Classical and quantum chaos book

750 Pages·2002·4.656 MB·English

by  Cvitanovic et al.

Classical and Quantum Chaos
PredragCvitanovi´c–RobertoArtuso–PerDahlqvist–RonnieMainieri
– Gregor Tanner – G´abor Vattay – Niall Whelan – Andreas Wirzba
—————————————————————-
version 9.2.3 Feb 26 2002
printed June 19, 2002
www.nbi.dk/ChaosBook/ comments to: [email protected]
Contents
Contributors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
1 Overture 1
1.1 Why this book? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Chaos ahead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 A game of pinball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Periodic orbit theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Evolution operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 From chaos to statistical mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Semiclassical quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8 Guide to literature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Guide to exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2 Flows 33
2.1 Dynamical systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Changing coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Computing trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5 Infinite-dimensional flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3 Maps 57
3.1 Poincar´e sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Constructing a Poincar´e section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 H´enon map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Billiards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Local stability 73
4.1 Flows transport neighborhoods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Linear flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Nonlinear flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Hamiltonian flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
i
ii CONTENTS
4.5 Billiards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.6 Maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.7 Cycle stabilities are metric invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.8 Going global: Stable/unstable manifolds . . . . . . . . . . . . . . . 91
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5 Transporting densities 97
5.1 Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Density evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3 Invariant measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Koopman, Perron-Frobenius operators . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6 Averaging 117
6.1 Dynamical averaging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2 Evolution operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.3 Lyapunov exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7 Trace formulas 135
7.1 Trace of an evolution operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.2 An asymptotic trace formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8 Spectral determinants 147
8.1 Spectral determinants for maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2 Spectral determinant for flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
8.3 Dynamical zeta functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.4 False zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.5 More examples of spectral determinants . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.6 All too many eigenvalues? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
9 Why does it work? 169
9.1 The simplest of spectral determinants: A single fixed point . . . . 170
9.2 Analyticity of spectral determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
9.3 Hyperbolic maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.4 Physics of eigenvalues and eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . 185
9.5 Why not just run it on a computer? . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
CONTENTS iii
10 Qualitative dynamics 197
10.1 Temporal ordering: Itineraries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
10.2 Symbolic dynamics, basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.3 3-disk symbolic dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
10.4 Spatial ordering of “stretch & fold” flows . . . . . . . . . . . . . . 206
10.5 Unimodal map symbolic dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
10.6 Spatial ordering: Symbol square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
10.7 Pruning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
10.8 Topological dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
11 Counting 239
11.1 Counting itineraries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11.2 Topological trace formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.3 Determinant of a graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
11.4 Topological zeta function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
11.5 Counting cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.6 Infinite partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
11.7 Shadowing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
12 Fixed points, and how to get them 269
12.1 One-dimensional mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
12.2 d-dimensional mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
12.3 Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.4 Periodic orbits as extremal orbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
12.5 Stability of cycles for maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
13 Cycle expansions 293
13.1 Pseudocycles and shadowing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
13.2 Cycle formulas for dynamical averages . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13.3 Cycle expansions for finite alphabets . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
13.4 Stability ordering of cycle expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13.5 Dirichlet series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
14 Why cycle? 319
14.1 Escape rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
14.2 Flow conservation sum rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
14.3 Correlation functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
14.4 Trace formulas vs. level sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
iv CONTENTS
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
15 Thermodynamic formalism 333
15.1 R´enyi entropies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
15.2 Fractal dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
16 Intermittency 347
16.1 Intermittency everywhere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
16.2 Intermittency for beginners . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
16.3 General intermittent maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
16.4 Probabilistic or BER zeta functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
17 Discrete symmetries 381
17.1 Preview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
17.2 Discrete symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
17.3 Dynamics in the fundamental domain . . . . . . . . . . . . . . . . 389
17.4 Factorizations of dynamical zeta functions . . . . . . . . . . . . . . 393
17.5 C factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
2
17.6 C factorization: 3-disk game of pinball . . . . . . . . . . . . . . . 397
3v
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
18 Deterministic diffusion 407
18.1 Diffusion in periodic arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
18.2 Diffusion induced by chains of 1-d maps . . . . . . . . . . . . . . . 412
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
19 Irrationally winding 425
19.1 Mode locking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
