Table Of ContentKarl-Heinz Becker
Michael Dorfler
Dynamische Systeme und Fraktale
Computergrafische Experimente mit Pascal
Aus dem Programm Computerliteratur ------___
Turbo Pascal-Wegweiser
Grundkurs/ Aufbaukurs/Dbungen zum Grundkurs
von E. Kaier
Fortgeschrittene Programmiertechniken in Turbo Pascal
von E. Hering und K. Scheurer
Murmeltierwelt und Pascal
Eine Einftihrung in das strukturierte Programmieren mit Pascal
von H. Pinke
Pascal
Alge bra -Numerik -Com pu tergraphik
von W. Fedtke
Dynamische Systeme und Fraktale
Computergrafische Experimente mit Pascal
von K.-H. Becker und M. Dorfler
Systemdynamik
Grundwissen, Methoden und BASIC-Programme zur Simulation
dynamischer Systeme
von H. Bossel
Physikalische Experimente mit dem Mikrocomputer
"On-Line "-Messungen mit dem Apple II im Apple-Pascal-System
von K.-D. Tillmann
Technisch-naturwissenschaftlicher Pascal-Trainer
von H. Kohler
Turbo Pascal Tools
Mathematische Verfahren und Programmroutinen zur Auswertung
experimen teller Daten
von M. Weber
'---- Vieweg
CIP-Titelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Becker, Karl-Heinz:
Dynamische Systeme und Fraktale: computer
grafische Experimente mit Pascal/Karl-Heinz
Becker u. Michael Dorf!er. - 3., bearb. Auf!. -
Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg, 1989
ISBN-13: 978-3-528-24461-3 e-ISBN-13: 978-3-322-83672-4
001: 10.1007/978-3-322-83672-4
NE: Dorf!er, Michael:
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einer Art verbunden. Die Autoren und der Verlag iibernehmen infolgedessen keine Verantwortung und
werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung iibernehmen, die auf irgendeine Art aus der
Benutzung dieses Programm-Materials oder Teilen davon entsteht.
Die 1. Auflage erschien 1986 unter dem Tite! "Computergrafische Experimente"
1. Nachdruck 1986
2. Nachdruck 1986
2., neubearbeitete und erweiterte Auflage 1988
3., bearbeitete Auflage 1989
Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der VerJagsgruppe Bertelsmann.
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn VerJagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1989
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Zustimmung des Verlags unzuHissig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr
Vervielfiiltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung
und Verarbeitung in e!ektronischen Systemen.
Umschlaggestaltung: Ludwig Markgraf, Wiesbaden
ISBN-13: 978-3-528-24461-3
Karl-Heinz Becker und Michael D6rfier
Dynamische Systeme
nod
Fraktale
Computergrafische Experimente mit Pascal
3., bearbeitete Auflage
Mit 198 Bildern und 71 Programmbausteinen
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden
v
InhaItsverzeichnis
Vorwort VII
Geleitwort ............................................... IX
Neue Wege der Computergrafik - Experimentelle Mathematik
1 Forscher entdecken das Chaos ............................ 1
1.1 Chaos und Dynamische Systeme, was ist das? .................. 5
1.2 Computergrafische Experimente und Kunst ................... 9
2 Zwischen Ordnung und Chaos - Feigenbaumdiagramme ........ 19
2.1 Erste Experimente .................................... 20
2.1.1 Grafisch ist es schOner ............................. 30
2.1.2 Grafische Iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37
2.2 Lauter "Feigenbaume" ................................. 40
2.2.1 Bifurkationsszenario - Geheimnisvolle lahl "delta" . . . . . . . . .. 49
2.2.2 Attraktoren und Grenzen ........................... 52
2.2.3 Feigenbaumlandschaften ......................... . .. 56
2.3 Chaos - lwei Seiten derselben Medaille ..... . . . . . . . . . . . . . . . .. 59
3 Merkwiirdige Attraktoren ................................ 61
3.1 Der seltsame Attraktor ................................. 62
3.2 Der Henon-Attraktor .................................. 69
3.3 Der Lorenz-Attraktor .................................. 72
4 Herr Newton laBt schon griillen ............................ 77
4.1 Das Newton-Verfahren ................................. 78
4.2 Komplex ist nicht kompliziert ............................ 90
4.3 "Carl Friedrich Gauss trifft Isaac Newton" .................... 95
