calculus

870 Pages·2011·31.65 MB·Turkish

T H O M A S
C A L C U L U S
O N B ‹ R ‹ N C ‹ B A S K I
George B.Thomas,Jr.
Massachusetts Institute of Technology
Maurice D.Weir
Naval Postgraduate School
Joel Hass
University of California,Davis
Frank R.Giordano
Naval Postgraduate School
Çeviren:Recep Korkmaz
Yayın No : 2150
Teknik Dizisi: 134
11. Baskıdan çeviri 1. Baskı -Ağustos 2009 -İSTANBUL
ISBN 978 - 605 - 377 - 068 - 8
Authorized translation from the English language edition, entitled THOMAS’CALCULUS, 11th Edition by
THOMAS, GEORGE B.; WEIR, MAURICE D.; HASS, JOEL; GIORDANO, FRANK R., published by
Pearson Education, Inc, publishing as Addison-Wesley, Copyright © 2005
TURKISH language edition published by BETABASIM YAYIM DAĞITIM A.S. Copyright © 2009
All rights reserved. No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means,
electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage retrieval system,
without permission from Pearson Education, Inc.
Copyright© 2009 Bu kitabın Türkiye’deki yayın hakları BETABasım Yayım Dağıtım A.Ş.’ye aittir.Her hakkı
saklıdır. Hiçbir bölümü ve paragrafı kısmen veya tamamen ya da özet halinde, fotokopi, faksimile, taranarak,
internet ortamında elektronik posta ile herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, dağıtılamaz. Normal ölçüyü aşan
iktibaslar yapılamaz. Normal ve kanunî iktibaslarda kaynak gösterilmesi zorunludur.
Dizgi :Beta Basım A.Ş.
Sayfa Düzenleme :Gülgonca Çarpık
Baskı -Cilt :Kahraman Neşriyat Ofset San. Tic. Ltd. Şti. (Sertifika No: 12084)
Yüzyıl Mah. Matbaacılar Cad. Atahan No: 34 K: 4
Bağcılar/İstanbul (0-212) 629 00 01
Beta BASIM YAYIM DAĞITIM A.Ş.
Himaye-i Etfal Sokak Talas Han No. 13-15
Cağaloğlu -İSTANBUL
Tel : [phone]
Fax: [phone]
www.betayayincilik.com
İ
ÇİNDEKİLER
Önsöz ix
1 Önbilgiler 1
1.1 Reel Sayılar ve Reel Doğru 1
1.2 Doğrular, Çemberler ve Paraboller 9
1.3 Fonksiyonlar ve Grafikleri 19
1.4 Fonksiyonları Tanımlamak; Matematik Modeller 28
1.5 Fonksiyonları Birleştirmek; Grafikleri Kaydırmak ve Ölçeklemek 38
1.6 Trigonometrik Fonksiyonlar 48
1.7 Hesap Makinesi ve Bilgisayarla Grafik Çizmek 59
TEKRARSORULARI 68
PROBLEMLER 69
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 71
2 Limitler ve Süreklilik 73
2.1 Değişim Oranları ve Limitler 73
2.2 Limit Kurallarını Kullanarak Limitler Hesaplamak 84
2.3 Bir Limitin Kesin Tanımı 91
2.4 Tek Taraflı Limitler ve Sonsuzda Limitler 102
2.5 Sonsuz Limitler ve Dikey Asimptotlar 115
2.6 Süreklilik 124
2.7 Teğetler ve Türevler 134
TEKRARSORULARI 141
PROBLEMLER 142
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 144
3 Türev 147
3.1 Bir Fonksiyon Olarak Türev 147
3.2 Türev Alma Kuralları 159
iii
iv ‹çindekiler
3.3 Bir Değişim Oranı Olarak Türev 171
3.4 Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri 183
3.5 Zincir Kuralı ve Parametrik Denklemler 190
3.6 Kapalı Türetme 205
3.7 İlişkili Oranlar 213
3.8 Lineerizasyon ve Diferansiyeller 221
TEKRARSORULARI 235
PROBLEMLER 235
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 240
4 Türev Uygulamalar› 244
4.1 Fonksiyonların Ekstremum Değerleri 244
4.2 Ortalama Değer Teoremi 255
4.3 Monon Fonksiyonlar ve Birinci Türev Testi 262
4.4 Konkavlık ve Eğri Çizimi 267
4.5 Uygulamalı Optimizasyon Problemleri 278
4.6 Belirsiz Şekiller ve L’Hôpital Kuralı 292
