Eindimensionale Finite Elemente: Ein Einstieg in die Methode PDF
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Eindimensionale Finite Elemente Markus Merkel • Andreas Öchsner Eindimensionale Finite Elemente Ein Einstieg in die Methode 2., neu bearbeitete und ergänzte Auflage MarkusMerkel AndreasÖchsner ZentrumfürvirtuelleProduktentwicklung GriffithSchoolofEngineering HochschuleAalen–TechnikundWirtschaft GriffithUniversity Aalen Southport Deutschland Australia ISBN978-3-642-54481-1 ISBN978-3-642-54482-8(eBook) DOI10.1007/978-3-642-54482-8 DieDeutscheNationalbibliothekverzeichnetdiesePublikationinderDeutschenNationalbibliografie;detaillierte bibliografischeDatensindimInternetüberhttp://dnb.d-nb.deabrufbar. SpringerVieweg © Springer-VerlagBerlinHeidelberg2010,2014 DasWerkeinschließlichallerseinerTeileisturheberrechtlichgeschützt.JedeVerwertung,dienichtausdrücklich vomUrheberrechtsgesetzzugelassenist,bedarfdervorherigenZustimmungdesVerlags.Dasgiltinsbesonderefür Vervielfältigungen,Bearbeitungen,Übersetzungen,MikroverfilmungenunddieEinspeicherungundVerarbeitung inelektronischenSystemen. DieWiedergabevonGebrauchsnamen, Handelsnamen,Warenbezeichnungenusw. indiesemWerkberechtigt auchohnebesondereKennzeichnungnichtzuderAnnahme,dasssolcheNamenimSinnederWarenzeichen-und Markenschutz-Gesetzgebungalsfreizubetrachtenwärenunddahervonjedermannbenutztwerdendürften. GedrucktaufsäurefreiemundchlorfreigebleichtemPapier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+BusinessMedia www.springer-vieweg.de UnserenVäterngewidmet. Vorwort Vorwortzur1.Auflage DerTitel des Buches – Eindimensionale Finite Elemente, Ein Einstieg in die Methode – stehtfürInhaltundAusrichtung.ZumThemaFinite-Elemente-Methodegibtesheutezahl- reiche Literatur. Die unterschiedlichen Werke spiegeln die vielfältigen Sichtweisen und Anwendungsmöglichkeiten wider. Der Grundgedanke dieser Einführung in die Methode der Finiten Elemente wird von dem Konzept getragen, die komplexe Methode anhand eindimensionaler Elemente zu erläutern. Ziel ist es, die vielfältigenAspekte der Finite- Elemente-Methode vorzustellen und dem Leser das methodische Verständnis wichtiger Themenbereichezuermöglichen.DerLeserlerntdieAnnahmenundAbleitungenbeiver- schiedenen physikalischen Problemstellungen in der Strukturmechanik zu verstehen und MöglichkeitenundGrenzenderMethodederFinitenElementekritischzubeurteilen.Zu- sätzliche umfangreiche mathematische Beschreibungsformen entfallen, die lediglich aus dererweitertenDarstellungfürzwei-oderdreidimensionaleProblemstellungenentstehen. SomitbleibtdiemathematischeBeschreibungweitgehendeinfachundüberschaubar.Die BehandlungeindimensionalerElementeistjedochnichtnureinereineBeschränkungauf eine einfache und übersichtliche formale Darstellung der notwendigen Gleichungen. Im konstruktiven Ingenieurbau gibt es zahlreiche Strukturen – zum Beispiel Brücken oder Hochspannungsmasten–dieüblicherweisemittelseindimensionalerElementemodelliert werdenkönnen. SomitumfasstdiesesWerkaucheinen,SatzvonWerkzeugen‘, derauch inderPraxisseineAnwendungfindet. DieKonzentrationaufeindimensionaleElementeistneufüreinLehrbuchundermög- licht die Behandlung verschiedenster grundlegender und anspruchsvoller physikalischer ProblemstellungenderStrukturmechanikineinemeinzigenLehrbuch. DiesesneueKon- zepterlaubtsomitdasmethodischeVerständniswichtigerThemenbereiche(zumBeispiel Plastizität oderVerbundwerkstoffe), die einem angehenden Berechnungsingenieur in der Berufspraxisbegegnen,jedochindieserFormnurseltenanHochschulenbehandeltwerden. FolglichisteineinfacherEinstiegmöglich,auchinweiterführendeAnwendungsgebieteder MethodederFinitenElemente. VII VIII Vorwort DiesesBuchistentstandenauseinerSammlungvonSkripten, diealsschriftlicheUn- terlagenfürVorlesungenausgeteiltwurden,undSchulungsunterlagenfürSpezialkursezur