5 Komplexe Grenzen ..................................... 100
5.1 Julia und seine Grenzen ................................ 101
5.2 Einfache Formeln ergeben interessante Grenzen ................ 118
6 Begegnung mit dem Apfelmannchen ........................ 138
6.1 Ein Superstar mit unordentlichem Rand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 139
6.2 Tomogramme des Apfelmannchens ......................... 157
6.3 Feigenbaum und Apfelmannchen .......................... 171
6.4 Metamorphosen...................................... 179
VI Inhal tsverzeichnis
7 Neue Ansichten - neue Einsichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 191
7.1 Dber Berg und Tal .................................... 192
7.2 Umgekehrt ist auch was wert ............................. 199
7.3 Die Welt ist rund ..................................... 204
7.4 1m Inneren ......................................... 211
8 "Fraktale" Computergrafiken ............................ 215
8.1 Allerlei fraktale Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 216
8.2 Landschaften: Baume, Graser, Wolken und Meere . . . . . . . . . . . . . . .. 223
8.3 Graftale........................................... 228
8.4 Repetitive Muster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 236
9 Schritt fUr Schritt in das Chaos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 242
10 Reise in das Land der unendlichen Strukturen 260
11 Bausteine fUr grafische Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 268
11.1 Die grundlegenden Algorithmen ........................... 269
11.2 Erinnerung an Fraktale ................................. 277
11.3 Auf die Platze fertig los . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 288
11.4 Die Einsamkeit des Langstreckenrechners .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 294
11.5 Was man "schwarz auf weiB besitzt" ........................ 306
11.6 Ein Bild geht auf die Reise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 320
12 Pascal und die Feigenbiiume .............................. 326
12.1 Gleich ist nicht gleich - Grafiken auf anderen Systemen ........... 327
12.2 MS-DOS-und OS/2-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 327
12.3 UNIX-Systeme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 339
12.4 Macintosh-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 348
12.5 Atari-Systeme ....................................... 359
12.6 Apple //-Systeme ..................................... 362
12.7 "Hallo, hier ist Kermit" - Rechner/Rechnerverbindungen . . . . . . . . .. 369
13 Anhang ............................................... 372
13.1 Daten zu ausgewahlten Computergrafiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 373
13.2 Verzeichnis der Programmbeispiele und Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . .. 376
13.3 Zu diesem Buch und den Disketten ......................... 381
13.4 Literaturverzeichnis ................................... 382
13.5 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 385
VII
Vorwort
Oft wird heute ir:u Zusammenhang mit der "Theorie komplexer dynamischer
Systeme" von einer wissenschaftlichen Revolution gesprochen, die in aIle Wis
senschaften ausstrahlt. Computergrafische Methoden und Experimente bestim
men heute die Arbeitsweise eines neuen Teilgebietes der Mathematik: der
"experimentellen Mathematik". Ihr Inhalt ist neben anderem die Theorie kom
plexer, dynamischer Systeme. Erstmalig wird hier experimentell mit Computer
systemen und Computergrafik gearbeitet. Gegenstand der Experimente sind
"mathematische Rilckkopplungen", die mit Hilfe von Computem berechnet und
deren Ergebnisse durch computergrafische Methoden dargestellt werden. Die
ratselhaften Strukturen dieser Computergrafiken bergen Geheimnisse, die heute
noch weitgehend unbekannt sind und eine Umkehrung des Denkens in vielen
Bereichen der Wissenschaft bewirken werden. Handelt es sich hierbei tatsachlich
urn eine Revolution, dann muB dasselbe wie fur andere Revolutionen gelten:
• die auBere Sitution muB dementsprechend vorbereitet sein und
• es muB jemand da sein, der neue Erkenntnisse auch umsetzt.