4.7 Newton Yöntemi 299
4.8 Ters Türevler 307
TEKRARSORULARI 318
PROBLEMLER 318
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 322
5 ‹ntegrasyon 325
5.1 Sonlu Toplamlarla Tahminde Bulunmak 325
5.2 Toplam Notasyonu ve Sonlu Toplamların Limitleri 335
5.3 Belirli İntegral 343
5.4 Analizin Temel Teoremi 356
5.5 Belirsiz İntegraller ve Dönüşüm Kuralı 368
5.6 Değişken Dönüşümü ve Eğriler Arasındaki Alan 376
TEKRARSORULARI 387
PROBLEMLER 388
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 391
6 Belirli ‹ntegrallerin Uygulamalar› 396
6.1 Dilimleyerek Hacim Bulmak ve Bir Eksen Etrafında Dönme 396
6.2 Silindirik Kabuklarla Hacim Bulmak 409
6.3 Düzlem Eğrilerin Uzunlukları 416
6.4 Momentler ve Kütle Merkezleri 424
6.5 Dönel Yüzey Alanları ve Pappus Teoremleri 436
6.6 İş 447
6.7 Akışkan Basınçları ve Kuvvetleri 456
‹çindekiler v
TEKRARSORULARI 461
PROBLEMLER 461
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 464
7 Transandant Fonksiyonlar 466
7.1 Ters Fonksiyonlar ve Türevleri 466
7.2 Doğal Logaritmalar 476
7.3 Üstel Fonksiyon 486
7.4 axve log x 495
a
7.5 Üstel Büyüme ve Bozunma 502
7.6 Bağıl Büyüme Oranları 511
7.7 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar 517
7.8 Hiperbolik Fonksiyonlar 535
TEKRARSORULARI 546
PROBLEMLER 547
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 550
8 ‹ntegrasyon Teknikleri 553
8.1 Temel İntegrasyon Formülleri 553
8.2 Kısmi İntegrasyon 561
8.3 Rasyonel Fonksiyonların Kısmi Kesirlerle İntegrasyonu 570
8.4 Trigonometrik İntegraller 581
8.5 Trigonometrik Dönüşümler 586
8.6 Integral Tabloları ve Bilgisayar Cebir Sistemleri 593
8.7 Sayısal İntegrasyon 603
8.8 Genelleştirilmiş İntegraller 619
TEKRARSORULARI 633
PROBLEMLER 634
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 638
9 Integrasyonun Di¤er Uygulamalar› 642
9.1 Eğim Alanları ve Ayrılabilir Diferansiyel Denklemler 642
9.2 Birinci Mertebe Lineer Diferansiyel Denklemler 650
9.3 Euler Yöntemi 659
9.4 Otonom Diferansiyel Denklemlerin Grafik Çözümleri 665
9.5 Birinci Mertebe Diferansiyel Denklemlerin Uygulamaları 673
TEKRARSORULARI 682
PROBLEMLER 682
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 683
vi ‹çindekiler
10 Konik Kesitler ve Kutupsal Koordinatler 685
10.1 Konik Kesitler ve Kuadratik Denklemler 685
10.2 Konik Kesitleri Dışmerkezliklerine Göre Sınıflandırmak 697
10.3 Kuadratik Denklemler ve Dönmeler 702
10.4 Konikler ve Parametrik Denklemler; Sikloid 709
10.5 Kutupsal Koordinatlar 714
10.6 Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizmek 719
10.7 Kutupsal Koordinatlarda Alanlar ve Uzunluklar 725
10.8 Kutupsal Koordinatlarda Konik Kesitler 732
TEKRARSORULARI 739
PROBLEMLER 739
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 742
11 Konik Kesitler ve Kutupsal Koordinatlar 746
11.1 Diziler 747
11.2 Sonsuz Seriler 761
11.3 İntegral Testi 772
11.4 Karşılaştırma Testleri 777
11.5 Oran ve Kök Testleri 781
11.6 Alterne Seriler, Mutlak ve Koşullu Yakınsaklık 787
11.7 Kuvvet Serileri 794
11.8 Taylor ve Maclaurin Serileri 805
11.9 Taylor Serisinin Yakınsaklığı; Hata Tahmini 811
11.10 Kuvvet Serilerinin Uygulamaları 822
11.11 Fourier Serileri 833
TEKRARSORULARI 839
PROBLEMLER 840
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 843
12 Vectörler ve Uzayda Geometri 848
12.1 Üç Boyutlu Koordinat Sistemleri 848
