Efficient Implementation of Lattice Operations - Hassan Aït-Kaci

32 Pages·1999·1.97 MB·English

Efficient Implementation of ecittaL
snoitarepO
NASSAH ,ICAK-Ti’A TREBOR ,REYOB KCIRTAP ,NLOCNIL
dna REGOR RSAN
,CCM ACA margorP
ecittaL snoitarepo hcus sa tsetaerg rewol dnuob ,)BLG( tsael reppu dnuob ,)BUL( dna evitaler
noitatnemelpmoc )TONTUB( era gnimoceb erom dna erom tnatropmi ni gnimmargorp segaugnal
gnitroppus tcejbo .ecnatirehni We tneserp a lareneg euqinhcet rof eht tneiciffe noitatnemelpmi fo
hcus snoitarepo desab no na gnidocne .dohtem ehT tceffe fo eht gnidocne si ot egnulp eht nevig
gniredro otni a naeloob ecittal fo yranib ,sdrow gnidael ot na tsomla tnatsnoc emit ytixelpmoc fo eht
ecittal .snoitarepo A tsrif dohtem si debircsed desab no a evitisnart erusolc .hcaorppa nehT a erom
tneiciffe-ecaps dohtem minimizing drow-edoc htgnel si .debircsed yllaniF a lufrewop gnipuorg -hcet
euqin dellac noitaludom si ,detneserp hcihw yllacitsard secuder edoc ecaps elihw gnipeek lla eerht
ecittal snoitarepo ylhgih .tneiciffe sihT euqinhcet sekat otni tnuocca seisarcnysoidi fo eht ygolopot
fo eht tesop gnieb dedocne taht era etiuq ylekil ot rucco ni .ecitcarp llA sdohtem era yllamrof .deifitsuj
We ees siht krow sa na lanigiro noitubirtnoc sdrawot gnisu citnames ,.zv( ni siht ,esac )cimonoxat
noitamrofni ni eht gnireenigne scitamgarp fo egarots dna laveirter fo ,.zv( yllaitrap ro )deredro-isauq
.noitamrofni
seirogetaC dna tcejbuS :srotpircseD 2.3.D gnimmargorP[ :]segaugnaL egaugnaL -snoitacifissalC
yrev level-hgih ;segaugnal 3.3.F scigoL[ dna sgninaeM fo :]smargorP seidutS fo margorP -noC
epyt-stcurts ;erutcurts 3.3.H noitamrofnI[ egarotS dna :]laveirteR noitamrofnI hcraeS dna
;gniretsulc-laveirteR 1.2.4 laicifitrA[ :]ecnegilletnI egdelwonK noitatneserpeR smsilamroF dna
semarf-sdohteM dna ,stpircs citnames skrowten
lareneG :smreT ,smhtiroglA ,segaugnaL ecnamrofreP
lanoitiddA yeK sdroW dna :sesarhP ,ecnatirehnI ecittal ,snoitarepo deredro-yllaitrap stcejbo
erehT si a tsetaerg lanidrac ni hcae ,epyt ,yleman eht lanidrac
number fo eht elohw fo eht ;epyt but siht si syawla dessaprus yb eht
lanidrac number fo eht txen ,epyt ,ecnis fi a si eht lanidrac number
fo eno ,epyt taht fo eht txen epyt si ,”2 ,hcihw sa rotnaC sah ,nwohs
si syawla retaerg naht .a
,LLESSURDNARTREB ehT sepyTfoyroehT
sihT repap si a yllaitnatsbus desiver dna dednetxe noisrev fo [4].
’srohtuA tneserp :sesserdda .H ,icaK-tiA siraP/CED hcraeseR ,yrotarobaL 85 eunevA rotciV ,oguH
92563 lieuR nosiamlaM ,xedeC ;ecnarF .P ,nlocniL retupmoC ecneicS ,tnemtrapeD drofnatS -revinU
,ytis ,drofnatS AC 94305; .R ,rsaN ,CCM ACA ,margorP 3500 tseW senoclaB retneC ,evirD ,nitsuA
XT 78759; .R ,reyoB tnemtrapeD fo retupmoC ,secneicS ytisrevinU fo ,saxeT ,nitsuA XT 78712.
