Euclides, jaargang 82 // 2006-2007, nummer 8

2006·2.9 MB·Dutch

by  Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

E u c l i dEs
v a k b l a d v o o r d e w i s k u n d e l e r a a r
j u n i
0 7 8
n r
j a a r g a n g 8 2
Als ik zeg
wiskunde, wat
zegt u dan?
Perspectieven
met NlT
Waar cijfers weer
getallen zijn...
studiedag/
jaarvergadering
2007
NKBW
Orgaan van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren
colofon
j u n i
0 7 8
n r
j a a r g a n g 8 2
Euclides is het orgaan van de Nederlandse Vereniging
van Wiskundeleraren.
Het blad verschijnt 8 maal per verenigingsjaar.
ISSN 0165-0394
Redactie
Bram van Asch
Klaske Blom
Marja Bos, hoofdredacteur
Rob Bosch
Hans Daale
Gert de Kleuver, voorzitter
Dick Klingens, eindredacteur
Wim Laaper, secretaris
Joke Verbeek
inzendingen bijdragen Nederlandse Vereniging lidmaatschap
van Wiskundeleraren
Artikelen/mededelingen naar de Het lidmaatschap van de NVvW is inclusief Euclides.
hoofdredacteur: Marja Bos, Website: www.nvvw.nl De contributie per verenigingsjaar bedraagt voor
Koematen 8, 7754 NV Wachtum - leden: € 50,00
E-mail: [email protected] Voorzitter - leden, maar dan zonder Euclides: € 35,00
Marian Kollenveld, - studentleden: € 26,50
Richtlijnen voor artikelen
Leeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijk - gepensioneerden: € 35,00
Tekst liefst digitaal in Word aanleveren; op papier in Tel. [phone] - leden van de VVWL: € 35,00
drievoud. Illustraties, foto’s en formules separaat op E-mail: [email protected] Bijdrage WwF (jaarlijks): € 2,50
papier aanleveren: genummerd, scherp contrast. Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden dienen zich op te
Zie voor nadere aanwijzingen: secretaris geven bij de ledenadministratie.
www.nvvw.nl/euclricht.html Wim Kuipers, Opzeggingen moeten plaatsvinden vóór 1 juli.
Waalstraat 8, 8052 AE Hattem
Realisatie Tel. [phone] Abonnementen niet-leden
Ontwerp en vormgeving, fotografie, drukwerk E-mail: [email protected] Abonnementen gelden steeds vanaf het eerstvolgende
en mailingservices nummer.
De Kleuver bedrijfscommunicatie b.v. ledenadministratie Niet-leden: € 55,00
Veenendaal, www.de-kleuver.nl Elly van Bemmel-Hendriks, Instituten en scholen: € 140,00
De Schalm 19, 8251 LB Dronten Losse nummers zijn op aanvraag leverbaar: € 17,50
Tel. [phone] Betaling per acceptgiro.

s E-mail: [email protected]
E
d Advertenties en bijsluiters
De Kleuver bedrijfscommunicatie:
i
t.a.v. Ada Valkenburg
l
Kerkewijk 63, 3901 EC Veenendaal
c Tel. [phone]
u E-mail: [email protected]
E
EE uu cc ll ii ddEEss
KK II
oorrtt vvoooorraaff nnhhoouudd
[[ MMaarrjjaa BBooss ]]

Breaking news
Stop de persen! Op de valreep onze felicitaties voor wiskundelerares en NVvW-lid Carmen van
den Boom. Op 1 juni jl. werd zij namelijk verkozen tot ‘Docent 2007, gekozen door leerlingen’.
Zo’n 25000 leerlingen nomineerden ruim 1200 docenten voor deze verkiezing, georganiseerd 290 Kort vooraf
door de NCRV en de website www.scholieren.com. Winnares Carmen, van het Bonaventura College [Marja Bos]
in Leiden, werd ondersteund door een campagneteam uit klas 2AB/HB dat onder meer een 291 ‘Als ik zeg wiskunde, wat zegt u dan?’
speciale website bouwde, www.carmengaathetmaken.nl. Carmen liet op haar beurt zien hoe haar Aflevering 4: In gesprek met vakgenoten
passie voor chocola kan leiden tot passie voor wiskunde bij haar leerlingen. Na de zomer komen [Hans Daale e.a.]
we hier in Euclides uitgebreid op terug! 294 Oratie Jan van Maanen
[Marja Bos]
Vakantietijd, opruimingstijd 295 Nationale Kennisbank Basisvaardigheden
Maar eerst… Vakantie! Wiskunde (NKBW)
Vakantie?!? Nee, éérst papierstapels schiften, rommel opruimen, digitale mappen en e-mails [Vincent Jonker e.a.]
