Dynamics of the structures and non destructive testing : special topic volume with invited peer reviewed papers only

105 Pages·2011·17.597 MB·English

by  Moussa Karama

Dynamics of the
Structures
and Non Destructive
Testing
Edited by
Moussa Karama
Dynamics of the
Structures and
Non Destructive Testing
Special topic volume with invited peer reviewed papers only.
Edited by
Moussa Karama
Copyright  2011 Trans Tech Publications Ltd, Switzerland

All rights reserved. No part of the contents of this publication may be
reproduced or transmitted in any form or by any means without the
written permission of the publisher.

Trans Tech Publications Ltd
Kreuzstrasse 10
CH-8635 Durnten-Zurich
Switzerland
http://www.ttp.net
Volume 482 of
Key Engineering Materials
ISSN 1013-9826
Full text available online at http://www.scientific.net

Distributed worldwide by and in the Americas by
Trans Tech Publications Ltd. Trans Tech Publications Inc.
Kreuzstrasse 10 PO Box 699, May Street
CH-8635 Durnten-Zurich Enfield, NH 03748
Switzerland USA
Phone: [phone]
Fax: [phone] Fax: [phone]
e-mail: [e-mail] e-mail: [e-mail]
Preface

Structural materials are fundamental in human history. Their use in airframe structures has steadily increased since the
1970s. Currently, the applications have expanded to include empennage, fuselage, wing and dynamic components of small
airplanes, transport aircraft and rotorcraft. Even though, the aircraft industry is very conservative in the adoption of new
designs and technologies and when new aircraft are introduced, they tend to build heavily upon past designs, introducing
only incremental updates in technology. However, the global world market has accelerated the race over the last two
centuries, with progress in structural materials pacing improvements in living. Advances in aluminum alloys for airframes and
super alloys for engines led to the current era of mass international travel by jet aircraft. Advances in high temperature
structural materials are leading the way to better engines and materials processing. Structural composites have
revolutionized pleasure boating and impacted many types of sports equipment. Advanced structural composites have been
essential to space vehicles and offer promises of lighter, more efficient materials for many applications.

With energy cost increase, the gain from weight-saving is most significant in the aerospace domain, but it is clearly also
advantageous for road transport and is starting to be recognised in shipbuilding. Consequently, improved reliability,
resistance to degradation and durability in severe environments are always current requirements. So the development of
composites, nano-composites and refractory alloys with specific properties becomes a key factor for industrial and
technological progress. Another challenge is the recyclability of advanced materials with the emergency of projects on
thermoplastic matrix composite fuselages. Moreover the incorporation of biopolymer extracted from different raw materials
can be an interesting alternative to reach the objective of 100% biodegradability. The purpose of these topics is to gather
researchers, specialists from universities and industries working on new composites and nano-composites formulation,
titanium alloys, materials and structure characterisation by destructive, non destructive testing, numerical analysis and
composite process