noissimreP ot ypoc tuohtiw eef lla ro trap fo siht lairetam si detnarg dedivorp taht eht seipoc era ton
edam ro detubirtsid rof tcerid laicremmoc ,egatnavda eht MCA thgirypoc eciton dna eht eltit fo eht
noitacilbup dna sti etad ,raeppa dna eciton si nevig taht gniypoc si yb noissimrep fo eht noitaicossA
rof gnitupmoC .yrenihcaM oT ypoc ,esiwrehto ro ot ,hsilbuper seriuqer a eef ro/dna cificeps
.noissimrep
0 1989 MCA 0164-0925/89/0100-0115 $01.20
MCA snoitcasnarT no gnimmargorP segaugnaL and ,smetsyS .loV ,11 .oN ,1 yraunaJ ,9891 segaP .641-511
116 nassaH icaK-tA te .la
l
.1 NOlTCUDORTNl
tcejbO ecnatirehni si yllacitnames dna yllacitamgarp .lufesu levoN gnimmargorp
segaugnal era gnieb dengised taht wolla eht resu ot yficeps epyt .seihcrareih
selpmaxE fo eseht era ssalc ecnatirehni ni nommoC spooL ]9[ dna klaTllamS
,]21[ rovalf ecnatirehni ni psiLateZ ,]02[ strosbus ni meroehT gnivorP ,81[ ,191
epyt gnikcehc ni rebmA ,]ol[ oelilaG ,]7[ dna erom yltnecer detneiro-tcejbo
gnimmargorp detalumrof sa detros-redro ciarbegla tcartsba gnipyt-atad ,ll[ ,171
dna divaD s’retsellAcM krow no naeloob ssalc snoisserpxe [ .141
nI ,lareneg stcejbo taht era secnatsni fo sessalc dezinagro ni a laitrap redro era
detalupinam sa tniartsnoc snoisserpxe gniyficeps ,noitcnujnoc ,noitcnujsid ro
noisulcxe fo niatrec ssalc .seitreporp segaugnaL taht troppus elpitlum ecnatirehni
,.e.i( erehw a ssalc yam evah erom naht eno )ssalcrepus hcus sa psiLateZ ]02[ ro
klatllamS ]21[ esu na da coh noitulos rof gninibmoc ssalc seitreporp taht dneped
no eht laropmet latot redro ni hcihw eht sessalc era denifed ro raeppa ni na
.noisserpxe sihT si ylraelc yllacitnames naelcnu dna yllacitamgarp .suodrazah
rehtO slasoporp ,2[ ,41 191 evah dezilamrof eht tpecnoc fo ssalc ecnatirehni ni
citeroeht-ecittal .smret sihT serutpac eht laitnesse seitreporp lufesu ni ecitcarp
rof detneiro-tcejbo ,segaugnal dna swolla a retteb gnildnah fo ssalc snoisserpxe
rof tneiciffe noitatnemelpmi ,.g.e( nevig a ymonoxat fo a-stcejbo noitpmusbus
laitrap woh-gniredro evisnepxe si ti ot etupmoc eht tsetaerg nommoc rewol
sdnuob fo owt .)?stcejbo
nI siht ,repap ew tneserp a dohtem taht nac eb desu sa a citats ,.e.i( ta
noitalipmoc )emit erudecorp desab no na aedi fo gniyrrac eht citeroeht-redro
noitamrofni fo eht tcejbo ymonoxat otni a cihpromomoh egami erehw BLG
noitatupmoc si .tneiciffe hguohtlA eht dohtem si lareneg sa raf sa hcihw sedoc
era ,desu siht yduts sesucof no eht edoc ecaps fo )dednuobnu( yranib ,sdrow
hcihw si eht lacinonac naeloob ecittal rednu eht naisetraC noisnetxe fo eht 0 < 1
.gniredro ehT noitatupmoc fo tsetaerg rewol ,sdnuob rof ,elpmaxe si suht decuder
,ot a yranib .dna
We depoleved siht euqinhcet gnitnemelpmi eht ralucitrap msinahcem fo tcejbo
ecnatirehni fo nIgoL ]5[ dna rehtruf dednetxe ni efiL .]6[ rehtonA gnisimorp
tcepsorp fo ecnaveler rof eht seuqinhcet ew ebircsed smees ot eb eht tsaf
noitatnemelpmi fo rehto tniartsnoc gnimmargorp sledom ylgnorts detaler ot ,sruo