Wir denken, daB die auBere gilnstige Forschungssituation durch die massenhafte
und preisgilnstige Verbreitung von Computem geschaffen wurde. Mehr und
mehr haben sie sich als unverzichtbare Arbeitswerkzeuge durchgesetzt. Es ist
aber immer die wissenschaftliche Leistung einzelner gewesen, das was moglich
ist, auch zu tun. Hier sei zunachst der Name Benoit B. Mandelbrots erwahnt.
Diesem wissenschaftlichen Aussenseiter ist es in langjahriger Arbeit gelungen,
den grundlegenden mathematischen Begriff des "Fraktals" zu entwickeln und mit
Leben zu filllen.
Andere Arbeitgruppen waren es, die die speziellen grafischen Moglichkeiten
weiterentwickelten. An der noch jungen Universitat Bremen fiihrte die
fruchtbare Zusammenarbeit von Mathematikem und Physikem zu den Ergeb
nissen, die inzwischen einer breiten Offentlichkeit zuganglich geworden sind.
An dieser Stelle soll die beispielslose Offentlichkeitsarbeit der Gruppe urn die
Professoren Heinz-Otto Peitgen und Peter H. Richter herausgestellt werden. In
mehreren phantastischen Ausstellungen boten sie ihre Computergrafiken dem
interessierten Publikum an. Die Fragestellungen wurden in Begleitvortragen und
Ausstellungskatalogen didaktisch aufbereitet und so auch dem Laien zuganglich.
Weitere Bemilhungen, den "Elfenbeinturm" der Wissenschaft zu verlassen,
erkennen wir darin, daB wissenschaftliche Vortrage und Kongresse nicht nur in
der Universitat veranstaltet wurden. In einem breiteren Rahmen konnte die Ar
beitsgruppe ihre Ergebnisse in der Zeitschrift "Geo", in Femsehsendungen des
ZDF und in weltweiten Ausstellungen des Goethe-Institutes darstellen. Uns ist
VIII Vorwort
kein Beispiel bekannt, wo in so kurzer Zeit die Briicke von der "vordersten
Front der Forschung" zu einem breiten Laienpublikum geschlagen werden
konnte. Diesen Versuch wollen wir mit unserem Buch auf unsere Weise
unterstiitzen. Wir hoffen, damit auch im Sinne der Arbeitsgruppe zu handeln,
vielen Lesem den Weg zu eigenen Experimenten zu ebnen. Vielleicht konnen
wir damit etwas zu einem tieferen Verstandnis der mit mathematischen Riick
kopplungen zusammenhangenden Probleme beitragen.
Unser Buch wendet sich an alle, die iiber ein Computersystem verfiigen und Spa8
am Experimentieren mit Computergrafiken haben. Die verwendeten mathema
tischen Formeln sind so einfach, daB sie leicht verstanden oder in einfacher
Weise benutzt werden konnen. Ganz nebenbei wird der Leser auf einfache und
anschauliche Weise mit einem Grenzgebiet aktueller, wissenschaftlicher For
schung bekannt gemacht, in dem ohne Computereinsatz und grafische Daten
verarbeitung kaum eine Erkenntnisgewinnung moglich ware.
Das Buch gliedert sich in zwei groBe Teile. Im ersten Teil (Kap.1-8) werden dem
Leser die interessantesten Probleme und jeweils eine Losung in Form von Pro
grammbausteinen vorgestellt. Eine groBe Zahl von Aufgaben leitet zu eigenem
experimentellen Arbeiten und selbstandigen Lemen an. Der erste Teil schlieBt
mit einen Ausblick auf "mogliche" Anwendungen dieser neuen Theorie.
