Calculus, Applications and Theory

914 Pages·2009·12.3 MB·English

Calculus, Applications and Theory
Kenneth Kuttler
April 30, 2009
2
Contents
1 Introduction 15
I Preliminaries 17
2 The Real Numbers 19
2.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 The Number Line And Algebra Of The Real Numbers . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Set Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.6 The Absolute Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Well Ordering And Archimedian Property∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Fundamental Theorem Of Arithmetic∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.12 Systems Of Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.12.1 The Method Of Gauss Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.14 Completeness of R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Basic Geometry And Trigonometry 59
3.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1 Similar Triangles And Pythagorean Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Cartesian Coordinates And Straight Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Distance Formula And Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5 The Circular Arc Subtended By An Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.6 The Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.8 Some Basic Area Formulas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.8.1 Areas Of Triangles And Parallelograms . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.8.2 The Area Of A Circular Sector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.10 Parabolas, Ellipses, and Hyperbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3
4 CONTENTS
3.10.1 The Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.10.2 The Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.10.3 The Hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4 The Complex Numbers 91
4.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
II Functions Of One Variable 97
5 Functions 99
5.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1 General Considerations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Sufficient Conditions For Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.5 Continuity Of Circular Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.7 Properties Of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.9 Limit Of A Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.11 The Limit Of A Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.11.1 Sequences And Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.11.2 Decimals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.11.3 Continuity And The Limit Of A Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.13 Uniform Continuity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.15 Theorems About Continuous Functions∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 Derivatives 143
6.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.1 Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5 Local Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.7 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
6.8 Mean Value Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
6.10 Curve Sketching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
CONTENTS 5
7 Some Important Special Functions 165
7.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.1 The Circular Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.3 The Exponential And Log Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3.1 The Rules Of Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.3.2 The Exponential Functions, A Wild Assumption . . . . . . . . . . . . 170
7.3.3 The Special Number, e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.4 The Function ln|x| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3.5 Logarithm Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8 Properties And Applications Of Derivatives 179
8.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.1 The Chain Rule And Derivatives Of Inverse Functions . . . . . . . . . . . . . 179
8.1.1 The Chain Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.1.2 Implicit Differentiation And Derivatives Of Inverse Functions . . . . . 180
8.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.3 The Function xr For r A Real Number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.3.1 Logarithmic Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.5 The Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.6 The Hyperbolic And Inverse Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.8 L’Hˆopital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.8.1 Interest Compounded Continuously . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.10 Related Rates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.12 The Derivative And Optimization. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.14 The Newton Raphson Method. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.15 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9 Antiderivatives And Differential Equations 213
9.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.1 Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.2 The Method Of Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.4 Integration By Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.6 Trig. Substitutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.8 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.9 Rational Functions Of Trig. Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.11 Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.12 Area Between Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.14 Practice Problems For Antiderivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.15 Computers And Antiderivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6 CONTENTS
9.16 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.16.1 Volumes Using Cross Sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
9.16.2 Volumes Using Shells. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
9.17 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
9.18 Lengths Of Curves And Areas Of Surfaces Of Revolution . . . . . . . . . . . 258
9.18.1 Lengths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
9.18.2 Surfaces Of Revolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9.19 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.20 Other Differential Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.20.1 The Equation y(cid:48)+a(t)y =b(t). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.20.2 Separable Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
9.21 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
9.22 Force On A Dam And Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.22.1 Force On A Dam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
9.22.2 Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
9.23 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.24 The Equations Of Undamped And Damped Oscillation. . . . . . . . . . . . . 273
9.25 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
10 The Integral 279
10.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
10.1 Upper And Lower Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
10.3 Functions Of Riemann Integrable Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
10.4 Properties Of The Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
10.5 Fundamental Theorem Of Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
10.6 The Riemann Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
10.8 Return Of The Wild Assumption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
10.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
10.10Techniques Of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.10.1The Method Of Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.10.2Integration By Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
10.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
10.12Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
10.13Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
11 Infinite Series 319
11.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11.1 Approximation By Taylor Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
11.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
11.3 Infinite Series Of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
11.3.1 Basic Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
11.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
11.5 More Tests For Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
11.5.1 Convergence Because Of Cancellation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
11.5.2 Ratio And Root Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
11.6 Double Series∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
11.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
11.8 Power Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
11.8.1 Functions Defined In Terms Of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
CONTENTS 7
11.8.2 Operations On Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
11.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
11.10Some Other Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
III Basic Linear Algebra 359
12 Fundamentals 361
12.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
12.1 Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
12.2 Algebra in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
12.3 Geometric Meaning Of Vector Addition In R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
12.4 Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
12.5 Distance in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
12.6 Geometric Meaning Of Scalar Multiplication In R3 . . . . . . . . . . . . . . . 372
12.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
12.8 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
13 Matrices And Linear Transformations 377
13.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.1 Matrix Arithmetic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.1.1 Addition And Scalar Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . 377
13.1.2 Multiplication Of Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
13.1.3 The ijth Entry Of A Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
13.1.4 Properties Of Matrix Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