ordenen, het bureau leeg zien te krijgen… 298 Perspectieven met NLT
In steeds meer instellingen wordt een clean desk policy gehanteerd: het opgeruimde bureau. Je komt [Harrie Eijkelhof]
aan dat beleid al helemáál niet meer onderuit als er sprake is van flexibele werkplekken, elke keer 300 Waar cijfers weer getallen zijn…
een ander plekkie ‘met niks van jezelf’. Ook iets voor u, zo’n clean desk policy? Ik ben blij dat ik [Maike den Houting]
er niet toe veroordeeld ben, al zou dat héél goed voor me zijn en zou ik me er thuis en op school 302 Correcties Somgetallen, …
bovendien een stuk geliefder mee maken. Mijn bureaus, thuis en op school, ‘tonen’ namelijk niet 304 Vakantie en ook wiskunde
bepaald fraai; de computer is voortdurend omringd met allerlei (wanneer?!) nader-uit-te-zoeken [Gert de Kleuver]
stapels. Een leeg bureau – een opgeruimd hoofd, zeggen ze. Opruimcompetenties schijnen boven- 305 Strookgroepen en behangpatronen
dien gerelateerd te zijn aan intelligentie. Met dat gegeven moet ik dan maar leren leven. [Jeanine Daems]
309 Patiënten in getallen: echte wiskunde in
Vakantietijd, artikelschrijftijd het ziekenhuis
Jammer, natuurlijk, om die lange zomervakantie zomaar nutteloos voorbij te laten gaan! Gelukkig [Natasha Maurits]
kan ik u een fijne suggestie doen: wat dacht u van het schrijven van een aardig artikeltje voor 314 Geocadabra en meetkunde-opgaven
0
Euclides? Dat zou bijvoorbeeld kunnen gaan over uw ervaringen met statistiek en kansrekening, het [Floor van Lamoen] 9
2
thema van de special die we in februari hopen uit te brengen. Over de wiskunde van het toeval, toch 316 Ik las en dacht…
heel wat anders dan de ‘zekerheden’ die we normaliter uitventen in onze lessen en colleges over de [Klaske Blom]
wis-en-zeker-kunde. 319 Van Melsen Prijs 2007 voor wiskundige
Vraagt ‘toeval’ nog om een speciale didactiek? En bent u tevreden met de huidige inhoud van de puzzels
vakonderdelen statistiek en kansrekening binnen de diverse opleidingen? In de vernieuwings- [Pieter van der Hoeven]
commissie cTWO wordt daar ook volop over nagedacht en gediscussieerd, getuige artikelen van 321 Parate kennis en algebra / Aflevering 6:
Anne van Streun en Carel van de Giessen in het jongste maart- en aprilnummer van Euclides. Als u Canon van de algebra?!
op dit gebied iets interessants wilt delen met ‘de collega’s in het land’, zend uw conceptbijdrage voor [Anne van Streun]
deze special dan vóór 1 september in. Het adres is [email protected]. 323 Verschenen
Maar bijdragen over andere onderwerpen zijn natuurlijk ook welkom. En wees eerlijk, de zomer- 325 Jaarvergadering/Studiedag 2007
vakantie leent zich er toch uitstekend toe om dat lang-uitgestelde artikel eindelijk eens te schrijven?! [Marianne Lambriex]
Wees genereus, hou uw ideeën niet voor uzelf, maar deel ze met collega’s. Euclides is er voor 326 Van de bestuurstafel
gemáákt! [Swier Garst]
327 Recreatie
Na de vakantie [Frits Göbel]
Met ingang van het nieuwe cursusjaar krijgen velen van ons te maken met de vernieuwde Tweede 329 Servicepagina
fase, inclusief het bijbehorende ABCD van de wiskunde. Er valt wat mij betreft veel aan te merken
op de aanvankelijke beslissingen op het ministerie en op het politieke proces dat uiteindelijk dit

(voorlopige) resultaat heeft opgeleverd. Zo blijf ik het leidende principe van de ‘organiseerbaarheid’
op de scholen een uiterst merkwaardig uitgangspunt vinden – inhoud kwam pas op de tweede
plaats. Maar goed, laten we er wat moois van maken met elkaar, laten we – volgens alle cliché’s s
E
– knelpunten maar als kansen beschouwen, en onze leerlingen het best mogelijke onderwijs bieden. d
Ongetwijfeld lopen we komend jaar nog tegen organisatorische problemen aan (want die
i
nagestreefde grotere organiseerbaarheid is niet onmiddellijk een feit; denk maar aan de ongetwijfeld
l
kleine wiskunde C- en D-klasjes). Het lijkt me daarom nuttig de her en der bedachte oplossingen
voor die knelpunten te inventariseren en te publiceren. Opnieuw verwijs ik u graag naar het c
e-mailadres van de redactie: [email protected].
u
Maar eerst wens ik alle lezers een plezierige en ontspannen vakantie!
E
’ A l s i k ze g w i s k u n d e ,
wa t ze g t u d a n ? ’
afLEvErInG 4: In GESPrEK MEt vaKGEnotEn
ovEr WISK undE In hE t voortGEZEt ondEr WIJS
[ Hans Daale, Joke Verbeek, Klaske Blom ]
In de afgelopen maanden hebben we als groepje redactieleden voorbijgangers
overvallen met vragen over wiskunde. Ook hebben we mensen in meer gestruc-
tureerde interviews laten ingaan op hun ervaringen met wiskundeonderwijs en
hun visie laten geven op het praktische gebruik ervan. De resultaten van deze
acties heeft u in de drie vorige nummers kunnen aantreffen.
Maar we wilden ook nog graag de stemming peilen onder degenen waarvoor dit
blad bedoeld is. Daarom laten we aan het slot van deze mini-serie de wiskunde-
leraren zelf aan het woord. Daarvoor toog onze groep naar Amersfoort om rond de
tafel van Klaske Blom een vijftal van haar collega’s van het Meridiaan College te
confronteren met onze vragen. Alleen al voor het feit dat ze hun mening op die
tafel wilden leggen, zijn we dankbaar – zeker nu wiskunde meer dan ooit in de
belangstelling staat als een soort ‘ultieme bewaarder van de boom der kennis’.
Frank: gedreven en enthousiast De volgende wiskundedocenten van het Meridiaan College te Amersfoort namen
deel aan het gesprek:
Frank van den Heuvel, 49 jaar, havo/vwo
1
9 Carl Martens, 52 jaar, vmbo-t
2 Rosemarie Oortman, 53 jaar, vwo
Peter Tilman, 41 jaar, vmbo-t, havo/vwo
Jos Vreeburg, 59 jaar, vmbo-k/lwoo
Wat zegt u? parkeerplaats om alles logistiek in goede
Uiteraard gaan we van start met de vraag die banen te leiden, vind ik dat het vak
we aan iedereen de afgelopen maanden hebben wiskunde als zodanig niet is veranderd.
