140,00
(cid:73) Met tekstboek display
De Schalm 19, 8251 LB Dronten Losse nummers zijn op aanvraag leverbaar: € 17,50
(cid:59)
Tel. [phone] Betaling per acceptgiro.
De technisch- wetenschappelijke
(cid:58) E-mail: [email protected]
(cid:55)(cid:90)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:95)(cid:96)(cid:105)(cid:98)(cid:107)(cid:95)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:105)
zakrekenmachine FX-82ES van CASIO zorgt
(cid:63)
(cid:62)(cid:91)(cid:98)(cid:102)(cid:90)(cid:91)(cid:105)(cid:97)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:105)(cid:102)(cid:101)(cid:105)(cid:95)(cid:106)(cid:95)(cid:91) De Kleuver bedrijfscommunicatie bv:
(cid:66) voor overzicht: Op de Natural Textbook
NVvW - Rechtspositie-Adviesbureau, t.a.v. Annemieke Boere
(cid:57) Postbus 405, 4100 AK Culemborg Kerkewijk 63, 3901 EC Veenendaal Display worden o.a. breuken en wortels
(cid:75) Tel. [phone] Tel. [phone]
weergegeven zoals in het leerboek.
E-mail: [email protected]
(cid:59)
www.casio.nl
Casio-adv-2.indd 1 05-10-2009 10:48:47
038_EuclidesOms_85-4.indd 2 20-01-2010 09:35:56
(cid:59)(cid:59) (cid:75)(cid:75) (cid:57)(cid:57) (cid:66)(cid:66) (cid:63)(cid:63) (cid:58)(cid:58)(cid:59)(cid:59) (cid:73)(cid:73)
(cid:65) (cid:22) (cid:22) (cid:63)
(cid:69)(cid:72)(cid:74) (cid:76)(cid:69)(cid:69)(cid:72)(cid:55)(cid:60) (cid:68)(cid:62)(cid:69)(cid:75)(cid:58)
(cid:81)(cid:22)(cid:65)(cid:98)(cid:87)(cid:105)(cid:97)(cid:91)(cid:22)(cid:56)(cid:98)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:83)
(cid:22) (cid:22)(cid:22)(cid:22)
(cid:76)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:93)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:105)(cid:100)(cid:107)(cid:99)(cid:99)(cid:91)(cid:104)
Dit nummer heeft een opvallend verenigingskarakter vanwege een groot aantal aan de NVvW
gerelateerde bijdragen. Voor iedereen die niet aanwezig was op de studiedag van de vereniging
in november 2009, en voor iedereen die nog eens wil herhalen, sla de jaarrede van Marian
Kollenveld op en lees over ontdekkingsreizen, leraarschap en professionalisering. Naast de jaarrede 137 Kort vooraf
vindt u ook een fotoreportage van deze dag, een sfeerimpressie waarmee we u willen overhalen om [Klaske Blom]
toch vooral dit jaar weer/wel te komen naar de NVvW-dag. Herinnert u zich nog dat Frank van 138 Ruzie met Van Ceulen
den Heuvel in nummer 3 zich afvroeg of de naam NVvW nog wel up-to-date is, in zijn artikel [Gijs Langenkamp, Wiggert
What’s in a name?, of dat we in de toekomst door het leven zullen gaan als NVvW & NLT? Ik weet Loonstra]
het zo net nog niet. Wel weet ik dat Harm Jan Smid in dit nummer uiteenzet dat de NVvW toch 141 ‘Thank you for the interesting
een beetje een vakbond aan het worden is – NVvW & Bond?
lesson’
En er is nog meer vanuit de vereniging: Marianne Lambriex doet verslag van de ontwikkelingen
[Josephine Buskes]
binnen en met het beroepsregister, en Kees Lagerwaard geeft zicht op zaken waarmee het bestuur
144 Boekbepreking / 50 inzichten
zich bezig houdt.
wiskunde
[Bram van Asch]
(cid:60)(cid:91)(cid:88)(cid:104)(cid:107)(cid:87)(cid:104)(cid:95)
145 De UvA webklas wiskunde
Wat is dat toch voor periode? Het lijkt er één van relatieve rust, een tijd waarin u mogelijk nog
aan het bijkomen bent van de NWD, waarin u langzamerhand toewerkt naar een afronding van [Jan Brandts]
de lesstof in de examenklassen en start met de voorbereiding op de examens. Maar het is ook 149 WisBase
de tijd waarin u uw vmbo-T-leerlingen een eerste advisering moet geven over het al dan niet [Bram Theune]
opnemen van wiskunde in hun pakket in de vierde klas, waarin u een profieladvisering in 153 Dynamische meetkunde
3-havo/vwo moet geven, de tijd van de Open Dagen en van de achtste groepers die voor Leuke [Christian Bokhove]
Lesjes op bezoek komen. Het lijkt een periode van in-de-week-zetten, een tijd in afwachting van 155 Verschenen
veel dingen-die-gaan-komen. En misschien nog steeds van sneeuw en sneeuwballen... Na februari
157 Lesgeven op een Europese school
is het gedaan, verdwijnt de rust als sneeuw voor de zon en snellen de verkorte weken aan ons
[Rik Weeda]
voorbij.
159 Rekenkampioen van Nederland
Geniet er nu nog even van en neem de tijd om Euclides te lezen. Er is veel lezenswaard.
2009
[Ed de Moor]
(cid:63)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:106)(cid:22)(cid:100)(cid:107)(cid:99)(cid:99)(cid:91)(cid:104) (cid:45)
In Thank you for the interesting lesson schrijft Josephine Buskes over het geven van wiskunde in het 161 Opgaven Rekendictee 2009 (cid:41)
(cid:39)
tweetalig onderwijs. Ouderwetse spelletjes doen en praten maar; voor haar is het een 162 Het Geheugen
verrijking van haar werk geworden. En als leerlingen door de uitwisselingen met scholen in [Harm Jan Smid]
Engeland en passant nog een graantje meepikken van de Engelse beleefdheidsvormen, is dat 165 Vanuit de oude doos
helemaal mooi meegenomen. [Ton Lecluse]
Wat ook mooi is, is de prestatie van Allard Veldman: hij werd rekenkampioen bij het Bartjens 167 Ekādhikena Pūrveņa
Rekendictee 2009. Ed de Moor sprak met hem over rekenen (uiteraard), zingen, programmeren [Henk Hooijschuur]
en getalinzicht. Heeft u de sommen van het dictee al eens geprobeerd met een stopwatch naast uw
168 Oppervlakteformules
kladpapier? Dat valt helemaal niet mee, kan ik u verzekeren.
[Yvonne Killian]
Ruziemakende wiskundemeesters, ze blijken van alle tijden te zijn. In het tweede deel van onze
168 Mededeling
serie over Van Ceulen en zijn werk schrijven Langenkamp en Loonstra over een ruzie tussen Van
169 Verhouding staat tot Breuk is als
Ceulen en Goudaen waarbij Van Ceulen lijkt te triomferen: ‘(…) maer Willem Goudaen voor
4 staat tot 1 (cid:22)
hem neder siende en niet een woort sprekende scheen wel op die tijt verslaghen ende met geen bewijs-
redenen teghen mijn solutie voorsien te zijne.’ Misschien wat meer echt bij de tijd zijn de artikelen [Hessel Pot] (cid:22)
van Bram Theune over WisBase, van Jan Brandts over Google en van Christian Bokhove over een 171 Een rij van cosinussen (cid:42)
dynamisch meetkundeprogramma. Het artikel van Brandts, Google’s PageRank, over kabouters [Paul Dillo, Joost Hulshof]
(cid:114)
en Goozzles, biedt fantastisch materiaal voor leerlingen die graag verder kijken dan de gangbare 172 Verschenen
(cid:43)
schoolwiskunde. En ook voor docenten biedt het nieuws om te leren! Bram Theune toont weer 174 Jaarrede 2009
eens aan in wat voor actieve, wiskunde-collegiale omgeving we ons bevinden – we kunnen zo Marian Kollenveld (cid:46)
aansluiten en meedoen! Bokhove is in de pen geklommen door een aantal artikelen uit een vorig
177 Van de bestuurstafel (cid:22)
nummer van Euclides. Hij laat u zien hoe hij deze artikelen via dynamische meetkunde met (cid:22)
[Kees Lagerwaard]
elkaar in verband brengt. Er zijn nog meer reacties op voorgaande artikelen: met een bijzonder (cid:73)
178 Het beroepsregister
algoritme toont Henk Hooijschuur aan dat de decimale ontwikkeling van 1/83 geen 82 maar
[Marianne Lambriex] (cid:59)
41 repeterende decimalen heeft, en het stuk van Dick Klingens over Een rij van cosinussen krijgt
aanvullingen van Paul Dillo en Joost Hulshof. Hessel Pot geeft in Verhouding staat tot Breuk als 4 179 Persbericht (cid:58)
tot 1 antwoorden op de in eerdere nummers opgeroepen vragen. 180 Jaarvergadering/studiedag 2009
(cid:63)
Het doet mij persoonlijk goed te weten dat Euclides niet alleen gelezen wordt, maar ook uitdaagt [Metha Kamminga]
(cid:66)
tot schrijven. Ik zie uw bijdragen graag verschijnen! 182 Recreatie
Mocht u – ondanks de vele boeiende facetten van het Nederlandse wiskundeonderwijs – toch [Frits Göbel] (cid:57)
eens over de grenzen willen kijken, dan brengt het artikel van Rik Weeda u wellicht op goede 184 Servicepagina
(cid:75)
ideeën. En mocht u besluiten om toch maar hier te blijven, dan graag weer tot een volgende
Euclides! (cid:59)
Aan dit nummer werkte verder mee: René Vlak.