hcus sa ,31[ ,51 .161
noitceS 2 setats eht melborp ni lareneg .smret We tsrif sucof no eht BLG
,noitarepo eht most ylnommoc desu .noitarepo neviG taht ni yrartibra stesop
hcus na noitarepo si ton ylirassecen ,denifed noitceS 3 sllacer a elpmis ecittalimes
gniddebme noitcurtsnoc ot etaillap .siht nehT a tsrif dohtem desab no evitisnart
erusolc si detneserp ni noitceS .4 sihT dohtem si deretla ot dleiy a erom -ecaps
tneiciffe gnidocne mhtirogla ni noitceS .5 nI noitceS 6 rehto ecittal snoitarepo
era ;deredisnoc ,.e.i woh eht dohtem yam eb dednetxe ot troppus tcejbo noitcnujsid
dna .noitatnemelpmoc ,yllaniF noitceS 7 setarobale a erom detacitsihpos -hcet
euqin dellac .noitaludom ehT aedi si taht ni ecitcarp detaler stnemele emoc ni
”sbolb“ hcihw( ew llac )seludom hcus taht ti si elbissop ot edocne stnemele yllacol
nihtiw a ,eludom eseht gnieb sevlesmeht yllaitrap deredro dna .dedocne A
evitarapmoc yduts fo lla eerht sdohtem no egral stesop setartsulli eht sniag ni
ecaps dna emit .derrucni
MCA snoitcasnarT no gnimmargorP segaugnaL and ,smetsyS .loV ,11 .oN ,1 yraunaJ .9891
tneiciffE noitatnemelpmI fo ecittaL snoitarepO 711
l
FL
PII nosrep nosre I I
eeyolpme
/
tneduts
ydutskrow
.giF 1. A tesop htiw elpitlum .ecnatirehni
.2 EHT MELBORP
redisnoC eht tcejbo htrofecneh-ymonoxat derrefer ot sa a )tcejbo( fo-tesop
erugiF .1 teL su esoppus taht emos tcejbo si denimreted ot eb htob fo epyt tneduts
dna epyt ;eeyolpme ,.e.i ti stirehni from htob .sepyt tcejbO ecnatirehni sa epyt
noicreoc si suht eht noitarepo fo gnidnif eht tsetaerg ,epyt htiw tcepser ot eht
noitpmusbus ,gniredro hcihw si a epytbus fo htob tneduts dna ;eeyolpme ni siht
,esac .ydutskrow
neviG taht eht BLG fo yna owt stnemele stsixe dna si ,.e.i-euqinu taht eht
tesop si a rewol ecittal-imes ew--)LSL( deen na mhtirogla ot etupmoc .ti A
,lareneg tiebla ,evian mhtirogla ot etupmoc eht BLG fo owt stnemele fo a etinif
LSL ,Z si nevig ni erugiF .2 tahT ,si eht BLG fo owt stnemele s dna t si eht
tsetaerg tnemele fo eht tes fo nommoc rewol sdnuob fo s dna t ni .2 sihT
mhtirogla si ylbaborp ton eht most tneiciffe eno dluoc .dnif ,revewoH ti si
yldetbuodnu .tcerroc
teL su esoppus won taht ereht stsixe na LSL ,CZ n rof hcihw ew wonk woh
ot etupmoc sBLG .yltneiciffe ,woN nevig emos LSL ,Z ,I ,A tel su osla esoppus
taht ereht stsixe a noitcnuf y from Z ot 9 hcus ,taht rof yna owt stnemele s dna
t ni :Z
S(Y A t) = )S(Y n -l(t) )1(
,.e.i y si na LSL .msihpromomoh ,yllaniF tel su osla emussa taht eht noitcnuf y
si ;elbitrevni ,.e.i taht ereht stsixe a noitcnuf l-y from 9 ot 1z hcus ,taht rof yna
s ni :Z
))s(Y(l-Y = s )2(
MCA snoitcasnarT no gnimmargorP segaugnaL and ,smetsyS .loV ,11 .oN ,1 yraunaJ .9891
811 nassaH icaK-tiA te .la
l
noitcnuf ,s(BLG t : )tnemele snruter : ;tnemele
nigeb
:LEX{tsBL ;}+xI
tBL EEx{-+ ;}t<xI
BLC t sBL n ;tBL
nruter )BLC(xam
dne
.giF 2. ehT ”ecrof-eturb“ BLG .mhtirogla
,nehT a yaw fo gnitupmoc eht BLG fo owt stnemele s dna t ni eht ecittalimes