voorgelegd: ‘Als wij zeggen “wiskunde”, wat We brengen de zaken alleen anders, en dat
zegt u dan?’ is iets dat ouders ook moeten begrijpen
‘Leuk. Simpelweg een leuk vak’, in een soort en uitgelegd dienen te krijgen. Maar als
eenstemmig koor van de gesprekspartners. ik eerlijk ben, dan kun je wel stellen dat
Carl: bereid om 10 keer Maar Carl plaatst er meteen, ter ontnuch- het niveau van het wiskundeonderwijs op
iets uit te leggen terende nuancering, een kanttekening bij: het vmbo is gedaald.’ Jos: ‘We verpakken
‘Maar het is toch ook maar gewoon een de wiskunde veel meer in toepassingen en
vak, net als alle andere.’ De rest beaamt dit, allerlei praktijksituaties. Maar het lastige
maar na enig heen en weer gepraat blijft voor leerlingen is dat het, zoals Carl ook
het gemeenschappelijke standpunt dat ze in zegt, nog gewoon wiskunde is die je moet
ieder geval met een boeiend vak bezig zijn. beheersen. En het vervelende is dat ze het

Jos: ‘Leraar zijn is dan wel mijn vak, maar rekenen allang verleerd zijn.’ Peter: ‘Ik ga
ik heb toch heel specifiek voor wiskunde met Carl mee. We hebben toch wat zaken
s gekozen aangezien dat het beroep juist leuk moeten laten vallen, vergeleken met zo’n
E
d maakt.’ vijftien jaar geleden.’
Daarover is dus geen discussie meer nodig. Frank: ‘Ik ben niet zo somber. Het draait
i
Maar wat zeggen jullie vervolgens tegen ouders allemaal meer om vaardigheden, maar
l
die op open dagen vragen wat wiskunde is? het vak is daarmee leuker geworden om
c Met andere woorden: hoe kijk je als docent te geven. Dat is winst. Maar door alle
tegen de huidige wiskunde aan? wiskunde te gieten in context-opgaven
u
Carl: ‘Nou, los van het feit dat ik altijd leren de leerlingen de tussenstappen niet
E
bij open dagen mag plaatsnemen op de meer te herkennen en ze weten dus aan het
eind niet welke zaken ertoe deden. Maar is al vaker gezegd’, vult Carl aan, ‘alloch-
natuurlijk zijn leerlingen helemaal niet tone leerlingen missen vaak een bepaalde
dommer dan vroeger…’ Rosemarie is het taalvaardigheid en dan schiet je je doel
met hem eens: ‘We brengen het anders, met voorbij. Je weet domweg niet waaraan het
verhaaltjes en zonder de nodige structuren. ligt als zo’n leerling ergens niet uitkomt.’
Het is nu mijn vierde jaar dat ik voor de Rosemarie: ‘Laten we niet vergeten dat veel
klas sta, als herintreder, maar ik ben van leerlingen een bepaalde vorm van dyslexie
mening dat de analyse van een probleem hebben.’ Frank: ‘Het is ook maar de vraag
met wat daarbij hoort, belangrijk is en of het verpakken in een context bijdraagt
moet blijven.’ aan het aanleren van wiskunde en dan
Frank komt terug op het punt van de specifiek het modelmatige ervan. Je moet
ouderavonden: ‘Natuurlijk moeten we ze toch leren om de strategie te vinden om
opboksen tegen het imago van ons vak. te komen tot een oplossing, en die strategie
Hier en daar zitten dus die trauma’s bij te begrijpen, omdat je dan zo’n strategie
ouders, ook bekend uit de vorige verhalen ook in andere situaties kunt gebruiken.
in Euclides. De leerlingen zelf zijn vaak Ik heb twee jaar geleden in 5-vwo een
best goed in wiskunde, maar het thuisfront experiment gedaan bij verschillende vakken,
wil soms niet meewerken. Ook dat is een door leerlingen eenzelfde wiskundig model
aspect van ons vak.’ te laten gebruiken, dus door ze met een
identieke aanpak te laten werken. Het
Nut gekke was dat ze zich niet realiseerden dat
Dan kom je eigenlijk vanzelf bij de leerlingen ze eigenlijk met eenzelfde procedure bezig
uit. Hoe probeer je je leerlingen duidelijk te waren. Toen ik vertelde van mijn experiment
maken wat wiskunde is en wat het nut ervan werden hun ogen wel geopend…’
Rosemarie: brengt structuur aan is?
Jos: ‘Ik vind het belangrijk om aanvul- Wiskunde en het latere beroep
lende toepassingen te geven, gewoon uit Wat anders: kun je zeggen dat wiskunde nodig
02
de dagelijkse praktijk. Laat ze maar eens is voor een beroep? En zo ja, welke kennis en 09
02
stoeien met zaken als rente.’ vaardigheden zijn voor jouw leerlingen van
‘Ik vind het moeilijk om nu het nut aan belang?
te tonen van allerlei zaken die ze aange- Carl: ‘Je hebt natuurlijk wiskunde nodig in
boden krijgen’, geeft Carl aan. ‘Het klinkt je latere leven, maar hoe, dat is toch sterk
misschien ouderwets maar dan moet je afhankelijk van het beroep waarvoor je
wel eens zeggen dat pas later duidelijk zal studeert. De vraag is of je dan zover moet
worden wat je eraan hebt. Laat ze eerst gaan dat je ook in je lessen moet gaan
maar gewoon netjes zijn in hun formule- differentiëren met het oog daarop. Dat is
ringen, dus bezig zijn met het logische van erg moeilijk, bovendien weet je niet altijd
de wiskunde.’ Frank is het daar duidelijk wat ze uiteindelijk echt gaan doen. Zo is
mee eens: ‘Het gaat vaak gewoon om het mijn beste leerlinge kapster geworden, en
Peter: leerlinggericht netjes redeneren, omdat zoiets altijd nuttig dat vind ik dan persoonlijk toch zonde van
is voor je latere werk en het leven zelf: de wiskundige capaciteiten die ze heeft.’
ordenen, toepassen, concepten en modellen Frank: ‘Misschien kan ze die talenten
maken. Dus we moeten niet toestaan dat gebruiken bij het maken van kubusvormige
de leerling maar wat opschrijft en dan roept of piramideachtige kapsels? Je weet toch
van “je snapt wel wat ik bedoel” of zoiets.’ maar nooit… Maar los daarvan: ik denk dat
Carl haakt hierop in: ‘Het is voor mij je bij wiskunde moet leren dat je niet bang

onbegrijpelijk dat je als tweede corrector hoeft te zijn om problemen aan te pakken.