Prof. M. Karama
Guest Editor
Table of Contents
Preface
An Analytical Method for Free Vibration Analysis of Composite Beams Subjected to Initial
Thermal Stresses
A. Mahi, E.A. Adda-Bedia and A. Benkhedda 1
Polynomial Approach Modeling of Resonator Piezoelectric Disc
L. Elmaimouni, J.E. Lefebvre, F.E. Ratolojanahary, A. Raherison, B. Bahani and T. Gryba 11
Study of the Transmission of Ultrasonic Guided Wave at the Junction of Two Different
Elastic Plates with the Presence of a Defect
T. Belhoussine Drissi, B. Morvan, M. Predoi, J.L. Izbicki and P. Pareige 21
Identification of the Dynamic Coefficients of Hybrid Bearings
K. Atchonouglo, O. Bonneau, P. Jolly and C. Vallée 31
Impact Resistance of Composite Materials under Biaxial Preloading
C. Garnier, T. Djilali, R. Brault and S. Mistou 39
Characterization of Grains Size by Ultrasounds
A. Badidi Bouda, M.S. Aljohani, A. Mebtouche, R. Halimi and W. Djerir 49
Identification of Materials Properties Using Displacement Field Measurement
M. Fazzini, O. Dalverny and S. Mistou 57
Physical and Mechanical Properties of the Reinforced Polyester: Characterization -
Probabilistic Analysis
K. Ait Tahar and N. Harb 67
Seismic Vulnerability Assessment Using the Instrumentation of an Existing Building
F. Duco, J.P. Faye, S. Caperaa and E. Reubrez 79
High Temperature Tribological Behaviour of Metal Matrix Composites Produced by SPS
S. Orozco Gomez, K. Delbé, A. Benitez, J.Y. Paris and J. Denape 89
Key Engineering Materials Vol. 482 (2011) pp 1-9
© (2011) Trans Tech Publications, Switzerland
doi:10.4028/www.scientific.net/KEM.482.1
AAnn aannaallyyttiiccaall mmeetthhoodd ffoorr ffrreeee vviibbrraattiioonn aannaallyyssiiss ooff ccoommppoossiittee bbeeaammss
ssuubbjjeecctteedd ttoo iinniittiiaall tthheerrmmaall ssttrreesssseess

AA.. MMaahhii11,,aa,, EE..AA.. AAddddaa BBeeddiiaa22,,bb,, AA.. BBeennkkhheeddddaa11,,cc
11LLaabboorraattooiirree ddeess SScciieenncceess AAéérroonnaauuttiiqquueess,, UUnniivveerrssiittéé ddee BBlliiddaa,,
BBPP 227700,, 0099000000 BBlliiddaa,, AAllggeerriiaa

22LLaabboorraattooiirree ddeess MMaattéérriiaauuxx eett HHyyddrroollooggiiee,, UUnniivveerrssiittéé ddee SSiiddii BBeell AAbbbbeess,,
BBPP 8899 BBeenn MM’’hhiiddii,, 2222000000 SSiiddii BBeell AAbbbbeess,, AAllggeerriiaa..

