Berkeley lectures on Lie groups and quantum groups

279 Pages·2011·1.621 MB·English

by  Borcherds R., et al

Berkeley Lectures on
Lie Groups and Quantum Groups
Richard Borcherds, Mark Haiman, Nicolai Reshetikhin, and Vera Serganova
edited by Anton Geraschenko and Theo Johnson-Freyd
**DRAFT** Last updated September 22, 2011
http://math.berkeley.edu/~theojf/LieQuantumGroups.pdf
Please send comments and revisions to [email protected].
Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/
ii
Contents
Contents vii
List of Theorems x
Introduction xi
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
I Lie Groups xv
1 Motivation: Closed Linear Groups 1
1.1 Definition of a Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Group objects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Analytic and algebraic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Definition of a closed linear group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Lie algebra of a closed linear group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Some analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Classical Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Classical compact Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Classical complex Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 The classical groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Homomorphisms of closed linear groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Mini-course in Differential Geometry 9
2.1 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Classical definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Sheafs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Manifold constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Integral curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
iii
iv CONTENTS
2.2.3 Group actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.4 Lie algebra of a Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 General Theory of Lie groups 19
3.1 From Lie algebra to Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 The exponential map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 The Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Universal enveloping algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 The definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Poincar´e-Birkhoff-Witt theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.3 Ug is a bialgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.4 Geometry of the universal enveloping algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 The Baker-Campbell-Hausdorff Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Lie subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Relationship between Lie subgroups and Lie subalgebras . . . . . . . . . . . . 28
3.4.2 Review of algebraic topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 A dictionary between algebras and groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.1 Basic examples: one- and two-dimensional Lie algebras. . . . . . . . . . . . . 32
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 General Theory of Lie algebras 37
4.1 Ug is a Hopf algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Structure theory of Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 Many definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 Nilpotency: Engel’s theorem and corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.3 Solvability: Lie’s theorem and corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.4 The Killing form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.5 Jordan form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.6 Cartan’s criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Examples: three-dimensional Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Some homological algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.1 The Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.2 Review of Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.3 Complete reducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.4 Computing Exti(K,M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 From Zassenhaus to Ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Classification of Semisimple Lie Algebras 61
5.1 Classical Lie algebras over C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 Reductive Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 Guiding examples: sl(n) and sp(n) over C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Representation theory of sl(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
CONTENTS v
5.3 Cartan subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.1 Definition and existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.2 More on the Jordan decomposition and Schur’s lemma . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.3 Precise description of Cartan subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4 Root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4.1 Motivation and a quick computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4.2 The definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4.3 Classification of rank-two root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.4 Positive roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Cartan matrices and Dynkin diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.2 Classification of finite-type Cartan matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.6 From Cartan matrix to Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Representation Theory of Semisimple Lie Groups 95
6.1 Irreducible Lie-algebra representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1.1 Weyl Character Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1.2 Some applications of the Weyl Character Formula . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Algebraic Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1 Guiding example: SL(n) and PSL(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.2 Definition and general properties of algebraic groups . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.3 Constructing G from g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7 Further Topics in Real Lie Groups 117
7.1 (Over/Re)view of Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1.1 Lie groups in general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1.2 Lie groups and Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.1.3 Lie groups and finite groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1.4 Lie groups and real algebraic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.1.5 Important Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2 Compact Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2.2 Unitary representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3 Orthogonal groups and related topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.1 Clifford algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.2 Clifford groups, Spin groups, and Pin groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.3.3 Examples of Spin and Pin groups and their representations . . . . . . . . . . 139
7.4 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8
7.5 From Dynkin diagram to Lie group, revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.5.1 Construction of the Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.5.2 Construction of the Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.5.3 Real forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
vi CONTENTS
7.5.4 Working with simple Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.5.5 Every possible simple Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.6 SL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.6.1 Finite dimensional representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.6.2 Background about infinite dimensional representations . . . . . . . . . . . . . 168
