Entscheiden bei Unschärfe: Fuzzy Decision Support-Systeme

311 Pages·1988·12.875 MB·German

by  Prof.Dr. Heinrich Rommelfanger (auth.)

Hochschultext
Heinrich Rommelfanger
Entscheiden
beiUnscharfe
Fuzzy Decision Support-Systeme
Mit 107 Abbildungen
Springer-Verlag
Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo
Prof. Dr. Heinrich Rommelfanger
Institut fOr Statistik und Mathematik
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Johann Wolfgang Goethe-UniversiUU Frankfurt
MertonstraBe 17,0-6000 Frankfurt am Main
ISBN-13: 978-3-540-19364-7 e-ISBN-13: 978-3-642-97118-1
001: 10.1007/978-3-642-97118-1
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vom 24. Junl 1985 zulAssig. Sie ist grundsAtzlich vergOtungspflichtig. Zuwider
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1988
2142/3140-543210
Vorvvort
Seit der ersten Veroffentlichung tiber Fuzzy Sets durch Lofti A. ZADEH
im Jahre 1965 hat die Theorie unscharfer Mengen weltweit eine groBe
Verbreitung gefunden. Mittlerweile existieren tiber diese Theorie und
ihre Anwendung mehr als 5000 Publikationen in zahlreichen Wissensge
bieten. Neben dem EinfluB auf andere Teilgebiete der Mathematik, wie
Algebra, Analysis, Logik, MaBtheorie und Topologie, hat die Theorie
unscharfer Mengen u.a. Eingang gefunden in die Clusteranalyse, die
Entscheidungstheorie, die Ingenieurwissenschaften, die Informatik,
die mathematische Optimierung, die Medizin, die Meteorologie und die
Psychologie. Es ist heute schier unmoglich, die Gesamtentwicklung im
einzelnen zu tiberblicken.
Das Interesse von Wissenschaft und Praxis an der Fuzzy Set-Theorie
und ihren moglichen Anwendungen ist groB und wird in Gesprachen
immer wieder betont. Dabei wird haufig bedauert, daB es keine geeig
nete Einstiegsliteratur gebe. In der Tat existieren neben den zah1-
reichen Aufsatzen in Zeitschriften und Sammelbanden nur wenige Lehr
bticher. AuBer dem ausgezeichneten Ubersichtsband von DUBOIS und PRADE
[1980], der aber eher den mathematisch geschulten Leser anspricht,
ist hier vor allem das Lehrbuch von ZIMMERMANN [1984] zu nennen.
Wahrend in diesen beiden Publikationen eine Vielzahl von Wissensgebie
ten behandelt wird, mochte ich mich in dem vorliegenden Buch auf die
Darstellung und die kritische Analyse von Fuzzy-Entscheidungs- und
Fuzzy-Optimierungssystemen beschranken. Die Theorie unscharfer Mengen
hat auf vielfaltige Weise Eingang in die Modelle der Entscheidungsun
tersttitzung gefunden, und es stellt sich die Frage, wie weit dies
sinnvoll und praxisrelevant ist.
Da ftir das Verstandnis und die Bewertung von Fuzzy-Systemen eine fun
dierte Kenntnis der Theorie unscharfer Mengen notwendige Vorausset
zung ist, werdenzunachst im 1. Kapitel die wesentlichen Grundlagen
dieser Theorie dargestellt. 1m Vordergrund steht dabei weniger die
mathematische Eleganz als vielmehr die Verstandlichkeit und die Trans
parenz der Ausftihrungen. Zahlreiche Beispiele untersttitzen die Dar
stellung; Ubungsaufgaben dienen zum Eintiben des Gelesenen und zur
Selbstkontrolle.
Mein Dank gilt allen, die mich bei der Erstellung des Buches unter
stUtzt haben:
Frau Marie-Luise KRAMER hat mit groBer Geduld und Sorgfalt das mit
zahlreichen Formeln gespickte Manuskript in eine druckreife Form ge
bracht. Frau Dipl.Hdl. Ute GOEDECKE-FRIEDRICH und Herr Dr. Jochen
WOLF haben den Text kritisch gelesen und in vielfacher Weise wertvol
Ie Verbesserungsvorschlage eingebracht. Herr Dipl.Geogr. Vito BILELLO
hat die Tuschzeichnungen angefertigt und die Literaturliste verwaltet.