1m zweiten Teil (ab Kap.11) wird dann noch einmal das modulare Konzept unse
rer Programmbausteine im Zusammenhang ausgewahlter Problem16sungen vor
gestellt. Vor aHem Leserinnen und Leser, die noch nie mit Pascal gearbeitet
haben, finden nicht nur ab Kap.ll, sondem im ganzen Buch eine Vielzahl von
Programmbausteinen mit deren Hilfe eigene computergrafische Experimente
durchgefiihrt werden konnen. In Kap.12 werden Beispielprogramme und spe
zielle Tips zur Erstellung von Grafiken fiir verschiedene Betriebssysteme und
Programmiersprachen gegeben. Die Angaben beziehen sich dabei jeweils auf:
MS-DOS-Systeme mit TurboPascal, UNIX 4.2 BSD-Systeme mit Hinweisen zu
Berkeley-Pascal und C. Weitere Beispielprogramme, die die Einbindung der
Grafikroutinen zeigen, gibt es fUr Macintosh-Systeme (Turbo Pascal, Light
SpeedPascal, LightSpeed C), den Atari (ST Pascal Plus), den Apple //e(UCSD
Pascal) sowie den Apple /lGS (TML-Pascal,ORCA-Pascal).
Fiir zahlreiche Anregungen und Hilfestellungen danken wir der Bremer For
schungsgruppe sowie dem Vieweg-Verlag. Und nicht zuletzt unseren Lesem:
Ihre Briefe und Hinweise haben uns dazu veranlaBt, die erste Auflage so zu iiber
arbeiten, daB praktisch ein neues Buch entstanden ist. Hoffentlich schaner, bes
ser, ausfiihrlicher und mit vielen neuen Anregungen fiir computergrafische
Experimente.
Bremen Karl-Heinz Becker· Michael Dorfler
IX
Geleitwort
Neue Wege der Computergrafik - Experimentelle Mathematik
Als Mathematiker ist man schon einiges gewohnt. Wohl kaum einem Akade
miker wird mit so vielen Vorurteilen begegnet wie uns. Fur die meisten ist
Mathematik eben das graulichste aller Schulfacher, unverstehbar, langweilig
oder einfach schrecklich trocken. Dnd so mussen dann wohl auch wir Mathe
matiker sein : zumindest etwas eigenartig. Wir beschtiftigen uns mit einer
Wissenschaft, die (so weiB dochjeder) eigentlich fertig ist. Kann es denn da noch
etwas zu erforschen geben? Dnd wenn ja, dann ist das doch sicher vollkommen
uninteressant oder gar uberfiUssig.
Es ist also fUr uns recht ungewohnt, daB unserer Arbeit plOtzlich auch in der
Offentlichkeit so groBes Interesse entgegengebracht wird. Am Horizont wissen
schaftlicher Erkenntnis ist gewissermaBen ein funkelnder Stem aufgegangen,
der jeden in seinen Bann zieht. Experimentelle Mathematik, ein Kind un serer
"Computerzeit", sie ermoglicht uns Einblicke in die Welt der Zahlen, die nicht
nur Mathematikem den Atem verschlagen. Bislang nur Spezialisten vertraute
abstrakte Begriffsbildungen, wie zum Beispiel Feigenbaum-Diagramme oder
Julia-Mengen, werden zu anschaulichen Objekten, die selbst Schiiler neu
motivieren. Schonheit und Mathematik, das paSt nun offenbar zusammen, nicht
nur in den Augen von Mathematikem.
Experimentelle Mathematik, das hart sich fast wie ein Widerspruch-in-sich an.
Mathematik grundet sich doch auf rein abstrakte, logisch beweisbare Zusam
menhange. Experimente scheinen hier keinen Platz zu haben. Aber in Wirk
lichkeit haben Mathematiker natiirlich schon immer experimentiert: mit Bleistift
und Papier (oder was ihnen sonst dergleichen zur Verfugung stand). Schon
Pythagoras ist der (allen Schiilem wohlbekannte) Zusammenhang a2+b2 = c2
fUr die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks natiirlich nicht yom Himmel in den
SchoB gefallen. Dem Beweis dieser Gleichung ging die Kenntnis vieler Beispiele
voran. Das Durchrechnen von Beispielen ist ein ganz typischer Bestandteil
mathematischer Arbeit. An Beispielen entwicke1t sich die Intuition. Es entstehen
Vermutungen und schlieBlich wird vielleicht ein beweisbarer Zusammenhang
entdeckt. Es mag sich aber auch herausstellen, daB eine Vermutung nieht richtig
war. Ein einziges Gegenbeispiel reicht aus.