nog steeds merkt dat er docenten zijn die We kunnen leerlingen een bepaalde bagage
de schrijfwijze sin ½ = 30º gewoon maar meegeven waarmee ze kunnen proberen ss
EE
goedkeuren met zo’n kreet als verdediging om eerst na te denken als ze ergens in dd
in mijn richting… Lekkere discussies zijn vastlopen.’
ii
dat.’ Jos: ‘Voor leerlingen in het vmbo moeten
ll
Peter: ‘Ik denk dat de context bij veel we ook zoiets zien te bereiken. Ze moeten
opgaven er met de haren wordt bijgesleept. weten hoe ze zaken op een rijtje kunnen cc
Jos: streng, maar niet meer Dat kan verwarrend werken en dan bereik zetten, om vervolgens te kiezen voor een uu
zo streng als in het begin je juist niet wat je wilt: het aantonen van gestructureerde aanpak. Dus ordenen.’
EE
een zeker nut van dat onderdeel.’ ‘En het Carl: ‘Overigens geldt dat niet alleen voor
ons vak. Ik zie dat men bij natuurkunde formule, dat zijn zaken die ze toch moeten zeggen,’ stelt Peter. Jos is het daar helemaal
al eerder met formules werkt dan bij hanteren’. Peter: ‘Dat vind ik nou juist het niet mee eens: ‘Met de wiskunde leren
wiskunde, dus dat men daar meer model- voorbeeld van een trucje.’ ‘Je moet toch ze een hoop, ook al realiseren ze zich dat
matig bezig is. Maar ook bij de talen en snappen wat er gebeurt, als je iets toepast,’ op dat moment niet. Zoals we al eerder
economie moet zonder meer structuur reageert Carl, ‘want neem nou de derde- opmerkten: het geeft ze een structuur, in
worden aangebracht.’ Frank: ‘Klopt, maar machtswortel die volgens de eisen in ons het denken, in bepaalde situaties en dat
de kracht van wiskunde is juist dat we programma moet worden behandeld. Als je is toch voortgekomen uit de wiskunde.’
daarbij vakoverstijgend kunnen werken.’ die niet in verband kunt brengen met een Rosemarie wil daarvan wel een voorbeeld
Rosemarie: ‘Toch vind ik dat we in het derdemacht, dan komt die wortel gewoon geven uit de tijd dat ze nog werkzaam
voortgezet onderwijs moeten zorgen voor uit de lucht vallen.’ was als beleidsmedewerker, voordat ze als
een goede wiskundige basis, voor een Frank sluit zich daarbij aan: ‘Zo’n abc- zij-instromer het onderwijs binnenkwam:
vervolgopleiding zoals werktuigbouwkunde. formule is dan wel een voorbeeld van iets ‘Ik moest een probleem oplossen rond
Men leert daar juist voor een vak of beroep, abstracts, maar je kunt hem afleiden en dus het vaststellen van aantallen kinderop-
wij leggen daarvoor een basis.’ begrijpen. Het zegt zonder meer iets over vangplaatsen en op een gegeven moment
het niveau dat je hebt bereikt.’ Peter voegt zat ik ineens met twee vergelijkingen met
Type docent daaraan toe dat de samenhang tussen de twee onbekenden. Toch handig dat je zo’n
Een belangrijk punt is natuurlijk de situatie onderdelen en over de leerjaren heen vaak probleem analyseert en transformeert naar
als docent in de huidige context van het ontbreekt: ‘Zoiets als van die machten en zo’n wiskundig stelsel.’
onderwijs. Daarom willen we wat meer wortels blijven op die manier losse onder- Frank wijst op de normale zaken waarbij
inzoomen op de wijze van lesgeven en de delen voor de leerlingen. Je moet eigenlijk we wiskunde hanteren, ook iets om in de
huidige ervaringen met het voor de klas staan meer tijd hebben om de verbanden te les te gebruiken om leerlingen te wijzen op
met de jeugd vandaag de dag. Daarmee zou je kunnen leggen en te laten zien dat er sprake het nut van het vak ‘voor later’: ‘Denk maar
een soort spiegelbeeld moeten gaan krijgen van is van een bepaalde samenhang.’ Rosemarie aan de situatie als je gaat vliegen, met de
alle herinneringen die in de vorige afleveringen is het daarmee eens: ‘En niet alleen omdat trein reizen en er een ingewikkeld kaartje
naar voren kwamen, als een reflectie op het ik bewijzen vroeger altijd zelf erg leuk vond. moet worden gekocht. Het inschatten
onderwijs van toen. In dat kader vragen we Je moet er je verstand bij gebruiken en dat is van de overstapmogelijkheden en de
iedereen om even aan zelfreflectie te doen: ‘Wat echt niet verkeerd.’ tijden die beschikbaar zijn, toch allemaal
43
49 voor type docent ben je eigenlijk? Hoe zien de ‘Bovendien’, geeft Frank aan, ‘moeten we zaken waarbij systematisch moet worden
22 leerlingen jou, als docent wiskunde?’ goed opletten wat het vervolgonderwijs gerekend.’ ‘Of denk aan het inrichten
Peter: ‘Ik denk dat ik vooral gestructureerd nodig heeft. Zo zit gonio nu op het havo bij van een tuin, thuis aan de tafel met een
overkom, maar wel duidelijk leerling- wiskunde B1 niet in het centraal examen en plattegrondje’, voegt Rosemarie aan deze
gericht’. Jos: ‘Ze zullen me zeker zien als dan sturen we ze wellicht zonder de juiste praktijksituatie toe. ‘Nou, laatst wilde een
streng. In het begin kwam ik, geloof ik, wetenschap naar technische opleidingen kennis een ellipsvormige vijver in z’n tuin
niet erg aardig over, maar dan leer je in de in het hbo. Ze moeten toch gewoon een maken’, herinnert Frank zich, ‘en toen
loop van de jaren wel veel van de reacties.’ sinusoïde kunnen analyseren… Daarnaast bleek de truc van vroeger met twee grote
‘Ook streng, misschien wel irritant streng,’ probeer ik ook het vak wat breder te trekken spijkers en een stuk touw toch nog steeds
reageert Carl. ‘Ik ben aan de ene kant dan alleen maar het examen. Zo roep ik best handig te zijn…’
gewoon autoritair, maar de leerlingen weten dat de wortel uit -1 gewoon bestaat. Als
aan de andere kant dat ik best bereid ben om duidelijk gemaakt is hoe dat zit, is het iets leraarschap
iets tien keer uit te leggen. Maar, ze dienen dat gewoon blijft hangen.’ Wat vind je in het algemeen van het leraar-
me maar gewoon te accepteren zoals ik ben.’ schap, en hoe zie je je eigen toekomst daarin?