12.2 Vektörler 853
12.3 Nokta Çarpımı (Skaler Çarpım) 862
12.4 Vektörel Çarpım 873
12.5 Uzayda Doğrular ve Düzlemler 880
12.6 Silindirler ve Kuadrik Yüzeyler 889
TEKRARSORULARI 899
PROBLEMLER 900
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 902
‹çindekiler vii
13 Vektör-De¤erli Fonksiyonlar ve Uzayda Hareket 906
13.1 Vektör Fonksiyonlar 906
13.2 Atış Hareketini Modellemek 920
13.3 Yay Uzunluğu ve Birim Teğet Vektör T 931
13.4 Eğrilik ve Birim Normal Vektör N 936
13.5 Burulma ve Birim Binormal Vektör B 943
13.6 Gezegen Hareketi ve Uydular 950
TEKRARSORULARI 959
PROBLEMLER 960
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 962
14 K›smi Türevler 965
14.1 Çok Değişkenli Fonksiyonlar 965
14.2 Yüksek Boyutlarda Limitler ve Süreklilik 976
14.3 Kısmi Türevler 984
14.4 Zincir Kuralı 996
14.5 Doğrultu Türevleri ve Gradiyent Vektörler 1005
14.6 Teğet Düzlemler ve Diferansiyeller 1015
14.7 Ekstremum Değerler ve Eyer Noktaları 1027
14.8 Lagrange Çarpanları 1038
14.9 Kısıtlanmış Değişkenlerle Kısmi Türevler 1049
14.10 İki Değişken İçin Taylor Formülü 1054
TEKRARSORULARI 1059
PROBLEMLER 1060
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 1063
15 Katl› ‹ntegraller 1067
15.1 İki Katlı İntegraller 1067
15.2 Alan, Momentler ve Kütle Merkezleri 1081
15.3 Kutupsal Formda İki Katlı İntegraller 1092
15.4 Kartezyen Koordinatlarda Üç Katlı İntegraller 1098
15.5 Üç Boyutta Kütle ve Momentler 1109
15.6 Silindirik ve Küresel Koordinatlarda Üç katlı İntegraller 1114
15.7 Çok Katlı İntegrallerde Değişken Dönüşümü 1128
TEKRARSORULARI 1137
PROBLEMLER 1138
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 1140
viii ‹çindekiler
16 Vektör Alanlar›nda ‹ntegrasyon 1143
16.1 Eğrisel İntegraller 1143
16.2 Vektör Alanları, İş, Dolaşım ve Akı 1149
16.3 Yoldan Bağımsızlık, Potansiyel Fonksiyonları ve Korunmalı Alanlar 1160
16.4 Düzlemde Green Teoremi 1169
16.5 Yüzey Alanı ve Yüzey İntegralleri 1182
16.6 Parametrize Yüzeyler 1192
16.7 Stokes Teoremi 1201
16.8 Diverjans Teoremi ve Bir Birleştirilmiş Teori 1211
TEKRARSORULARI 1222
PROBLEMLER 1223
EK VEİLERİALIŞTIRMALAR 1226
Ekler EK-1
A.1 Matematik İndüksiyon EK-1
A.2 Limit Teoremlerinin İspatları EK-4
A.3 Sık Karşılaşılan Limitler EK-7
A.4 Reel Sayıların Teorisi EK-9
A.5 Kompleks Sayılar EK-12
A.6 Vectörel Çarpım İçin Dağılma Kuralları EK-22
A.7 Karışık Türev Teoremi ve Artma Teoremi EK-23
A.8 Bir Paralelkenarın Bir Düzlem Üzerine İzdüşümünün Alanı EK-28
A.9 Temel Cebir, Geometri, ve Trigonometri Formülleri EK-29
Cevaplar C-1
‹ndeks ‹-1
K›sa Bir ‹ntegral Tablosu T-1
Krediler K-1
Önsöz
G‹R‹fi Thomas Calculus’un 11.basımının hazırlanmasında önceki basımların tarzını ve
gücünü yakalamaya çalıştık. Amacımız, birçok kullanıcımızı ve eleştirmenimizi dikkatlice
dinleyerek Thomas Calculus’un klasik basımlarının en iyi özelliklerini tekrar ziyeret et-
mek oldu. Aklımızdaki bu yüksek standartlarla, alıştırmaları yeniden kurduk ve bazı zor
konuları aydınlattık. George Thomas’ın sözleri ile ‘‘Kitabı, olabileceği kadar açık ve ke-
sin olarak yazmaya çalıştık’’. Ek olarak, daha mantıklı ve standart müfredat programı ile
aynı hizada olması için içeriği yeniden yapılandırdık. Geriye bakmakla, mühendisler ve
bilim adamları için kullanışlı ve çekici bir calculus metni hazırlamakta bize yardımcı ola-
cak çok şey öğrendik.