Danken mochte ich auch den vielen, hier ungenannt bleibenden Personen,
deren Hinweise und Diskussionsbeitrage auf Tagungen, bei Seminarsit
zungen und in Gesprachskreisen zur Verbesserung der Textvorlage ge
fUhrt haben.
Frankfurt am Main, den 24.Marz 1988 Heinrich Rommelfanger
INHALTSVERZEICHNIS
EINLEITUNG
I.
GRUNDLAGEN DER THEORIE UNSCHARFER MENGEN 7
1.1 Basisdefinitionen 7
1.2 Mengenoperationen fur unscharfe Mengen 16
1.2.1 Minimum- und Maximumoperator 17
1.2.2 Weitere Operatoren auf P(X) 21
1.2.3 Kompensatorische Operatoren 24
1.3 Das Erweiterungsprinzip und die erweiterten reellen
Operatoren 33
1.3.1 Das Erweiterungsprinzip 33
1.3.2 Erweiterte reelle Operatoren 35
1.3.3 Erweiterte Operationen fur Fuzzy-Zahlen mit L-R-Darstellung 38
1.4 Wahrscheinlichkeit, Moglichkeit und weitere Fuzzy-MaBe 48
1.4.1 Wahrscheinlichkeit und Moglichkeit 48
1.4.2 Wahrscheinlichkeit und Moglichkeit eines Fuzzy-Ereignisses 56
1.5 Unscharfe Mengen vom Typ 2 und weitere Definitionen 62
A. FUZZY-ENTSCHEIDUNGSMODELLE
68
2. PRAFERENZRELATIONEN UND RANGORDNUNGSVERFAHREN FUR UNSCHARFE
NUTZENBEWERTUNGEN 71
2.1 Praferenzrelationen 73
2.2 Rangordnungsverfahren fur unscharfe Mengen 78
3. ENTSCHEIDUNGSMODELLE MIT FUZZY-NUTZEN BEl RISIKO 92
3.1 Das klassische Entscheidungsmodell 93
3.2 Fuzzy-Erwartungswerte 97
3.3 A posteriori Fuzzy-Erwartungswerte und Wert der
Information 101
3.4 Information und Nutzenbewertung 107
3.5 Nutzenbewertung in Form von Fuzzy-Intervallen 111
3.6 Alternativbewertung auf der Grundlage erwarteter
Zugehorigkeitswerte 114
3.7 Fuzzy-Information 118
3.8 SchluBfolgerungen 122
VIII
4, FUZZY-WAHRSCHEINLICHKEITEN, FUZZY-ALTERNATIVEN,
FUZZY-ZUSTANDE 126
4.1 Entscheidungsmodelle mit Fuzzy-Wahrscheinlichkeiten 126
4.2 Entscheidungsmodelle mit Fuzzy-Alternativen 130
4.3 Entscheidungsmodelle mit Fuzzy-Zustanden 132
5, ZUR ERMITTLUNG VON FUZZY-NUTZENBEWERTUNGEN 139
5.1 Klassische Nutzenfunktion und Fuzzy-Ergebnisse 139
5.2 Fuzzy-Nutzenbewertung 145
5.3 Fuzzy-Nutzenbewertung mittels gewichteter Addition 149
6, POSSIBILISTISCHE ENTSCHEIDUNGSMODELLE 152
6.1 Das possibilistische Nutzenmaximierungsmodell von YAGER 152
6.2 Das possibilistische Verlustminimierungsmodell von WHALEN 154
6.3 Zur Aggregation von Nutzenwerten 157
B, FUZZY-OPTIr1IERUNGSMODELLE 162
7, LINEARE OPTIMIERUNGSMODELLE MIT FLEXIBLEN RESTRIKTIONSGRENZEN 166
7.1 Modellierung flexibler Restriktionsgrenzen 167
7.2 Vollstandige Losung eines LP-Modells mit flexiblen
Restriktionsgrenzen 174
7.3 Unscharfer maximaler Zielwert 180
7.4 Nutzenbewertung der Zielwerte 182
7.5 KompromiBlosung 186
7.6 Lineare Vektoroptimierungsmodelle mit flexiblen
Restriktionsgrenzen 201
7.7 Anspruchsniveaugesteuertes interaktives Verfahren MOLPAL
zur Losung linearer Mehrzieloptimierungssysteme 217
7.,8 Kritische Wiirdigung 220