038_Euclides_Biw_85-4_.indd 1 20-01-2010 09:30:48
(cid:72) (cid:107) (cid:112) (cid:95) (cid:91)(cid:22) (cid:99) (cid:91) (cid:106)(cid:22) (cid:22)
(cid:76)(cid:87) (cid:100) (cid:22) (cid:57)(cid:91) (cid:107) (cid:98) (cid:91) (cid:100)
(cid:81)(cid:22)(cid:61)(cid:95)(cid:96)(cid:105)(cid:22)(cid:66)(cid:87)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:97)(cid:87)(cid:99)(cid:102)(cid:34)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:93)(cid:93)(cid:91)(cid:104)(cid:106)(cid:22)(cid:66)(cid:101)(cid:101)(cid:100)(cid:105)(cid:106)(cid:104)(cid:87)(cid:22)(cid:83)
(cid:63)(cid:100)(cid:22)(cid:40)(cid:38)(cid:39)(cid:38)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:42)(cid:38)(cid:38)(cid:22)(cid:96)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:66)(cid:107)(cid:90)(cid:101)(cid:98)(cid:102)(cid:94)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:90)(cid:36)(cid:22)(cid:69)(cid:99)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:95)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22) bij Goudaen ingeleverd worden en moet
(cid:104)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:101)(cid:101)(cid:95)(cid:22)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:87)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22)(cid:76)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22) dan binnen zijn vóór 27 juni van dat jaar,
(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:109)(cid:101)(cid:91)(cid:90)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:91)(cid:108)(cid:87)(cid:105)(cid:106)(cid:22)(cid:187)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:98)(cid:107)(cid:105)(cid:106)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:104)(cid:88)(cid:91)(cid:111)(cid:106)(cid:188)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22) omdat Goudaen op 1 juli een openbare
(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:101)(cid:102)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22)(cid:58)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:100)(cid:95)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:87)(cid:89)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:99)(cid:95)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:101)(cid:101)(cid:98)(cid:90)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:105)(cid:34)(cid:22)(cid:100)(cid:87)(cid:99)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:100)(cid:95)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:87)(cid:98)(cid:106)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22) les zal geven waarin hij de opgave zal
(cid:99)(cid:91)(cid:91)(cid:105)(cid:106)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:94)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:22)(cid:98)(cid:95)(cid:93)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:93)(cid:49)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:90)(cid:104)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:100)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:101)(cid:100)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22) uitleggen. Als Van Ceulen bij de bewuste
(cid:100)(cid:95)(cid:108)(cid:91)(cid:87)(cid:107)(cid:36)(cid:22)(cid:59)(cid:104)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:90)(cid:87)(cid:87)(cid:90)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:95)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22) deur aankomt, blijkt de opgave verdwenen.
(cid:76)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:104)(cid:97)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:99)(cid:101)(cid:91)(cid:95)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:105)(cid:91)(cid:104)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:104)(cid:106)(cid:95)(cid:97)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22) Na enig aandringen bij Goudaen, die zegt
(cid:80)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:104)(cid:97)(cid:22)(cid:87)(cid:90)(cid:91)(cid:99)(cid:106)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:91)(cid:90)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:104)(cid:97)(cid:98)(cid:107)(cid:105)(cid:106)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:22)(cid:92)(cid:104)(cid:95)(cid:105)(cid:94)(cid:91)(cid:95)(cid:90)(cid:34)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:87)(cid:97)(cid:22)(cid:99)(cid:101)(cid:101)(cid:95)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22) dat hij eigenlijk te laat is, krijgt Van Ceulen
(cid:88)(cid:101)(cid:91)(cid:95)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:34)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:87)(cid:87)(cid:97)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:106)(cid:101)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:105)(cid:105)(cid:87)(cid:100)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:95)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22) het probleem toch te zien. De volgende
(cid:109)(cid:91)(cid:104)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22)(cid:62)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:97)(cid:95)(cid:96)(cid:97)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:102)(cid:104)(cid:101)(cid:88)(cid:98)(cid:91)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:99)(cid:91)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:22) dag al biedt hij de oplossing aan Goudaen
(cid:109)(cid:101)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:34)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:90)(cid:95)(cid:91)(cid:102)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:101)(cid:101)(cid:98)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:107)(cid:36)(cid:22)(cid:58)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:97)(cid:101)(cid:99)(cid:106)(cid:22)(cid:100)(cid:101)(cid:93)(cid:22)(cid:88)(cid:95)(cid:96)(cid:22) aan. Deze wil het antwoord echter niet in
(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:76)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:105)(cid:105)(cid:87)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:34)(cid:22)(cid:105)(cid:101)(cid:99)(cid:105)(cid:22)(cid:112)(cid:91)(cid:98)(cid:92)(cid:105)(cid:22)(cid:105)(cid:102)(cid:91)(cid:106)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:34)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:98)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:105)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:99)(cid:93)(cid:91)(cid:108)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22) ontvangst nemen en wederom krijgt Van
(cid:94)(cid:87)(cid:90)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:90)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:95)(cid:91)(cid:106)(cid:105)(cid:22)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:106)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:96)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:90)(cid:91)(cid:36) Ceulen te horen dat hij te laat is. Als reactie
(cid:55)(cid:98)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:90)(cid:107)(cid:105)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:101)(cid:91)(cid:93)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:107)(cid:22)(cid:87)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:22)(cid:30)(cid:100)(cid:107)(cid:22)(cid:100)(cid:101)(cid:93)(cid:22)(cid:112)(cid:91)(cid:108)(cid:91)(cid:100)(cid:31)(cid:22)(cid:100)(cid:107)(cid:99)(cid:99)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:22)(cid:98)(cid:87)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:106)(cid:104)(cid:87)(cid:97)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:22) daarop gaat Van Ceulen naar de kerkdeur
(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:76)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:57)(cid:91)(cid:107)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:35)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:94)(cid:87)(cid:98)(cid:91)(cid:100)(cid:34)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:104)(cid:91)(cid:108)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:102)(cid:91)(cid:89)(cid:95)(cid:87)(cid:98)(cid:95)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:36) waar hij al eerder is geweest. Hij spijkert
de opgave tezamen met zijn oplossing op
de deur. Daarbij geeft Van Ceulen op zijn
Herkent u het volgende? Een leerling komt (cid:77)(cid:95)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:99)(cid:22)(cid:61)(cid:101)(cid:107)(cid:90)(cid:87)(cid:91)(cid:100) beurt Goudaen een vraagstuk, zodat deze
na het teruggeven van de repetitie naar u In het vorige artikel (zie [5]) is uitgebreid ook wat te rekenen heeft. Daarna vertrekt
toe om te vertellen dat een bepaalde som stilgestaan bij de persoon en het leven Van Ceulen weer naar Delft. Goudaen
toch echt wel goed opgelost was. Rustig van Ludolph van Ceulen. Over Willem reageert op bovenstaande door een
(cid:46)
(cid:41) legt u uit dat hij of zij wel degelijk een Goudaen, de rekenaar met wie we in dit ‘lasterlijk schrift’ op te stellen waarin hij
(cid:39)
fout heeft gemaakt en het aantal punten artikel kennis maken, is helaas maar weinig beweert dat Van Ceulen de oplossing niet
voor de opgave dus ongewijzigd blijft. De bekend. Hij heeft gewoond in Haarlem gevonden heeft.
leerling, niet in staat uw antwoord volledig en leefde in elk geval rond de periode We staan even stil bij een belangrijk detail.
te doorzien, zet nog een nieuwe poging in. 1580-1583. Hij heeft zich tijdens zijn leven Van Ceulen noemt in zijn tekst namelijk
De sfeer wordt enigszins gespannen. Het onder meer bezig gehouden met wiskunde. later nog een tweede opgave die in 1583
meningsverschil dreigt uit te groeien tot een Goudaen is bekend of berucht geworden ‘aengheslaghen’ is door Goudaen, waar hij
uitbarsting van de leerling. Maar dan gaat door problemen op te stellen en andere bij vermeldt ‘hoe wel nochtans niet zijn
de bel, de pauze begint en het cijfer van mensen uit te dagen deze op te lossen. Door [i.e. Goudaens] inventie’. Deze tweede
wiskunde blijkt ineens oneindig veel minder het niet accepteren van (correcte) oplossingen, opgave waarmee Goudaen pronkte, was
belangrijk dan die vijftien vrije minuten. ontstonden interessante ruzies. helemaal niet door Goudaen zelf opgesteld!
Verbaasd over deze plotselinge omslag, maar Een andere rekenmeester, Nicolaus Petri,
(cid:22) eigenlijk ook wel opgelucht, verlaat u het (cid:58)(cid:91)(cid:22)(cid:104)(cid:107)(cid:112)(cid:95)(cid:91) was eerder de uitdaging met Goudaen
(cid:42) lokaal op weg naar de personeelskamer. Ludolf van Ceulen schrijft in zijn boekje aangegaan en kreeg hetzelfde eerste
Solutie ende Werckinghe op twee geometri- probleem voorgelegd. Als reactie gaf Petri
(cid:114)
In deze tweede bijdrage van een serie sche vraghen (1584; zie [2]) over de ruzie naast een correcte oplossing van het eerste
(cid:43)
artikelen over Ludolph van Ceulen gaat het die hij gehad heeft met Willem Goudaen. probleem, een eigen opgave aan Goudaen.
(cid:46)
over ruzie. Uitgedaagd door een probleem Hieronder volgt een samenvatting. De Deze tweede opgave die Goudaen (ook) aan
(cid:22)
dat opgesteld is door rekenmeester Willem citaten zijn afkomstig uit het genoemde de kerkdeur nagelde, is opgesteld door Petri
(cid:22)
Goudaen, raken de collega’s Van Ceulen en boek van Van Ceulen. om juist Goudaen mee uit te dagen. Er is
(cid:73)
Goudaen verwikkeld in een conflict. Het is Op 21 juni 1583 gaat Ludolf van Ceulen dus sprake van plagiaat! Zie ook [4].