Rosemarie haakt aan bij eerdere uitspraken: Zo’n voorbeeld van ‘iets dat wel kan, al zou je Jos: ‘Soms heel vervelend en frustrerend.
‘Ik probeer structuur aan te brengen als dat niet denken op voorhand’ onthouden ze Maar het hangt toch ook erg af van de
docent, en ik merk dat je daarmee veel dus. Maar is wiskunde in het algemeen iets klassen die we meekrijgen van het manage-
leerlingen over hun aanvankelijke angst voor waarvan je zegt dat jouw leerlingen er iets aan ment.’ ‘Klopt’, beaamt Frank, ‘het is een
wiskunde kunt heen helpen.’ Frank: ‘Je hebt hebben voor hun latere leven? zwaar vak maar leuk en altijd weer anders.

daarbij gewoon een heleboel enthousiasme Carl: ‘Nee, niks’. De anderen kijken hem Eigenlijk is elk jaar en elke dag onvoorspel-
nodig, en dat moet je uitstralen. Maar ook enigszins verbaasd aan. ‘Juist wel,’ reageert baar. Wat ik het frustrerende vind is dat
ss ik ben streng, maar wel gedreven. Frank. ‘Ik bedoel het letterlijk,’ zegt Carl, ik wel eens zit te denken aan een situatie
EE
dd Omdat er vaak wordt geklaagd over het feit ‘wiskunde is een middel en geen doel.’ waarin alles zo optimaal mogelijk is, en wat
dat ‘over de hoofden heen’ allerlei zaken in Frank: ‘Dan zijn we het eens, als het gaat je dan wel niet allemaal met die leerlingen
ii
de wiskundeprogramma’s worden veranderd, om de uitwerking van wiskunde. Je komt zou kunnen bereiken…’
ll
willen we ook graag weten ‘wat er helaas niet elementen van hetgeen bij wiskunde aan Carl haakt hierop in: ‘In de klas, als je bezig
cc (meer) in het curriculum zit’ en wat je dus de orde komt eigenlijk overal in je leven bent, kun je wel de juiste vorm en aanpak
echt mist. tegen, maar op zichzelf draait het niet om vinden en gebruiken. Maar er is zoveel
uu
Carl is meteen heel duidelijk: ‘Algebraïsche wiskunde als vak.’ “gezeur” omheen. Zo is vooral bij mij de
EE
vaardigheden. Zoiets als met de abc- ‘Dan zou ik ook ertoe neigen om ‘niks’ te verhouding met de ouders in de loop der
jaren sterk veranderd. Ze menen vaak zich Afrondend gebruikt. Kwam een leerlinge uit de hoek
op het gebied van de docent te kunnen Omdat we ongetwijfeld van alles niet aan met “dat het zeker kwam door de blauwe
gaan bewegen om dan te gaan mee-bepalen de orde hebben gesteld, is er voor het vijftal kleur”. Kennelijk had zij wel van groene
wat er moet gebeuren, uiteraard wat hun nog gelegenheid voor het noemen van zaken stroom gehoord…’
kind betreft, als dat iets heeft gedaan dat waarvan zij vinden dat we die aan onze
niet mag binnen onze school.’ De anderen lezers moeten meegeven. Anders gezegd, de We bedanken de groep voor de openhartig-
knikken hierbij instemmend en geven aan vrije hand om van alles te roepen… Het mag heid tijdens het gesprek; ook hun collega’s
dit soort ontwikkelingen te herkennen. Carl ook best een leuk voorval zijn… lezen Euclides immers. Men is van mening
vervolgt: ‘Het beroep is door al dat soort De groep kijkt elkaar aan en komt tot dat het een goed idee was om op deze
zaken zwaarder geworden. Ik heb evenveel de conclusie dat we ze eigenlijk alles wel manier aandacht te schenken aan ons vak,
lessen als vroeger, maar nu met van alles hebben laten vertellen. Maar goed, Frank in een tijd dat er veel wordt gesproken over
erbij. Dat wordt niet meer gecompenseerd wil toch nog wel even wat kwijt: ‘Ik vind rekenvaardigheid, niveau, competenties en
door de routine die je in de loop der jaren dat wiskunde best een beetje mysterieus vak voortdurende vernieuwingen. Misschien
opdoet.’ mag zijn en blijven. We moeten de magie moeten we dit maar gewoon elk jaar doen,
Rosemarie kijkt als zij-instromer nogal van het vak en wat er allemaal achtersteekt in het laatste nummer. Voor docenten door
nuchter tegen deze ontwikkelingen aan: in stand houden, dat hoort er een beetje bij. docenten.