8, LINEARE OPTIMIERUNGSMODELLE MIT FUZZY-RESTRIKTIONEN UND/ODER
FUZZY-ZIELEN 222
8.1 Modellierung der Fuzzy-Parameter Ckj, Aijl Bi 224
8.2 Kleiner-Gleich-Relation II ~ II 229
8.3 Lineare Optimierungsmodelle mit Fuzzy-Restriktionen 237
8.4 Lineare Optimierungsmodelle mit Fuzzy-Zielen 245
8.5 Anspruchsniveaugesteuertes interaktives Verfahren FULPAL
zur Losung linearer Optimierungsmodelle mit Fuzzy-Restrik-
tionen undjoder Fuzzy-Zielen 254
8.6 a-niveau-bezogene Paarbildung 259
8.7 G-a-pareto-optimale Losung 269
IX
9, SCHLUSSBEMERKUNGEN 274
LOSUNGEN ZU DEN UBUNGSAUFGABEN
des 1. Kapitels 275
des 2. Kapitels 280
des 3. Kapitels 282
des 4. Kapitels 284
des 5. Kapitels 284
des 6. Kapitels 285
des 7. Kapitels 285
des 8. Kapitels 286
SYMBOLVERZEICHNIS 289
LITERATURVERZEICHNIS 291
SACHREGISTER 301
EINLEITUNG
Nu~ all~in d~~ M~n4eh
V~mag da4 Unmoglieh~:
E~ unZ~4eh~id~z,
Wahl~z und ~iehz~z;
E~ kann d~m Aug~nb~ek
Vau~ v~~l~h~n.
aus: Das G5ttliche
von Johann Wolfgang Goethe
Nach GOETHE ist es eine der gottlichen Eigenschaften des Menschen, daB
er Entscheidungen treffen kann; und man sollte hinzufUgen, auch muB.
Dies gilt fUr jeden allein und als Mitglied in einer Gruppe, sowohl
im Privat- als auch im Berufsleben. Neben Entscheidungen mit geringen
Folgen sind auch solche von existentieller Bedeutung zu treffen, wel
che die Zukunft von Menschen, Unternehmen u.dgl. nachhaltig beeinflus
sen konnen.
Entscheidungen mit weitreichenden Folgen sollten deshalb sorgfaltig
vorbereitet werden. Das Formulieren und Losen von Entscheidungspro
blemen ist daher auch zentrales Thema vieler wissenschaftlicher Dis
ziplinen, u.a. der Betriebswirtschaftslehre, der Soziologie, der Psy
chologie und der Mathematik.
Urn in komplexen Entscheidungssituationen eine sachgerechte Wahl tref
fen zu konnen, ist es sinnvoll und Ublich, das Realproblem aus der
Sicht des Entscheidungstragers in ein Entscheidungsmodell abzubilden.
Unter einem Modell wollen wir dabei im Sinne von BAMBERG; COENENBERG
[1985, S.12] und SCHNEEWEISS [1983, S.2] eine vereinfachende Abbildung
eines realen Sachverhaltes verstehen. Dabei solI da~ Realmodell, vgl.
Abbildung 0.1, trotz aller Vereinfachungen Strukturgleichheit oder
Strukturahnlichkeit mit dem Realproblem besitzen, urn RUckschlUsse von
den Ergebnissen der Modellanalyse auf das Realproblem zu ermoglichen.
Die Forderung nach Vereinfachung ist dabei vorrangig von pragmatischer
Natur, da wegen der Komplexitat der Realitat erst durch eine Reduktion
auf die fUr die jeweilige Problems tel lung wesentlichen Elemente und
Relationen eine gedankliche Erfassung des Problems ermoglicht wird.
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~ ~ Reduktion des Realmodells
zu einem operablen Modell
ENTSCHEIDUNGSGENERATOR
tiberprUfung der
Losung am Realmodell
Akzeptanz keine Akzeptanz
Abb.O.l: Struktur des Entsaheidungsprozesses