(cid:59) hierbij overigens de vraag of de benaming naar Haarlem om een opgave op te zoeken We vervolgen nu weer de gebeurtenissen
(cid:58) rekenmeester voor Goudaen terecht is; iets die Willem Goudaen daar aan een kerkdeur van 1583, waarna we het eerste probleem
wat u aan het einde van het artikel zelf mag heeft vastgespijkerd. Het antwoord kan (wel van Goudaen zelf dus) bespreken.
(cid:63)
bepalen. We beschrijven eerst de ruzie en
(cid:66)
nemen u vervolgens mee naar het vraagstuk
(cid:57) waar het allemaal om draaide. Hopelijk
voelt u zich uitgedaagd een oplossing te
(cid:75)
vinden, al dan niet voor een ‘kanne wijn’.
(cid:59)
038_Euclides_Biw_85-4_.indd 2 20-01-2010 09:30:49
Het wordt 1 juli en Van Ceulen gaat weer geen geldige eigen oplossing. Hij speelt op Voordat we de oplossing geven hebben
naar Haarlem om bij de les die Goudaen de man in plaats van dat hij het probleem we het volgende resultaat nodig; het is
gaat geven, aanwezig te zijn. Daarvoor bespreekt. Propositie 13 van het tweede boek van
moet overigens wel ‘leergelt’ van honderd Dit laatste is, natuurlijk samen met het Euclides, Elementen II-13:
daalders, of tenminste honderd guldens, voorgaande, reden voor Van Ceulen om in Laat driehoek ABC een driehoek zijn met
betaald worden. een boekje de hele gang van zaken op te alleen maar scherpe hoeken (zie figuur 2),
In de vergadering laat Goudaen weten, zo schrijven en iedereen die maar wil, te laten dan geldt:
blijkt uit het verslag van Van Ceulen, dat weten hoe de vork nu echt, althans volgens AC2(cid:29)AB2(cid:11)CB2(cid:13)2·CB(cid:150)BD
niemand het probleem op heeft kunnen Van Ceulen, in de steel zit. Hij besluit zijn Als we hoek ABC (cid:65) noemen, dan hebben
lossen. Bovendien beweert Goudaen dat verslag van de ruzie met de volgende tekst, we BD(cid:29)AB(cid:150)cos(cid:65). We krijgen nu:
iemand heeft geprobeerd zijn werk te een passage die de sfeer van Van Ceulens AC2 (cid:29)AB2(cid:11)CB2(cid:13)2·CB·AB·cos(cid:65)
beletten. Volgens de weergave van Van tekst mooi weergeeft. Deze uitdrukking kennen we als de
Ceulen zijn deze beide zaken onwaar. cosinusregel.
Van Ceulen reageert dan ook fel: (...) my ghenoeghen laten dat ick die Solutie
zijner voorsz. vraghen (die hy soo hooch ja Bewijs. We zien na enig rekenwerk dat:
Dese ende meer andere belachlijcke bijcans ondoenlijck acht nochtans gheringh BC2(cid:11)BD2(cid:29)2BC·BD(cid:11)(BC(cid:13)BD)2(cid:29)
beuselinghen in mijn presentie ghelesen zijn) werckelijck (...) al de werelt voor ooghen (cid:29)2BC·BD(cid:11)DC2
antwoorde ick: Willem Goudaen om alle stelle bereet zijnde tselve den onverstandigen Tellen we hier AD2 bij op, dan krijgen we:
dese voorghelesen articulen te beantwoorden t’onderrichten ende teghen alle wedersprekers BC2(cid:11)BD2(cid:11)AD2 (cid:29)2BC·BD(cid:11)DC2(cid:11)AD2
souden my wapenen ghebreken doch ist in presentie van alle der const verstandighe Met ‘Pythagoras’ in driehoek CAD zien we
noodeloos dewijle my die ten minsten deel (wiens oordeel ic my gaerne onderwerpe) te dat:
niet aen en gaen ben oock daerom niet hier verdadighen. Hier by voeghende twee by my BC2(cid:11)AB2(cid:11)AD2(cid:29)2BC(cid:150)BD(cid:11)DC2(cid:11)AC2(cid:13)DC2
gecomen: maer alleenlick om te hooren ende gheproponeerde exemplen daer ic Willem En hieruit volgt dat:
sien met wat bewijsredenen ghy mijn solutie Goudaen (in plaetse van weer lasterens) mede BC2(cid:11)AB2(cid:13)2BC·BD(cid:29)AC2 (cid:103)
op d’aengheslaghen vraghe sult willen weder- vereere.
legghen welcke mijne solutie oock zylcx is dat Oplossing van Goudaens eerste vraagstuk
ick die niet besloten en behoeve over te geven (cid:62)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:108)(cid:104)(cid:87)(cid:87)(cid:93)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:97) – Schrijf AE = x. Nu hebben we FA = x – 5,
maer vry voor alle verstandighe opentlijck We hebben gezien dat de ruzie tussen en als we ‘Pythagoras’ toepassen in de
mach ghetoont werden: hebbe hem hier mede Van Ceulen en Goudaen gaat over twee driehoeken AFB en AEC, zien we dat:
de solutie mitsgaders het werck waer door vraagstukken die Goudaen op de kerkdeur FB(cid:29) -x2(cid:11)10x(cid:11)39 en AC (cid:29) 10x(cid:11)39
(cid:40)(cid:47)
d’selve was voortcomende gepresenteert: maer spijkerde. We behandelen alleen het eerste Gebruik nu Propositie 13 in driehoek CAD. (cid:41)(cid:41)
(cid:41)(cid:39)
Willem Goudaen voor hem neder siende en vraagstuk, waarbij we opmerken dat het We zien dan:
niet een woort sprekende scheen wel op die tweede vraagstuk een soortgelijke opgave is. 122 (cid:29)10x(cid:11)39(cid:11)162(cid:13)2·EC·16
tijt verslaghen ende met geen bewijsredenen Nu kunnen we EC uitdrukken in x:
151(cid:11)10x
teghen mijn solutie voorsien te zijne. Eerste vraagstuk van Goudaen – Gegeven EC (cid:29)
32
is de veelhoek in figuur 1 op pag. 140. Er geldt dat FB = EC, maar we zagen al dat
Van Ceulen presenteert vervolgens zijn Opdracht is om de lengte van zijde AE te FB(cid:29) -x2(cid:11)10x(cid:11)39. We hebben dus de
oplossing. Goudaen reageert terneer- vinden. In de figuur staan lijnstukken AE volgende vergelijking:
geslagen. Van Ceulen uit zijn verbazing: en BC loodrecht op lijnstuk DC en staat -x2(cid:11)10(cid:11)39(cid:29)151(cid:11)10x
32
U zou mijn oplossing toch weerleggen? lijnstuk FB loodrecht op lijnstuk AE. Door links en rechts van het gelijkteken te
Van Ceulen krijgt de gelegenheid zijn kwadrateren en alle termen naar links te
oplossing alsnog in te leveren, maar gaat Van Ceulen heeft op twee manieren de brengen krijgen we de volgende tweede-
met deze gang van zaken niet akkoord. Hij opgave opgelost. Hieronder volgt de graads vergelijking: (cid:22)
besluit met de conclusie dat Goudaen zijn oplossing van Van Ceulen die hij een -1124x2(cid:11)7220x(cid:11)17135(cid:29)0 (cid:42)
bezwaren niet vol kan houden. Hij wil dan oplossing met Cos’ noemde. Waarbij we Omdat x groter dan 0 moet zijn, krijgen
(cid:114)
ook dat deze zijn lasterlijk schrift terug- wel moeten opmerken dat de onderstaande we:
neemt. De zaak lijkt nu wél beslecht. Van oplossing een vrije vertaling is naar heden- x(cid:29)7220(cid:11) 129167360(cid:29)3119(cid:11) 2544215 (cid:103) (cid:43)
2248 562 78961
Ceulen krijgt een biertje aangeboden van daagse wiskunde. Het woord Cos’ is een Volgens Van Ceulen beweerde Goudaen dat (cid:46)(cid:22)
Goudaen; later geven ze elkaar de hand en verbastering van het Italiaanse woord Cosa, de oppervlakte (toentertijd werd dit inhoud
(cid:22)(cid:22)
Van Ceulen vertrekt. dat Ding betekent. Het Ding is datgene wat genoemd) van figuur 1 niet uitgerekend kan
(cid:73)(cid:73)
Na verloop van tijd verschijnt er echter een je wilt vinden waarvan je doet alsof je het worden zonder dat AE bekend is. Dat dit
nieuwe publicatie van Goudaen, Openbare al hebt. Italiaanse wiskundigen hebben dit niet waar is, laat Van Ceulen met een tegen- (cid:59)(cid:59)
Presentatie. Deze tekst is helaas verloren idee overgenomen van Islamitische voorbeeld zien. (cid:58)(cid:58)
gegaan, evenals het eerder genoemde wiskundigen. Tegenwoordig gebruiken we
(cid:63)(cid:63)
lasterlijk schrift. Blijkens het verslag van hier een letter voor, bijvoorbeeld x. Dus we We dagen de lezer uit om te laten zien dat
(cid:66)(cid:66)
Van Ceulen wordt in de door Goudaen hebben het hier over algebra. Toentertijd inderdaad de oppervlakte uitgerekend kan
geschreven publicatie Van Ceulen zwart heette algebra nog niet algebra, maar de worden zonder dat AE bekend is. (cid:57)(cid:57)
gemaakt, zonder dat er op de wiskunde regel Cos. Onze notatie x en machten van x
(cid:75)(cid:75)
ingegaan wordt. Goudaen weerlegt Van dateert van 1637 toen Descartes’ La Geometrie
(cid:59)(cid:59)
Ceulens oplossing niet, maar geeft ook verscheen.