aaaammeell..mmaahhii@@ggmmaaiill..ccoomm,, bbaaddddaabbeedd@@yyaahhoooo..ccoomm,, ccbbeennkkhheeddddaa9900@@hhoottmmaaiill..ccoomm
KKeeyy wwoorrddss:: CCoommppoossiittee bbeeaammss,, ffrreeee vviibbrraattiioonn,, aannaallyyttiiccaall mmeetthhoodd,, ffiirrsstt sshheeaarr ddeeffoorrmmaattiioonn tthheeoorryy..
AAbbssttrraacctt.. TThhee ppuurrppoossee ooff tthhiiss ppaappeerr iiss ttoo pprreesseenntt eexxaacctt ssoolluuttiioonnss ffoorr tthhee ffrreeee vviibbrraattiioonn ooff
ssyymmmmeettrriiccaallllyy llaammiinnaatteedd ccoommppoossiittee bbeeaammss.. TThhee pprreesseenntt aannaallyyssiiss iinncclluuddeess tthhee ffiirrsstt sshheeaarr ddeeffoorrmmaattiioonn
tthheeoorryy aanndd tthhee rroottaarryy iinneerrttiiaa.. TThhee aannaallyyttiiccaall ssoolluuttiioonnss ttaakkee iinnttoo aaccccoouunntt tthhee tthheerrmmaall eeffffeecctt oonn tthhee ffrreeee
vviibbrraattiioonn cchhaarraacctteerriissttiiccss ooff tthhee ccoommppoossiittee bbeeaammss.. IInn ppaarrttiiccuullaarr,, tthhee aaiimm ooff tthhiiss wwoorrkk iiss ttoo ddeerriivvee tthhee
eexxaacctt cclloosseedd--ffoorrmm cchhaarraacctteerriissttiicc eeqquuaattiioonnss ffoorr ccoommmmoonn bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss.. TThhee ddiiffffeerreenntt
ppaarraammeetteerrss tthhaatt ccoouulldd aaffffeecctt tthhee nnaattuurraall ffrreeqquueenncciieess aarree iinncclluuddeedd aass ffaaccttoorrss ((aassppeecctt rraattiioo,, tthheerrmmaall
llooaadd--ttoo--sshheeaarr ccooeeffffiicciieenntt,, ppllyy oorriieennttaattiioonn)) ttoo bbeetttteerr ppeerrffoorrmm ddyynnaammiicc aannaallyyssiiss ttoo hhaavvee aa ggoooodd
uunnddeerrssttaannddiinngg ooff ddyynnaammiicc bbeehhaavviioorr ooff ccoommppoossiittee bbeeaammss.. IInn oorrddeerr ttoo ddeerriivvee tthhee ggoovveerrnniinngg sseett ooff
eeqquuaattiioonnss ooff mmoottiioonn,, tthhee HHaammiillttoonn’’ss pprriinncciippllee iiss uusseedd.. TThhee ssyysstteemm ooff oorrddiinnaarryy ddiiffffeerreennttiiaall eeqquuaattiioonnss
ooff tthhee llaammiinnaatteedd bbeeaammss iiss tthheenn ssoollvveedd aanndd tthhee nnaattuurraall ffrreeqquueenncciieess’’ eeqquuaattiioonnss aarree oobbttaaiinneedd
aannaallyyttiiccaallllyy ffoorr ddiiffffeerreenntt bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss.. NNuummeerriiccaall rreessuullttss aarree pprreesseenntteedd ttoo sshhooww tthhee
iinnfflluueennccee ooff tteemmppeerraattuurree rriissee,, aassppeecctt rraattiioo,, bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss aanndd ppllyy oorriieennttaattiioonn oonn tthhee nnaattuurraall
ffrreeqquueenncciieess ooff ccoommppoossiittee bbeeaammss..
11.. IInnttrroodduuccttiioonn
MMoorree aatttteennttiioonn iiss aaccccoorrddeedd ttoo ccoommppoossiittee mmaatteerriiaallss iinn tthhee llaasstt ddeeccaaddeess,, eessppeecciiaallllyy ttoo ccoommppoossiittee
bbeeaammss.. NNoowwaaddaayyss,, ccoommppoossiittee bbeeaammss ccaann bbee ffoouunndd aass pprriinncciippaall eelleemmeennttss iinn pprriimmaarryy ssttrruuccttuurreess iinn
mmaannyy eennggiinneeeerriinngg aapppplliiccaattiioonnss,, aanndd mmaaiinnllyy iinn aaeerroossppaaccee aanndd aaeerroonnaauuttiiccss.. TThhuuss,, ddyynnaammiicc aannaallyyssiiss
mmuusstt bbee ddoonnee aaccccuurraatteellyy ttoo pprreeddiicctt tthhee vviibbrraattiioonn cchhaarraacctteerriissttiiccss ooff tthhee bbeeaammss.. OOnnllyy ffeeww lliitteerraattuurreess
aarree ddeeaalliinngg wwiitthh aannaallyyttiiccaall ffrreeee vviibbrraattiioonn aannaallyyssiiss ooff bbeeaammss [[11]].. TToo tthhee aauutthhoorr’’ss kknnoowwlleeddggee,, nnoo
rreessuullttss aarree ffoouunndd pprroovviiddiinngg eexxaacctt ssoolluuttiioonnss wwhhiicchh iinncclluuddee iinniittiiaall tthheerrmmaall ssttrreesssseess..
IInn tthhee pprreesseenntt ppaappeerr,, tthhee ffrreeee vviibbrraattiioonn aannaallyyssiiss iiss ccoonndduucctteedd uussiinngg aannaallyyttiiccaall mmeetthhoodd.. TThhee
eeqquuaattiioonnss ooff mmoottiioonn ooff llaammiinnaatteedd bbeeaamm aarree ddeerriivveedd uussiinngg FFSSDDBBTT tthheeoorryy iinncclluuddiinngg rroottaarryy iinneerrttiiaa aanndd
uussiinngg HHaammiillttoonn’’ss pprriinncciippllee.. TToo oobbttaaiinn tthhee nnaattuurraall ffrreeqquueenncciieess,, tthhee ggoovveerrnniinngg ddiiffffeerreennttiiaall eeqquuaattiioonnss
aarree ssoollvveedd uussiinngg aann eexxaacctt aannaallyyttiicc mmeetthhoodd.. TThhee eeffffeeccttss ooff tteemmppeerraattuurree rriissee,, aassppeecctt rraattiioo,, ccoommmmoonn
bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss aanndd ppllyy oorriieennttaattiioonn aarree iinnvveessttiiggaatteedd..
2 Dynamics of the Structures and Non Destructive Testing
22.. TThheeoorreettiiccaall ffoorrmmuullaattiioonn
WWee ccoonnssiiddeerr aa ccoommppoossiittee bbeeaamm ooff lleennggtthh LL,, ccoonnssttaanntt tthhiicckknneessss hh aanndd wwiiddtthh bb,, aass sshhoowwnn oonn
FFiigguurree 11..

