DISCRETE MECHANICS: concepts and applications

333 Pages·2019·13.651 MB·English

by  CALTAGIRONE, JEAN-PAUL

Discrete Mechanics

Series Editor
Roger Prud’homme
Discrete Mechanics

Concepts and Applications

Jean-Paul Caltagirone
First published 2019 in Great Britain and the United States by ISTE Ltd and John Wiley & Sons, Inc.
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© ISTE Ltd 2019
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Library of Congress Control Number: 2018962477

British Library Cataloguing-in-Publication Data
A CIP record for this book is available from the British Library
ISBN 978-1-78630-283-0
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
ListofSymbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi
Chapter1.FundamentalPrinciplesofDiscreteMechanics . . . . . . 1
1.1.Definitionsofdiscretemechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1.Notionofdiscretespace–time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2.Notionofadiscretemedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.Propertiesofdiscreteoperators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.Invarianceundertranslationandrotation . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.Weakequivalenceprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5.Principleofaccumulationofstresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.Duality-of-actionprinciple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7.Physicalcharacteristicsofamedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8.Compositionofvelocitiesandaccelerations . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9.Discretecurvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.10.Axiomsofdiscretemechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Chapter2.ConservationofAcceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.1.Generalprinciples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.Continuousmemory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.Modelingthecompressionstress. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1.Compressionexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2.Modelingthestressinasolid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3.Modelingthestressinafluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.4.Compressionwithsmalltimeconstants . . . . . . . . . . . . . . . . 41
vi DiscreteMechanics
2.3.5.Modelingtheaccumulationofthenormalstress . . . . . . . . . . . 42
2.3.6.Theenergyformula,e=mc2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.Modelingtherotationstress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1.Couette’sexperiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2.Behaviorovertime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.3.Rotationstressinsolids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.4.Rotationstressinfluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.5.Stressesinaporousmedium,Darcy’slaw . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.6.Modelingtheaccumulationoftherotationstress. . . . . . . . . . . 48
2.4.7.RotationinCouetteandPoiseuilleflows . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.Modelingothereffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.1.Gravitationaleffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5.2.Inertialeffects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.Discreteequationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6.1.Geometricdescription. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6.2.Derivationoftheequationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.3.Dissipationofenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.7.Couplingconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.8.Formulationoftheequationsofmotionatadiscontinuity. . . . . . . . 65
2.9.Otherformsoftheequationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.9.1.Curlandvectorpotentialformulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.9.2.Conservativeformoftheequationsofmotion . . . . . . . . . . . . 69
2.10.Incompressiblemodelsderivedfromthediscreteformulation. . . . . 70
2.10.1.Kinematicprojectionmethods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.10.2.Incompressibilityindiscretemechanics . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.11.Consequencesonthedynamicsofthevorticity . . . . . . . . . . . . . 74
Chapter3.ConservationofMass,FluxandEnergy . . . . . . . . . . . 77
3.1.Conservationofmassinahomogeneousmedium . . . . . . . . . . . . 77
3.1.1.Incontinuummechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.2.Indiscretemechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.Transportwithinmulticomponentmixtures . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.1.Classicalapproach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2.2.Discretemodelforthetransportofchemicalspecies . . . . . . . . 84
3.2.3.Equilibriuminabinarymixture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.Advection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.4.Conservationofflux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.1.Generalremarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4.2.Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.Conservationofenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5.1.Conservationoftotalenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.5.2.Conservationofkineticenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.5.3.Conservationofinternalenergy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Contents vii
3.5.4.Monotonicallydecreasingkineticenergy . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.6.Acompletesystemofequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.7.Asimpleheatconductionproblem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.7.1.Caseofanisotropicmaterials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.8.Phasechange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.8.1.TheStefanproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.8.2.Condensation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Chapter4.PropertiesoftheDiscreteFormulation . . . . . . . . . . . 115
4.1.Fundamentalproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.1.Limitationsonthevelocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.2.InvertingtheformulasV =∇φandV =∇×ψ . . . . . . . . 118
φ ψ
4.1.3.Materialframe-indifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1.4.Fundamentalinvariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.Systemofequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3.Differencesfromcontinuummechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.1.DifferencesfromtheNavier-Laméequations . . . . . . . . . . . . . 126
4.3.2.DifferencesfromtheNavier-Stokesequations . . . . . . . . . . . . 127
4.3.3.Dissipation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3.4.CompatibilityconditionsfortheNavier-Stokesequations. . . . . . 133
4.4.Examplesofanalyticsolutionsoftheequationsofmotion . . . . . . . 136
4.4.1.Rigidrotationalmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.4.2.PlanarCouetteflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.4.3.Poiseuilleflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.4.4.Radialflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.5.Incompressiblemotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5.1.TheGreen-Taylorvortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5.2.Lid-drivencavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.6.Compressiblefluidsandperfectfluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.6.1.GeneralizedBernoulliequation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.6.2.Propagationoflinearwaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.6.3.Sodshocktube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.7.Staticsoffluidsandsolids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.8.Conditionsformodelingarigidsolid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.9.Flowsinaporousmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.10.Stretchingofspace-timeandHugoniot’stheorem . . . . . . . . . . . 165
Chapter5.Two-PhaseFlows,CapillarityandWetting . . . . . . . . . 169
5.1.Formulationoftheequationsattheinterfaces . . . . . . . . . . . . . . 169
5.1.1.Modelingthecurvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.1.2.Formulationoftheequationsofmotion . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.2.Two-phaseflows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.2.1.Two-phasePoiseuilleflow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
viii DiscreteMechanics
5.2.2.Sloshingoftwoimmisciblefluids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.3.Capillarity-dominatedflows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.1.TheLaplaceproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.2.Oscillatingellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.3.3.Marangoni-typeflowinadroplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3.4.Interactingbubbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.3.5.Simulatingfoaminequilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.4.Partialwetting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.4.1.Dropletinequilibriumonaplane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.4.2.Spreadingofadroplet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.4.3.Dropletacteduponbygravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.4.4.Flowswithinalens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.4.5.Capillaryascensioninatube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Chapter6.StressesandStrainsinSolids . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.1.Discretesolidmedium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.2.Stressesinsolids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.2.1.Discreteequations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
6.2.2.Materialframe-indifference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.2.3.Solidstaticsequations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.2.4.Calculatingthedisplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.3.Propertiesofsolidmedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.3.1.Incontinuummechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.3.2.Indiscretemechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
6.4.Boundaryconditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
6.5.Rigidmotion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.6.Validationofthemodelonexamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.6.1.Simpleexampleofamonolithicfluid–structureinteraction . . . . . 230
6.6.2.Mechanicalequilibriumofsloshing . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.6.3.Beamunderextension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.6.4.Multimaterialcompression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.6.5.Planarshearing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.6.6.Flexingbeam. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.6.7.Settlingofablockundergravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.6.8.Mechanicalequilibriumofasolidobject . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.6.9.Extensiontootherconstitutivelaws . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.7.Towardaunificationofsolidandfluidmechanics . . . . . . . . . . . . 246
Chapter7.MultiphysicalExtensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.1.Deflectionoflight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
7.1.1.Descriptionofthephysicalphenomenon . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.1.2.DeflectionoflightbytheSuninNewtonianmechanics . . . . . . . 252