‘Wiskunde is op zichzelf een prima en leuk Leerlingen vinden dat eigenlijk ook wel,
vak om te geven. Het draait allemaal om want je kunt een klas zeker motiveren door
de kinderen waarmee je bezig bent.’ Peter ze uit te dagen. Groepen leerlingen vormen Over de auteurs
is eveneens een voorbeeld van iemand die de voedingsbodem voor de uitdaging van Hans Daale, Joke Verbeek en Klaske Blom
leraar is vanwege dat soort aspecten van de docent.’ maken deel uit van de redactie van Euclides.
het vak. ‘En ik zou dus nooit iets anders Carl: ‘Om dan maar met iets opmerkelijks E-mailadres: [email protected]
willen. Maar ik ben het met Carl eens dat er te eindigen, als aardigheidje: ik gebruik in
vooral dingen op je bordje komen te liggen 3-vmbo een grafische rekenmachine, met
die in mijn visie niets met het leraarschap een blauwe kleur. Op een gegeven moment
te maken hebben, en dat is frustrerend.’ kwam het stroomgebruik daarvan ter
‘Jammer genoeg is dat zo gegroeid en sprake en toen vertelde ik dat dit apparaat
544
daardoor ben je veel tijd aan niet-lesgeven veel meer stroom nodig had dan een ander 499
222
kwijt’, zegt Frank. dat in de bovenbouw van het vwo wordt
O ra t i e J a n va n M a a n e n
[ Marja Bos ]
Op 21 maart jl. sprak Jan van Maanen zijn De titel van zijn rede was: De koeiennon. In Euclides 82-4 (februari 2007) verscheen
oratie uit bij de aanvaarding van het ambt Hoe rekenen en wiskunde te leren, en van wie? een interview met Van Maanen naar
van gewoon hoogleraar in de Didactiek van Van Maanen houdt daarin een pleidooi voor: aanleiding van zijn aantreden als hoog-
het Wiskundeonderwijs aan de Faculteit - vakdeskundige leraren, in basisonderwijs leraar-directeur van het FIsme, afdeling
Bètawetenschappen van de Universiteit en voortgezet onderwijs; Wiskunde.
Utrecht. - frequente interactie tussen leerling en
leraar; De redactie van Euclides feliciteert Jan van
- zinvol oefenen; harte, en wenst hem veel succes bij zijn
- een lerarenopleiding die zich vooral richt werkzaamheden. Dat doen we met een

op de vakdeskundigheid van de leraar; aanmoediging in zijn eigen woorden: ‘Aan
- onderwijs dat meer uit ICT haalt. de slag voor inhoudrijk, stimulerend en dus
humaan wiskundeonderwijs.’ sss
EEE
De tekst van de oratie is te downloaden ddd
op www.fi.uu.nl of te lezen in het jongste
iii
maartnummer van de Nieuwe Wiskrant (nr.
lll
26-3). Als boekje kan het voor € 5,00
(excl. verzendkosten) besteld worden via ccc
www.fi.uu.nl/nl/winkel (ISBN 978-90-
uuu
70786-03-8; 42 pag.).
EEE
N a t i o n a l e Ke n n i s b a n k
B a s i s va a rd i g h e d e n
W i s k u n d e
[ Vincent Jonker, Nataša Brouwer, Monica Wijers ]
De laatste paar jaar zijn er steeds meer geluiden te horen over de slechte reken- en wiskunde-inhoud, in de toetsvorm, in
algebraïsche vaardigheden van leerlingen en studenten op allerlei niveaus van het het wel of niet gebruik maken van onder-
onderwijs. Een van de overgangen waarbij de aansluitingsproblematiek speelt, is steunende tools, etc. In het onderzoek zal
die van het voortgezet onderwijs (vo) naar het technisch en economisch hoger daarom ook een analyse worden uitgevoerd
onderwijs (ho). Op 23 april 2007 kwamen ruim 70 docenten wiskunde uit vo en ho van de toetspraktijk in het ho (met name
bijeen in de Jaarbeurs Utrecht om van gedachten te wisselen over deze aansluitings- instaptoetsen) in relatie tot de huidige
problematiek. Deze bijeenkomst was georganiseerd door het project Nationale eindexamens wiskunde.
Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde (NKBW) en SIGMA (Special Interest Group Naast dit onderzoek is binnen NKBW
Mathematical Activities van SURF). In dit artikel lichten we toe wat dit voor ‘clubs’ aandacht voor de dialoog tussen vo en
zijn, en doen we verslag van deze dag. ho. Het is de stellige overtuiging van het
NKBW-projectteam dat een dialoog tussen
docenten wiskunde uit vo en ho noodzake-
Het project NKBW gebracht voor docenten en studenten uit lijk is om te werken aan de oplossing van de
Vanaf december 2006 werken enkele het vo en het ho. De naam ‘kennisbank’ huidige aansluitingsproblematiek.
universiteiten en hogescholen samen, voor het project is enigszins misleidend,
financieel ondersteund met gelden vanuit omdat er ook duidelijk wordt ingezet studiedag; plenair
5
9 het Nationaal Actie Programma E-learning op onderzoek en afstemming tussen Op 23 april 2007 kwamen ruim 70
2
(SURFfoundation; zie Verwijzingen), aan opleidingen. De huidige looptijd van het docenten wiskunde uit vo en ho bijeen in
de aansluitingsproblematiek op het gebied project is één jaar. Inmiddels is bekend de Jaarbeurs Utrecht om van gedachten te
van wiskunde tussen voortgezet onderwijs dat de SURFfoundation (in afstemming wisselen over de aansluitingsproblematiek
en hoger onderwijs. met VSNU en HBO-raad) een verlenging wiskunde vo-ho. De dag werd georgani-
Het gaat daarbij met name om de van het Nationaal Actieprogramma heeft seerd door NKBW en SIGMA (Special
aansluiting tussen havo/vwo en de bedongen voor de duur van drie jaar. Het Interest Group Mathematics Activities van
vervolgopleidingen in de technische en kernteam van NKBW is voornemens een SURF). Voor een volledig verslag van deze
de economische sector. Hogescholen en verlenging aan te vragen van het huidige dag (en de presentaties van de sprekers) zie
universiteiten hebben recentelijk meer project. de website van NKBW (www.nkbw.nl).
problemen geconstateerd met het instroom- De dag was een mix van enkele plenaire
niveau van studenten, met name op het Onderzoek en dialoog lezingen en een aantal workshops (waarbij
gebied van algebraïsche vaardigheden. Dit Het onderzoek van NKBW moet meer licht steeds een docent wiskunde vo en een
blijkt uit de resultaten op instaptoetsen in laten schijnen op de aard van de aansluitings- docent wiskunde ho gezamenlijk de
het hoger onderwijs. Op diverse universi- problematiek. Op de deelnemende workshop verzorgden). Er werd afgesloten
teiten en hogescholen heeft men, om dit universiteiten en hogescholen worden met een paneldiscussie.