038_Euclides_Biw_85-4_.indd 3 20-01-2010 09:30:50
(cid:56)(cid:91)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:101)(cid:107)(cid:109)(cid:95)(cid:100)(cid:93) die ons hier direct van weerhouden, maar
Van Ceulen heeft op twee correcte we moeten ons er bewust van blijven door
manieren het eerste vraagstuk van Goudaen wiens bril we kijken. En zo biedt deze
opgelost; ook heeft hij op twee correcte ruzie na meer dan vierhonderd jaar nog
manieren het tweede vraagstuk van steeds een interessante kijk op de praktijk
Goudaen opgelost. Maar zoals we gelezen van de rekenmeesters aan het einde van de
hebben accepteerde Goudaen de oplossingen zestiende eeuw.
niet. Nicolaus Petri gaf ook correcte
oplossingen voor de opgaven en ook deze Hoe lang weerklinken de woorden nog
accepteerde Goudaen niet, wat een ruzie door naar aanleiding van de wiskunde-
(cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:39)(cid:22)(cid:62)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:104)(cid:87)(cid:87)(cid:93)(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:97)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:61)(cid:101)(cid:107)(cid:90)(cid:87)(cid:91)(cid:100) tot gevolg had. We zagen zelfs dat Petri repetitie? De leerling pakt zijn spullen, de
de maker is van de tweede opgave! Het pauze is voorbij. Op naar de volgende les.
was juist Petri die Goudaen uitdaagde om
hiervoor een oplossing te vinden. De ruzie
tussen Goudaen en Petri heeft dan ook vóór
de ruzie tussen Goudaen en Van Ceulen
plaatsgevonden. Het lijkt erop dat in beide
gevallen de zaak werd uitgepraat, maar in (cid:72)(cid:91)(cid:92)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:105)
het boekje Generale Presentatie of Openbare [1] C.P. Burger (jr) (1908): Amsterdamsche
Presentatie (Petri en Van Ceulen noemen Rekenmeesters en Zeevaartkundigen in
afwijkende titels, maar we mogen er van uit de Zestiende Eeuw. Amsterdam: C.L.
gaan dat dit om hetzelfde boekje gaat; zie Van Langenhuysen.
ook [1], p. 28) haalt Goudaen hard naar [2] L. van Ceulen(1584): Solutie ende
hen uit. We hebben gezien dat Van Ceulen Werckinghe op twee geometrische
een uitgebreid verslag over dit voorval heeft vraghen. Amstelredam: Cornelis
geschreven, maar ook Petri kon dit niet Claesz.
langs zich heen laten gaan en heeft ook een [3] Sir Thomas L. Heath (1956): Euclid
uitgebreid weerwoord geschreven; zie [4]. / The Thirteen Books of the Elements.
(cid:42)(cid:38)
(cid:42)(cid:42) (cid:92)(cid:95)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:40)(cid:22)(cid:58)(cid:104)(cid:95)(cid:91)(cid:94)(cid:101)(cid:91)(cid:97)(cid:22)(cid:55)(cid:56)(cid:57)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:107)(cid:98)(cid:102)(cid:98)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:35) Gezien de verslagen die beide personen New York: Dover Publications.
(cid:40)(cid:39)
(cid:105)(cid:106)(cid:107)(cid:97)(cid:22)(cid:55)(cid:58)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:98)(cid:101)(cid:101)(cid:90)(cid:104)(cid:91)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:87)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:22)(cid:56)(cid:57) geven, bekruipt ons het gevoel dat Goudaen Uitgegeven in drie delen; de gebruikte
weinig goeds in zich had. uitgave is de tweede herziene editie.
We moeten er echter voor waken deze [4] N. Petri (1584): Vanden twee
conclusie te voorbarig te trekken. Helaas is Geometrische vraeghen. Amstelredam:
de Openbare Presentatie verloren gegaan. Dit Cornelis Claesz.
betekent dat we geen enkel weerwoord van [5] Steven Wepster (2009): Ludolph van
Goudaen zelf hebben om de bevindingen Ceulen 1540-1610 / In de ban van de
van Van Ceulen en Petri mee te vergelijken. cirkel. In: Euclides 85-3; pp. 98-100.
Door de manier waarop zij hun teksten [6] Zie ook « http://bc.ub.leidenuniv.nl/bc/
presenteren, worden we door hen doel- tentoonstelling/pi »
bewust op een bepaald spoor gezet. In de
(cid:22) slotpassage van het verslag van Van Ceulen (cid:22)
(cid:42) over de ruzie zegt hij bijvoorbeeld dat (cid:22)
hij met zijn oplossing Goudaen juist wil (cid:22)
(cid:114)
vereren, in plaats van lasteren. We horen (cid:22)
(cid:43)
duidelijk de sarcastische ondertoon. (cid:22)
(cid:46)
(cid:22) We moeten ons dus realiseren dat we (cid:69)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:107)(cid:106)(cid:91)(cid:107)(cid:104)(cid:105)
(cid:22) alles dat we over deze ruzie weten, zien Gijs Langenkamp is afgestudeerd in de
(cid:22)(cid:22)
door de bril van de benadeelde partij(en). wiskunde en heeft de lerarenopleiding
(cid:73)(cid:73)
Desalniettemin valt wel op dat we twee min wiskunde gedaan. Hij is werkzaam als
(cid:59)(cid:59) of meer onafhankelijke verslagen hebben, docent wiskunde op een middelbare school.
(cid:58)(cid:58) waaruit blijkt dat Goudaen onterecht oplos- E-mailadres: [email protected]
singen van twee vraagstukken weigerde Wiggert Loonstra heeft wiskunde
(cid:63)(cid:63)
goed te keuren, en wel op zo’n manier dat gestudeerd en vorig jaar zijn onderwijs-
(cid:66)(cid:66)
zowel Petri als Van Ceulen ruzie kregen master afgerond. Op dit moment is hij
(cid:57)(cid:57) met Goudaen. Hierdoor zijn wij geneigd werkzaam als software-ontwikkelaar.
om de opvattingen van Van Ceulen als E-mailadres: [email protected]
(cid:75)(cid:75)
(grotendeels) waar aan te nemen. Er zijn
(cid:59)(cid:59)
geen concrete aanleidingen of bronnen
038_Euclides_Biw_85-4_.indd 4 20-01-2010 09:30:51
(cid:187) (cid:74) (cid:94) (cid:87) (cid:100) (cid:97)(cid:22) (cid:111) (cid:101) (cid:107) (cid:22) (cid:92) (cid:101) (cid:104) (cid:22) (cid:106) (cid:94) (cid:91)(cid:22) (cid:22)
(cid:95) (cid:100) (cid:106) (cid:91) (cid:104)(cid:91) (cid:105) (cid:106) (cid:95) (cid:100) (cid:93)(cid:22) (cid:98) (cid:91) (cid:105) (cid:105) (cid:101) (cid:100) (cid:188)
(cid:77)(cid:63)(cid:73)(cid:65)(cid:75)(cid:68)(cid:58)(cid:59)(cid:22)(cid:63)(cid:68) (cid:22)(cid:62)(cid:59)(cid:74)(cid:22)(cid:74)(cid:77)(cid:59)(cid:59)(cid:74)(cid:55)(cid:66)(cid:63)(cid:61)(cid:22)(cid:69)(cid:68)(cid:58)(cid:59) (cid:72)(cid:77)(cid:63)(cid:64)(cid:73)(cid:48)(cid:22) (cid:22)
(cid:59)(cid:59)(cid:68) (cid:22)(cid:63)(cid:67)(cid:70)(cid:72) (cid:59)(cid:73)(cid:73)(cid:63)(cid:59)
(cid:81)(cid:22)(cid:64)(cid:101)(cid:105)(cid:91)(cid:102)(cid:94)(cid:95)(cid:100)(cid:91)(cid:22)(cid:56)(cid:107)(cid:105)(cid:97)(cid:91)(cid:105)(cid:22)(cid:83)
(cid:62)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:92)(cid:104)(cid:95)(cid:105)(cid:105)(cid:91)(cid:100)(cid:90)(cid:22)(cid:101)(cid:99)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:112)(cid:95)(cid:93)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:112)(cid:95)(cid:96)(cid:100)(cid:22)(cid:95)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:106)(cid:106)(cid:101)(cid:22)(cid:30)(cid:106)(cid:109)(cid:91)(cid:91)(cid:106)(cid:87)(cid:98)(cid:95)(cid:93)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:105)(cid:31)(cid:36)(cid:22) ik aanbood dat dan maar in het Nederlands
(cid:55)(cid:98)(cid:105)(cid:22)(cid:96)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:104)(cid:107)(cid:95)(cid:99)(cid:91)(cid:22)(cid:106)(cid:95)(cid:96)(cid:90)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:97)(cid:106)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:96)(cid:91)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:87)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:99)(cid:87)(cid:87)(cid:98)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:112)(cid:95)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:88)(cid:106)(cid:34)(cid:22) te bespreken, ging hij gewoon in het Engels
(cid:90)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:91)(cid:92)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:59)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:98)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:100)(cid:95)(cid:91)(cid:107)(cid:109)(cid:91)(cid:22)(cid:95)(cid:99)(cid:102)(cid:107)(cid:98)(cid:105)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:96)(cid:91)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:105)(cid:105)(cid:91)(cid:100)(cid:36)(cid:22)(cid:72)(cid:107)(cid:95)(cid:99)(cid:22)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:96)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:100)(cid:22) door. De leerlingen krijgen heel veel Engels,
(cid:95)(cid:97)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:59)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:98)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:108)(cid:101)(cid:100)(cid:106)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:88)(cid:91)(cid:93)(cid:101)(cid:100)(cid:100)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:101)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:112)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:95)(cid:104)(cid:91)(cid:89)(cid:106)(cid:91)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:89)(cid:101)(cid:100)(cid:89)(cid:107)(cid:104)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:102)(cid:101)(cid:105)(cid:95)(cid:106)(cid:95)(cid:91)(cid:22) ruwweg 50% van hun lessen is compleet in
(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:100)(cid:112)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:101)(cid:101)(cid:98)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:98)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:105)(cid:106)(cid:91)(cid:108)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:106)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:106)(cid:87)(cid:104)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:109)(cid:91)(cid:91)(cid:106)(cid:87)(cid:98)(cid:95)(cid:93)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:92)(cid:90)(cid:91)(cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:36)(cid:22) het Engels. Naast het gewone vak Engels
(cid:58)(cid:87)(cid:87)(cid:104)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:104)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:91)(cid:89)(cid:94)(cid:106)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:109)(cid:91)(cid:98)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:97)(cid:109)(cid:87)(cid:98)(cid:95)(cid:92)(cid:95)(cid:89)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:90)(cid:101)(cid:89)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:108)(cid:101)(cid:101)(cid:104)(cid:22)(cid:100)(cid:101)(cid:90)(cid:95)(cid:93)(cid:36)(cid:22)(cid:77)(cid:95)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:98)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:93)(cid:91)(cid:98)(cid:91)(cid:95)(cid:90)(cid:22) krijgen ze ook het vak Engels 2, dat gegeven
(cid:109)(cid:101)(cid:104)(cid:90)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:106)(cid:101)(cid:106)(cid:22)(cid:106)(cid:106)(cid:101)(cid:35)(cid:90)(cid:101)(cid:89)(cid:91)(cid:100)(cid:106)(cid:53)(cid:22)(cid:73)(cid:102)(cid:101)(cid:100)(cid:106)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:88)(cid:22)(cid:95)(cid:97)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:87)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:99)(cid:91)(cid:98)(cid:90)(cid:36)(cid:22)(cid:63)(cid:97)(cid:22)(cid:94)(cid:87)(cid:90)(cid:22)(cid:93)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:92)(cid:98)(cid:87)(cid:107)(cid:109)(cid:22)(cid:95)(cid:90)(cid:91)(cid:91)(cid:22) wordt door een native speaker. Hun
(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:87)(cid:106)(cid:22)(cid:99)(cid:91)(cid:22)(cid:88)(cid:101)(cid:108)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:94)(cid:101)(cid:101)(cid:92)(cid:90)(cid:22)(cid:94)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:36) ontwikkeling gaat daardoor razendsnel.