Z si ot enibmoc snoitauqE )1( dna :)2(
s A t = )s(Y-Y-y i-l ))t(y )3(
eroM ,ylesicerp .qE )3( si na tneiciffe yaw ot etupmoc sBLG ni Z ylno fi eht
noitcnuf y dna sti esrevni era osla yltneiciffe .elbatupmoc dnA siht si ton na
noitpmussa ew yam yllacitsilaer make. revewoH ew deen ton yllaer esu noitauqE
)3( .yllaretil ehT noitcnuf y yam eb ylevitaler ,evisnepxe sa gnol sa ew nac
etupmoc ti .yllacitats ,deednI a emit-elipmoc noitatupmoc dluoc suht etupmoc
lla eht segami-y fo eht stnemele ni ,Z os taht lla eht emit-nur BLG snoitatupmoc
eb deirrac tuo ni ,9 dna ylno yap eht ecirp fo gnitupmoc eht esrevni egami yb y
fo eht etamitlu .tluser sihT aedi si elbaulavni rof a egaugnal ekil nIgoL ]5[ erehw
emit-nur noitatupmoc stsisnoc yllaitnesse fo a yrev hgih rebmun fo hcus BLG
,snoitarepo dna gnidoced htiw l-y si dedeen ylno ot tnirp tuo eht -tluser
ylsuoivbo a llams ecirp ot .yap
sihT si deedni eht tsig fo eht euqinhcet ew era ot .esoporp We tseggus gniweiv
hcus a y noitcnuf sa a ,edoc dna noitalipmoc fo eht tcejbo ecnatirehni noitarepo
suht semoceb na gnidocne .ssecorp
,yllarutaN ew deen ot etacilpxe rehto dliw snoitpmussa edam ,evoba hcus sa
eht LSL erutcurts fo ,Z dna eht gnidoced noitcnuf .l-y We txen ssimsid eht
remrof yb gnillacer a ecittalimes .gniddebme sA rof eht ,rettal a elpmis gnidoced
swollof from eht LSL gniddebme .noitaterpretni
.3 A ECITTALIMES NOITCURTSNOC
ehT gniogerof elpmis sisylana seiler no eht noitpmussa taht eht tesop Z. tsum eb
a rewol ;ecittalimes ,.e.i taht a euqinu BLG stsixe ni Z rof yna owt tcejbo slobmys
ni 2 nevig( yb eht A .)noitarepo revewoH ni ecitcarp siht si ton etiuq a elbanosaer
noitpmussa ot make. ,deednI ni redro ot niatniam siht noitpmussa ,dilav sa eht
ezis fo eht tesop ,sworg ereht tsum eb na laitnenopxe rebmun fo esiwriap sBLG
ot eb ,ylraelc-deificeps na etairporppani dnamed no a .remmargorp
daetsnI ti dluow eb relpmis ot debme a deredro-yllaitrap tcejbo tes ZJ taht si
ton na LSL otni eht tsael hcus erutcurts taht sniatnoc pu-ti ot emos -hpromosi
.msi sihT gniddebme tsum evreserp eht redro erutcurts fo ,Z dna ni ,ralucitrap
MCA snoitcasnarT no gnimmargorP segaugnaL and ,smetsyS .loV ,11 .oN ,1 yraunaJ .9891
tneiciffE noitatnemelpmI fo ecittaL snoitarepO 911
l
.giF 3. A tesop taht si not a .ecittalimes
gnitsixe .sBLG hcuS na gniddebme tsum osla eb yllacitnames ,dnuos ni taht eht
lanoitarepo cigol ti stnemelpmi tsum eb ni-tnetsisnoc ruo ,esac lla ro emos
tnetsisnoc snoitcirtser of lanoitisoporp cigol detnemelpmi sa naeloob sedoc dna
.snoitarepo
ehT aedi si rehtar ,elpmis dna sekam evitiutni .esnes teL su redisnoc rof
elpmaxe eht tesop of erugiF .3 stcejbO ,lw . . . , kw era htob stneduts dna
.seeyolpme revewoH ereht si ton a nommoc tcejbo lobmys ot etangised eht tes of
stneduts dna .seeyolpme suhT gnikat eht BLG of tneduts dna eeyolpme ni siht
tesop tonnac eb denifed sa a euqinu tnemele of eht .tesop sselehtreveN ti sekam