Finite-Elemente-Methode.BesondersbeidendurchgerechnetenBeispielenunddenweiter- führendenAufgabensindtypischeFragestellungenvonStudierendenundKursteilnehmern aufgegriffen. VoraussetzungfüreingutesVerständnissindGrundlageninderlinearenAlgebra,Physik, Werkstoffkunde und Festigkeitslehre, so, wie sie typischerweise im Grundstudium eines technischenFachesimUmfelddesMaschinenbausvermitteltwerden. IndenerstenKapitelnwerdendieeindimensionalenElementevorgestellt,anhandderer sich die Grundbelastungsarten Zug/Druck, Torsion und Biegung abbilden lassen. Herge- leitet werden jeweils die Differenzialgleichung und die grundlegenden Gleichungen aus der Festigkeitslehre zur Kinematik, zur konstitutiven Beziehung und zur Bildung des Gleichgewichtes.ImAnschlussdaranwerdendieFinitenElementemitdenüblichenDefini- tionenfürKraft-undVerschiebungsgrößeneingeführt.AnBeispielenwirddieprinzipielle Vorgehensweise präzisiert. Für weiterführendeAufgaben sind Kurzlösungen imAnhang angegeben. Im Kap. 6 werden Fragestellungen unabhängig von der Belastungsart und der damit einhergehenden Elementformulierung aufgegriffen. Behandelt werden ein allgemeines eindimensionalesFinitesElement, dasausderKombinationvonGrundelementenaufge- bautwerdenkann,dieTransformationvonElementenimallgemeinendreidimensionalen Raum und die numerische Integration als wichtiges Hilfsmittel bei der Implementierung derFinite-Elemente-Methode. InKap.7wirddievollständigeAnalyseeinesGesamttragwerksvorgestellt.DieGesamt- steifigkeitsbeziehung entsteht aus den Einzelsteifigkeitsbeziehungen der Basiselemente unterBerücksichtigungderVerbindungenzueinander.MitdenRandbedingungenentsteht ein reduziertes System, aus dem die unbekannten Größen ermittelt werden. Beispiel- haft wird die Vorgehensweise an ebenen und allgemein dreidimensionalen Tragwerken vorgestellt. IndenKap.8bis12werdenThemenaufgegriffen,dienichtzumStandardrepertoireeines Grundlagenbuchesgehören.InKap.8wirddasBalkenelementmitSchubanteilvorgestellt. GrundlageistderTimoshenko-Balken. InKap.9wirdineineFinite-Elemente-FormulierungfüreinebesondereWerkstoffklasse – dieVerbundwerkstoffe – eingeführt. Zunächst werden verschiedene Beschreibungsfor- menfürrichtungsabhängigesStoffverhaltenvorgestellt.KurzwirdauchaufdieFaserver- bundwerkstoffeeingegangen. EinVerbundelementwirdbeispielhaftamVerbundstabund amVerbundbalkendemonstriert. In den Kap. 10, 11 und 12 wird auf Nichtlinearitäten eingegangen. In Kap. 10 wer- denkurzdieverschiedenenArtenvonNichtlinearitätenvorgestellt.Tieferbeleuchtetwird derFalldernichtlinearenElastizität.DieProblematikwirdexemplarischfürStabelemente dargestellt. Zuerst wird die Finite-Elemente-Hauptgleichung unter Beachtung der Deh- nungsabhängigkeit abgeleitet. Zur Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems werden Vorwort IX diedirekteIterationunddievollständigeundmodifizierteNewton-RaphsonscheIteration abgeleitetundanhandvonzahlreichenBeispielendemonstriert. InKap. 11wirdelasto-plastischesVerhaltenberücksichtigt, einederhäufigauftreten- den Form der materiellen Nichtlinearität. Zuerst werden die kontinuumsmechanischen Grundlagen zur Plastizität am eindimensionalen Kontinuumsstab zusammengestellt. Die Fließbedingung, die Fließregel, dasVerfestigungsgesetz und der elasto-plastische Stoff- modulwerdenfüreinachsige, monotoneBelastungszuständeeingeführt. ImRahmender VerfestigungistdieBeschreibungaufdieisotropeVerfestigungbeschränkt.ZurIntegration deselasto-plastischenStoffgesetzeswirddasinkrementellePrädiktor-Korrektor-Verfahren allgemeineingeführtundfürdenFalldesvollständigimplizitenunddessemi-impliziten Backward-Euler-Algorithmus abgeleitet.An entscheidenden Stellen wird auf den Unter- schiedzwischenein-unddreidimensionalerBeschreibunghingewiesen,umeineeinfache