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ECONOMETRICS BRUCE E. HANSEN Contents Preface xix Acknowledgements xx Notation xxi 1 Introduction 1 1.1 WhatisEconometrics? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 TheProbabilityApproachtoEconometrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 EconometricTerms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 ObservationalData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 StandardDataStructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 EconometricSoftware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7 Replication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.8 DataFilesforTextbook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 ReadingtheManuscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I Regression 11 2 ConditionalExpectationandProjection 12 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 TheDistributionofWages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 LogsandPercentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 ConditionalExpectationFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 ContinuousVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 LawofIteratedExpectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.8 CEFError . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Intercept-OnlyModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.10 RegressionVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.11 BestPredictor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.12 ConditionalVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.13 HomoskedasticityandHeteroskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.14 RegressionDerivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.15 LinearCEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.16 LinearCEFwithNonlinearEffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.17 LinearCEFwithDummyVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.18 BestLinearPredictor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ii CONTENTS iii 2.19 IllustrationsofBestLinearPredictor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.20 LinearPredictorErrorVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.21 RegressionCoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.22 RegressionSub-Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.23 CoefficientDecomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.24 OmittedVariableBias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.25 BestLinearApproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.26 RegressiontotheMean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.27 ReverseRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.28 LimitationsoftheBestLinearProjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.29 RandomCoefficientModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.30 CausalEffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.31 ExistenceandUniquenessoftheConditionalExpectation*. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.32 Identification* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.33 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.34 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3 TheAlgebraofLeastSquares 61 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 MomentEstimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 LeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.5 SolvingforLeastSquareswithOneRegressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6 SolvingforLeastSquareswithMultipleRegressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7 Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.8 LeastSquaresResiduals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.9 DemeanedRegressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.10 ModelinMatrixNotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.11 ProjectionMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.12 AnnihilatorMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.13 EstimationofErrorVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.14 AnalysisofVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.15 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.16 RegressionComponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.17 RegressionComponents(AlternativeDerivation)* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.18 ResidualRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.19 LeverageValues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.20 Leave-One-OutRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.21 InfluentialObservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.22 CPSDataSet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.23 NumericalComputation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.24 CollinearityErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.25 Programming. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.26 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4 LeastSquaresRegression 98 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2 RandomSampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 CONTENTS iv 4.3 SampleMean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4 LinearRegressionModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.5 ExpectationofLeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.6 VarianceofLeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.7 UnconditionalMoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.8 Gauss-MarkovTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.9 GeneralizedLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.10 Residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.11 EstimationofErrorVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.12 Mean-SquareForecastError . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.13 CovarianceMatrixEstimationUnderHomoskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.14 CovarianceMatrixEstimationUnderHeteroskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.15 StandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.16 EstimationwithSparseDummyVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.17 Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.18 MeasuresofFit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.19 EmpiricalExample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.20 Multicollinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.21 ClusteredSampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.22 InferencewithClusteredSamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.23 AtWhatLeveltoCluster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.24 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.25 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5 NormalRegression 138 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2 TheNormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.3 MultivariateNormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.4 JointNormalityandLinearRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.5 NormalRegressionModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.6 DistributionofOLSCoefficientVector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.7 DistributionofOLSResidualVector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.8 DistributionofVarianceEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.9 t-statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.10 ConfidenceIntervalsforRegressionCoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.11 ConfidenceIntervalsforErrorVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.12 tTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.13 LikelihoodRatioTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.14 InformationBoundforNormalRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 II LargeSampleMethods 155 6 AReviewofLargeSampleAsymptotics 156 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.2 ModesofConvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.3 WeakLawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 