esnes ot yas taht eht BLG of tneduts dna eeyolpme thguo ot eb eht tes ,lw( . . . ,
.)kw sihT si ylesicerp eht tceffe taht eht gniwollof noitcurtsnoc .seveihca oT ruo
,egdelwonk siht noitcurtsnoc si ton .lanoitnevnoc tI si detaler ot tahw si nwonk
sa noitelpmoc yb slaedi ,]8[ dna deliated ni eht ralucitrap gniwollof form ni ]2[
dna .]3[
nI tahw ,swollof ew ekam eht noitpmussa taht eht tesop si ’.etinif ,tsriF ew
deen emos .snoitinifed
ehT detcirtser tesrewop of a tesop ,S 5 si eht tes ’”2 of ytpmenon etinif stesbus
of esiwriap elbarapmocni stnemele of .S hcuS stesbus era dellac ,ro-sniahcoc
erom ,ylevitarugif dna-snworc era yllaitrap deredro yb a noitaler _C denifed :yb
YCX iff xV E ,X y3 E ,Y x I .y
neviG a tesop ,S ,5 eht lacinonac noitcejni nettirw( )1 from S otni ’”2 si eht
noitcnuf taht sekat yreve tnemele x of S otni eht notelgnis )X(L = .)r( sihT elpmis
’ In ,tcaf sa nwohs ni [2], hcus a noitcurtsnoc nac eh demrofrep for na etinifni tesop hcihw si
,.e.i-nairehteoN eno taht seod not niatnoc etinifni gnidnecsa .sniahc
MCA snoitcasnarT no gnimmargorP segaugnaL and ,smetsyS .loV ,11 .oN ,1 yraunaJ .9891
021 nassaH icaK-tiA te .la
l
noitcnuf sah eht ecin ytreporp :taht
xv E ,s yv E ,s )X(L E )y(1 ffi x I .y
tahT ,si L si na redro .msihpromomoh neviG yna tesbus X fo ,S ew enifed sti
lamixam noitcirtser 1XT sa eht tes fo lamixam stnemele fo .X ,ylraelC 1XT si ni
,)‘(2 dna denifed rof lla stesbus fo a etinif tesop .S neviG emos tnemele x fo ,S
ew eton yb x eht tesbus fo S fo lla rewol sdnuob fo .~3 tahT ,si
g = y( E s yI I .)x
,nehT rof yna owt stnemele ,a b ni ,S a lr b si eht tes fo nommoc rewol sdnuob
fo a dna b ni .S yllaniF eht gniwollof yranib noitarepo n nac eb denifed no 2 )‘(
rof yna riap fo stesbus ,X :Y
=Ynx lbna;f,‘;p
)4(
dna siht noitarepo si a BLG noitarepo ni .‘”2
sA a ,tluser ’”2 , ,C n si a rewol .ecittalimes ,eromrehtruF ew evresbo taht fi
owt stnemele J dna y ni S ydaerla evah a euqinu BLG z ni ,S ti swollof :taht
ecneH siht noitcurtsnoc si a erutcurts ,gniddebme ni taht ti sevreserp eht gniredro
dna eht sBLG nehw yeht tsixe ni .S woN ew era deifitsuj ot take eht modeerf fo
gnitirw ylpmis x rehtar naht )xl rof yna elgnis tnemele fo na tcejbo tesop ,Z dna
dnetxe eht tesop ot 2 )x( eht BLG gnivreserp rewol ecittalimes noisnetxe fo .Z
dnA siht si eht tsael hcus elbissop ,erutcurts ecnis fi Z si ydaerla a rewol
ecittalimes neht ti si cihpromosi ot sti lacinonac noitcejni otni .)x(2
sihT noitcurtsnoc si ruo lamrof noitacifitsuj fo eht tcaf taht ew deen ylno laed
htiw stesop hcihw era .sLSL nI noitidda ot gnieb a lasrevinu ,gniddebme siht
detcirtser tesrewop noitcurtsnoc osla stimrep eht noitalupinam fo evitcnujsid
.stcejbo sihT sgnirb eht melborp fo eht gnidoced noitcnuf .l-y
A tneinevnoc ecneuqesnoc fo gnignulp eht tesop Z ni sti detcirtser tesrewop
’“’2 htiw ,L si taht na esrevni l-y rof eht gnidocne noitcnuf y yam eb detcartxe
sa .swollof ,ylemaN l-y yam eb nees sa eht noitcirtser fo a noitcnuf lbr from 9