13.1.5 The Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
13.1.6 The Identity And Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
13.2 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
13.3 Constructing The Matrix Of A Linear Transformation . . . . . . . . . . . . . 390
13.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
13.5 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
14 Determinants 401
14.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
14.1 Basic Techniques And Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
14.1.1 Cofactors And 2×2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
14.1.2 The Determinant Of A Triangular Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . 404
14.1.3 Properties Of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
14.1.4 Finding Determinants Using Row Operations . . . . . . . . . . . . . . 407
14.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14.2.1 A Formula For The Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14.2.2 Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
14.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
14.5 The Mathematical Theory Of Determinants∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
14.6 The Cayley Hamilton Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
14.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
8 CONTENTS
15 Spectral Theory∗ 439
15.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
15.1 Eigenvalues And Eigenvectors Of A Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
15.1.1 Definition Of Eigenvectors And Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . 439
15.1.2 Finding Eigenvectors And Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
15.1.3 A Warning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
15.1.4 Complex Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
15.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
16 Vector Spaces∗ 449
16.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
16.1 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
16.1.1 Vector Space Axioms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
16.1.2 Spans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
16.1.3 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
16.1.4 Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
16.1.5 Basis And Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
16.1.6 Proof Of Exchange Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
16.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
IV Vectors In Rn 469
17 Vectors And Points In Rn 471
17.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
17.1 Open And Closed Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
17.2 Physical Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
17.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
17.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
18 Vector Products 483
18.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
18.1 The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
18.2 The Geometric Significance Of The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . 486
18.2.1 The Angle Between Two Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
18.2.2 Work And Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
18.2.3 The Parabolic Mirror, An Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
18.2.4 The Dot Product And Distance In Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
18.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
18.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
18.5 The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
18.5.1 The Distributive Law For The Cross Product . . . . . . . . . . . . . 501
18.5.2 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
18.5.3 Center Of Mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
18.5.4 Angular Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
18.5.5 The Box Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
18.6 Vector Identities And Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
18.7 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
18.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
18.9 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
CONTENTS 9
19 Bases For Rn∗ 519
19.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
19.1 Orthonormal Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
19.1.1 The Least Squares Regression Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
19.1.2 The Fredholm Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
19.2 The Dual Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
19.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
19.3.1 Matrices Which Are One To One Or Onto . . . . . . . . . . . . . . . . 531
19.3.2 The General Solution Of A Linear System . . . . . . . . . . . . . . . . 532
19.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
19.5 Block Multiplication Of Matrices∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
19.6 Shur’s Theorem∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
19.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
20 Planes And Surfaces In Rn 545
20.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
20.1 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
20.2 Quadric Surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
20.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
V Vector Calculus 555
21 Vector Valued Functions 557
21.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
21.1 Vector Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557
21.2 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
21.3 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
21.3.1 Sufficient Conditions For Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
21.4 Limits Of A Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
21.5 Properties Of Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
21.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
21.7 Some Fundamentals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
21.7.1 The Nested Interval Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
21.7.2 The Extreme Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
21.7.3 Sequences And Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
21.7.4 Continuity And The Limit Of A Sequence . . . . . . . . . . . . . . . . 575
21.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
22 Vector Valued Functions Of One Variable 579
22.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
22.1 Limits Of A Vector Valued Function Of One Variable . . . . . . . . . . . . . 579
22.2 The Derivative And Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
22.2.1 Geometric And Physical Significance Of The Derivative . . . . . . . . 582
22.2.2 Differentiation Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
22.2.3 Leibniz’s Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
22.3 Product Rule For Matrices∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
22.4 Moving Coordinate Systems∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
22.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
22.6 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
22.7 Newton’s Laws Of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
10 CONTENTS
22.7.1 Kinetic Energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
22.7.2 Kepler’s First And Second Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
22.7.3 Impulse And Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
22.8 Acceleration With Respect To Moving Coordinate Systems∗ . . . . . . . . . . 600
22.8.1 The Coriolis Acceleration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
22.8.2 The Coriolis Acceleration On The Rotating Earth . . . . . . . . . . . 602
22.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
22.10Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
22.11Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
22.11.1Arc Length And Orientations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
22.11.2Line Integrals And Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
22.11.3Another Notation For Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
22.12Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
22.13Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
22.14Independence Of Parameterization∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
22.14.1Hard Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
22.14.2Independence Of Parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
23 Motion On A Space Curve 625
23.0.3 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
23.1 Space Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
23.1.1 Some Simple Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
23.2 Geometry Of Space Curves∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
23.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
24 Some Curvilinear Coordinate Systems 635
24.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
24.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
24.1.1 Graphs In Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
24.2 The Area In Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
24.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
24.4 Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
24.5 The Acceleration In Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642
24.6 Planetary Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
24.6.1 The Equal Area Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
24.6.2 Inverse Square Law Motion, Kepler’s First Law . . . . . . . . . . . . . 646
24.6.3 Kepler’s Third Law. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
24.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
24.8 Spherical And Cylindrical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
24.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
24.10Exercises With Answers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
VI Vector Calculus In Many Variables 657
25 Functions Of Many Variables 659
25.0.1 Outcomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
25.1 The Graph Of A Function Of Two Variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
25.2 Review Of Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
25.3 The Directional Derivative And Partial Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . 662
25.3.1 The Directional Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662