CONTENTS v 6.4 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.5 ContinuousMappingTheoremandDeltaMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.6 SmoothFunctionModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.7 StochasticOrderSymbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.8 ConvergenceofMoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7 AsymptoticTheoryforLeastSquares 162 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.2 ConsistencyofLeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.3 AsymptoticNormality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.4 JointDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.5 ConsistencyofErrorVarianceEstimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.6 HomoskedasticCovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.7 HeteroskedasticCovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.8 SummaryofCovarianceMatrixNotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.9 AlternativeCovarianceMatrixEstimators* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.10 FunctionsofParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.11 AsymptoticStandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.12 t-statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.13 ConfidenceIntervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.14 RegressionIntervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.15 ForecastIntervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.16 WaldStatistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.17 HomoskedasticWaldStatistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.18 ConfidenceRegions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.19 EdgeworthExpansion* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.20 UniformlyConsistentResiduals* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.21 AsymptoticLeverage* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.22 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8 RestrictedEstimation 196 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.2 ConstrainedLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.3 ExclusionRestriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.4 FiniteSampleProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.5 MinimumDistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.6 AsymptoticDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.7 VarianceEstimationandStandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.8 EfficientMinimumDistanceEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.9 ExclusionRestrictionRevisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.10 VarianceandStandardErrorEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.11 HausmanEquality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.12 Example:Mankiw,RomerandWeil(1992) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.13 Misspecification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.14 NonlinearConstraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.15 InequalityRestrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.16 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.17 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 CONTENTS vi 9 HypothesisTesting 221 9.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 9.2 AcceptanceandRejection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.3 TypeIError . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.4 ttests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 9.5 TypeIIErrorandPower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.6 StatisticalSignificance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.7 P-Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.8 t-ratiosandtheAbuseofTesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.9 WaldTests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9.10 HomoskedasticWaldTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.11 Criterion-BasedTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.12 MinimumDistanceTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.13 MinimumDistanceTestsUnderHomoskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.14 FTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.15 HausmanTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.16 ScoreTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.17 ProblemswithTestsofNonlinearHypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.18 MonteCarloSimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.19 ConfidenceIntervalsbyTestInversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.20 MultipleTestsandBonferroniCorrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.21 PowerandTestConsistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.22 AsymptoticLocalPower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 9.23 AsymptoticLocalPower,VectorCase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.24 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 10 ResamplingMethods 257 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.3 JackknifeEstimationofVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 10.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 10.5 JackknifeforClusteredObservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 10.6 TheBootstrapAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.7 BootstrapVarianceandStandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 10.8 PercentileInterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.9 TheBootstrapDistribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 10.10 TheDistributionoftheBootstrapObservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 10.11 TheDistributionoftheBootstrapSampleMean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 10.12 BootstrapAsymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.13 ConsistencyoftheBootstrapEstimateofVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 10.14 TrimmedEstimatorofBootstrapVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 10.15 UnreliabilityofUntrimmedBootstrapStandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 10.16 ConsistencyofthePercentileInterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 10.17 Bias-CorrectedPercentileInterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.18 BC PercentileInterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 a 10.19 Percentile-tInterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 10.20 Percentile-tAsymptoticRefinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.21 BootstrapHypothesisTests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 CONTENTS vii 10.22 Wald-TypeBootstrapTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 10.23 Criterion-BasedBootstrapTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 10.24 ParametricBootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 10.25 HowManyBootstrapReplications? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 10.26 SettingtheBootstrapSeed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.27 BootstrapRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.28 BootstrapRegressionAsymptoticTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.29 WildBootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 10.30 BootstrapforClusteredObservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 10.31 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 10.32 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 III MultipleEquationModels 306 11 MultivariateRegression 307 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.2 RegressionSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.3 LeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 11.4 ExpectationandVarianceofSystemsLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 11.5 AsymptoticDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 11.6 CovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 11.7 SeeminglyUnrelatedRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 11.8 EquivalenceofSURandLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 11.9 MaximumLikelihoodEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 11.10 RestrictedEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 11.11 ReducedRankRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 11.12 PrincipalComponentAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 11.13 FactorModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 11.14 ApproximateFactorModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 11.15 FactorModelswithAdditionalRegressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 11.16 Factor-AugmentedRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 11.17 MultivariateNormal* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 11.18 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 12 InstrumentalVariables 332 12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 12.2 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 12.