zz
yy

hh xx
bb

LL

FFiigg.. 11:: LLaammiinnaatteedd ccoommppoossiittee bbeeaamm

TThhee ddiissppllaacceemmeenntt ffiieelldd mmaayy bbee wwrriitttteenn aass ffoolllloowwss [[11]]::

uu((xx,,zz,,tt))==uu((xx,,tt))++zzψψ((xx,,tt)),,

ww((xx,,zz,,tt))== ww((xx,,tt)).. ((11))
wwhheerree uu aanndd ww aarree tthhee ddiissppllaacceemmeennttss oonn tthhee mmiidd--ppllaannee aanndd ψψ iiss tthhee rroottaattiioonn ooff tthhee nnoorrmmaall ttoo tthhee
mmiidd--ppllaannee aabboouutt yy aaxxiiss.. TThhee ddeeffoorrmmaattiioonn ffiieelldd ccaann tthheenn bbee ddeerriivveedd eeaassiillyy ttoo oobbttaaiinn::

∂∂uu ∂∂ψψ ∂∂ww
εε == ++zz ,, γγ ==ψψ++ ..
xx ∂∂xx ∂∂xx xxzz ∂∂xx ((22))

wwhheerree εε iiss tthhee ddeeffoorrmmaattiioonn aalloonngg tthhee xx aaxxiiss aanndd γγ iiss tthhee ttrraannssvveerrssee sshheeaarr ssttrraaiinn..
xx xxzz

TThhee ccoonnssttiittuuttiivvee rreellaattiioonnss ooff tthhee llaammiinnaatteedd bbeeaamm ccaann bbee eexxpprreesssseedd uussiinngg tthhee ggeenneerraalliizzeedd HHooookk’’ss llaaww
aass ffoolllloowwss [[11]]::

 ∂∂uu 
NN  AA BB  ∂∂xx 
MMxxxx==BB11111111 DD11111111∂∂ψψ,, QQxxzz == AA5555γγxxzz.. ((33))
 ∂∂xx 
wwhheerree::
nn nn nn
NN ==bb∑∑∫∫hhkk QQ εε kk ddzz,, MM ==bb∑∑∫∫hhkk QQ εε kk zzddzz,, AA ==bbKK∑∑∫∫hhkk QQ kk ddzz..
xx  1111 xx xx  1111 xx 5555  5555 ((44))
hh hh hh
kk==11 kk−−11 kk==11 kk−−11 kk==11 kk−−11

AAnndd KK iiss tthhee sshheeaarr ccoorrrreeccttiioonn ffaaccttoorr..