(cid:67)(cid:87)(cid:106)(cid:94)(cid:91)(cid:99)(cid:87)(cid:106)(cid:95)(cid:89)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:34)(cid:22)(cid:95)(cid:105)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:106)(cid:22)
(cid:73)(cid:89)(cid:104)(cid:91)(cid:91)(cid:100)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:101)(cid:102)(cid:98)(cid:91)(cid:95)(cid:90)(cid:95)(cid:100)(cid:93) native speaker’ in die taal. Het Europees (cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:112)(cid:91)(cid:98)(cid:92)(cid:90)(cid:91)(cid:53)
We zijn destijds gescreend door het UTN, Platform in Nederland zorgt voor de regel- Hoe gaat dat dan precies in zijn werk, die
het Universitair Talencentrum Nijmegen[1]: geving betreffende het tto en de handhaving eerste tijd in de wiskundeles in het Engels?
hadden we een kans van slagen? Vervolgens ervan[2]. Door middel van visitaties kun Dat brengt me op de boeken. Welke boeken
zijn we opgeleid voor de Cambridge je het officiële tto-label verkrijgen en gebruik je? Tijdens onze studie voor de
Advanced en Proficiency examens. behouden. De immersion houdt in dat Cambridge examens zijn we naar Engeland
Afhankelijk van je beginniveau doe je daar bij een Engelstalige les alles in het Engels geweest waar we scholen hebben bezocht
(cid:43)(cid:42)(cid:39)
een of twee jaar over. Intussen hielden we gebeurt. Vanaf de eerste minuut dat een en boeken hebben bekeken. Dat zijn dan (cid:42)(cid:47)(cid:42)
(cid:40)(cid:40)(cid:39)
ons ook bezig met classroom English. Stel je brugklassertje bij me binnenkomt, spreken wel boeken voor Engelse kinderen... Ook
maar even voor dat je je hele les met alles we uitsluitend Engels met elkaar. Dat blijkt in Nederland ben ik bij scholen gaan
erop en eraan in het Engels moet doen, de snelste manier om het te leren en om te kijken die al enkele jaren een tto-afdeling
de technische zaken als ‘doe de zonwering voorkomen dat er in die hoofdjes steeds een hadden, om te zien hoe Engelse wiskunde
maar even naar omlaag’, het terechtwijzen vertaalslag plaatsvindt. Natuurlijk gaat het boeken werken bij Nederlandse kinderen.
van leerlingen, de praatjes tussendoor aan niet altijd goed in het begin, je moet je ze Op grond daarvan heb ik destijds gekozen
de bank, de grapjes op z’n tijd en af en toe er regelmatig aan herinneren. Er komt een voor een Engelse wiskunde methode (STP
gespeelde verontwaardiging. Dat gaat niet moment dat ze me buiten de klas in een Mathematics, de A-serie van L. Bostock
vanzelf in een vreemde taal. Mijn eerste andere context Nederlands horen spreken e.a.). Er waren toen nog geen vertaalde
groep leerlingen merkte dan ook fijntjes op, en dan zijn er verbaasde reacties: ‘Oh, ik Nederlandse methoden trouwens. Daarop
tegen bezoek in de klas, dat ik in hun eerste dacht dat u Engelse was.’ kom ik later nog terug.
jaar zelden boos was geweest. De opleiding Nog lang nadat ze de school verlaten In Engeland gaan kinderen op 11-jarige (cid:22)
was hard werken: dat soort zaken moet toch hebben, is er de neiging om elkaar in het leeftijd naar de middelbare school. Hun (cid:42)
meestal buiten schooltijd gebeuren; zeker de Engels aan te spreken, zo natuurlijk wordt brugklasboek bevat daarom ook zaken
(cid:114)
studietijd is vooral vrije tijd. Maar het was het uiteindelijk. Dat gaat niet vanzelf, het die onze brugklassers in groep 8 al gehad
(cid:43)
ook ontzettend inspirerend: onze opleiders vereist uiterst consequent gedrag van jou hebben. Dat helpt enorm bij de start. De
(cid:46)
kwamen naar onze school en we kregen de als lesgever en het vereist discipline en leerlingen kunnen zich daardoor volledig (cid:22)(cid:22)
(cid:22)
lessen met ons eigen clubje collega’s. Dat doorzettingsvermogen van de leerling. De concentreren op de Engelse wiskundetaal.
(cid:22)(cid:22)(cid:22)
creëerde een gevoel van verbondenheid, we eerste weken is het dan ook vrij rustig in Maar zelfs dan moet je ervoor zorgen dat
(cid:73)(cid:73)(cid:73)
waren pioniers. mijn brugklas, er komt veel op ze af en dat je diverse alternatieven hebt in geval van
We waren nog met onze opleiding bezig moet allemaal verwerkt worden. Nu denkt problemen. De leerlingen spreken weinig (cid:59)(cid:59)(cid:59)
toen we begonnen met onze eerste klas: u natuurlijk: ‘Wat hard, en wat nou als het Engels en geen wiskunde-Engels. Als ze het (cid:58)(cid:58)(cid:58)
onze ‘guinea pigs’. In eerste instantie konijn is overleden?’ Incidenteel kan het niet begrijpen, moet je ze ook helpen hun
(cid:63)(cid:63)(cid:63)
boden we alleen tto-vwo aan, later volgde voorkomen dat een leerling iets kwijt wil vraag te formuleren. Je eigen taalgebruik
(cid:66)(cid:66)(cid:66)
ook havo. Het tto-onderwijssysteem in en dat niet in het Engels kan, dan neem moet je afstemmen op dat van de
Nederland is afgekeken van Canada en ik hem mee naar de gang en mag het daar beginnende brugklasser. En of je het nu (cid:57)(cid:57)(cid:57)
wordt het ‘immersion system’ genoemd. eventjes in het Nederlands. Maar toen een wilt of niet, je wordt toch ook een beetje
(cid:75)(cid:75)(cid:75)
Door onderdompeling in de vreemde taal mentorleerling wilde praten over de totaal talenleraar. Nu ben je dat natuurlijk ook als
(cid:59)(cid:59)(cid:59)
wordt de leerling uiteindelijk een ‘near onverwachte scheiding van zijn ouders en je in het Nederlands lesgeeft. Maar in dit
038_Euclides_Biw_85-4_.indd 5 20-01-2010 09:30:51
geval zijn de leerlingen voor wat betreft hun en dat is voor Nederlandse kinderen die risico loop je als je teveel met vocabulaire kan door mee te gaan op uitwisselingen
wiskundevocabulaire van jou afhankelijk. wiskunde in het Engels krijgen, niet handig. bezig bent; aan de andere kant kun je niet en bij je collega’s in het buitenland in de
Ook voor native speakers (die geen wiskunde- De wiskunde moet liefst zonder al te veel echt veel doen als je die woorden niet tot klas aan te schuiven. Je kunt lid worden
leraar zijn) heeft het wiskundevocabulaire talige franje zijn. je beschikking hebt. Ze vinden 24-tigen van de Engelse vereniging voor wiskunde
geheimen; dat is niet anders dan in het Het eerder genoemde boek geeft heldere ontzettend leuk en ze willen maar wat graag leraren, The Association of Teachers
Nederlands. Als Nederlandse wiskunde- definities en beperkt zich tot de ‘core hun oplossing presenteren. In het Engels of Mathematics (www.atm.org/uk). De
leraar ben je geen native speaker, ook al business’. Dat maakt dat leerlingen er natuurlijk. ATM brengen twee tijdschriften uit: MT
ben je in het bezit van een Cambridge zelfstandig mee uit de voeten kunnen. Nog een voorbeeld is het kaartspel ‘Four (Mathematics Teaching) en MicroMath.
