Dynamics of the Structures and Non Destructive Testing Edited by Moussa Karama Dynamics of the Structures and Non Destructive Testing Special topic volume with invited peer reviewed papers only. Edited by Moussa Karama Copyright 2011 Trans Tech Publications Ltd, Switzerland All rights reserved. No part of the contents of this publication may be reproduced or transmitted in any form or by any means without the written permission of the publisher. Trans Tech Publications Ltd Kreuzstrasse 10 CH-8635 Durnten-Zurich Switzerland http://www.ttp.net Volume 482 of Key Engineering Materials ISSN 1013-9826 Full text available online at http://www.scientific.net Distributed worldwide by and in the Americas by Trans Tech Publications Ltd. Trans Tech Publications Inc. Kreuzstrasse 10 PO Box 699, May Street CH-8635 Durnten-Zurich Enfield, NH 03748 Switzerland USA Phone: +1 (603) 632-7377 Fax: +41 (44) 922 10 33 Fax: +1 (603) 632-5611 e-mail: [email protected] e-mail: [email protected] Preface Structural materials are fundamental in human history. Their use in airframe structures has steadily increased since the 1970s. Currently, the applications have expanded to include empennage, fuselage, wing and dynamic components of small airplanes, transport aircraft and rotorcraft. Even though, the aircraft industry is very conservative in the adoption of new designs and technologies and when new aircraft are introduced, they tend to build heavily upon past designs, introducing only incremental updates in technology. However, the global world market has accelerated the race over the last two centuries, with progress in structural materials pacing improvements in living. Advances in aluminum alloys for airframes and super alloys for engines led to the current era of mass international travel by jet aircraft. Advances in high temperature structural materials are leading the way to better engines and materials processing. Structural composites have revolutionized pleasure boating and impacted many types of sports equipment. Advanced structural composites have been essential to space vehicles and offer promises of lighter, more efficient materials for many applications. With energy cost increase, the gain from weight-saving is most significant in the aerospace domain, but it is clearly also advantageous for road transport and is starting to be recognised in shipbuilding. Consequently, improved reliability, resistance to degradation and durability in severe environments are always current requirements. So the development of composites, nano-composites and refractory alloys with specific properties becomes a key factor for industrial and technological progress. Another challenge