On birinci basımda metin, öğrenciye sadece calculus’un yöntemlerini ve uygulamala-
rını değil ayrıca bir matematiksel düşünme yolu da tanıtır. Alıştırmalardan örneklere kav-
ramları geliştiren ve teoriyi okunabilir bir lisanla açığa çıkaran anlatıma, bu kitap matema-
tiksel fikirleri düşünme ve iletme hakkındadır. Calculus, matematiğin anahtar
örneklerinden bir çoğunu içerir ve fiziksel ve matematiksel konular hakkında doğru ve
mantıklı bir yolla nasıl düşünüleceğinin gerçek başlangıçlarını işaret eder
Materyale hakim olmaları ve gücünü kullanmak için gerekli matematiksel olgunluğa
ulaşmaları için öğrencilere yardım etmeyi deniyoruz. Derin bir bilgiden gelen kavrayışlar
gayrete değerdir. Bu kitabı tamamlayan öğrencilerin , bilimde ve mühendislikte bir çok
uygulamaya calculus kavramlarını uygulamak için ihtiyaç duyulan, matematiksel lisan ko-
nusunda oldukça bilgi edinmiş olmaları gerekir. Ayrıca, diferansiyel denklemler, lineer ce-
bir ve ileri analiz derslerine iyi bir şekilde hazırlanmış olmaları gerekir.
Onbirinci Bas›mdaki De¤ifliklikler
ALIfiTIRMALAR Alıştırmalar ve örnekler calculus öğrenmede çok önemli bir rol oynarlar.
Thomas Calculus’un önceki basımlarında yer alan ve o basımların muazzam gücünü oluş-
tan alıştırmalardan bir çoğunu bu yeni basıma dahil ettik. Her bölümde, hesaplamalı prob-
lemlerden uygulamalı ve teorik problemlere ilerleyen alıştırmaları konulara göre düzenle-
dik ve grupladık. Bu düzenleme öğrencilere, calculus yöntemlerini kullanma becerilerini
geliştirme ve değerlendirmelerini derinleştirmenin yanında calculus uygulamalarını ve
mantıklı matematiksel yapılarını anlamaları fırsatını verir.
ÖZEN Özen seviyesi, önceki basımlarla karşılaştırıldığında baştan sona daha tutarlıdır.
İkisi arasındaki farkı ortaya koymak için hem biçimsel ve hem de biçimsel olmayan tartış-
maları verdik. Ayrıca, kesin tanımları ve öğrencilerin anlayabileceği ispatları dahil ettik.
Metin, materiyalin gayri resmi olarak anlaşılabileceği şekilde düzenlenmiştir. Bu, öğret-
ix
x Önsöz
mene önemli derecede bir esneklik sağlar. Örneğin, kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli
olan bir fonksiyonun bu aralıkta bir maksimumunun bulunduğunu ispat etmediğimiz halde
bu teoremi çok dikkatli bir şekilde ifade ettik ve takip eden çeşitli sonuçları ispat etmek
için bunu kullandık. Bundan başka, limitlerle ilgili bölüm, açıklığa ve kesinliğe karşı bü-
yük bir dikkatle önemli ölçüde yeniden düzenlenmiştir. Önceki basımlarda olduğu gibi li-
mit kavramı yine bir eğriye üzerindeki bir noktada teğet olan doğrunun eğimini elde etme
fikri ile motive edilmektedir.