7.6.3 The unitary representations of SL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8 Further Topics in Algebraic Groups 175
8.1 Center of universal enveloping algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.1 Harish-Chandra’s homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.2 Exponents of a semisimple Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.1.3 The nilpotent cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.1.4 Peter-Weyl theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.5 General facts about algebraic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.2 Homogeneous spaces and the Bruhat decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.2.1 Homogeneous spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.2.2 Solvable groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.2.3 Parabolic Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.4 Flag manifolds for classical groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.2.5 Bruhat decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3 Frobenius Reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.1 Geometric induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.2 Induction for the universal enveloping algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3.3 The derived functor of induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.4 Borel-Weil-Bott theorem and corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.4.1 The main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4.2 Differential operators and more on the nilpotent cone . . . . . . . . . . . . . 206
8.4.3 Twisted differential operators and Beilinson-Bernstein . . . . . . . . . . . . . 210
8.4.4 Kostant theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
II Quantum Groups 219
9 Poisson Lie groups: Basic properties 221
9.1 Introduction to Part II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.1.1 Lie bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.2 Basic definitions in Poisson geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.2.1 Poisson algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.2.2 Symplectic leaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.2.3 Definition of Poisson Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.3 Braids and the classical Yang-Baxter equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.3.1 Braid groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
CONTENTS vii
9.3.2 Quasitriangular with Lie bialgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.3.3 Factorizable Lie bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.4 SL(2,C) and Hopf Poisson algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.4.1 The Poisson bracket on SL(2,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.4.2 Hopf Poisson algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.4.3 SL(2,C)∗, a dual Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.4.4 Real forms of Lie bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.5 The double construction of Drinfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.5.1 Classical Doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.5.2 Kac-Moody algebras and their standard Lie bialgebra structure . . . . . . . . 243
9.6 The Belavin-Drinfeld Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Bibliography 255
Index 258
viii CONTENTS
List of Theorems
2.1.3.8 Inverse Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1.5 Exponential Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2.1 Fundamental Theorem of Lie Groups and Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2.3 Baker-Campbell-Hausdorff Formula (second part only) . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2.1 Poincar´e-Birkhoff-Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4.3 Grothendieck Differential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.0.3 Baker-Campbell-Hausdorff Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.1.2 Identification of Lie subalgebras and Lie subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.2.2 Engel’s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.3.2 Lie’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.5.1 Jordan decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.6.2 Cartan’s First Criterion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.6.4 Cartan’s Second Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.3.7 Schur’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.3.9 Ext1 vanishes over a semisimple Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.3.11 Weyl’s Complete Reducibility Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.3.12 Whitehead’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.4.12 Levi’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.4.14 Malcev-Harish-Chandra Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.4.15 Lie’s Third Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5.0.8 Zassenhaus’s Extension Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5.0.10 Ado’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.1.12 Existence of a Cartan Subalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.2.3 Schur’s Lemma over an algebraically closed field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.2.17 Classification of indecomposable Dynkin diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.6.0.16 Serre Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6.0.34 Classification of finite-dimensional simple Lie algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.1.2 Weyl Character Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.1.30 Weyl Dimension Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.3.18 Semisimple Lie algebras are algebraically integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2.3.19 Classification of Semisimple Lie Groups over C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.1.8 Cartan’s classification of compact Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2.2.4 Schur’s lemma for unitary representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
ix
x LIST OF THEOREMS
7.2.2.11 Ado’s theorem for compact groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2.2.13 Peter-Weyl theorem for compact groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5.5.1 Kac’s classification of compact simple Lie algebra automorphisms . . . . . . . . . . 161
7.6.1.3 Finite-dimensional representation theory of sl(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.1.1.1 Schur’s lemma for countable-dimensional algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.1.14 The Harish-Chandra isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.1.3.7 Ug is free over its center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.1.4.4 Peter-Weyl theorem for finite groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.4.5 Peter-Weyl theorem for algebraic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.5.5 Group Jordan-Chevalley decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.2.2.5 Lie-Kolchin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.2.3.6 Classification of parabolic subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.5.1 Bruhat decomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.4.1.4 Borel-Weil-Bott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4.3.11 Beilinson-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.4.4.1 Kostant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2.3.2 The Lie algebra of a Poisson Lie group is a Lie bialgebra . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.2.3.9 Lie III for bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.3.1.2 Braid group presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.6.0.7 Belavin-Drinfeld classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247