is the recyclability of advanced materials with the emergency of projects on thermoplastic matrix composite fuselages. Moreover the incorporation of biopolymer extracted from different raw materials can be an interesting alternative to reach the objective of 100% biodegradability. The purpose of these topics is to gather researchers, specialists from universities and industries working on new composites and nano-composites formulation, titanium alloys, materials and structure characterisation by destructive, non destructive testing, numerical analysis and composite process Prof. M. Karama Guest Editor Table of Contents Preface An Analytical Method for Free Vibration Analysis of Composite Beams Subjected to Initial Thermal Stresses A. Mahi, E.A. Adda-Bedia and A. Benkhedda 1 Polynomial Approach Modeling of Resonator Piezoelectric Disc L. Elmaimouni, J.E. Lefebvre, F.E. Ratolojanahary, A. Raherison, B. Bahani and T. Gryba 11 Study of the Transmission of Ultrasonic Guided Wave at the Junction of Two Different Elastic Plates with the Presence of a Defect T. Belhoussine Drissi, B. Morvan, M. Predoi, J.L. Izbicki and P. Pareige 21 Identification of the Dynamic Coefficients of Hybrid Bearings K. Atchonouglo, O. Bonneau, P. Jolly and C. Vallée 31 Impact Resistance of Composite Materials under Biaxial Preloading C. Garnier, T. Djilali, R. Brault and S. Mistou 39 Characterization of Grains Size by Ultrasounds A. Badidi Bouda, M.S. Aljohani, A. Mebtouche, R. Halimi and W. Djerir 49 Identification of Materials Properties Using Displacement Field Measurement M. Fazzini, O. Dalverny and S. Mistou 57 Physical and Mechanical Properties of the Reinforced Polyester: Characterization - Probabilistic Analysis K. Ait Tahar and N. Harb 67 Seismic Vulnerability Assessment Using the Instrumentation of an Existing Building F. Duco, J.P. Faye, S. Caperaa and E. Reubrez 79 High Temperature Tribological Behaviour of Metal Matrix Composites Produced by SPS S. Orozco Gomez, K. Delbé, A. Benitez, J.Y. Paris and J. Denape 89 Key Engineering Materials Vol. 482 (2011) pp 1-9 © (2011) Trans Tech Publications, Switzerland doi:10.4028/www.scientific.net/KEM.482.1 AAnn aannaallyyttiiccaall mmeetthhoodd ffoorr ffrreeee vviibbrraattiioonn aannaallyyssiiss ooff ccoommppoossiittee bbeeaammss ssuubbjjeecctteedd ttoo iinniittiiaall tthheerrmmaall ssttrreesssseess AA.. MMaahhii11,,aa,, EE..AA.. AAddddaa BBeeddiiaa22,,bb,, AA.. BBeennkkhheeddddaa11,,cc 11LLaabboorraattooiirree ddeess SScciieenncceess AAéérroonnaauuttiiqquueess,, UUnniivveerrssiittéé ddee BBlliiddaa,, BBPP 227700,, 0099000000 BBlliiddaa,, AAllggeerriiaa 22LLaabboorraattooiirree ddeess MMaattéérriiaauuxx eett