certificaat. Dan is het fijn als je een authen- Bovendien wordt er meer aandacht besteed Bidden’ (zie figuur 3): je pakt een kaart Er is een jaarlijkse conferentie waar je als
tiek Engels boek gebruikt. Zelfs nu er aan meetkundig redeneren en met onze met het woord ‘square’ en dan moet je je Nederlandse wiskundedocent op twee
Nederlandse wiskundemethoden vertaald vernieuwingen in het vizier zijn we daarmee medeleerlingen dat woord laten raden, maar fronten leert. Ook in Nederland zijn er
zijn, blijft mijn voorkeur uitgaan naar dan weer modern bezig. In een gesprek met de vier gegeven woorden (en uiteraard het allerlei activiteiten speciaal voor docenten
een echt Engels boek. Moderne Wiskunde bovenbouwleerlingen werd de methode woord zelf) zijn verboden. Die vier gegeven in het tto: workshops georganiseerd door
heeft het over de ‘geo triangle’, Getal & unaniem positief beoordeeld. Zowel door woorden zijn dan bijvoorbeeld: ‘four, sides, het UTN of netwerkbijeenkomsten waarin
(cid:196)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:39) Ruimte noemt het ‘geometrical triangle’. A- als B-leerlingen. Leerlingen hebben het shape, equal’. vakdocenten ervaringen uitwisselen. Er
In Engeland kennen ze onze vertrouwde gevoel echt met wiskunde bezig te zijn bestaat de mogelijkheid om een beurs aan
geodriehoek niet, daar gebruiken ze een en het boek biedt voldoende houvast bij (cid:59)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:35)(cid:91)(cid:110)(cid:87)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:100)(cid:53) te vragen voor eigen scholingsactiviteiten in
gradenboog: ‘protractor’ geheten. Zo kom zelfstudie. De methode wordt in Engeland Nu moet de tto-leerling wel gewoon het het buitenland (Plato, Comenius).
je ongetwijfeld voor andere dilemma’s te nog steeds gebruikt. Toen een leerling op Nederlandse wiskunde-eindexamen doen.
staan. Maar misschien herken je ze niet vakantie was bij een neefje in Engeland Je kunt dus niet tot en met klas 6 (of 5) Je zou kunnen denken dat tto-leerlingen
als dilemma en neem je het verengelste en met hem mee naar school ging, was hij doorgaan in het Engels. Wij bieden daarom wiskundig wel minder ver zullen komen
Nederlandse woord klakkeloos over. Je blij verrast dat ze met ‘ons’ wiskundeboek wiskunde in het Engels aan tot klas 4. omdat ze aanvankelijk langzamer gaan. Dat
leerlingen weten niet beter. Dat is jammer. werkten. De tweede fase is een mooi moment om langzame begin dat klopt, maar daar moet
Als je het in het Engels doet, dan ook echt te stoppen. De overgang van klas 3 naar je je niets van aan trekken, dat trekt zeer
helemaal in het Engels. (cid:69)(cid:107)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:109)(cid:91)(cid:106)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:102)(cid:91)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:106)(cid:96)(cid:91)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:102)(cid:104)(cid:87)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22) 4 is even lastig, maar veel minder lastig snel bij. Tel daar bij op dat ze vanaf hun
Naast het boek kent het Engelse basis- en (cid:99)(cid:87)(cid:87)(cid:104) dan het begin van de brugklas. En hoe eerste jaar op uitwisseling gaan en in hun
middelbaar onderwijs tal van hulpmiddelen. Sinds ik in het tto lesgeef, laat ik leerlingen zit dat dan met het benodigde wiskunde tto-loopbaan op Engelstalige scholen in
(cid:40) (cid:40)(cid:41)
(cid:42) Er zijn posters met daarop de symbolen vanaf klas 1 een voordracht(je) houden. vocabulaire? Daar hebben we de volgende het buitenland moeiteloos aanschuiven en (cid:39)(cid:42)
(cid:39) (cid:41)(cid:39)
voor de bewerkingen en het gebezigde Praten over wiskunde en vragen van klas- oplossing voor. Vanaf de brugklas maken meedoen, dan weet ik dat deze leerlingen
vocabulaire erom heen. Die werken prima genoten beantwoorden om te laten zien dat we per onderwerp een woordenlijst Engels- een prachtige opleiding hebben genoten.
in de brugklas: een leerling wil wat zeggen, ze het vocabulaire actief kunnen gebruiken. Nederlands van het wiskundevocabulaire. Met de nadruk op genieten. En passant
weet niet meer wat ‘vermenigvuldigen’ is en Dan kan het gebeuren dat Pythagoras Aanvankelijk maak ik die, vervolgens doen pikken ze ook nog een graantje mee van
(cid:196)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:40) zoekt de betreffende kaart aan de muur of je klas komt binnenwandelen om een we het samen en al snel leren leerlingen om de Engelse beleefdheidsvormen en daar
op het bord. Zulke posters zijn er ook voor voordrachtje te houden. Of dat een leerling de Engelse wiskunde termen in hun glossary genieten wij lesgevers natuurlijk ook weer
de namen van meetkundige objecten. uitlegt dat het schilderij ‘de Koe’ van Theo schrift te noteren en regelmatig vertalen we van.
Soms komen er dan ouders op de ouder- van Doesburg een voorbeeld van een fractal die dan. Die glossaries maken deel uit van
avond die vragen of ik af en toe niet een is. Maar ook dat leerlingen voor de klas het proefwerk. Het Nederlandse vocabulaire
stukje in het Nederlands wil uitleggen. ontdekken dat het ze niet makkelijk afgaat heeft geen functie in de lessen op dat moment, (cid:68)(cid:101)(cid:106)(cid:91)(cid:100)
Want de problemen bij wiskunde worden en dat er nog wat moet gebeuren. maar het is een investering in een soepeler [1] Zie: www.ru.nl/utn/
(cid:22) wel eens op de instructietaal geschoven. Bij al deze activiteiten is het doel om overgang van klas 3 naar 4. Ze hebben [2] Zie: http://netwerktto.europeesplatform.nl/ (cid:22)
(cid:42) Dan bespreek ik een voorbeeld en probeer leerlingen te laten praten over wiskunde, dan iets om in de eerste weken op terug te (cid:42)
duidelijk te maken dat het probleem niet in ze over de drempel te helpen en ze te laten vallen. Blijft staan dat leerlingen zelfs in (cid:22)
(cid:114) (cid:114)
de taal zit. De ‘moeilijke’ wiskundewoorden ervaren dat je sneller leert als je praat. de zesde klas nog wel vragen: ‘Hè, wat is
(cid:43) (cid:43)
zijn in het Nederlands vergelijkbaar Fouten maken helpt daarbij. gradient ook weer in het Nederlands?’
(cid:46) (cid:46)
‘moeilijk’. Het probleem zit in de wiskunde. Leerlingen mogen bij mij altijd spelletjes Leerlingen hebben het grote voordeel dat ze (cid:22)
(cid:22) Als ik daar met oudere leerlingen over spelen als ze klaar zijn met het reguliere een wiskundeverhaal in het Engels makkelijk (cid:22)
(cid:22) (cid:22)(cid:22)
praat, dan beamen zij dat volmondig. werk. Voorwaarde is dat ze Engels blijven kunnen lezen. Soms zegt een niet-tto-er
(cid:73) (cid:73)(cid:73)
Het kan zijn dat je wiskunde een moeilijk spreken, ook als ze de spelregels bediscus- wel eens: ‘Oh, maar dat kan ik ook hoor, ik (cid:22)
(cid:59) vak vindt, maar het wordt niet moeilijker siëren of onenigheid krijgen. Hoor ik toch heb een 9 voor Engels.’ Die daag ik dan uit: (cid:22) (cid:59)(cid:59)
(cid:58) doordat Engels de instructietaal is. Nederlands, dan is het ‘game over’. Er zijn ‘Okay, vertel eens wat over de stelling van (cid:22) (cid:58)(cid:58)
zeer veel interessante spelletjes. Velen zullen Pythagoras.’ Dat lukt dus niet. Het (cid:22)
(cid:63) (cid:63)(cid:63)
(cid:196)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:41) (cid:58)(cid:101)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:59)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:98)(cid:105)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22) zich de flippo’s herinneren met de vier vocabulaire ontbreekt totaal. (cid:69)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:107)(cid:106)(cid:91)(cid:107)(cid:104)
(cid:66) (cid:66)(cid:66)
(cid:90)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:53) getallen erop die met de bekende Josephine Buskes is wiskundedocente aan
(cid:57) Ook in Engeland wordt gewerkt met een bewerkingen 24 moeten opleveren. Perfect (cid:62)(cid:101)(cid:91)(cid:22)(cid:94)(cid:101)(cid:107)(cid:90)(cid:22)(cid:96)(cid:91)(cid:22)(cid:96)(cid:91)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:95)(cid:96)(cid:53) het Kandinsky College te Nijmegen en (cid:57)(cid:57)
realistische wiskundemethode. Er zijn om in de brugklas het nieuw verworven Met het Cambridge diploma op zak ben tutor bij het eerstejaars wiskundeonderwijs
(cid:75) (cid:75)(cid:75)
boeken die sprekend lijken op Nederlandse vocabulaire te oefenen. De wiskundeles je er natuurlijk niet. Je zult je Engels op de Radboud Universiteit Nijmegen.