ot ’“’2 hcus taht , rof yna c ni 3
=)c(‘,y ]JC~)bYI=fX{r )5(
nI ,sdrow ’;r )c( si eht tes fo lamixam stnemele fo Z esohw sedoc era ssel naht .c
tahW dluow neht ,sy eht esrevni fo ,lhr ?eb sA ew llahs ,ees fi 9 sah eht
lanoitidda ytreporp fo gnieb a evitubirtsid ,ecittal y yam eb dednetxe ot hcus a
sy from 2 )x( ot ,9 suht gnimoceb syawla .elbitrevni
.4 EVITISNART ERUSOLC
tsriF fo ,lla tel su remark taht neve fi ,Z eht tcejbo ,tesop si ton na ,LSL neht
eht ecrof-eturb mhtirogla fo erugiF 2 sniamer .tcerroc nehT ,deedni ti sdleiy eht
tes fo lamixam nommoc rewol sdnuob fo eht tupni eht-stnemele lamixam
ylsuoenatlumis demusbus .stcejbo
ehT owt sehcaorppa debircsed ni eht suoiverp noitces era hcae ylsuoivbo
.tcerroc ,revewoH sa yeht ,dnats yeht era osla .lacitcarpmi ehT ecrof-eturb dohtem
MCA snoitcasnarT no gnimmargorP segaugnaL and ,smetsyS .loV ,11 .oN ,1 yraunaJ .9891
tneiciffE noitatnemelpmI fo ecittaL snoitarepO - 121
.giF 4. A essaH margaid fo a .dop
dluow ylraelc dael ot laitnenopxe ,snoitatupmoc dna ti si ton suoivbo woh eno
dluoc dnif na etairporppa edoc noitcnuf fi eno erew ot esu eht gnidoc .hcaorppa
,sselehtreveN htob saedi yam eb denibmoc desab no owt :snoitavresbo
)1( hcuM tnadnuder krow ni gnitupmoc eht stes fo lla rewol sdnuob fo tesop
stnemele dluoc eb demrofrep ,yllacitats dna devas rof emit-nur .esu
)2( A elpmis edoc rof a tesop tnemele dluoc eb a noitatneserper fo eht tes fo lla
sti rewol .sdnuob
ehT tsrif fo eseht smelborp si devlos yb gnitupmoc a evixelfer dna evitisnart
erusolc fo eht yletaidemmi“ retaerg ”naht .noitaler ehT ,dnoces yb gnisu a -llew
nwonk noitatneserper fo stes sa .srotcev-tib ehT kcirt si taht srotcev-tib -elpmi
tnem htob )“(2 dna ,9 suht gnizilaer eht msihpromosi neewteb eht owt .stes sihT
sdleiy eht elpmis gnidocne dohtem denialpxe .txen
1.4 elpmaxE
teL su redisnoc eht tnemele-6 tesop fo erugiF .4 ehT yletaidemmi“ retaerg ”naht
noitaler derevoc yb siht gniredro nac eb detneserper ni a 6 x 6 yarra sa nwohs ni
erugiF .5 hcaE wor sniatnoc s’l ylno ni esoht snmuloc dedaeh yb stnemele hcihw
era yletaidemmi ssel naht eht tnemele gnidaeh eht ;wor dna ti sniatnoc s’O
.esiwrehto suhT a wor dedaeh yb na tnemele x nac eb deweiv sa a citsiretcarahc
naeloob rotcev noitatneserper fo eht tes fo lla eht etaidemmi tcirts rewol
sdnuob fo .x
MCA snoitcasnarT no gnimmargorP segaugnaL and ,smetsyS .loV ,11 .oN ,1 yraunaJ .9891
221 nassaH icaK-tiA te .la
l
.giF 5. yarra-tiB fo essaH .margaid
,woN gnikat eht evixelfer dna evitisnart erusolc fo eht yarra ni erugiF ,5 ew
niatbo eht yarra ni erugiF .6 tI si suoivbo taht hcae s’tnemele wor ni siht yarra
si a citsiretcarahc noitatneserper fo eht tes fo lla sti rewol .sdnuob gnirrefeR back
ot eht ecrof-eturb BLG mhtirogla fo erugiF ,2 eht noitcesretni noitarepo com-
gnitup nommoc rewol sdnuob si ecneh decuder ot a yranib dna noitarepo no -tib
.srotcev We evah suht emoc pu htiw a edoc noitcnuf y hcihw setaicossa a -6