probleem op te lossen, zogenaamde bijspij- daarom de resultaten verzameld van de De dagvoorzitter, Roel van Asselt (lector
kercursussen ontwikkeld om geconstateerde instroom van eerstejaars (resultaten op de Saxion Hogescholen), opende de dag met
‘achterstanden’ bij studenten eenvoudig te instaptoetsen, resultaten van de bijspijker- een pleidooi om aansluiting niet alleen

kunnen wegwerken. cursussen) en wordt van de betrokken te focussen op de programma-aspecten,
Het samenwerkingsverband ‘Nationale studenten ook geïnventariseerd wat hun maar bij de overstap vo-ho ook aandacht
s Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde’ resultaten waren voor wiskunde in het te besteden aan de verandering in de
E
d (NKBW; zie: www.nkbw.nl; penvoerder is voortgezet onderwijs. Dit zal een concreet didactiek, de nieuwe leeromgeving en aan
het Amstel Instituut van de Universiteit beeld opleveren van de prestaties van de de juiste verwachtingen van de leerlingen/
i
van Amsterdam; voor alle partners zie leerlingen, maar ook van de eventuele studenten over studie en beroep.
l
de Verwijzing onderaan dit artikel) verschillen in toetspraktijk tussen vo en ho. De drie plenaire sprekers schetsten in hun
c heeft zich ten doel gesteld om landelijke Denk bijvoorbeeld aan het geval waarbij lezingen een helder beeld van de huidige
initiatieven te bundelen en een ‘portal’ de student in het vo goed presteert en bij stand van (algebraïsche) basisvaardigheden
u
(website) op te leveren waar materialen aanvang in het ho slecht presteert. Dit in het ho en het vo.
E
(toetsen, oefeningen) bij elkaar worden kan duiden op verschil in aangeboden Leendert van Gastel (Amstel Instituut,
UvA) ging onder andere in op de recente middelbare school weinig wijzigingen in van basisvaardigheden zinloos is zonder
historie van ‘bijspijker-cursussen’ die op het curriculum zijn opgetreden de laatste diepgaander inzicht in de wiskunde.
het ho zijn ontstaan, en de aanzetten om jaren, terwijl in Nederland juist veel energie
een dialoog op gang te helpen tussen vo en is gestoken in een verbetering van de Basisvaardigheden
ho (onder andere door de oprichting van aansluiting vo-ho (door de invoering van Tijdens de tweede ochtend parallelle
SIGMA bij SURF en het project NKBW). het studiehuis e.d.) sessie ‘Basisvaardigheden’ wordt gesteld
Daarbij riep hij op tot een gezamenlijke dat basisvaardigheden gebruikt moeten
aanpak, gedragen vanuit vo en ho. studiedag; workshops worden als bouwsteen van grotere activi-
Bert Zwaneveld (Ruud de Moor Centrum, De deelnemers hebben zich twee keer teiten (ontwerp-, studie, presentatie- en
Open Universiteit) belichtte de problema- verdeeld over drie parallelle sessies. Het samenwerkingsactiviteiten).
tiek vanuit het voortgezet onderwijs en voert te ver om hier uitgebreid verslag te
liet in zijn lezing verschillende mogelijke doen van elke workshop. Om een indruk Tool use
oorzaken zien die ten grondslag kunnen te geven van de onderwerpen geven we hier In deze workshop wordt het woord
liggen aan de minder goede aansluiting een kort overzicht. Het ochtendprogramma ‘tools’ breed opgevat en omvat zaken
tussen vo en ho op dit moment. bevatte drie workshops. als grafische rekenmachine, specifieke
Ten slotte liet Dirk Tempelaar (Universiteit wiskundepakketten (zoals Mathematica),
Maastricht) zien wat er uit onderzoeks- Case studies schoolwiskunde-pakketten (VU-grafiek,
gegevens kan blijken bij de internationale Vanuit de diverse hogescholen en universi- etc.), Office-onderdelen (Word, Excel),
instroom van studenten van de Universiteit teiten en vanuit het Junior College Utrecht maar ook het schoolbord en de gewone
Maastricht. Dit onderzoek laat zien dat het (JCU) worden ervaringen beschreven hoe rekenmachine. In de discussie bij deze
de laatste paar jaar beduidend minder goed de tekorten op het gebied van algebraïsche workshop werd met name stilgestaan bij
gaat met de resultaten van Nederlandse vaardigheden worden aangevuld. Zo een zinvolle inzet van de grafische rekenma-
studenten ten opzichte van hun Duitse constateert Aad Goddijn van het JCU dat chine in het voortgezet onderwijs. Ondanks
collega-studenten. Dit is des te opmerke- wiskunde niet mogelijk is zonder goede de goede (didactische) uitgangspunten
lijker omdat er in de Duitse situatie op de basisvaardigheden, maar dat het trainen om de rekenmachine in te zetten blijken
leerlingen/studenten te vaak bij eenvoudige
berekeningen direct naar het apparaat te
66
grijpen. 99
22
In de namiddag hebben nog drie parallelle
sessies plaats gevonden.
Toetspraktijken, realistische en reële
toetsing
In deze workshop stelt men vragen bij de
toetspraktijk van het ho in 2006. Bij de
huidige eindexamens in het vo worden
op dit moment nooit atomaire kennis
of atomaire vaardigheden getest, maar
wel de beheersing van vaardigheden in
een context, waarbij een ‘context’ ook
wiskundig kan zijn. Het nieuwe subdomein
A5 ‘Algebraïsche vaardigheden’ is geen
reactie op externe kritiek, maar is uit de
schoot van het vo zelf voortgekomen. In
het kader van dit nieuwe subdomein zullen

algebraïsche vaardigheden af en toe ook sec
getoetst worden.
ss
EE
Intelligente feedback dd
In deze workshop presentaties van
ii
onderzoekers die met e-learning tools
ll
(wisweb, active math, etc.) het oplossen van
wiskundeopgaven ondersteunen. Belangrijk cc
is dan dat feedback heel direct is en
uu
rekening houdt met het oplossingsgedrag
EE
van de leerling.
