Karl-Heinz Becker Michael Dörfler Dynamische Systeme und Fraktale Computergrafische Experimente mit Pascal __- Aus dem Bereich ____________ Computerliteratur Turbo Pascal Wegweiser von E. Kaier Turbo Pascal 6.0 - Einführung in die obiektorientierte Programmierung von M. Aupperle Dynamische Systeme und Fraktale Computergrafische Experimente mit Pascal von K.-H. Becker und M. Dörfler Turbo Pascal Tools Einsatz von Turbo Pascal in der naturwissenschaftlichen Praxis vonM.Weber Simulation neuronaler Netze Grundlagen, Modelle, Programme in Turbo Pascal von N. Hoffmann Simulation dynamischer Systeme Grundwissen, Methoden, Programme von H. Bossel Das Modula-2 Umsteigerbuch Von Turbo Pascal zu TopSpeed Modula-2 von R. Abdelhamid Parallele Programmierung mit Modula-2 von E. A. Heinz USP Fallstudien mit Anwendungen in der Künstlichen Intelligenz von R. Esser und E. Feldmar HyperCard griffbereit von K.-H. Becker und M. Dörfler Wege zu HyperCard von K.-H. Becker und M. Dörfler --Vieweg---------------- KARL-HEINZ BECKER MICHAEL DORFLER DYNAMISCHE SYSTEME UND FRAKTALE Computergrafische Experimente mit Pascal 4., überarbeitete Auflage 11 Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Becker, Karl-Heinz: Dynamische Systeme und Fraktale: computergrafische Experimente mit Pascal/ Karl-Heinz Beclcer; Michael DOrflero - 40' Uberarbo Auflo ISBN 978-3-528-34461-0 ISBN 978-3-663-09819-5 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-09819-5 NE: DOrfler, Michael: Das in diesem Buch enthaltene Programm-Material ist mit keiner Verpflichtung oder Garantie irgendeiner Ar! verbundeno Die Autoren und der Verlag iibemehmen infolgedessen keine Verantwortung und werden keine daraus folgende oder sonstige Haftung iibemehmen, die auf irgendeine Art aus der Benutzung dieses Programm-Materials oderTeilen davon entsteht. Die 1. Auflage erschien 1986 unter dem Titei "Computergrafische Experimente" 1. N achdruck 1986 20 Nachdruck 1986 20' neubearbeitete und erweiterte Auflage 1988 3 o, bearbeitete Auflage 1989 40' iiberarbeitete Auflage 1992 Alle Rechte vorbe hal ten © Springer Fachmedien Wiesbaden 1992 UrsprUnglich erschienen bei Friedro Vieweg & Sohn Ver1agsgesellschaft mbH, Braunschweig / Wiesbaden, 1992 Das Werk einschlie13lich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschiitzt. Jede Verwer tung au13erhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzu1ăssig und strafbar. Das gilt insbesondere fUr Vervielfaltigungen, Ober setzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektroni schen Systemeno Umschlaggestaltung: Schrimpf & Partner, Wiesbaden Gedruckt auf siiurefreiem Papier ISBN 978-3-528-34461-0 v Inhaltsverzeichnis Vorwort ........................................................................................ VII Geleitwort .............. .... .... ............ .............. .... ............. .................... IX Neue Wege der Computergrafik - Experimentelle Mathematik 1 Forscher entdecken das Chaos ... ............... ... ..... ........... ....... 1 1.1 Chaos und Dynamische Systeme, was ist das? ....... ................. ...... 5 1.2 Computergrafische Experimente und Kunst ................................ 9 2 Zwischen Ordnung und Chaos - Feigenbaumdiagramme ... 19 2.1 Erste Experimente .................................................................... 20 2.1.1 Grafisch ist es Schöner ................... ................... .................... 30 2.1.2 Grafische Iteration ... ........... ... ...... .............................. .... ....... 37 2.2 Lauter "Feigenbäume" ............................................................... 40 2.2.1 Bifurkationsszenario - Geheimnisvolle Zahl "delta" .................. 49 2.2.2 Attraktoren und Grenzen ....................................................... 52 2.2.3 Feigenbaumlandschaften .................................................... .... 