(cid:59) (cid:59)(cid:59)
boeken. Het nadeel is dat ze erg talig zijn moet niet verworden tot een taalles en dat voortdurend moeten ontwikkelen. Dat Email-adres: [email protected]
038_Euclides_Biw_85-4_.indd 6 20-01-2010 09:30:52 038_Euclides_Biw_85-4_.indd 7 20-01-2010 09:30:52
geval zijn de leerlingen voor wat betreft hun en dat is voor Nederlandse kinderen die risico loop je als je teveel met vocabulaire kan door mee te gaan op uitwisselingen
wiskundevocabulaire van jou afhankelijk. wiskunde in het Engels krijgen, niet handig. bezig bent; aan de andere kant kun je niet en bij je collega’s in het buitenland in de
Ook voor native speakers (die geen wiskunde- De wiskunde moet liefst zonder al te veel echt veel doen als je die woorden niet tot klas aan te schuiven. Je kunt lid worden
leraar zijn) heeft het wiskundevocabulaire talige franje zijn. je beschikking hebt. Ze vinden 24-tigen van de Engelse vereniging voor wiskunde
geheimen; dat is niet anders dan in het Het eerder genoemde boek geeft heldere ontzettend leuk en ze willen maar wat graag leraren, The Association of Teachers
Nederlands. Als Nederlandse wiskunde- definities en beperkt zich tot de ‘core hun oplossing presenteren. In het Engels of Mathematics (www.atm.org/uk). De
leraar ben je geen native speaker, ook al business’. Dat maakt dat leerlingen er natuurlijk. ATM brengen twee tijdschriften uit: MT
ben je in het bezit van een Cambridge zelfstandig mee uit de voeten kunnen. Nog een voorbeeld is het kaartspel ‘Four (Mathematics Teaching) en MicroMath.
certificaat. Dan is het fijn als je een authen- Bovendien wordt er meer aandacht besteed Bidden’ (zie figuur 3): je pakt een kaart Er is een jaarlijkse conferentie waar je als
tiek Engels boek gebruikt. Zelfs nu er aan meetkundig redeneren en met onze met het woord ‘square’ en dan moet je je Nederlandse wiskundedocent op twee
Nederlandse wiskundemethoden vertaald vernieuwingen in het vizier zijn we daarmee medeleerlingen dat woord laten raden, maar fronten leert. Ook in Nederland zijn er
zijn, blijft mijn voorkeur uitgaan naar dan weer modern bezig. In een gesprek met de vier gegeven woorden (en uiteraard het allerlei activiteiten speciaal voor docenten
een echt Engels boek. Moderne Wiskunde bovenbouwleerlingen werd de methode woord zelf) zijn verboden. Die vier gegeven in het tto: workshops georganiseerd door
heeft het over de ‘geo triangle’, Getal & unaniem positief beoordeeld. Zowel door woorden zijn dan bijvoorbeeld: ‘four, sides, het UTN of netwerkbijeenkomsten waarin
(cid:196)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:39) Ruimte noemt het ‘geometrical triangle’. A- als B-leerlingen. Leerlingen hebben het shape, equal’. vakdocenten ervaringen uitwisselen. Er
In Engeland kennen ze onze vertrouwde gevoel echt met wiskunde bezig te zijn bestaat de mogelijkheid om een beurs aan
geodriehoek niet, daar gebruiken ze een en het boek biedt voldoende houvast bij (cid:59)(cid:100)(cid:22)(cid:94)(cid:91)(cid:106)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:35)(cid:91)(cid:110)(cid:87)(cid:99)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:87)(cid:100)(cid:53) te vragen voor eigen scholingsactiviteiten in
gradenboog: ‘protractor’ geheten. Zo kom zelfstudie. De methode wordt in Engeland Nu moet de tto-leerling wel gewoon het het buitenland (Plato, Comenius).
je ongetwijfeld voor andere dilemma’s te nog steeds gebruikt. Toen een leerling op Nederlandse wiskunde-eindexamen doen.
staan. Maar misschien herken je ze niet vakantie was bij een neefje in Engeland Je kunt dus niet tot en met klas 6 (of 5) Je zou kunnen denken dat tto-leerlingen
als dilemma en neem je het verengelste en met hem mee naar school ging, was hij doorgaan in het Engels. Wij bieden daarom wiskundig wel minder ver zullen komen
Nederlandse woord klakkeloos over. Je blij verrast dat ze met ‘ons’ wiskundeboek wiskunde in het Engels aan tot klas 4. omdat ze aanvankelijk langzamer gaan. Dat
leerlingen weten niet beter. Dat is jammer. werkten. De tweede fase is een mooi moment om langzame begin dat klopt, maar daar moet
Als je het in het Engels doet, dan ook echt te stoppen. De overgang van klas 3 naar je je niets van aan trekken, dat trekt zeer
helemaal in het Engels. (cid:69)(cid:107)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:109)(cid:91)(cid:106)(cid:105)(cid:91)(cid:22)(cid:105)(cid:102)(cid:91)(cid:98)(cid:98)(cid:91)(cid:106)(cid:96)(cid:91)(cid:105)(cid:22)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:102)(cid:104)(cid:87)(cid:106)(cid:91)(cid:100)(cid:22) 4 is even lastig, maar veel minder lastig snel bij. Tel daar bij op dat ze vanaf hun
Naast het boek kent het Engelse basis- en (cid:99)(cid:87)(cid:87)(cid:104) dan het begin van de brugklas. En hoe eerste jaar op uitwisseling gaan en in hun
middelbaar onderwijs tal van hulpmiddelen. Sinds ik in het tto lesgeef, laat ik leerlingen zit dat dan met het benodigde wiskunde tto-loopbaan op Engelstalige scholen in
(cid:40) (cid:40)(cid:41)
(cid:42) Er zijn posters met daarop de symbolen vanaf klas 1 een voordracht(je) houden. vocabulaire? Daar hebben we de volgende het buitenland moeiteloos aanschuiven en (cid:39)(cid:42)
(cid:39) (cid:41)(cid:39)
voor de bewerkingen en het gebezigde Praten over wiskunde en vragen van klas- oplossing voor. Vanaf de brugklas maken meedoen, dan weet ik dat deze leerlingen
vocabulaire erom heen. Die werken prima genoten beantwoorden om te laten zien dat we per onderwerp een woordenlijst Engels- een prachtige opleiding hebben genoten.
in de brugklas: een leerling wil wat zeggen, ze het vocabulaire actief kunnen gebruiken. Nederlands van het wiskundevocabulaire. Met de nadruk op genieten. En passant
weet niet meer wat ‘vermenigvuldigen’ is en Dan kan het gebeuren dat Pythagoras Aanvankelijk maak ik die, vervolgens doen pikken ze ook nog een graantje mee van
(cid:196)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:40) zoekt de betreffende kaart aan de muur of je klas komt binnenwandelen om een we het samen en al snel leren leerlingen om de Engelse beleefdheidsvormen en daar
op het bord. Zulke posters zijn er ook voor voordrachtje te houden. Of dat een leerling de Engelse wiskunde termen in hun glossary genieten wij lesgevers natuurlijk ook weer
de namen van meetkundige objecten. uitlegt dat het schilderij ‘de Koe’ van Theo schrift te noteren en regelmatig vertalen we van.
Soms komen er dan ouders op de ouder- van Doesburg een voorbeeld van een fractal die dan. Die glossaries maken deel uit van
avond die vragen of ik af en toe niet een is. Maar ook dat leerlingen voor de klas het proefwerk. Het Nederlandse vocabulaire
stukje in het Nederlands wil uitleggen. ontdekken dat het ze niet makkelijk afgaat heeft geen functie in de lessen op dat moment, (cid:68)(cid:101)(cid:106)(cid:91)(cid:100)
Want de problemen bij wiskunde worden en dat er nog wat moet gebeuren. maar het is een investering in een soepeler [1] Zie: www.ru.nl/utn/
(cid:22) wel eens op de instructietaal geschoven. Bij al deze activiteiten is het doel om overgang van klas 3 naar 4. Ze hebben [2] Zie: http://netwerktto.europeesplatform.nl/ (cid:22)
(cid:42) Dan bespreek ik een voorbeeld en probeer leerlingen te laten praten over wiskunde, dan iets om in de eerste weken op terug te (cid:42)
duidelijk te maken dat het probleem niet in ze over de drempel te helpen en ze te laten vallen. Blijft staan dat leerlingen zelfs in (cid:22)
(cid:114) (cid:114)
de taal zit. De ‘moeilijke’ wiskundewoorden ervaren dat je sneller leert als je praat. de zesde klas nog wel vragen: ‘Hè, wat is
(cid:43) (cid:43)
zijn in het Nederlands vergelijkbaar Fouten maken helpt daarbij. gradient ook weer in het Nederlands?’
