calculo diferencial en varias variables

379 Pages·2005·15.77 MB·Spanish

en varias variables
Rubén Becerril Fonseca
Daniel R. Jardón Arcos
J. Guadalupe Reyes Victoria
UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA-IZTAPALAPA
Casa abierta al tiempo División de Ciencias Biológicas y de la Salud
DERECHOS RESERVADOS © 2004, Universidad Autónoma Metropolitana (México). Prohibida la reproducción de esta obra así como la distribución y venta fuera del ámbito de la UAM®. E-libro Bibliomedia [email protected]
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Rector General
Dr. Luis Mier y Terán Casanueva
Secretario General
Dr. Ricardo Solís Rosales
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA-Iztapalapa
Rector
Dr. José Lema Labadie
Secretario
Dr. Javier Rodríguez Lagunas
División de Ciencias Biológicas y de la Salud
Director
Dr. Gerardo Saucedo Castañeda
Secretario Académico
Mtro. Arturo Preciado López
División de Ciencias Básicas e Ingeniería
Director
Dr. Tomás Viveros García
Secretario
Dr. José Antonio de los Reyes Heredia
ISBN 970-31-0096-1
Primera Edición: 2002
Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa
Av. San Rafael Atlixco 186, Col. Vicentina
México, D.F. 09340
Impreso y hecho en México
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CÁLCULO
DIFERENCIAL
EN VARIAS VARIABLES
Rubén Becerril Fonseca
Daniel Jardón Arcos
J. Guadalupe Reyes Victoria
Departamento de Matemáticas
UAM-IZTAPALAPA
2002 © UAM-I
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Prefacio
Uno de los principales problemas que tiene un lector estudioso de las cien-
cias básicas (física, química, matemáticas) o de la ingeniería, es el .de-en-
contrar aislados en la abundante literatura muchos temas de su interés.
Por un lado, los textos clásicos orientados hacia, las partes aplicadas de la
ciencia que tienen relevancia, no son del todo accesibles al joven lector, y
para su lectura imponen una cantidad considerable de prerrequisitos. Por
otra parte, la literatura teórica en muchas ocasiones causa tedio en los
aspirantes al ejercicio práctico de la ciencia.
La presente obra trata de equilibrar las dos cuestiones: la parte teórica,
de una forma simple, y su uso en las partes aplicadas de la ciencia, pensando
en la formación del futuro científico, ingeniero, técnico, etcétera. Para su
lectura se presuponen conocimientos elementales de cálculo diferencial de
una variable. Los demás conceptos el lector no matemático puede irlos
aprendiendo durante el camino.
En el primer capítulo hacemos un bosquejo de los elementos necesarios
para leer el trabajo, como son los sistemas de ecuaciones, las matrices y
determinantes. De esta manera se hace una reseña de los elementos básicos
del Algebra Lineal.
El capítulo 2 trata de los aspectos básicos de los objetos geométricos
elementales en el espacio Euclidiano: las rectas, los planos. Para su
construcción necesitarnos los conceptos de vector, ángulo y distancia.
Aquí se estudia también el problema de vectores y valores propios de una
matriz cuadrada real.
En el capítulo 3 se estudian los elementos básicos de las curvas planas
y espaciales, sus propiedades diferenciables: su velocidad y aceleración.
El capítulo 4 muestra el estudio de los campos escalares diferenciables
Rrl —» IR , y los elementos para realizarlo: las derivadas parciales, el
gradiente, el polinomio de Taylor, etcétera.
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En el capítulo 5 se hace una muestra somera de la teoría básica de
los campos vectoriales diferenciables del tipo K" —• Rm (n,m < 3) y los
conceptos asociados más importantes se enuncian y ejemplifican: la diver-
gencia, el rotor y el gradiente.
En los apéndices se incluyen tópicos clásicos de los cursos de cálculo en
varias variables como: elementos básicos de superficies en R3, orientación
y longitud de una curva en M3, límites y continuidad de campos es-
calares, planos tangentes, valores extremos de un campo escalar y las
funciones implícitas.
Este libro es producto de varios cursos de Matemáticas IV para los es-
tudiantes de Ciencias Biológicas y de la Salud (CBS) en la Universidad
Autónoma Metropolitana Iztapalapa, durante los años 1992 - 1999. La
presentación es diferente de la de los cursos clásicos debido a que las necesi-
dades de las propias licenciaturas (ingenieros bioquímicos, bioteenólogos y
en alimentos) así lo requieren.
Deseamos manifestar nuestro agradecimiento al Dr. Gerardo Saucedo,
Director de la División de CBS, al M. en C. Arturo Preciado, Secretario
Académico de la División de CBS, a la Dra. María José Arroyo, ex-
Directora de la División de CBI y al Dr. Ernesto Pérez, Jefe del Departa-
mento de Matemáticas por todo el apoyo y entusiasmo que nos brindaron.