TThhee ttrraannssffoorrmmeedd mmaatteerriiaall ccoonnssttaannttss aarree ggiivveenn bbyy [[22]]::

QQ ==QQ ccooss44θθ++QQ ssiinn44θθ++22((QQ ++22QQ ))ssiinn22θθccooss22θθ,,
1111 1111 2222 1122 6666
((55))
QQ ==GG ccooss22θθ++GG ssiinn22θθ..
5555 1133 2233

wwhheerree::

EE νν EE νν EE EE
QQ == 11 ,, QQ == 1122 22 == 2211 11 ,, QQ == 22 ,, QQ ==GG ..
1111 11−−νννν 1122 11−−νννν 11−−νννν 2222 11−−νννν 6666 1122 ((66))
1122 2211 1122 2211 1122 2211 1122 2211
Key Engineering Materials Vol. 482 3
TThhee eexxtteennssiioonnaall,, fflleexxuurraall--eexxtteennssiioonnaall ccoouupplliinngg aanndd fflleexxuurraall ssttiiffffnneessss ooff tthhee llaammiinnaatteedd bbeeaamm aarree
[[22]]::

nn
((AA ,, BB ,, DD ))==bb∑∑∫∫hhkk QQ kk ((11,,zz,,zz22))ddzz.. ((77))
1111 1111 1111  1111
hh
kk==11 kk−−11

33.. GGoovveerrnniinngg ddiiffffeerreennttiiaall eeqquuaattiioonnss
IInn oorrddeerr ttoo oobbttaaiinn tthhee eeqquuaattiioonnss ooff mmoottiioonn,, tthhee HHaammiillttoonn’’ss pprriinncciippllee iiss uusseedd.. TThhee ssttrraaiinn eenneerrggyy
dduuee ttoo mmeecchhaanniiccaall ssttrreesssseess iiss [[44]]::

11
UU == ∫∫σσεεddvv.. ((88))
dd 22 iijj iijj
vv

TThhee ssttrraaiinn eenneerrggyy iinndduucceedd bbyy tthhee tteemmppeerraattuurree rriissee iiss ggiivveenn bbyy [[33]]::

22
11 ∂∂ww
UU == ∫∫σσTT   ddvv ((99))
TT 22 xx  ∂∂xx 
vv

WWhheerree tthhee iinniittiiaall tthheerrmmaall ssttrreessss aanndd aaxxiiaall llooaadd dduuee ttoo tthhee tteemmppeerraattuurree rriissee aarree ggiivveenn bbyy [[22]]::

nn
hh
σσTT ==−−QQ αα∆∆TT,, NNTT ==bb∑∑∫∫ kk [[((QQ αα))∆∆TT]]kkddzz .. ((1100))
xx 1111 xx xx 1111 xx
hh
kk==11 kk−−11

αα iiss tthhee tthheerrmmaall eexxppaannssiioonn ccooeeffffiicciieenntt aanndd ΔΔTT iiss tthhee tteemmppeerraattuurree rriissee..
xx

TThhee kkiinneettiicc eenneerrggyy ooff tthhee bbeeaamm ccaann bbee wwrriitttteenn iinn tthhee ffoolllloowwiinngg ffoorrmm [[44]]::

11 ∂∂uu ∂∂uu
EE == ∫∫ρρ ii ii ddvv.. ((1111))
cc 22 ∂∂tt ∂∂tt
vv

TThhee ddiiffffeerreennttiiaall eeqquuaattiioonnss ooff mmoottiioonn aarree tthheenn ddeerriivveedd uussiinngg HHaammiillttoonn’’ss pprriinncciippllee [[44]]::

δδ∫∫tt[[EE −−((UU ++UU ))]] ddtt ==00 .. ((1122))
 00 cc dd TT 

BByy ccoolllleeccttiinngg tthhee tteerrmmss ooff δδuu,, δδww aanndd δδψψ sseeppaarraatteellyy aanndd aassssuummiinngg tthhaatt tthhee iinn--ppllaannee ddiissppllaacceemmeenntt

uu iiss nneegglliiggiibbllee ccoommppaarreedd ttoo tthhee fflleexxuurraall--iinndduucceedd ddiissppllaacceemmeenntt ww,, aanndd tthhaatt tthhee bbeeaamm hhaass aa mmiiddppllaannee
ssyymmmmeettrryy,, tthhee ffoolllloowwiinngg eeqquuaattiioonnss ooff mmoottiioonn aarree oobbttaaiinneedd::