56 2.3 Chaos - Zwei Seiten derselben Medaille ........................ ............... 59 3 Merkwürdige Attraktoren ................................................... 61 3.1 Der seltsame Attraktor .............................................................. 62 3.2 Der Henon-Attraktor ................................................................ 69 3.3 Der Lorentz-Attraktor .............................................................. 72 4 Herr Newton läßt schön grüßen ........................................... 77 4.1 Das Newton-Verfahren .............................................................. 78 4.2 Komplex ist nicht kompliziert .......................... ......................... 90 4.3 "Carl Friedrich Gauss trifft Isaac Newton" .................................. 95 5 Komplexe Grenzen ............................................................... 100 5.1 Julia und seine Grenzen ............................................................. 101 5.2 Einfache Formeln ergeben interessante Grenzen .......................... 118 6 Begegnung mit dem Apfelmännchen ................................... 138 6.1 Ein Superstar mit unordentlichem Rand ...................................... 139 6.2 Tomogramme des Apfelmännchens ............................................. 157 6.3 Feigenbaum und Apfelmännchen ................................................ 171 6.4 Metamorphosen ...... .......... ............ .............. ............... ........... .... 179 VI Inhaltsverzeichnis 7 Neue Ansichten - neue Einsichten ....................................... 191 7.1 Über Berg und Tal .................................................................... 192 7.2 Umgekehrt ist auch was wert ...................................................... 199 7.3 Die Welt ist rund ...................................................................... 204 7.4 Im Inneren ............................................................................... 211 8 "Fraktale" Computergrafiken .............................................. 215 8.1 Allerlei fraktale Kurven ............................................................. 216 8.2 Landschaften: Bäume, Gräser, Wolken und Meere ........................ 223 8.3 Graft ale .................................................................................... 228 8.4 Repetitive Muster ...................................................................... 236 9 Schritt für Schritt in das Chaos ....................................... '" 242 10 Reise in das Land der unendlichen Strukturen ................... 260 11 Bausteine für grafische Experimente ... .... ... ...... ......... ........ 268 11.1 Die grundlegenden Algorithmen ................................................ 269 11.2 Erinnerung an Fraktale .. ...... ..... .... ... ... ..... .... ...... ................ ....... 277 11.3 Auf die Plätze fertig los . ......... ... .... .... ..... ................... ............... 288 11.4 Die Einsamkeit des Langstreckenrechners .................................. 294 11.5 Was man "schwarz auf weiß besitzt" ............................................ 306 11.6 Ein Bild geht auf die Reise .......................................................... 320 12 Pascal und die Feigenbäume ................................................ 326 12.1 Gleich ist nicht gleich -Grafiken auf anderen Systemen ................ 327 12.2 MS-DOS- und OS/2- Systeme .................................................... 327 12.3 UNIX-Systeme ........................................................................ 339 12.4 Macintosh-Systeme ......... .......... ................ ............................ .... 348 13 Anhang ............................................................................... '" 359 13.1 Daten zu ausgewählten Computergrafiken ................................... 