Diseño y simulación en Matlab de los algoritmos EKF y UKF aplicados a la trayectoria de

68 Pages·2016·2.54 MB·Spanish

Proyecto Fin de Carrera
Proyecto Fin de Carrera
Ingeniería de Telecomunicación
Ingeniería Aeronáutica
Diseño y simulación en Matlab de los algoritmos
Formato de Publicación de la Escuela Técnica
EKF y UKF aplicados a la trayectoria de una
Superior de Ingeniería
aeronave equipada con un sistema VOR
AutorA: Fu.toJra:vRieorbPeratyoáFneSrmomíneGt arcía Mena
Tutor:TuJutoarn: MJoªséÁMnguerlielsloMFauretínntePsrats
Dep. TeoríaDdepe.laInSgeeñnaielryíaCEolmecutrnóincaiccaiones
EscuEeslcauTeléacTniéccaniScuapSeurpioerridoer IdnegIenngieenriíearía
Universidad de Sevilla
Universidad de Sevilla
Sevilla,2016
Sevilla,2013

Proyecto Fin de Carrera
Ingeniería Aeronáutica
Diseño y simulación en Matlab de los algoritmos
EKF y UKF aplicados a la trayectoria de una
aeronave equipada con un sistema VOR
Autor:
RobertoFermínGarcíaMena
Tutor:
MªÁngelesMartínPrats
ProfesorTitular
Dep. Ingeniería Electrónica
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Sevilla,2016

ProyectoFindeCarrera: DiseñoysimulaciónenMatlabdelosalgoritmosEKFyUKFaplicados
alatrayectoriadeunaaeronaveequipadaconunsistemaVOR
Autor: RobertoFermínGarcíaMena
Tutor: MªÁngelesMartínPrats
Eltribunalnombradoparajuzgareltrabajoarribaindicado,compuestoporlossiguientesprofesores:
Presidente:
Vocal/es:
Secretario:
acuerdanotorgarlelacalificaciónde:
ElSecretariodelTribunal
Fecha:

Índice
Objetivos 9
1. Introducción 9
1.1. Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Descripción del vector de estado 14
2.1. Sistemas de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Actitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Posición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Descripción de los sensores 18
3.1. Giroscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.2. GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3. Acelerómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4. Presión atmosférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5. VOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4. Algoritmos de fusión de datos 23
4.1. Extended Kalman Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2. Unscented Kalman Filter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5. Resultados y simulación 27
5.1. Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2. Efecto del tiempo de muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.1. ∆t = 1s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2.2. ∆t = 0,25s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2.3. ∆t = 0,125s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3. Efecto de la posición de las antenas VOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.1. 1 antena exterior cercana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3.2. 1 antena exterior lejana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.3.3. 2 antenas exteriores cercanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3.4. 2 antenas exteriores lejanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.5. 2 antenas exteriores laterales cercanas . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3.6. 2 antenas exteriores laterales lejanas . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.4. Efecto del GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5. Análisis comparativo del tiempo de ejecución . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6. Análisis de los resultados 49
7. Conclusiones y líneas futuras 52
Anexos 53
A. Cálculo con cuaterniones 53
B. Cálculo numérico de matrices jacobianas 55
C. Programas y modelos de Simulink 56
Referencias 67
8
Objetivos
Elobjetivodeesteproyectoesanalizarycompararelcomportamientodedosalgoritmos
de estimación de estado para sistemas no lineales. En concreto nos centraremos en los
llamados Extended Kalman Filter (EKF) y el Unscented Kalman Filter (UKF) y los
usaremos para estudiar el movimiento de un avión a partir de las medidas de una serie
de sensores, entre los cuales nos centraremos especialmente en el uso de un VHF Omni
Directional Radio Range (VOR).
1. Introducción
La aparición de los Unmanned Aerial Vehicles (UAV) y los aviones cada vez más
electrónicos ha hecho que los sistemas digitales de geolocalización y control de actitud
sean más necesarios que nunca. Además la industria demanda que estos sistemas tengan
losmenorescostesposiblessinrenunciarenningúnmomentoalosestándaresdeseguridad,
que son cada día más estrictos. Para conseguir cumplir estos requerimientos, se está
convirtiendo en una necesidad la integración de sensores digitales cuya señal deber ser
tratada e integrada para obtener de ellos los datos necesarios para la navegación.
La fusión de toda esta información se realiza gracias a un algoritmo conocido como
filtro de Kalman (KF). Este algoritmo resulta de gran utilidad en ingeniería ya que nos
proporciona un método para reducir el ruido de uno de los sensores instalados en un
sistema valiéndose de las medidas, tanto actuales como pasadas, del resto de ellos, y
nos permite además hacerlo de la forma matemáticamente más óptima. Además, para
incrementar la seguridad, gracias a este algoritmo podemos integrar varios sensores, tanto
iguales como distintos, con el objetivo de medir una misma variable de estado a través de
diferentes métodos. En nuestro caso por ejemplo, para medir la posición de la aeronave
vamos a utilizar tres sistemas distintos: inerciales (acelerómetro), por satélite (GPS) y
radioayudas (VOR), aunque todos ellos serán descritos más en detalle en la sección 3.
A continuación pasamos a explicar el funcionamiento del filtro de Kalman con el
objetivo de facilitar la posterior comprensión del EKF y el UKF.
1.1. Filtro de Kalman
El filtro de Kalman es un algoritmo desarrollado en 1960 por el matemático e ingeniero
Rudolf E. Kalman. La principal función de este algoritmo es la de estimar el estado de
un sistema lineal a partir de una serie de medidas que pueden ser a su vez combinación
lineal de las variables de estado y pudiendo estar tanto unas como otras afectadas por un
ruido blanco de características conocidas.
Los algoritmos UKF y EKF son evoluciones del filtro de Kalman original pero en este
caso tanto la función de transición de estado como las funciones de medida pueden ser no
lineales. En las secciones 4.1 y 4.2 hablaremos más en profundidad de cada uno de ellos.
Partiremos de un sistema lineal de la siguiente forma.
x = F x +B u +w
k k−1 k−1 k−1 k−1 k−1
z = H x +v
k k k k
9
Las variables que aparecen en estas fórmulas son:
x es el estado del sistema.
F es la matriz de transición de estado.
B y u son la matriz y el vector de control.
w es el vector de ruido del estado.
z es el vector de medidas.
H es la matriz de medida.
v es el vector de ruido de la medida.
En nuestro caso además haremos las siguientes consideraciones.
No tenemos variables de control así que de ahora en adelante omitiremos el término
B u .
k−1 k−1
w es un ruido blanco modelado como una distribución normal de media cero y
covarianza Q.
v es un ruido blanco modelado como una distribución normal de media cero y
covarianza R.
Hay que destacar que el ruido w no tiene que ser un ruido real, también se puede usar
para compensar errores en el modelado del sistema. Por ejemplo, en nuestro caso vamos a
considerar que el avión tendrá aceleración constante pero estableceremos un ruido ficticio
cambiando los valores de la matriz Q para permitir variaciones. Mientras mayores sean
estosvalores,másrápidasseránlasvariacionesdelaseñalestimada.Estopermitecapturar
mejor dinámicas rápidas pero puede ser un inconveniente si la señal tiene mucho ruido,
ya que no lo filtrará adecuadamente y dejará muchos picos (ver figura 1).
2
Real
1.5 Estimada
Medida
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0 50 100 150
Figura 1: Filtro de Kalman con Q demasiado alta.
10