Computer und Computergraphik haben dem Durchrechnen von Beispielen eine
neue Qualitat gegeben. Die enorme Rechengeschwindigkeit modemer Computer
macht es moglich Probleme zu studieren, die mit Bleistift und Papier niemals zu
bewaltigen waren. Dabei entstehen mitunter riesige Datenmengen, die das Er
gebnis der jeweiligen Rechnung beschreiben. Die Computergraphik ermoglicht
es uns, mit diesen Datenmengen umzugehen: sie werden uns anschaulich. Dnd so
x
Geleitwort
gewinnen wir neuerdings Einblieke in mathematisehe Strukturen einer so
unendliehen Komplexitat, wie wir sie uns vor kurzem nieht einmal haben
traumen lassen.
Das "lnstitut ftir Dynamisehe Systeme" der Universitat Bremen konnte vor
einigen Jahren mit der Einrichtung eines umfangreichen Computerlabors
beginnen, das seinen Mitgliedern die Durehftihrung aueh komplizierter
mathematiseher Experimente ermoglieht. Untersueht werden hier komplexe
dynamisehe Systeme, insbesondere mathematisehe Modelle sieh bewegender
oder verandemder Systeme, die aus der Physik, Chemie oder Biologie stammen
(Planetenbewegungen, ehemisehe Reaktionen oder die Entwieklung von Popu
lationen). 1m Jahre 1983 besehliftigte sieh eine der Arbeitsgruppen des lnstituts
intensiver mit sogenannten JUlia-Mengen. Die bizarre SehOnheit dieser Objekte
befltigelte die Phantasie, und plOtzlieh war die Idee geboren mit den entstandenen
Bildem in Foml einer Ausstellung in die Offentliehkeit zu gehen.
Ein solcher Sehritt, den "Elfenbeinturm" der Wissensehaft zu verlassen, ist
natiirlieh nieht leieht. Doeh der Stein kam ins Rollen. Der lnitiativkreis "Bremer
und ihre Universitat" sowie die groBziigige Unterstiitzung der Sparkasse in
Bremen maehten es sehlieBlieh moglieh: im Januar 1984 wurde die Ausstellung
"Harmonie in Chaos und Kosmos" in der groBen Kassenhalle am Brill erOffnet.
Naeh der Vorbereitungshektik fUr die Ausstellung und der nur im letzten
Moment gelungenen Vollendung eines Begleitkataloges hatten wir nun geglaubt
einen dieken Punkt maehen zu konnen. Aber es kam ganz anders : immer lauter
wurde der Ruf, die Ergebnisse unserer Experimente aueh auBerhalb Bremens zu
prasentieren. Dnd so entstand innerhalb weniger Monate die fast vollstlindig neue
Ausstellung "Morphologie komplexer Grenzen". Ihre Reise dureh viele Dniver
sitaten und Institute Deusehlands begann im Max-Plank-Institut fUr Biophysi
kalisehe Chemie (Gottingen) und dem Max-Plank-Institut fUr Mathematik (in der
Sparkasse Bonn).
Eine Lawine war losgebroehen. Der Rahmen, in dem wir unsere Experimente
und die Theorie dynamiseher Systeme darstellen konnten, wurde immer breiter.
Selbst in ftir uns ganz ungewolmten Medien, wie zum Beispiel in der Zeitsehrift
"GEO" oder im ZDF, wurde beriehtet. SehlieBlieh entsehied sich sogar das
Goethe-Institut zu einer weltweiten Ausstellung unserer Computergraphiken.
Wir begannen also ein drittes Mal (denn das ist Bremer Recht), nun aber doch
mit recht umfangreicher Erfahrung ausgestattet. Graphiken, die uns zunachst
etwas zu farbenpraehtig geraten waren, wurden noeh einmal tiberarbeitet. Dazu
kamen natiirlieh die Ergebnisse unserer neusten Experimente. 1m Mai 1985
konnte in der "Galerie in der BotteherstraBe" Premiere gefeiert werden. Die
Ausstellung "SehOnheit im Chaos / Frontiers of Chaos" reist seit dem urn die
ganze Welt und ist standig ausgebueht. Vor allem wird sie in naturwissen
sehaftliehen Museen gezeigt.