360 13.2 Verzeichnis der Programmbeispiele und Bilder ........................... 363 13.3 Zu diesem Buch und den Disketten ............................................. 368 13.4 Literaturverzeichnis ................................................................. 369 13.5 Sachwortverzeichnis ................................................................. 372 VII Vorwort Oft wird heute im Zusammenhang mit der "Theorie komplexer dynamischer Systeme" von einer wissenschaftlichen Revolution gesprochen, die in alle Wis senschaften ausstrahlt. Computergrafische Methoden und Experimente bestim men heute die Arbeitsweise eines neuen Teilgebietes der Mathematik: der "experimentellen Mathematik". Ihr Inhalt ist neben anderem die Theorie kom plexer, dynamischer Systeme. Erstmalig wird hier experimentell mit Computer systemen und Computergrafik gearbeitet. Gegenstand der Experimente sind "mathematische Rückkopplungen", die mit Hilfe von Computern berechnet und deren Ergebnisse durch computergrafische Methoden dargestellt werden. Die rätselhaften Strukturen dieser Computergrafiken bergen Geheimnisse, die heute noch weitgehend unbekannt sind und eine Umkehrung des Denkens in vielen Bereichen der Wissenschaft bewirken werden. Handelt es sich hierbei tatsächlich um eine Revolution, dann muß dasselbe wie für andere Revolutionen gelten: • die äußere Sitution muß dementsprechend vorbereitet sein und • es muß jemand da sein, der neue Erkenntnisse auch umsetzt. Wir denken, daß die äußere günstige Forschungssituation durch die massenhafte und preisgünstige Verbreitung von Computern geschaffen wurde. Mehr und mehr haben sie sich als unverzichtbare Arbeitswerkzeuge durchgesetzt. Es ist aber immer die wissenschaftliche Leistung einzelner gewesen, das was möglich ist, auch zu tun. Hier sei zunächst der Name Benoit B. Mandelbrots erwähnt. Diesem wissenschaftlichen Aussenseiter ist es in langjähriger Arbeit gelungen, den grundlegenden mathematischen Begriff des "Fraktals" zu entwickeln und mit Leben zu füllen. Andere Arbeitgruppen waren es, die die speziellen grafischen Möglichkeiten weiterentwickelten. An der noch jungen Universität Bremen führte die fruchtbare Zusammenarbeit von Mathematikern und Physikern zu den Ergeb nissen, die inzwischen einer breiten Öffentlichkeit zugänglich geworden sind. An dieser Stelle soll die beispielslose Öffentlichkeitsarbeit der Gruppe um die Professoren Heinz-Otto Peitgen und Peter H. Richter herausgestellt werden. In mehreren phantastischen Ausstellungen boten sie ihre Computergrafiken dem interessierten Publikum an. Die Fragestellungen wurden in Begleitvorträgen und Ausstellungskatalogen didaktisch aufbereitet und so auch dem Laien zugänglich. Weitere Bemühungen, den "Elfenbeinturm" der Wissenschaft zu verlassen, erkennen wir darin, daß wissenschaftliche Vorträge und Kongresse nicht nur in der Universität veranstaltet wurden. In einem breiteren Rahmen konnte die Ar beitsgruppe ihre Ergebnisse in der Zeitschrift "Geo", in Fernsehsendungen des ZDF und in weltweiten Ausstellungen des Goethe-Institutes darstellen. Uns ist VIII Vorwort kein Beispiel bekannt, wo in so kurzer Zeit die Brücke von der "vordersten Front der Forschung" zu einem breiten Laienpublikum geschlagen werden konnte. Diesen Versuch wollen wir mit unserem Buch auf unsere Weise unterstützen. Wir hoffen, damit auch im Sinne der Arbeitsgruppe zu handeln, vielen Lesern den Weg zu eigenen Experimenten zu ebnen. Vielleicht können wir damit etwas zu einem tieferen Verständnis der mit mathematischen Rück kopplungen zusammenhängenden Probleme beitragen. Unser Buch wendet sich an alle, die über ein Computersystem verfügen und Spaß am Experimentieren mit Computergrafiken haben. Die verwendeten mathema tischen Formeln sind so einfach, daß sie leicht verstanden oder in einfacher Weise benutzt werden können. Ganz