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 12.4 EndogenousRegressors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 12.5 Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 12.6 Example:CollegeProximity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 12.7 ReducedForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 12.8 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 12.9 InstrumentalVariablesEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 12.10 DemeanedRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.11 WaldEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.12 Two-StageLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 CONTENTS viii 12.13 LimitedInformationMaximumLikelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 12.14 Split-SampleIVandJIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 12.15 Consistencyof2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 12.16 AsymptoticDistributionof2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 12.17 Determinantsof2SLSVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 12.18 CovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 12.19 LIMLAsymptoticDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 12.20 FunctionsofParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 12.21 HypothesisTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 12.22 FiniteSampleTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 12.23 Bootstrapfor2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 12.24 ThePerilofBootstrap2SLSStandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 12.25 ClusteredDependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 12.26 GeneratedRegressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 12.27 RegressionwithExpectationErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 12.28 ControlFunctionRegression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 12.29 EndogeneityTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 12.30 SubsetEndogeneityTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 12.31 OverIdentificationTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 12.32 SubsetOverIdentificationTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 12.33 BootstrapOveridentificationTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 12.34 LocalAverageTreatmentEffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 12.35 IdentificationFailure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 12.36 WeakInstruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 12.37 ManyInstruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 12.38 TestingforWeakInstruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 12.39 WeakInstrumentswithk >1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 2 12.40 Example:Acemoglu,Johnson,andRobinson(2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 12.41 Example:AngristandKrueger(1991) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 12.42 Programming. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 12.43 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 13 GeneralizedMethodofMoments 414 13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 13.2 MomentEquationModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 13.3 MethodofMomentsEstimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 13.4 OveridentifiedMomentEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 13.5 LinearMomentModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 13.6 GMMEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 13.7 DistributionofGMMEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 13.8 EfficientGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 13.9 EfficientGMMversus2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 13.10 EstimationoftheEfficientWeightMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 13.11 IteratedGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 13.12 CovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 13.13 ClusteredDependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 13.14 WaldTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 13.15 RestrictedGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 CONTENTS ix 13.16 NonlinearRestrictedGMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 13.17 ConstrainedRegression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 13.18 MultivariateRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 13.19 DistanceTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 13.20 Continuously-UpdatedGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 13.21 OverIdentificationTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 13.22 SubsetOverIdentificationTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 13.23 EndogeneityTest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 13.24 SubsetEndogeneityTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 13.25 NonlinearGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 13.26 BootstrapforGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 13.27 ConditionalMomentEquationModels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 13.28 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 13.29 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 IV DependentandPanelData 443 14 TimeSeries 444 14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 14.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 14.3 DifferencesandGrowthRates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 14.4 Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 14.5 TransformationsofStationaryProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 14.6 ConvergentSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 14.7 Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 14.8 ErgodicTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 14.9 ConditioningonInformationSets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 14.10 MartingaleDifferenceSequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 14.11 CLTforMartingaleDifferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 14.12 Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 14.13 CLTforCorrelatedObservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 14.14 LinearProjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 14.15 WhiteNoise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 14.16 TheWoldDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 14.17 LagOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 14.18 AutoregressiveWoldRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 14.19 LinearModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 14.20 MovingAverageProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 14.21 Infinite-OrderMovingAverageProcess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 14.22 First-OrderAutoregressiveProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 14.23 UnitRootandExplosiveAR(1)Processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 14.24 Second-OrderAutoregressiveProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 14.25 AR(p)Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 14.26 ImpulseResponseFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 14.27 ARMAandARIMAProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 14.28 MixingPropertiesofLinearProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 14.29 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 CONTENTS x 14.30 EstimationofAutoregressiveModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 14.31 AsymptoticDistributionofLeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 14.32 DistributionUnderHomoskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 14.33 AsymptoticDistributionUnderGeneralDependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 14.34 CovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 14.35 CovarianceMatrixEstimationUnderGeneralDependence. . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 14.36 TestingtheHypothesisofNoSerialCorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 14.37 TestingforOmittedSerialCorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 14.38 ModelSelection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 14.39 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 14.40 TimeSeriesRegressionModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 14.41 Static,DistributedLag,andAutoregressiveDistributedLagModels . . . . . . . . . . . . . 491 14.42 TimeTrends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 14.43 Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 14.44 GrangerCausality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 14.45 TestingforSerialCorrelationinRegressionModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 14.46 BootstrapforTimeSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 14.47 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 14.48 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 15 MultivariateTimeSeries 512 15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 15.2 MultipleEquationTimeSeriesModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 15.3 LinearProjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 15.4 MultivariateWoldDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 15.5 ImpulseResponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 15.6 VAR(1)Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 15.7 VAR(p)Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 15.8 RegressionNotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 15.9 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 15.10 AsymptoticDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 15.11 CovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 15.12 SelectionofLagLengthinanVAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 15.13 Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 15.14 PredictiveRegressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 15.15 ImpulseResponseEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 15.16 LocalProjectionEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 15.17 RegressiononResiduals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 15.18 OrthogonalizedShocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 15.19 OrthogonalizedImpulseResponseFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 15.20 OrthogonalizedImpulseResponseEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 15.21 Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 15.22 ForecastErrorDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 15.23 IdentificationofRecursiveVARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 15.24 OilPriceShocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 15.25 StructuralVARs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 15.26 IdentificationofStructuralVARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 15.27 Long-RunRestrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

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Econometrics PDF

1043 Pages·2022·5.431 MB·English
by  Bruce Hansen
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Preview Econometrics

ECONOMETRICS BRUCE E. HANSEN Contents Preface xix Acknowledgements xx Notation xxi 1 Introduction 1 1.1 WhatisEconometrics? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 TheProbabilityApproachtoEconometrics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 EconometricTerms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 ObservationalData . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 StandardDataStructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 EconometricSoftware . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7 Replication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.8 DataFilesforTextbook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.9 ReadingtheManuscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 I Regression 11 2 ConditionalExpectationandProjection 12 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 TheDistributionofWages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 ConditionalExpectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 LogsandPercentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.5 ConditionalExpectationFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.6 ContinuousVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.7 LawofIteratedExpectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.8 CEFError . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.9 Intercept-OnlyModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.10 RegressionVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.11 BestPredictor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.12 ConditionalVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.13 HomoskedasticityandHeteroskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.14 RegressionDerivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.15 LinearCEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.16 LinearCEFwithNonlinearEffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.17 LinearCEFwithDummyVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.18 BestLinearPredictor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ii CONTENTS iii 2.19 IllustrationsofBestLinearPredictor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.20 LinearPredictorErrorVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.21 RegressionCoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.22 RegressionSub-Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.23 CoefficientDecomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.24 OmittedVariableBias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.25 BestLinearApproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.26 RegressiontotheMean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.27 ReverseRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.28 LimitationsoftheBestLinearProjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.29 RandomCoefficientModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.30 CausalEffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.31 ExistenceandUniquenessoftheConditionalExpectation*. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.32 Identification* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.33 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.34 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3 TheAlgebraofLeastSquares 61 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 Samples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 MomentEstimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 LeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.5 SolvingforLeastSquareswithOneRegressor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6 SolvingforLeastSquareswithMultipleRegressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7 Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.8 LeastSquaresResiduals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.9 DemeanedRegressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.10 ModelinMatrixNotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.11 ProjectionMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.12 AnnihilatorMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.13 EstimationofErrorVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.14 AnalysisofVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.15 Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.16 RegressionComponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.17 RegressionComponents(AlternativeDerivation)* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.18 ResidualRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.19 LeverageValues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.20 Leave-One-OutRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.21 InfluentialObservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.22 CPSDataSet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.23 NumericalComputation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.24 CollinearityErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.25 Programming. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.26 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4 LeastSquaresRegression 98 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.2 RandomSampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 CONTENTS iv 4.3 SampleMean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.4 LinearRegressionModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.5 ExpectationofLeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.6 VarianceofLeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.7 UnconditionalMoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.8 Gauss-MarkovTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.9 GeneralizedLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.10 Residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.11 EstimationofErrorVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.12 Mean-SquareForecastError . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.13 CovarianceMatrixEstimationUnderHomoskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.14 CovarianceMatrixEstimationUnderHeteroskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.15 StandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.16 EstimationwithSparseDummyVariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.17 Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.18 MeasuresofFit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.19 EmpiricalExample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.20 Multicollinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.21 ClusteredSampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.22 InferencewithClusteredSamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4.23 AtWhatLeveltoCluster? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.24 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.25 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5 NormalRegression 138 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.2 TheNormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.3 MultivariateNormalDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.4 JointNormalityandLinearRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.5 NormalRegressionModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.6 DistributionofOLSCoefficientVector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.7 DistributionofOLSResidualVector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.8 DistributionofVarianceEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.9 t-statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.10 ConfidenceIntervalsforRegressionCoefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.11 ConfidenceIntervalsforErrorVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.12 tTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.13 LikelihoodRatioTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.14 InformationBoundforNormalRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 II LargeSampleMethods 155 6 AReviewofLargeSampleAsymptotics 156 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.2 ModesofConvergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.3 WeakLawofLargeNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 CONTENTS v 6.4 CentralLimitTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.5 ContinuousMappingTheoremandDeltaMethod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 6.6 SmoothFunctionModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.7 StochasticOrderSymbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.8 ConvergenceofMoments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7 AsymptoticTheoryforLeastSquares 162 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.2 ConsistencyofLeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.3 AsymptoticNormality. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.4 JointDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.5 ConsistencyofErrorVarianceEstimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.6 HomoskedasticCovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.7 HeteroskedasticCovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.8 SummaryofCovarianceMatrixNotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.9 AlternativeCovarianceMatrixEstimators* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.10 FunctionsofParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7.11 AsymptoticStandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.12 t-statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 7.13 ConfidenceIntervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.14 RegressionIntervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.15 ForecastIntervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.16 WaldStatistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.17 HomoskedasticWaldStatistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.18 ConfidenceRegions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.19 EdgeworthExpansion* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.20 UniformlyConsistentResiduals* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.21 AsymptoticLeverage* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.22 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8 RestrictedEstimation 196 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 8.2 ConstrainedLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.3 ExclusionRestriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.4 FiniteSampleProperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.5 MinimumDistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.6 AsymptoticDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.7 VarianceEstimationandStandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.8 EfficientMinimumDistanceEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.9 ExclusionRestrictionRevisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.10 VarianceandStandardErrorEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.11 HausmanEquality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.12 Example:Mankiw,RomerandWeil(1992) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 8.13 Misspecification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 8.14 NonlinearConstraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8.15 InequalityRestrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 8.16 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.17 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 CONTENTS vi 9 HypothesisTesting 221 9.1 Hypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 9.2 AcceptanceandRejection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 9.3 TypeIError . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9.4 ttests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 9.5 TypeIIErrorandPower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 9.6 StatisticalSignificance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.7 P-Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 9.8 t-ratiosandtheAbuseofTesting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 9.9 WaldTests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 9.10 HomoskedasticWaldTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.11 Criterion-BasedTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.12 MinimumDistanceTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.13 MinimumDistanceTestsUnderHomoskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 9.14 FTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.15 HausmanTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.16 ScoreTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 9.17 ProblemswithTestsofNonlinearHypotheses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 9.18 MonteCarloSimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.19 ConfidenceIntervalsbyTestInversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.20 MultipleTestsandBonferroniCorrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.21 PowerandTestConsistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 9.22 AsymptoticLocalPower . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 9.23 AsymptoticLocalPower,VectorCase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.24 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 10 ResamplingMethods 257 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 10.3 JackknifeEstimationofVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 10.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 10.5 JackknifeforClusteredObservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 10.6 TheBootstrapAlgorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 10.7 BootstrapVarianceandStandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 10.8 PercentileInterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.9 TheBootstrapDistribution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 10.10 TheDistributionoftheBootstrapObservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 10.11 TheDistributionoftheBootstrapSampleMean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 10.12 BootstrapAsymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.13 ConsistencyoftheBootstrapEstimateofVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 10.14 TrimmedEstimatorofBootstrapVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 10.15 UnreliabilityofUntrimmedBootstrapStandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 10.16 ConsistencyofthePercentileInterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 10.17 Bias-CorrectedPercentileInterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.18 BC PercentileInterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 a 10.19 Percentile-tInterval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 10.20 Percentile-tAsymptoticRefinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.21 BootstrapHypothesisTests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 CONTENTS vii 10.22 Wald-TypeBootstrapTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 10.23 Criterion-BasedBootstrapTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 10.24 ParametricBootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 10.25 HowManyBootstrapReplications? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 10.26 SettingtheBootstrapSeed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.27 BootstrapRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 10.28 BootstrapRegressionAsymptoticTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.29 WildBootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 10.30 BootstrapforClusteredObservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 10.31 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 10.32 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 III MultipleEquationModels 306 11 MultivariateRegression 307 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.2 RegressionSystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 11.3 LeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 11.4 ExpectationandVarianceofSystemsLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 11.5 AsymptoticDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 11.6 CovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 11.7 SeeminglyUnrelatedRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 11.8 EquivalenceofSURandLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 11.9 MaximumLikelihoodEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 11.10 RestrictedEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 11.11 ReducedRankRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 11.12 PrincipalComponentAnalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 11.13 FactorModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 11.14 ApproximateFactorModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 11.15 FactorModelswithAdditionalRegressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 11.16 Factor-AugmentedRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 11.17 MultivariateNormal* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 11.18 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 12 InstrumentalVariables 332 12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 12.2 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 12.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 12.4 EndogenousRegressors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 12.5 Instruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 12.6 Example:CollegeProximity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 12.7 ReducedForm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 12.8 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 12.9 InstrumentalVariablesEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 12.10 DemeanedRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.11 WaldEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.12 Two-StageLeastSquares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 CONTENTS viii 12.13 LimitedInformationMaximumLikelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 12.14 Split-SampleIVandJIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 12.15 Consistencyof2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 12.16 AsymptoticDistributionof2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 12.17 Determinantsof2SLSVariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 12.18 CovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 12.19 LIMLAsymptoticDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 12.20 FunctionsofParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 12.21 HypothesisTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 12.22 FiniteSampleTheory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 12.23 Bootstrapfor2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 12.24 ThePerilofBootstrap2SLSStandardErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 12.25 ClusteredDependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 12.26 GeneratedRegressors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 12.27 RegressionwithExpectationErrors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 12.28 ControlFunctionRegression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 12.29 EndogeneityTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 12.30 SubsetEndogeneityTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 12.31 OverIdentificationTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 12.32 SubsetOverIdentificationTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 12.33 BootstrapOveridentificationTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 12.34 LocalAverageTreatmentEffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 12.35 IdentificationFailure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 12.36 WeakInstruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 12.37 ManyInstruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 12.38 TestingforWeakInstruments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 12.39 WeakInstrumentswithk >1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 2 12.40 Example:Acemoglu,Johnson,andRobinson(2001) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 12.41 Example:AngristandKrueger(1991) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 12.42 Programming. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 12.43 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 13 GeneralizedMethodofMoments 414 13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 13.2 MomentEquationModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 13.3 MethodofMomentsEstimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 13.4 OveridentifiedMomentEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 13.5 LinearMomentModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 13.6 GMMEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 13.7 DistributionofGMMEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 13.8 EfficientGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419 13.9 EfficientGMMversus2SLS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 13.10 EstimationoftheEfficientWeightMatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 13.11 IteratedGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 13.12 CovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 13.13 ClusteredDependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 13.14 WaldTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 13.15 RestrictedGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 CONTENTS ix 13.16 NonlinearRestrictedGMM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 13.17 ConstrainedRegression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 13.18 MultivariateRegression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 13.19 DistanceTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 13.20 Continuously-UpdatedGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 13.21 OverIdentificationTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 13.22 SubsetOverIdentificationTests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 13.23 EndogeneityTest. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 13.24 SubsetEndogeneityTest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 13.25 NonlinearGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 13.26 BootstrapforGMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 13.27 ConditionalMomentEquationModels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 13.28 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435 13.29 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 IV DependentandPanelData 443 14 TimeSeries 444 14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 14.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 14.3 DifferencesandGrowthRates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 14.4 Stationarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 14.5 TransformationsofStationaryProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 14.6 ConvergentSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 14.7 Ergodicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 14.8 ErgodicTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 14.9 ConditioningonInformationSets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 14.10 MartingaleDifferenceSequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 14.11 CLTforMartingaleDifferences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 14.12 Mixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 14.13 CLTforCorrelatedObservations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 14.14 LinearProjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 14.15 WhiteNoise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 14.16 TheWoldDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 14.17 LagOperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 14.18 AutoregressiveWoldRepresentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 14.19 LinearModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 14.20 MovingAverageProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 14.21 Infinite-OrderMovingAverageProcess. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 14.22 First-OrderAutoregressiveProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 14.23 UnitRootandExplosiveAR(1)Processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 14.24 Second-OrderAutoregressiveProcess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 14.25 AR(p)Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 14.26 ImpulseResponseFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 14.27 ARMAandARIMAProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 14.28 MixingPropertiesofLinearProcesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 14.29 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 CONTENTS x 14.30 EstimationofAutoregressiveModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 14.31 AsymptoticDistributionofLeastSquaresEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 14.32 DistributionUnderHomoskedasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 14.33 AsymptoticDistributionUnderGeneralDependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 14.34 CovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 14.35 CovarianceMatrixEstimationUnderGeneralDependence. . . . . . . . . . . . . . . . . . 483 14.36 TestingtheHypothesisofNoSerialCorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 14.37 TestingforOmittedSerialCorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485 14.38 ModelSelection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 14.39 Illustrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487 14.40 TimeSeriesRegressionModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 14.41 Static,DistributedLag,andAutoregressiveDistributedLagModels . . . . . . . . . . . . . 491 14.42 TimeTrends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 14.43 Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 14.44 GrangerCausality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494 14.45 TestingforSerialCorrelationinRegressionModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 14.46 BootstrapforTimeSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 14.47 TechnicalProofs* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499 14.48 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 15 MultivariateTimeSeries 512 15.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 15.2 MultipleEquationTimeSeriesModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512 15.3 LinearProjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 15.4 MultivariateWoldDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 15.5 ImpulseResponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 15.6 VAR(1)Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 15.7 VAR(p)Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517 15.8 RegressionNotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 15.9 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 15.10 AsymptoticDistribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 15.11 CovarianceMatrixEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 15.12 SelectionofLagLengthinanVAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 15.13 Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 15.14 PredictiveRegressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 15.15 ImpulseResponseEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 15.16 LocalProjectionEstimator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 15.17 RegressiononResiduals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 15.18 OrthogonalizedShocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 15.19 OrthogonalizedImpulseResponseFunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 15.20 OrthogonalizedImpulseResponseEstimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 15.21 Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 15.22 ForecastErrorDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529 15.23 IdentificationofRecursiveVARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 15.24 OilPriceShocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532 15.25 StructuralVARs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 15.26 IdentificationofStructuralVARs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 15.27 Long-RunRestrictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

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