HHyyddrroollooggiiee,, UUnniivveerrssiittéé ddee SSiiddii BBeell AAbbbbeess,, BBPP 8899 BBeenn MM’’hhiiddii,, 2222000000 SSiiddii BBeell AAbbbbeess,, AAllggeerriiaa.. aaaammeell..mmaahhii@@ggmmaaiill..ccoomm,, bbaaddddaabbeedd@@yyaahhoooo..ccoomm,, ccbbeennkkhheeddddaa9900@@hhoottmmaaiill..ccoomm KKeeyy wwoorrddss:: CCoommppoossiittee bbeeaammss,, ffrreeee vviibbrraattiioonn,, aannaallyyttiiccaall mmeetthhoodd,, ffiirrsstt sshheeaarr ddeeffoorrmmaattiioonn tthheeoorryy.. AAbbssttrraacctt.. TThhee ppuurrppoossee ooff tthhiiss ppaappeerr iiss ttoo pprreesseenntt eexxaacctt ssoolluuttiioonnss ffoorr tthhee ffrreeee vviibbrraattiioonn ooff ssyymmmmeettrriiccaallllyy llaammiinnaatteedd ccoommppoossiittee bbeeaammss.. TThhee pprreesseenntt aannaallyyssiiss iinncclluuddeess tthhee ffiirrsstt sshheeaarr ddeeffoorrmmaattiioonn tthheeoorryy aanndd tthhee rroottaarryy iinneerrttiiaa.. TThhee aannaallyyttiiccaall ssoolluuttiioonnss ttaakkee iinnttoo aaccccoouunntt tthhee tthheerrmmaall eeffffeecctt oonn tthhee ffrreeee vviibbrraattiioonn cchhaarraacctteerriissttiiccss ooff tthhee ccoommppoossiittee bbeeaammss.. IInn ppaarrttiiccuullaarr,, tthhee aaiimm ooff tthhiiss wwoorrkk iiss ttoo ddeerriivvee tthhee eexxaacctt cclloosseedd--ffoorrmm cchhaarraacctteerriissttiicc eeqquuaattiioonnss ffoorr ccoommmmoonn bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss.. TThhee ddiiffffeerreenntt ppaarraammeetteerrss tthhaatt ccoouulldd aaffffeecctt tthhee nnaattuurraall ffrreeqquueenncciieess aarree iinncclluuddeedd aass ffaaccttoorrss ((aassppeecctt rraattiioo,, tthheerrmmaall llooaadd--ttoo--sshheeaarr ccooeeffffiicciieenntt,, ppllyy oorriieennttaattiioonn)) ttoo bbeetttteerr ppeerrffoorrmm ddyynnaammiicc aannaallyyssiiss ttoo hhaavvee aa ggoooodd uunnddeerrssttaannddiinngg ooff ddyynnaammiicc bbeehhaavviioorr ooff ccoommppoossiittee bbeeaammss.. IInn oorrddeerr ttoo ddeerriivvee tthhee ggoovveerrnniinngg sseett ooff eeqquuaattiioonnss ooff mmoottiioonn,, tthhee HHaammiillttoonn’’ss pprriinncciippllee iiss uusseedd.. TThhee ssyysstteemm ooff oorrddiinnaarryy ddiiffffeerreennttiiaall eeqquuaattiioonnss ooff tthhee llaammiinnaatteedd bbeeaammss iiss tthheenn ssoollvveedd aanndd tthhee nnaattuurraall ffrreeqquueenncciieess’’ eeqquuaattiioonnss aarree oobbttaaiinneedd aannaallyyttiiccaallllyy ffoorr ddiiffffeerreenntt bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss.. NNuummeerriiccaall rreessuullttss aarree pprreesseenntteedd ttoo sshhooww tthhee iinnfflluueennccee ooff tteemmppeerraattuurree rriissee,, aassppeecctt rraattiioo,, bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss aanndd ppllyy oorriieennttaattiioonn oonn tthhee nnaattuurraall ffrreeqquueenncciieess ooff ccoommppoossiittee bbeeaammss.. 