tnemele rotcev-tib ot yna tnemele x ni eht :tesop eht wor fo eht naeloob yarra
noitatneserper fo eht evixelfer dna evitisnart erusolc fo eht yletaidemmi“ retaerg
”naht .noitaler
oT etupmoc eht BLG ,fo ,yas d dna ,e ew take eht dna fo 001111 dna ,010101
gniniatbo ,000101 hcihw si ylesicerp eht edoc fo ,c eht BLG fo d dna .e
tahW sneppah fi ew yrt ot etupmoc eht BLG fo d dna ?f gnikaT eht dna fo
001111 dna 110111 sdleiy ,000111 hcihw si eht edoc fo enon fo eht tesop .stnemele
tuB gnisu eht gnidoced noitcnuf ’;7 debircsed yb noitauqE ,)5( ew niatbo eht tes
,b( )c sa ;dehsiw ,.e.i eht tes fo lamixam nommoc rewol sdnuob fo d dna .f
gnikooL ta erugiF ,6 ew eton taht eht nmuloc dedaeh yb a sniatnoc ylno .s’1
,deednI a si a mottob tnemele ni siht ,tesop dna suht yreve tnemele si retaerg
naht .ti ,suhT a ylthgils erom tcapmoc yranib edoc drow si deniatbo yb gnippord
eht tib fo eht mottob ,tnemele tuohtiw yna .ssol We llahs od taht ,yllacitametsys
syawla gnidoc eht tsael tnemele htiw .0
2.4 dohteM
neviG na n X n naeloob yarra ,M sti evixelfer dna evitisnart erusolc *M si nevig
:yb
*M = 1; iM
)36
O=i
erehw eht rewop noitarepo si detupmoc sa xirtam noitacilpitlum ni eht naeloob
gnir fo n X n .secirtam-tib sihT sdleiy a drawrofthgiarts tniop-dexif mhtirogla
taht segrevnoc ni ta most nzgol 2.snoitareti
,ecneH ,yllanoitarepo evitisnart erusolc si a nwonk-llew .noitatupmoc -reveN
,sseleht ew llahs tneserp ereh a ralucitrap yaw fo gniod .ti ruO snosaer lliw
sihT‘ si deveihca yb computing eht ecneuqes 0N = Z U ,M kN = ,,-iN k( > ,)0 litnu ,N = l+kN =
.*M hcaE noitareti sevlovni eno xirtam .noitacilpitlum ,ecneH siht sevig a elbissop llarevo emit
ytixelpmoc gol”n(B )n erehw Y( saw tsal nwonk yb( )su ot eb ni eht ytiniciv fo 2.7, dna gnidrocca ot
,sromur speek gnilbbin sti yaw .nwod sihT dohtem si desab no seuqinhcet depoleved yb -llahsraW
nessartS [ 11.
MCA snoitcasnarT no gnimmargorP segaugnaL dna ,smetsyS .loV 11, .oN 1, yraunaJ 1989.
tneiciffE noitatnemelpmI of ecittaL snoitarepO 123
l
.giF 6. evixelfeR evitisnart .erusolc
emoceb raelc retal sa ew llahs esoporp a thgils noitacifidom fo siht citarcnysoidi
mhtirogla taht dluow ton eb os etaidemmi htiw rehto syaw fo gnitnemelpmi
evitisnart .erusolc We won ebircsed eht ,mhtirogla dna ni noitceS 3.4 ew llahs
yllamrof yfitsuj ti sa a evitisnart erusolc .noitatupmoc
ecniS ew era denrecnoc htiw gnidnif a emit-noitalipmoc ,erudecorp emit
ycneiciffe fo eht gnidoc dohtem si ton eht emirp .yrrow daetsnI ew yam ton dnim
gniyap eht ecirp fo a ylthgils ssel tneiciffe erudecorp fi ti sdael ot retteb emit-nur
.roivaheb
rehtonA yaw fo gnitupmoc hcus a evitisnart erusolc si ot krow yltcerid no eht
hparg erutcurts fo eht esab .noitaler gnitratS ta eht mottob ,tnemele ew nac krow
,sdrawpu reyal yb ,reyal gningissa yranib edoc sdrow ot hcae 3.tnemele A reyal si
a tes fo elbarapmocni a-stnemele detupmoc-niahcoc from eht suoiverp reyal
sa eht tes fo lla eht etaidemmi stnerap taht tonnac eb dehcaer .retal nI siht