Hoe komen studenten aan hun kennis? Met name de stellingen 1 en 6 kwamen aan Verwijzingen
Hier laten de presentatoren twee verschil- bod. Daarbij viel op dat het noodzakelijk - cTWO (2006), commissie toekomst
lende aanpakken zien om gebrek aan is bij dergelijke stellingen eerst de exacte wiskunde onderwijs, www.ctwo.nl
wiskundekennis te remediëren. Het gaat duiding van de gebruikte begrippen uit te - Nationaal Actie Programma e-Learning
dan enerzijds om het regelmatig diagnos- voeren (woorden als ‘beroepspraktijk’ en (2006). Richt zich op verhoging van de
tisch toetsen van wiskundekennis (in dit ‘problem solving’). Het panel, de voorzitter participatiegraad in het Nederlands hoger
geval met MapleTA) om het studiegedrag en de zaal waren het er wel zeer over eens onderwijs door de inzet van e-Learning.
te verbeteren. Anderzijds wordt een dat bij de aanpak van het aansluitingspro- Een initiatief van de SURFfoundation;
digitale vraagbaak getoond (WisFaq) waar bleem in gezamenlijkheid gewerkt moet www.surffoundation.nl/smartsite.
je met wiskundevragen terecht kunt. De worden. Uit de evaluatie (ingevuld door dws?id=9452
vragenstellers komen uit Nederland en de deelnemers van deze studiedag) enkele - NKBW (2006), Nationale Kennisbank
België vanaf vo-onderbouw tot en met ho. reacties op deze discussie: Basisvaardigheden Wiskunde,
Elke vraag wordt in principe persoonlijk - goed geleid, goed gesprek ook met de www.nkbw.nl
door vrijwilligers, docenten wiskunde, zaal; De volgende partners participeren:
behandeld. - evenwichtige discussie; Fontys, Haagse Hogeschool,
- jammer dat nog geen 15% van de Hogeschool Zuyd, Open Universiteit,
Paneldiscussie deelnemers (van deze studiedag) uit het Rijksuniversiteit Groningen, Technische
De bijeenkomst werd afgesloten met een vo is; Universiteit Delft, Technische
paneldiscussie onder leiding van Roel - eigenlijk te kort; wel goede stellingen. Universiteit Eindhoven, Universiteit
van Asselt met als leden Bert Zwaneveld Deze discussies zijn belangrijk, en worden Leiden, Universiteit Maastricht,
(Ruud de Moor Centrum, OU), Henk op diverse plekken gevoerd waar docenten Universiteit Twente, Universiteit Utrecht,
van de Kooij (FIsme, UU/CEVO), Sieb vo en ho elkaar treffen (bijvoorbeeld in de Universiteit van Amsterdam, Vrije
Kemme (Kemme Adviezen BV) en Jan context van de steunpunten wiskunde D; Universiteit.
van de Craats (UvA, OU/Resonansgroep zie de website van cTWO). - SIGMA (2006), Special Interest Group
wiskunde). Er werd gediscussieerd aan de Mathematics Activities, http://e-learning.
hand van de volgende stellingen: En verder surf.nl/sigma
1. Het hoger onderwijs houdt vast aan In het najaar zal er een tweede ontmoeting - Studiedag VO-HO aansluiting wiskunde,
7
9 wiskundige vaardigheden die, op de tussen docenten vo en ho georganiseerd volledig verslag met presentaties op www.
2
keper beschouwd, niet de set van vaardig- worden. De ‘portal’ (website) van NKBW fi.uu.nl/nkbw/communicatie/uitwisselings-
heden is die er in de beroepspraktijk toe zal in de zomer van 2007 operationeel bijeenkomsten/20070423/
doet. worden, zodat er vanaf het nieuwe seizoen - P. Vos (2007): Algebra-prestaties van
2. Het toelaten van digitale hulpmiddelen mee gewerkt kan worden. Er worden tweedeklassers. In: Euclides, 82(4), pp.
en formulekaarten bij het eindexamen momenteel diverse afstemmingsgesprekken 129-133
wiskunde havo/vwo heeft tot direct gevoerd met NVvW, WisFaq, Wisbase, etc. - Wisbase, wiskunde toetsenbank voort-
gevolg dat het niveau van de basisvaardig- We hopen in een volgend artikel meer over gezet onderwijs, www.wisbase.nl
heden tot een onacceptabel laag niveau het NKBW-onderzoek te kunnen vertellen. - WisFaq, wiskunde vraagbaak,
daalt. www.wisfaq.nl
3. Competentiegericht onderwijs is onver-
enigbaar met verwerven van wiskundige
vaardigheden. Over de auteurs
4. Een goede aansluiting wiskunde Vincent Jonker, Freudenthal instituut /
vo-ho is niet alleen gebaat bij een goede Universiteit Utrecht, betrokken bij NKBW
afstemming van vakinhouden: ook als werkpakketleider communicatie,
de veranderende didactiek, de nieuwe [email protected]
leeromgeving en de juiste verwachtingen Nataša Brouwer, Amstel instituut /
beïnvloeden een doorlopende leerweg. Universiteit van Amsterdam, coördinator

5. Aansluitverbeteringen in alleen het van SIGMA, mede-organisator studiedag
vo of in alleen het ho zijn zinloos; 23 april, [email protected]
s alleen gezamenlijk herontwerp van de Monica Wijers, Freudenthal instituut /
E
d wiskunde-leerlijnen rendeert. Universiteit Utrecht, betrokken bij het
6. De nadruk op algebraïsche vaardigheden onderzoek van NKBW, [email protected]
i
is niet zinvol. Als er al ergens tijd in
l
gestoken moet worden is het wel in
c ‘problem solving’.
u
E