11.. IInnttrroodduuccttiioonn MMoorree aatttteennttiioonn iiss aaccccoorrddeedd ttoo ccoommppoossiittee mmaatteerriiaallss iinn tthhee llaasstt ddeeccaaddeess,, eessppeecciiaallllyy ttoo ccoommppoossiittee bbeeaammss.. NNoowwaaddaayyss,, ccoommppoossiittee bbeeaammss ccaann bbee ffoouunndd aass pprriinncciippaall eelleemmeennttss iinn pprriimmaarryy ssttrruuccttuurreess iinn mmaannyy eennggiinneeeerriinngg aapppplliiccaattiioonnss,, aanndd mmaaiinnllyy iinn aaeerroossppaaccee aanndd aaeerroonnaauuttiiccss.. TThhuuss,, ddyynnaammiicc aannaallyyssiiss mmuusstt bbee ddoonnee aaccccuurraatteellyy ttoo pprreeddiicctt tthhee vviibbrraattiioonn cchhaarraacctteerriissttiiccss ooff tthhee bbeeaammss.. OOnnllyy ffeeww lliitteerraattuurreess aarree ddeeaalliinngg wwiitthh aannaallyyttiiccaall ffrreeee vviibbrraattiioonn aannaallyyssiiss ooff bbeeaammss [[11]].. TToo tthhee aauutthhoorr’’ss kknnoowwlleeddggee,, nnoo rreessuullttss aarree ffoouunndd pprroovviiddiinngg eexxaacctt ssoolluuttiioonnss wwhhiicchh iinncclluuddee iinniittiiaall tthheerrmmaall ssttrreesssseess.. IInn tthhee pprreesseenntt ppaappeerr,, tthhee ffrreeee vviibbrraattiioonn aannaallyyssiiss iiss ccoonndduucctteedd uussiinngg aannaallyyttiiccaall mmeetthhoodd.. TThhee eeqquuaattiioonnss ooff mmoottiioonn ooff llaammiinnaatteedd bbeeaamm aarree ddeerriivveedd uussiinngg FFSSDDBBTT tthheeoorryy iinncclluuddiinngg rroottaarryy iinneerrttiiaa aanndd uussiinngg HHaammiillttoonn’’ss pprriinncciippllee.. TToo oobbttaaiinn tthhee nnaattuurraall ffrreeqquueenncciieess,, tthhee ggoovveerrnniinngg ddiiffffeerreennttiiaall eeqquuaattiioonnss aarree ssoollvveedd uussiinngg aann eexxaacctt aannaallyyttiicc mmeetthhoodd.. TThhee eeffffeeccttss ooff tteemmppeerraattuurree rriissee,, aassppeecctt rraattiioo,, ccoommmmoonn bboouunnddaarryy ccoonnddiittiioonnss aanndd ppllyy oorriieennttaattiioonn aarree iinnvveessttiiggaatteedd.. 2 Dynamics of the Structures and Non Destructive Testing 22.. TThheeoorreettiiccaall ffoorrmmuullaattiioonn WWee ccoonnssiiddeerr aa ccoommppoossiittee bbeeaamm ooff lleennggtthh LL,, ccoonnssttaanntt tthhiicckknneessss hh aanndd wwiiddtthh bb,, aass sshhoowwnn oonn FFiigguurree 11.. zz yy hh xx bb LL FFiigg.. 11:: LLaammiinnaatteedd ccoommppoossiittee bbeeaamm TThhee ddiissppllaacceemmeenntt ffiieelldd mmaayy bbee wwrriitttteenn aass ffoolllloowwss [[11]]:: uu((xx,,zz,,tt))==uu((xx,,tt))++zzψψ((xx,,tt)),, ww((xx,,zz,,tt))== ww((xx,,tt)).. ((11)) wwhheerree uu aanndd ww aarree tthhee ddiissppllaacceemmeennttss oonn tthhee mmiidd--ppllaannee aanndd ψψ iiss tthhee rroottaattiioonn ooff tthhee nnoorrmmaall ttoo tthhee mmiidd--ppllaannee aabboouutt yy