También queremos resaltar la contribución de los profesores y alumnos que
usaron versiones preliminares y cuyos valiosos comentarios nos ayudaron a
mejorar el texto. La presentación final se logró gracias a la colaboración de
Daniel Espinosa (Flash).
Por último, quisiéramos agradecer a nuestras respectivas familias por
toda la paciencia infatigable a lo largo de este proyecto.
R.B.F., D.R.J.A., J.G.R.V.
IZTAPALAPA 2002
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Contenido
Capítulo 1. Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes 7
1.1 Sisteméis de ecuaciones 7
1.2 Matrices . , U
1.3 Operaciones básicas de matrices 12
1.4 Determinantes de orden tres 20
1.5 Inversa de una matriz 31
1.6 La regla de Cramer , . . 33
1.7 Sistemas lineales homogéneos 39
1.8 El método de Gauss-Jordan . . . 15
Capítulo 2. Vectores en R2 y R3 65
2.1 Sistemáis de coordenadas en R2 y R3 65
2.2 El producto escalar y la norma en R3 72
2.3 El producto vectorial , . 82
2.4 El triple producto escalar y bases de R3 86
2.5 Vectores y valores propios de una matriz ..-.-.. 96
2.6 Rectas y Planos en R3 110
Capítulo 3. Curvas en R2 y en R3 127
3.1 Curvas suaves 127
3.2 La segunda derivada. Aceleración 146
Capítulo 4. Campos escalares en R3 149
4.1 Regiones en R2 y R3 . , 149
4.2 Campos escalares en R3 . . . 155
4.3 Superficies y curvas de nivel 158
4.4 Derivadas parciales y el gradiente : . . 165
4.5 La regla de la cadena 170
4.6 Derivada direccional . 176
4.7 El Teorema de Taylor 179
4.8 Diferencial total de un campo escalar 195
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CONTENIDO
Capítulo 5. Campos vectoriales en R3 205
5.1 Funciones del tipo R" -> R7" 205
5.2 La matriz jaeobiana . . : . . . . . . .. 219
5.3 La regla de la cadena 223
5.1 Cambios de coordenadas 228
5.5 Campos vectoriales en R2 y R3 248
5.6 Divergencia, gradiente y rotor 259
Capítulo 6. Elementos Básicos de Superficies en R3 277
G.l Superñcies de revolución 278
6.2 Superficies cilindricas 282
6.3 Superficies cónicas 283
6.1 Elipsoides, Hiperboloides y Paraboloides 287
Capítulo 7. Orientación de curvas y poligonales 301
7.1 Orientación 301
7.2 Longitud de arco y ángulo entre curvas 305
7.3 Ejercicios 310
Capítulo 8. Límites y puntos singulares 311
8.1 Puntos de acumulación y límites 311
8.2 Puntos singulares 314
8.3 Continuidad 317
Capítulo 9. Valores extremos de funciones R2 —» R 321
9.1 Plano tangente 321
9.2 Puntos regulares y críticos 324
9.3 Formas cuadráticas básicas . 327
9.4 Puntos críticos no degenerados 333
9.5 Multiplicadores de Lagrange 347
Capítulo 10. Funciones implícitas 361
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Capítulo 1
Sistemas de ecuaciones,
matrices y determinantes
1.1 Sistemas de ecuaciones
Iniciamos con el problema de resolver un sistema de ecuaciones lineales de
2x2 con coeficientes reales de la forma
a x + a y =
u 12
donde on, ai , 021, 022? &i y ^2 son constantes reales y x,y son incógnitas.
2
< Despejamos a la variable x de la primera ecuación y la sustituimos
en la segunda.
De la relación
a x + ai y = b
u 2 x
se obtiene que
a x = 61 - ai y
u 2
lo que implica que, si an / 0, entonces
—
Al sustituir en la segunda ecuación del sistema se tiene
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8 Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes
que nos permite resolver para la variable y de la siguiente forma.
De la ecuación
d2\{b\ - a\ y)
b = 2
2
a
u
se obtiene
a b - a \bi - a iüi y + a a y
n 2 2 2 2 n 22
de donde,
a b - a ibi = y(a a -
u 2 2 u 22
De esta manera, si
a\\a — a \a\ ^ 0
22 2 2
entonces podemos despejar a y, quedando
= y
d\\a — a \a\
22 2 2
Es decir,
y =
Al sustituir esta igualdad en la ecuación (*) se obtiene la indeterminada x
de la siguiente cadena de igualdades
b\ -
Q11Q22-Q21012
_
X —
61(011022-021012) -Q
Q11Q22-Q21Q12
De donde,
b\a — a\ b
22 2 2
x = >
Concluimos la discusión con el siguiente lema.
LEMA 1.1 Para el sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas
\ a x -f a y = b
2x 22 y
con an, a\ , a \, a , b\, b números reales, se tiene la solución dada por
2 2 22 2
la pareja
b\a -
22
x =
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