19.2 Local theory: “Golden mean” renormalization . . . . . . . . . . . . 433
19.3 Global theory: Thermodynamic averaging . . . . . . . . . . . . . . 435
19.4 Hausdorff dimension of irrational windings . . . . . . . . . . . . . . 436
19.5 Thermodynamics of Farey tree: Farey model . . . . . . . . . . . . 438
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
20 Statistical mechanics 449
20.1 The thermodynamic limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
20.2 Ising models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
20.3 Fisher droplet model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
20.4 Scaling functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
CONTENTS v
20.5 Geometrization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
21 Semiclassical evolution 479
21.1 Quantum mechanics: A brief review . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
21.2 Semiclassical evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
21.3 Semiclassical propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
21.4 Semiclassical Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
22 Semiclassical quantization 513
22.1 Trace formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
22.2 Semiclassical spectral determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
22.3 One-dimensional systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
22.4 Two-dimensional systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
23 Helium atom 529
23.1 Classical dynamics of collinear helium . . . . . . . . . . . . . . . . 530
23.2 Semiclassical quantization of collinear helium . . . . . . . . . . . . 543
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
24 Diffraction distraction 557
24.1 Quantum eavesdropping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
24.2 An application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
Resum´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
Summary and conclusions 575
24.3 Cycles as the skeleton of chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
Index 580
II Material available on www.nbi.dk/ChaosBook/ 595
A What reviewers say 597
A.1 N. Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
A.2 R.P. Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
A.3 Divakar Viswanath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
A.4 Professor Gatto Nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
vi CONTENTS
B A brief history of chaos 599
B.1 Chaos is born . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
B.2 Chaos grows up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
B.3 Chaos with us . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
B.4 Death of the Old Quantum Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
C Stability of Hamiltonian flows 611
C.1 Symplectic invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
C.2 Monodromy matrix for Hamiltonian flows . . . . . . . . . . . . . . 613
D Implementing evolution 617
D.1 Material invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
D.2 Implementing evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
E Symbolic dynamics techniques 625
E.1 Topological zeta functions for infinite subshifts . . . . . . . . . . . 625
E.2 Prime factorization for dynamical itineraries . . . . . . . . . . . . . 634
F Counting itineraries 639
F.1 Counting curvatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
G Applications 643
G.1 Evolution operator for Lyapunov exponents . . . . . . . . . . . . . 643
G.2 Advection of vector fields by chaotic flows . . . . . . . . . . . . . . 648
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
H Discrete symmetries 657
H.1 Preliminaries and Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
H.2 C factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662
4v
H.3 C factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
2v
H.4 Symmetries of the symbol square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
I Convergence of spectral determinants 671
I.1 Curvature expansions: geometric picture . . . . . . . . . . . . . . . 671
I.2 On importance of pruning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
I.3 Ma-the-matical caveats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675
I.4 Estimate of the nth cumulant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677
J Infinite dimensional operators 679
J.1 Matrix-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
J.2 Trace class and Hilbert-Schmidt class. . . . . . . . . . . . . . . . . 681
J.3 Determinants of trace class operators . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
J.4 Von Koch matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
J.5 Regularization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
CONTENTS vii
K Solutions 693
L Projects 723
L.1 Deterministic diffusion, zig-zag map . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
L.2 Deterministic diffusion, sawtooth map . . . . . . . . . . . . . . . . 732
viii CONTENTS
Viele Ko¨che verderben den Brei
No man but a blockhead ever wrote except for money
Samuel Johnson
Predrag Cvitanovi´c
most of the text
Roberto Artuso
5 Transporting densities .............................................97
7.1.4 A trace formula for flows ......................................140
14.3 Correlation functions ..........................................325
16 Intermittency ....................................................347
18 Deterministic diffusion ...........................................407
19 Irrationally winding .............................................425
Ronnie Mainieri
2 Flows ..............................................................33
3.2 The Poincar´e section of a flow ....................................60
4 Local stability .....................................................73
2.3.2 Understanding flows ............................................43
10.1 Temporal ordering: itineraries ................................. 198
20 Statistical mechanics ............................................449
Appendix B: A brief history of chaos ...............................599
G´abor Vattay
15 Thermodynamic formalism ......................................333
?? Semiclassical evolution ...........................................??
22 Semiclassical trace formula ......................................513
Ofer Biham
12.4.1 Relaxation for cyclists ........................................280
Freddy Christiansen
12 Fixed points, and what to do about them ........................269
Per Dahlqvist
12.4.2 Orbit length extremization method for billiards .............. 282
16 Intermittency ....................................................347
CONTENTS ix
Appendix E.1.1: Periodic points of unimodal maps ..................631
Carl P. Dettmann
13.4 Stability ordering of cycle expansions ..........................305
Mitchell J. Feigenbaum
Appendix C.1: Symplectic invariance ...............................611
Kai T. Hansen
10.5 Unimodal map symbolic dynamics .............................210
10.5.2 Kneading theory .............................................213
?? Topological zeta function for an infinite partition .................??
figures throughout the text
Yueheng Lan
figures in chapters 1, and 17
Joachim Mathiesen
6.3 Lyapunov exponents ............................................126
R¨ossler system figures, cycles in chapters 2, 3, 4 and 12
Adam Pru¨gel-Bennet
Solutions 13.2, 8.1, 1.2, 3.7, 12.9, 2.11, 9.3
Lamberto Rondoni
5 Transporting densities .............................................97
14.1.2 Unstable periodic orbits are dense ............................323
Juri Rolf
Solution 9.3
Per E. Rosenqvist
exercises, figures throughout the text
Hans Henrik Rugh
9 Why does it work? ...............................................169
G´abor Simon
R¨ossler system figures, cycles in chapters 2, 3, 4 and 12
Edward A. Spiegel