∂∂22ww ∂∂ψψ ∂∂22ww ∂∂22ww
−−II ++ AA  ++ −−NNTT ==00,,
11 ∂∂tt22 5555 ∂∂xx ∂∂xx22  xx ∂∂xx22
((1133))
∂∂22ψψ ∂∂22ψψ  ∂∂ww
−−II ++DD −−AA ψψ++ ==00..
 
33 ∂∂tt22 1111 ∂∂xx22 5555 ∂∂xx 
wwhheerree::
nn
hh
((II ,,II ,,II ))==bb∑∑∫∫ kk ρρkk((11,,zz,,zz22))ddzz.. ((1144))
11 22 33
hh
kk==11 kk−−11
4 Dynamics of the Structures and Non Destructive Testing
TThhee hhaarrmmoonniicc ssoolluuttiioonnss ccaann bbee wwrriitttteenn aass::

ww WW
 == EExxpp((iiωωtt)).. ((1155))
ψψ ΨΨ

wwhheerree:: ωω iiss tthhee cciirrccuullaarr ffrreeqquueennccyy..

TThhee ssyysstteemm ooff eeqquuaattiioonnss iiss tthheenn eexxpprreesssseedd aass::

∂∂22WW ∂∂ΨΨ
++LLmm ++aa22cc22WW ==00,,
∂∂ξξ22 ∂∂ξξ
((1166))
∂∂22ΨΨ ((11−−aa22bb22cc22)) 11 ∂∂WW
−− ΨΨ−− ==00..
∂∂ξξ22 cc²² LLcc²² ∂∂ξξ

wwhheerree::

xx AA II LL44 II mmDD
ξξ== ,, mm== 5555 ,, aa22 == 11 ωω22,, bb22 == 33 ,, cc22 == 1111 .. ((1177))
LL ((AA −−NNTT)) DD II mmLL22 LL22AA
5555 xx 1111 11 5555

44.. AAnnaallyyttiiccaall ssoolluuttiioonn ooff ggoovveerrnniinngg eeqquuaattiioonnss
TThhee eeqquuaattiioonnss ((1166)) ccaann bbee uunnccoouupplleedd ttoo ggiivvee::

∂∂44ΨΨ ++mm−−11++aa22((bb22 ++cc22))∂∂22ΨΨ −−aa22((11−−aa22bb22cc22))ΨΨ ==00,,
 
∂∂ξξ44  cc22  ∂∂ξξ22
((1188))
∂∂44WW ++mm−−11++aa22((bb22 ++cc22))∂∂22WW −−aa22((11−−aa22bb22cc22))WW ==00..
 
∂∂ξξ44  cc22  ∂∂ξξ22

TThhee ssoolluuttiioonnss aarree ffoouunndd ttoo bbee iinn tthhee ffoolllloowwiinngg ffoorrmm::

WW == AAcchhaaααξξ++ AAsshhaaααξξ++ AA ccoossaaββξξ++ AA ssiinnaaββξξ,,
11 22 33 44 ((1199))
ΨΨ == BBsshhaaααξξ++ BB cchhaaααξξ++BB ssiinnaaββξξ++BB ccoossaaββξξ..
11 22 33 44

wwhheerree::

11//22
 22 
αα== 22 −−mm−−11++((bb22 ++cc22))++ mm−−11++((bb22 ++cc22)) ++ 44 ((11−−aa22bb22cc22)) ,,
22  aa22cc22  aa22cc22  aa22 
 
((2200))
11//22
 22 
ββ== 22 mm−−11++((bb22 ++cc22))++ mm−−11++((bb22 ++cc22)) ++ 44 ((11−−aa22bb22cc22)) ..
22 aa22cc22  aa22cc22  aa22 
 