(cid:46) (cid:46)
‘moeilijk’. Het probleem zit in de wiskunde. Leerlingen mogen bij mij altijd spelletjes Leerlingen hebben het grote voordeel dat ze (cid:22)
(cid:22) Als ik daar met oudere leerlingen over spelen als ze klaar zijn met het reguliere een wiskundeverhaal in het Engels makkelijk (cid:22)
(cid:22) (cid:22)(cid:22)
praat, dan beamen zij dat volmondig. werk. Voorwaarde is dat ze Engels blijven kunnen lezen. Soms zegt een niet-tto-er
(cid:73) (cid:73)(cid:73)
Het kan zijn dat je wiskunde een moeilijk spreken, ook als ze de spelregels bediscus- wel eens: ‘Oh, maar dat kan ik ook hoor, ik (cid:22)
(cid:59) vak vindt, maar het wordt niet moeilijker siëren of onenigheid krijgen. Hoor ik toch heb een 9 voor Engels.’ Die daag ik dan uit: (cid:22) (cid:59)(cid:59)
(cid:58) doordat Engels de instructietaal is. Nederlands, dan is het ‘game over’. Er zijn ‘Okay, vertel eens wat over de stelling van (cid:22) (cid:58)(cid:58)
zeer veel interessante spelletjes. Velen zullen Pythagoras.’ Dat lukt dus niet. Het (cid:22)
(cid:63) (cid:63)(cid:63)
(cid:196)(cid:93)(cid:107)(cid:107)(cid:104)(cid:22)(cid:41) (cid:58)(cid:101)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:59)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:98)(cid:105)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:87)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:104)(cid:91)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:105)(cid:97)(cid:107)(cid:100)(cid:90)(cid:91)(cid:22) zich de flippo’s herinneren met de vier vocabulaire ontbreekt totaal. (cid:69)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:87)(cid:107)(cid:106)(cid:91)(cid:107)(cid:104)
(cid:66) (cid:66)(cid:66)
(cid:90)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:109)(cid:95)(cid:96)(cid:53) getallen erop die met de bekende Josephine Buskes is wiskundedocente aan
(cid:57) Ook in Engeland wordt gewerkt met een bewerkingen 24 moeten opleveren. Perfect (cid:62)(cid:101)(cid:91)(cid:22)(cid:94)(cid:101)(cid:107)(cid:90)(cid:22)(cid:96)(cid:91)(cid:22)(cid:96)(cid:91)(cid:22)(cid:98)(cid:91)(cid:91)(cid:104)(cid:98)(cid:95)(cid:100)(cid:93)(cid:91)(cid:100)(cid:22)(cid:88)(cid:95)(cid:96)(cid:53) het Kandinsky College te Nijmegen en (cid:57)(cid:57)
realistische wiskundemethode. Er zijn om in de brugklas het nieuw verworven Met het Cambridge diploma op zak ben tutor bij het eerstejaars wiskundeonderwijs
(cid:75) (cid:75)(cid:75)
boeken die sprekend lijken op Nederlandse vocabulaire te oefenen. De wiskundeles je er natuurlijk niet. Je zult je Engels op de Radboud Universiteit Nijmegen.
(cid:59) (cid:59)(cid:59)
boeken. Het nadeel is dat ze erg talig zijn moet niet verworden tot een taalles en dat voortdurend moeten ontwikkelen. Dat Email-adres: [email protected]
038_Euclides_Biw_85-4_.indd 6 20-01-2010 09:30:52 038_Euclides_Biw_85-4_.indd 7 20-01-2010 09:30:52
(cid:56) (cid:22) (cid:37)(cid:22)(cid:43)(cid:38)(cid:22) (cid:22)
(cid:69)(cid:59)(cid:65)(cid:56)(cid:59)(cid:73)(cid:70)(cid:72)(cid:59)(cid:65)(cid:63)(cid:68) (cid:61) (cid:63)(cid:68)(cid:80)(cid:63) (cid:57)(cid:62)(cid:74)(cid:59) (cid:68) (cid:77)(cid:63)(cid:73)(cid:65)(cid:75)(cid:68)(cid:58)(cid:59)
(cid:81)(cid:22)(cid:56)(cid:104)(cid:87)(cid:99)(cid:22)(cid:108)(cid:87)(cid:100)(cid:22)(cid:55)(cid:105)(cid:89)(cid:94)(cid:22)(cid:83)
De oorspronkelijke titel van het boekje voor veel begrippen de betekenis niet echt
luidt 50 Mathematics ideas you really veel duidelijker wordt. Zo wordt het eerste
need to know, en het werd in 2008 in woord Algebra als volgt omschreven: Door
Engeland uitgegeven. In 2009 volgde dan met letters in plaats van getallen te werken
de Nederlandse vertaling door Henny om de wiskunde te kunnen uitbreiden is
Hassebroek. In 50 korte essays van meestal algebra een algemeen toepasbare methode
4 bladzijden komen verschillende basis- geworden voor de gehele wiskunde, zuiver
begrippen uit de wiskunde aan de orde. en toegepast. En een Breuk: Geheel getal
De volgorde is min of meer chronologisch gedeeld door een ander geheel getal.
gekozen, en ook per onderwerp wordt Wellicht kan het voor een wiskunde docent
er een tijdlijn gegeven. Het begint met toch aardig zijn dit boekje achter de hand te
hoofdstukjes getiteld nul, getallenstelsels, hebben. Mocht men bijvoorbeeld in de klas
breuken, en het eindigt met relativiteit, de iets over π, e of de rij van Fibonacci willen
laatste stelling van Fermat, de Riemann- vertellen, dan is hier wel wat informatie te
hypothese. De hoofdstukjes zijn verhalend, vinden. Om de prijs hoeft men het in elk
nogal populair geschreven, en wiskundig geval niet te laten.
niet diepgaand. Op de achterkant staat:
Ondertitel: Onmisbare basiskennis Een heldere leesbare introductie! Voor wie
Auteur: Tony Crilly en waarop is echter niet duidelijk. Voor (cid:69)(cid:108)(cid:91)(cid:104)(cid:22)(cid:90)(cid:91)(cid:22)(cid:104)(cid:91)(cid:89)(cid:91)(cid:100)(cid:105)(cid:91)(cid:100)(cid:106)
Vertaling: Henny Hassebroek mensen die niets van wiskunde weten, zal Bram van Asch is redacteur van Euclides.
Uitgever: Veen Magazines BV, Diemen (2009) het toch al gauw te ingewikkeld worden, Hij werkt als universitair docent aan de
ISBN: 978-90-8571-204-6 en voor wiskundigen is het wel heel opper- Technische Universiteit Eindhoven.
Prijs: € 19,95 (208 pagina’s; hardcover) vlakkig. Achterin het boek staat een korte E-mailadres: [email protected]
verklarende woordenlijst, waarin echter
(cid:42) meertalige internationale
(cid:42) Lesgeven in een unieke en omgeving
(cid:39)
Grenzen verleggen. Een nieuwe inspirerende internationale omgeving. Volop aandacht voor taal en cultuur.
Goede arbeidsvoorwaarden. Het zijn de ingrediënten van een loopbaan bij een van de Europese scholen.
Stichting NOB (Nederlands Onderwijs in het Buitenland) zoekt in opdracht van het Ministerie van Onderwijs,
Cultuur en Wetenschap per 1 september 2010:
1e graads VO-leerkrachten (LD-schaal)
(cid:22) Voor de Europese School in Luxemburg: Voor de Europese School in Mol (België):
(cid:42) (cid:50)(cid:1)(cid:21)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:46)(cid:43)(cid:37)(cid:46)(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:7)(cid:23)(cid:29)(cid:34)(cid:31)(cid:35)(cid:37)(cid:46)(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:1)(cid:31)(cid:40)(cid:1)(cid:18)(cid:15)(cid:24)(cid:1) (cid:50)(cid:1)(cid:21)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:46)(cid:43)(cid:37)(cid:46)(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:7)(cid:23)(cid:29)(cid:34)(cid:31)(cid:35)(cid:37)(cid:46)(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:1)
(cid:50)(cid:1)(cid:1)Biologie/ANW en Wiskunde (Wiskundelessen (cid:50)(cid:1)(cid:1)(cid:18)(cid:40)(cid:45)(cid:31)(cid:33)(cid:43)(cid:27)(cid:45)(cid:31)(cid:30)(cid:1)(cid:23)(cid:29)(cid:35)(cid:31)(cid:40)(cid:29)(cid:31)(cid:1)(cid:2)(cid:38)(cid:31)(cid:44)(cid:44)(cid:31)(cid:40)(cid:1)(cid:48)(cid:41)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:1)(cid:33)(cid:31)(cid:33)(cid:31)(cid:47)(cid:31)(cid:40)(cid:1)
(cid:114)
alleen in de onderbouw) in de Engelse taal)
(cid:43)
(cid:46)
Voor de Europese School München (Duitsland): Voor de Europese School Varese (Italië):
(cid:22)(cid:22) (cid:50)(cid:1)(cid:21)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:46)(cid:43)(cid:37)(cid:46)(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:7)(cid:26)(cid:35)(cid:44)(cid:37)(cid:46)(cid:40)(cid:30)(cid:31) (cid:50)(cid:1)(cid:1)(cid:21)(cid:27)(cid:45)(cid:46)(cid:46)(cid:43)(cid:37)(cid:46)(cid:40)(cid:30)(cid:31)(cid:7)(cid:18)(cid:15)(cid:24)(cid:1)(cid:2)(cid:18)(cid:15)(cid:24)(cid:5)(cid:38)(cid:31)(cid:44)(cid:44)(cid:31)(cid:40)(cid:1)(cid:48)(cid:41)(cid:43)(cid:30)(cid:31)(cid:40)(cid:1)(cid:33)(cid:31)(cid:33)(cid:31)(cid:47)(cid:31)(cid:40)(cid:1)
(cid:73) in de Engelse taal)
(cid:59) Meer informatie
(cid:58) Kijk voor functieprofielen en verdere informatie op www.stichtingnob.nl/vacatures-es.
(cid:63)
De sollicitatiegesprekken vinden plaats van
(cid:66)
19 tot en met 29 april 2010 bij Stichting NOB
(cid:57)
in Voorburg.
(cid:75)
(cid:59)
038_Euclides_Biw_85-4_.indd 8 20-01-2010 09:30:53