ÜbertragungderabgeleitetenVerfahrenaufallgemeineProblemezugewährleisten. Mit der Stabilität wird in Kap. 12 ein Thema aufgegriffen, das insbesondere bei der GestaltungundDimensionierungvonLeichtbaukomponentenBerücksichtigungfindet.Die für diese Art der Nichtlinearität entwickelten Finiten Elemente werden zur Lösung der EulerschenKnickfälleherangezogen. InKap.13wirdeineFE-FormulierungfürdynamischeProblemevorgestellt.Nebenden SteifigkeitsmatrizenwerdenauchMassenmatrizenaufgestellt.UnterschiedlicheAnnahmen zurVerteilungderMassen, obkontinuierlichoderkonzentriert, führenaufunterschiedli- cheFormulierungen.BeispielhaftwirdderSachverhaltanDehnschwingungendesStabes diskutiert. Zur Veranschaulichung wird jedes Kapitel sowohl mit ausführlich durchgerechne- ten und kommentierten Beispielen als auch mit weiterführenden Aufgaben – inklusive Kurzlösungen–vertieft.JedesKapitelschließtmiteinerumfangreichenLiteraturlisteab. Vorwortzur2.Auflage DasgrundlegendeKonzeptzurBehandlungderFinite-Elemente-Methodemiteindimen- sionalenFragestellungenistinder2.Auflageerhaltengeblieben.Zusätzlichaufgenommen wurdediestationäreWärmeleitungunddasPrinzipdervirtuellenArbeitalseineweitere MethodezurHerleitungvonFinite-Elemente-Formulierungen.ErgänztistdasKapitel14 mitSpezialelementenfürdieModellierungvonSingularitäten. Hüttlingen,Southport(Australien),März2014 MarkusMerkel AndreasÖchsner Danksagung Wir danken dem Springer-Verlag, insbesondere Herrn Dr. Baumann, für das Eingehen hinsichtlichderAusrichtungdesBuchesundfürdieansprechendeAusstattungdesBuches. StudierendenundKursteilnehmernseigedankt,siehabendurchkritischesHinterfragen zurvorliegendenFormbeigetragen. WirdankenherzlichFrauAngelikaBrunnerfürdieUnterstützungbeiderAnfertigung desManuskriptesundFrauGertrudRublyfürdiesorgfältigeDurchsicht. Abschließend sei unseren Familien für das Verständnis und die Geduld während der ErstellungdesBuchesgedankt. XI Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung .......................................................... 1 1.1 DieFinite-Elemente-MethodeimÜberblick ......................... 1 1.2 GrundlagenzurModellbildung .................................... 2 Literatur ............................................................ 4 2 MotivationzurFinite-Elemente-Methode .............................. 5 2.1 AusderingenieurmäßigenAnschauungmotivierteVerfahren ........... 5 2.1.1 DieMatrix-Steifigkeitsmethode ............................. 6 2.1.2 ÜbergangzumKontinuum.................................. 10 2.2 Integralprinzipien ............................................... 16 2.3 DieMethodedergewichtetenResiduen ............................. 18 2.3.1 VerfahrenaufBasisdesinnerenProduktes .................... 19 2.3.2 VerfahrenaufBasisderschwachenFormulierung .............. 22 2.3.3 VerfahrenaufBasisderinversenFormulierung................. 24 2.4 Beispielprobleme................................................ 24 Literatur ............................................................ 30 3 Stabelement ........................................................ 31 3.1 GrundlegendeBeschreibungzumZugstab ........................... 31 3.2 DasFiniteElementZugstab....................................... 34 3.2.1 HerleitungüberPotenzial .................................. 37 3.2.2 HerleitungüberSatzvonCastigliano......................... 38 3.2.3 HerleitungüberdasPrinzipdergewichtetenResiduen........... 39 3.2.4 HerleitungüberdasPrinzipdervirtuellenArbeit ............... 42 3.3 BeispielproblemeundweiterführendeAufgaben...................... 44 3.3.1 Beispielprobleme ......................................... 44 3.3.2 WeiterführendeAufgaben .................................. 49 Literatur ............................................................ 49 XIII
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