,rennam eht eritne tesop nac eb tpews .hguorht A elpmis yaw ot edocne a ”edon“
ni eht hparg si ot etupmoc sti edoc sa eht yranib ro fo eht sedoc fo sti nerdlihc
dero htiw ,p2 erehw p si eht rebmun fo sedon detisiv ecnis .1
s’teL etartsulli siht erudecorp no eht tesop fo erugiF .4 We nigeb yb gningissa
eht edoc 0 ot .a ehT tsrif reyal gnieb ,)a( ew niatbo eht dnoces reyal sa ,b( c .1
ehT edoc fo b si detupmoc sa )a(r V ’2 = 0 V 1 = .1 nehT eht edoc fo c si
deniatbo sa )a(r V l2 = 0 V 2 = .01 ehT reyal deniatbo from ,b( )c si ,d( ,e )f -
)f( = ,d( .)e ehT nosaer yhw f si ot eb nekat tuo si taht ti nac eb dehcaer .retal A
elpmis tset rof hcus stnemele sa f si taht yeht od ton evah lla rieht etaidemmi
nerdlihc ydaerla .dedoc ehT edoc dengissa ot d si )b(r V )c(y V ’2 = 1 V 01 V
001 = ;111 dna eht edoc dengissa ot e si )c(y V 32 = 01 V 0001 = .0101 ,yllaniF
eht tsal reyal si ,)f( dna eht edoc ffo si )b(y- V )e(y- V 24 = 1 V 0101 V 00001 =
.11011
enO lliw yletaidemmi eton taht eseht sedoc era yltcaxe eht desrever snoisrev
fo esoht nevig ni eht evixelfer evitisnart yarra fo erugiF 6 erehw eht tsael s’tnemele
nmuloc sah neeb .deppord
A edoc-nigdip mhtirogla rof siht gnidocne erudecorp si nevig sa serugiF ,7 ,8
dna .9 tI sesu a labolg elbairav p gnitnuoc eht rebmun fo sedoc .dengissa tI
semussa a noitcnuf nerdlihC ,.pser( )stneraP taht snruter eht tes fo stnemele
yletaidemmi ssel ,.pser( )retaerg naht a nevig ,eno dna a etaciderp dedoC taht si
eurt fo yna ydaerla dedocne .tnemele
3 Without ssol fo ,ytilareneg ew llahs emussa taht hcus a tsael tnemele syawla stsixe ni 2. fI on hcus
euqinu mottob ,stsixe ew nac dda .eno
MCA snoitcasnarT no gnimmargorP segaugnaL dna ,smetsyS .loV ,11 .oN ,1 yraunaJ .9891
124 nassaH icaK-tiA te .la
l
erudecorp ;edoCngissA
nigeb
+P ;0
q-(7 + ;0
L + h-u
.giF 7. ehT edoCngissA .erudecorp elihw L # 0 od
nigeb
edocnE ;)L(reyaL
L -4 reyaLtseN
dne
dne
erudecorp L(reyaLedocnE : ;)niahcoc
nigeb
rof hcae z E L od
nigeb
)5(r + pz ” )z(nerdlihCEyV ;)y(7
l+P+P
dne
dne
.giF 8. ehT reyaLedocnE .erudecorp
ehT txen noitces setarobale no eht ssentcerroc fo eht evoba mhtirogla sa a
evitisnart erusolc .mhtirogla
3.4 ssentcerroC
oT yfilpmis eht ,foorp ew llahs etatsnier eht tsael tnemele ”nmuloc“ ni eht
noitatupmoc fo .sedoc tahT ,si ew llahs evorp eht ssentcerroc fo ruo edoCngissA
gnidocne erudecorp erehw y )I( dna p era htob dezilaitini ot 1 daetsni fo .0
,tsriF ti si raelc taht edoCngissA smrofrep ta most n ,snoitareti dna taht lla eht
stnemele fo ;I era detisiv ecno dna ylno .ecno teL :I = ,Ia( . . . , ,a J eb hcus taht
sti tnemele secidni ,1( . . . , )n dnopserroc ot eht lasrevart redro fo 2 yb eht
edoCngissA .erudecorp etoN taht siht ecneuqes si a lacigolopot gniredro fo 2 htiw
tcepser ot sti laitrap .redro ,ylemaN la = I dna rof lla secidni i dna j neewteb 1
dna ,n
iUSjU+j<i )7(
MCA snoitcasnarT no gnimmargorP segaugnaL and ,smetsyS .loV ,11 .oN ,1 yraunaJ .9891