aaxxiiss.. TThhee ddeeffoorrmmaattiioonn ffiieelldd ccaann tthheenn bbee ddeerriivveedd eeaassiillyy ttoo oobbttaaiinn:: ∂∂uu ∂∂ψψ ∂∂ww εε == ++zz ,, γγ ==ψψ++ .. xx ∂∂xx ∂∂xx xxzz ∂∂xx ((22)) wwhheerree εε iiss tthhee ddeeffoorrmmaattiioonn aalloonngg tthhee xx aaxxiiss aanndd γγ iiss tthhee ttrraannssvveerrssee sshheeaarr ssttrraaiinn.. xx xxzz TThhee ccoonnssttiittuuttiivvee rreellaattiioonnss ooff tthhee llaammiinnaatteedd bbeeaamm ccaann bbee eexxpprreesssseedd uussiinngg tthhee ggeenneerraalliizzeedd HHooookk’’ss llaaww aass ffoolllloowwss [[11]]:: ∂∂uu NN AA BB ∂∂xx MMxxxx==BB11111111 DD11111111∂∂ψψ,, QQxxzz == AA5555γγxxzz.. ((33)) ∂∂xx wwhheerree:: nn nn nn NN ==bb∑∑∫∫hhkk QQ εε kk ddzz,, MM ==bb∑∑∫∫hhkk QQ εε kk zzddzz,, AA ==bbKK∑∑∫∫hhkk QQ kk ddzz.. xx 1111 xx xx 1111 xx 5555 5555 ((44)) hh hh hh kk==11 kk−−11 kk==11 kk−−11 kk==11 kk−−11 AAnndd KK iiss tthhee sshheeaarr ccoorrrreeccttiioonn ffaaccttoorr.. TThhee ttrraannssffoorrmmeedd mmaatteerriiaall ccoonnssttaannttss aarree ggiivveenn bbyy [[22]]:: QQ ==QQ ccooss44θθ++QQ ssiinn44θθ++22((QQ ++22QQ ))ssiinn22θθccooss22θθ,, 1111 1111 2222 1122 6666 ((55)) QQ ==GG ccooss22θθ++GG ssiinn22θθ.. 5555 1133 2233 wwhheerree:: EE νν EE νν EE EE QQ == 11 ,, QQ == 1122 22 == 2211 11 ,, QQ == 22 ,, QQ ==GG .. 1111 11−−νννν 1122 11−−νννν 11−−νννν 2222 11−−νννν 6666 1122 ((66)) 1122 2211 1122 2211 1122 2211 1122 2211 Key Engineering Materials Vol. 482 3 TThhee eexxtteennssiioonnaall,, fflleexxuurraall--eexxtteennssiioonnaall ccoouupplliinngg aanndd fflleexxuurraall ssttiiffffnneessss ooff tthhee llaammiinnaatteedd bbeeaamm aarree [[22]]:: nn ((AA ,, BB ,, DD ))==bb∑∑∫∫hhkk QQ kk ((11,,zz,,zz22))ddzz.. ((77)) 1111 1111 1111 1111 hh kk==11 kk−−11 33.. GGoovveerrnniinngg ddiiffffeerreennttiiaall eeqquuaattiioonnss IInn oorrddeerr ttoo oobbttaaiinn tthhee eeqquuaattiioonnss ooff mmoottiioonn,, tthhee HHaammiillttoonn’’ss pprriinncciippllee iiss uusseedd.. TThhee ssttrraaiinn eenneerrggyy dduuee ttoo mmeecchhaanniiccaall ssttrreesssseess iiss [[44]]:: 11 UU == ∫∫σσεεddvv.. ((88)) dd 22 iijj iijj vv TThhee ssttrraaiinn eenneerrggyy iinndduucceedd bbyy tthhee tteemmppeerraattuurree rriissee iiss ggiivveenn bbyy [[33]]:: 22 11 ∂∂ww UU == ∫∫σσTT ddvv ((99)) TT 22 xx ∂∂xx vv WWhheerree tthhee iinniittiiaall tthheerrmmaall ssttrreessss aanndd aaxxiiaall llooaadd dduuee ttoo tthhee tteemmppeerraattuurree rriissee aarree ggiivveenn bbyy [[22]]:: nn hh σσTT ==−−QQ αα∆∆TT,, NNTT ==bb∑∑∫∫ kk [[((QQ αα))∆∆TT]]kkddzz .. ((1100)) xx 1111 xx xx 1111 xx hh kk==11 kk−−11 αα iiss tthhee tthheerrmmaall eexxppaannssiioonn ccooeeffffiicciieenntt aanndd ΔΔTT iiss tthhee tteemmppeerraattuurree rriissee.. xx TThhee kkiinneettiicc