nebenbei wird der Leser auf einfache und anschauliche Weise mit einem Grenzgebiet aktueller, wissenschaftlicher For schung bekannt gemacht, in dem ohne Computereinsatz und grafische Daten verarbeitung kaum eine Erkenntnisgewinnung möglich wäre. Das Buch gliedert sich in zwei große Teile. Im ersten Teil (Kap.1-8) werden dem Leser die interessantesten Probleme und jeweils eine Lösung in Form von Pro grammbausteinen vorgestellt. Eine große Zahl von Aufgaben leitet zu eigenem experimentellen Arbeiten und selbständigen Lernen an. Der erste Teil schließt mit einen Ausblick auf "mögliche" Anwendungen dieser neuen Theorie. Im zweiten Teil (ab Kap.11) wird dann noch einmal das modulare Konzept unse rer Programmbausteine im Zusammenhang ausgewählter Problemlösungen vor gestellt. Vor allem Leserinnen und Leser, die noch nie mit Pascal gearbeitet haben, finden nicht nur ab Kap.11, sondern im ganzen Buch eine Vielzahl von Programmbausteinen mit deren Hilfe eigene computergrafische Experimente durchgeführt werden können. In Kap.12 werden Beispielprogramme und spe zielle Tips zur Erstellung von Grafiken für verschiedene Betriebssysteme und Programmiersprachen gegeben. Die Angaben beziehen sich dabei jeweils auf: MS-DOS-Systeme mit TurboPascal, UNIX 4.2 BSD-Systeme mit Hinweisen zu Berkeley-Pascal und C. Weitere Beispielprogramme, die die Einbindung der Grafikroutinen zeigen, gibt es für Macintosh-Systeme (Turbo Pascal, Light SpeedPascal, LightSpeed C), den Atari (ST Pascal Plus), den Apple //e(UCSD Pascal) sowie den Apple //GS (TML-Pascal,ORCA-Pascal). Für zahlreiche Anregungen und Hilfestellungen danken wir der Bremer For schungsgruppe sowie dem Vieweg-Verlag. Und nicht zuletzt unseren Lesern: Ihre Briefe und Hinweise haben uns dazu veranlaßt, die erste Auflage so zu über arbeiten, daß praktisch ein neues Buch entstanden ist. Hoffentlich schöner, bes ser, ausführlicher und mit vielen neuen Anregungen für computergrafische Experimente. Bremen Karl-Heinz Becker • Michael Dörfler IX Geleitwort Neue Wege der Computergrafik - Experimentelle Mathematik Als Mathematiker ist man schon einiges gewohnt. Wohl kaum einem Akade miker wird mit so vielen Vorurteilen begegnet wie uns. Für die meisten ist Mathematik eben das gräulichste aller Schulfächer, unverstehbar, langweilig oder einfach schrecklich trocken. Und so müssen dann wohl auch wir Mathe matiker sein : zumindest etwas eigenartig. Wir beschäftigen uns mit einer Wissenschaft, die (so weiß doch jeder) eigentlich fertig ist. Kann es denn da noch etwas zu erforschen geben? Und wenn ja, dann ist das doch sicher vollkommen uninteressant oder gar überflüssig. Es ist also für uns recht ungewohnt, daß unserer Arbeit plötzlich auch in der Öffentlichkeit so großes Interesse entgegengebracht wird. Am Horizont wissen schaftlicher Erkenntnis ist gewissermaßen ein funkelnder Stern aufgegangen, der jeden in seinen Bann zieht. Experimentelle Mathematik, ein Kind unserer "Computerzeit" , sie ermöglicht uns Einblicke in die Welt der Zahlen, die nicht nur Mathematikern den Atem verschlagen. Bislang nur Spezialisten vertraute abstrakte Begriffsbildungen, wie zum Beispiel Feigenbaum-Diagramme oder Julia-Mengen, werden zu anschaulichen Objekten, die selbst Schüler neu motivieren. Schönheit und Mathematik, das paßt nun offenbar zusammen, nicht nur in den Augen von Mathematikern. Experimentelle Mathematik, das hört sich fast wie ein Widerspruch-in-sich an. Mathematik gründet sich doch auf rein abstrakte, logisch beweisbare Zusam menhänge. Experimente scheinen hier keinen Platz zu haben. Aber in Wirk lichkeit haben Mathematiker natürlich schon immer experimentiert: mit Bleistift und Papier (oder was ihnen sonst dergleichen zur Verfügung stand). Schon Pythagoras ist der (allen Schülern wohlbekannte) Zusammenhang a2+b2 = c2 für die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks natürlich nicht vom Himmel in den Schoß gefallen. Dem Beweis dieser Gleichung ging die Kenntnis vieler Beispiele voran. Das Durchrechnen von Beispielen ist ein ganz typischer Bestandteil mathematischer Arbeit. An Beispielen entwickelt sich die Intuition. Es entstehen Vermutungen und schließlich wird vielleicht ein beweisbarer Zusammenhang entdeckt. Es mag sich aber auch herausstellen, daß eine Vermutung nicht richtig war. Ein einziges Gegenbeispiel reicht aus. Computer und Computergraphik haben dem Durchrechnen von Beispielen eine neue Qualität gegeben. Die enorme Rechengeschwindigkeit moderner ComputeJ macht es möglich Probleme zu studieren, die mit Bleistift und Papier niemals zu bewältigen wären. Dabei entstehen mitunter riesige Datenmengen, die das Er gebnis der jeweiligen Rechnung beschreiben. Die Computergraphik ermöglicht es uns, mit diesen Datenmengen umzugehen: sie werden uns anschaulich. Und so x Geleitwort gewinnen wir neuerdings Einblicke in mathematische Strukturen einer so unendlichen Komplexität, wie wir sie uns vor kurzem nicht einmal haben träumen lassen. Das "Institut für Dynamische Systeme" der Universität Bremen konnte vor einigen Jahren mit der Einrichtung eines umfangreichen Computerlabors beginnen, das seinen Mitgliedern die Durchführung auch komplizierter mathematischer Experimente ermöglicht. Untersucht werden hier komplexe dynamische Systeme, insbesondere mathematische Modelle sich bewegender oder verändernder Systeme, die aus der Physik, Chemie oder Biologie stammen (Planetenbewegungen, chemische Reaktionen oder die Entwicklung von Popu lationen). Im Jahre 1983 beschäftigte sich eine der Arbeitsgruppen des Instituts intensiver mit sogenannten Julia-Mengen. Die bizarre Schönheit dieser Objekte beflügelte die Phantasie, und plötzlich war die Idee geboren mit den entstandenen Bildern in Form einer Ausstellung in die Öffentlichkeit zu gehen. Ein solcher Schritt, den "Elfenbeinturm" der Wissenschaft zu verlassen, ist natürlich nicht leicht. Doch der Stein kam ins Rollen. Der Initiativkreis "Bremer und ihre Universität" sowie die großzügige Unterstützung der Sparkasse in Bremen machten es schließlich möglich: im Januar 1984 wurde die Ausstellung "Harmonie in Chaos und Kosmos" in der großen Kassenhalle am Brill eröffnet. Nach der Vorbereitungshektik für die Ausstellung und der nur im letzten Moment gelungenen Vollendung eines Begleitkataloges hatten wir nun geglaubt einen dicken Punkt machen zu können. Aber es kam ganz anders : immer lauter wurde der Ruf, die Ergebnisse unserer Experimente auch außerhalb Bremens zu präsentieren. Und so entstand innerhalb weniger Monate die fast vollständig neue Ausstellung "Morphologie komplexer Grenzen". Ihre Reise durch viele Univer sitäten und Institute Deuschlands begann im Max-Plank-Institut für Biophysi kalische Chemie (Göttingen) und dem Max-Plank-Institut für Mathematik (in der Sparkasse Bonn). Eine Lawine war losgebrochen. Der Rahmen, in dem wir unsere Experimente und die Theorie dynamischer Systeme darstellen konnten, wurde immer breiter. Selbst in für uns ganz ungewohnten Medien, wie zum Beispiel in der Zeitschrift "GEO" oder im ZDF, wurde berichtet. Schließlich entschied sich sogar das Goethe-Institut zu einer weltweiten Ausstellung unserer Computergraphiken. Wir begannen also ein drittes Mal (denn das ist Bremer Recht), nun aber doch mit recht umfangreicher Erfahrung ausgestattet. Graphiken, die uns zunächst etwas zu farbenprächtig geraten waren, wurden noch einmal überarbeitet. Dazu kamen natürlich die Ergebnisse unserer neusten Experimente. Im Mai 1985 konnte in der "Galerie in der Böttcherstraße" Premiere gefeiert werden. Die Ausstellung "Schönheit im Chaos I Frontiers of Chaos" reist seit dem um die ganze Welt und ist ständig ausgebucht. Vor allem wird sie in naturwissen schaftlichen Museen gezeigt.