‹ÇER‹K Bu basımın hazırlığı sırasında, Thomas Calculus’un önceki basımlarının kullanı-
cıları ve eleştirmenlerimizin önerilerine ve yorumlarına önemli ölçüde dikkat sarf ettik.
Bu, bazı bölümlerde büyük revizyonlara ve değişikliklere yol açtı.
• Önbilgiler Bölüm 1’i, temel fonksiyonların kısa bir incelemesi olarak tekrar yaz-
dık. Bir çok eğitimcinin bu bölümü atlamayı seçebilecek olmasına rağmen, bölüm
öğrenciye kolay bir referans ve inceleme olanağı sunar, notasyonu standart hale geti-
rir ve altyapı materyali olarak nelerin kabul edildiğine işaret eder. Ayrıca birçok öğ-
rencinin, bir hesap makinesine veya bilgisayara bir fonksiyonun grafiğini vermesi
konusunda tam olarak güvenmedeki tuzaklar gibi, görmemiş olabileceği bazı yar-
dımcı materyal içerir.
• Limitler Bölüm 2’de içerilenler, limitlerin epsilon-delta tanımları, birçok teoremin
ispatı, sonsuzda limitler ve sonsuz limitlerdir (ve bunların bir grafiğin asimptotları
ile ilişkileri).
• Ters türevler Türev ve önemli uygulamalarını, bütünlüğü sağlayan ters türev kav-
ramı ile sonuçlanan Bölüm3 ve Bölüm 4’te verdik.
• İntegrasyon Çeşitli sonlu toplam örneklerini tartıştıktan sonra Bölüm 5’te, eğrinin
altındaki alan, geleneksel çerçevesi içinde belirli integrali tanıttık. Türevleri ve ters tü-
revleri birbirine bağlayan Analizin Temel Teoremini işledikten sonra, integrasyon için
Değişken Dönüşümü’nün yanında belirsiz integrali tanıttık. Bunları, belirli integralin
uygulamaları hakkındaki alışılmış bölüm takip eder.
• İntegrasyon Teknikleri İntegrasyonun, sayısal integrasyonu da içeren temel tek-
nikleri Bölüm 8’de verilmektedir. Bunlar, bir integral olarak doğal logaitmayı ve
onun tersi olarak üstel fonksiyonu tanımladığımız transandant fonksiyonların tanıtı-
mını takip etmektedirler.
• Diferansiyel denklemler Temel diferansiyel denklemlerin çözümleri hakkındaki
materiyalin önemli kısmı, şimdi tek bir bölümde, Bölüm 9’da düzenlenmiştir. Bu dü-
zenleme, bu konuların kavranması açısından eğitimcilere önemli ölçüde esneklik
sağlar.
• Konikler Birçok kullanıcının isteği üzerine, konik kesitler hakkındaki Bölüm 10
tamamen yenilendi. Bu bölüm ayrıca, parabollerin, hiperbollerin ve sicloidlerin pa-
rametrizasyonlarını vererek parametrik denklemler hakkındaki materyali tamamlar.
• Seriler Bölüm 11’de, dokuzuncu basımda gözüken, serilerin yakınsaklık testleri-
nin daha bütün bir gelişimini yeniden düzenledik. Ayrıca, bölümün sonuna (atlana-
bilecek olan) Fourier serilerini tanıtan kısa bir bölüm ekledik.
• VektörlerTemel cebirsel ve geometrik fikirlerin tekrarından kaçınmak için, iki ve
üç boyutlu vektörlerin işlenmesini tek bir bölümde Bölüm 12’de birleştirdik. Bu ta-
nıtımı, düzlemde ve uzayda vektör-değerli fonksiyonlar hakkındaki bir bölüm takip
etti.
• Reel sayılar Calculus’a uyglanmasından dolayı Reel sayılar teorisi hakkında kısa
ve yeni bir ek yazdık