eenneerrggyy ooff tthhee bbeeaamm ccaann bbee wwrriitttteenn iinn tthhee ffoolllloowwiinngg ffoorrmm [[44]]:: 11 ∂∂uu ∂∂uu EE == ∫∫ρρ ii ii ddvv.. ((1111)) cc 22 ∂∂tt ∂∂tt vv TThhee ddiiffffeerreennttiiaall eeqquuaattiioonnss ooff mmoottiioonn aarree tthheenn ddeerriivveedd uussiinngg HHaammiillttoonn’’ss pprriinncciippllee [[44]]:: δδ∫∫tt[[EE −−((UU ++UU ))]] ddtt ==00 .. ((1122)) 00 cc dd TT BByy ccoolllleeccttiinngg tthhee tteerrmmss ooff δδuu,, δδww aanndd δδψψ sseeppaarraatteellyy aanndd aassssuummiinngg tthhaatt tthhee iinn--ppllaannee ddiissppllaacceemmeenntt uu iiss nneegglliiggiibbllee ccoommppaarreedd ttoo tthhee fflleexxuurraall--iinndduucceedd ddiissppllaacceemmeenntt ww,, aanndd tthhaatt tthhee bbeeaamm hhaass aa mmiiddppllaannee ssyymmmmeettrryy,, tthhee ffoolllloowwiinngg eeqquuaattiioonnss ooff mmoottiioonn aarree oobbttaaiinneedd:: ∂∂22ww ∂∂ψψ ∂∂22ww ∂∂22ww −−II ++ AA ++ −−NNTT ==00,, 11 ∂∂tt22 5555 ∂∂xx ∂∂xx22 xx ∂∂xx22 ((1133)) ∂∂22ψψ ∂∂22ψψ ∂∂ww −−II ++DD −−AA ψψ++ ==00.. 33 ∂∂tt22 1111 ∂∂xx22 5555 ∂∂xx wwhheerree:: nn hh ((II ,,II ,,II ))==bb∑∑∫∫ kk ρρkk((11,,zz,,zz22))ddzz.. ((1144)) 11 22 33 hh kk==11 kk−−11 4 Dynamics of the Structures and Non Destructive Testing TThhee hhaarrmmoonniicc ssoolluuttiioonnss ccaann bbee wwrriitttteenn aass:: ww WW == EExxpp((iiωωtt)).. ((1155)) ψψ ΨΨ wwhheerree:: ωω iiss tthhee cciirrccuullaarr ffrreeqquueennccyy.. TThhee ssyysstteemm ooff eeqquuaattiioonnss iiss tthheenn eexxpprreesssseedd aass:: ∂∂22WW ∂∂ΨΨ ++LLmm ++aa22cc22WW ==00,, ∂∂ξξ22 ∂∂ξξ ((1166)) ∂∂22ΨΨ ((11−−aa22bb22cc22)) 11 ∂∂WW −− ΨΨ−− ==00.. ∂∂ξξ22 cc²² LLcc²² ∂∂ξξ wwhheerree:: xx AA II LL44 II mmDD ξξ== ,, mm== 5555 ,, aa22 == 11 ωω22,, bb22 == 33 ,, cc22 == 1111 .. ((1177)) LL ((AA −−NNTT)) DD II mmLL22 LL22AA 5555 xx 1111 11 5555 44.. AAnnaallyyttiiccaall ssoolluuttiioonn ooff ggoovveerrnniinngg eeqquuaattiioonnss TThhee eeqquuaattiioonnss ((1166)) ccaann bbee uunnccoouupplleedd ttoo ggiivvee:: ∂∂44ΨΨ ++mm−−11++aa22((bb22 ++cc22))∂∂22ΨΨ −−aa22((11−−aa22bb22cc22))ΨΨ ==00,, ∂∂ξξ44 cc22 ∂∂ξξ22 ((1188)) ∂∂44WW ++mm−−11++aa22((bb22 ++cc22))∂∂22WW −−aa22((11−−aa22bb22cc22))WW ==00.. ∂∂ξξ44 cc22 ∂∂ξξ22 TThhee ssoolluuttiioonnss aarree ffoouunndd ttoo bbee iinn tthhee ffoolllloowwiinngg ffoorrmm:: WW == AAcchhaaααξξ++ AAsshhaaααξξ++ AA ccoossaaββξξ++ AA ssiinnaaββξξ,, 11 22 33 44 ((1199)) ΨΨ == BBsshhaaααξξ++ BB cchhaaααξξ++BB ssiinnaaββξξ++BB ccoossaaββξξ.. 11 22 33 44 wwhheerree:: 11//22 22 αα== 22 −−mm−−11++((bb22 ++cc22))++ mm−−11++((bb22 ++cc22)) ++ 44 ((11−−aa22bb22cc22)) ,, 22 aa22cc22 aa22cc22 aa22 ((2200)) 11//22 22 ββ== 22 mm−−11++((bb22 ++cc22))++ mm−−11++((bb22 ++cc22)) ++ 44 ((11−−aa22bb22cc22)) .. 22 aa22cc22 aa22cc22 aa22