Table Of ContentBerkeley Lectures on
Lie Groups and Quantum Groups
Richard Borcherds, Mark Haiman, Nicolai Reshetikhin, and Vera Serganova
edited by Anton Geraschenko and Theo Johnson-Freyd
**DRAFT** Last updated September 22, 2011
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Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 Unported License
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/
ii
Contents
Contents vii
List of Theorems x
Introduction xi
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
I Lie Groups xv
1 Motivation: Closed Linear Groups 1
1.1 Definition of a Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Group objects. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Analytic and algebraic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Definition of a closed linear group. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Lie algebra of a closed linear group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Some analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Classical Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Classical compact Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Classical complex Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.3 The classical groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Homomorphisms of closed linear groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Mini-course in Differential Geometry 9
2.1 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Classical definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.2 Sheafs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.3 Manifold constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Vector Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Integral curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
iii
iv CONTENTS
2.2.3 Group actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.4 Lie algebra of a Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 General Theory of Lie groups 19
3.1 From Lie algebra to Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 The exponential map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 The Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Universal enveloping algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.1 The definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2.2 Poincar´e-Birkhoff-Witt theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.3 Ug is a bialgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.4 Geometry of the universal enveloping algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 The Baker-Campbell-Hausdorff Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Lie subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Relationship between Lie subgroups and Lie subalgebras . . . . . . . . . . . . 28
3.4.2 Review of algebraic topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.5 A dictionary between algebras and groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.5.1 Basic examples: one- and two-dimensional Lie algebras. . . . . . . . . . . . . 32
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 General Theory of Lie algebras 37
4.1 Ug is a Hopf algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Structure theory of Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 Many definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.2 Nilpotency: Engel’s theorem and corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.3 Solvability: Lie’s theorem and corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.4 The Killing form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2.5 Jordan form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.6 Cartan’s criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Examples: three-dimensional Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4 Some homological algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.1 The Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.2 Review of Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4.3 Complete reducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.4 Computing Exti(K,M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 From Zassenhaus to Ado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Classification of Semisimple Lie Algebras 61
5.1 Classical Lie algebras over C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 Reductive Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 Guiding examples: sl(n) and sp(n) over C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Representation theory of sl(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
CONTENTS v
5.3 Cartan subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.1 Definition and existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.2 More on the Jordan decomposition and Schur’s lemma . . . . . . . . . . . . . 73
5.3.3 Precise description of Cartan subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.4 Root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4.1 Motivation and a quick computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.4.2 The definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.4.3 Classification of rank-two root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4.4 Positive roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.5 Cartan matrices and Dynkin diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.5.2 Classification of finite-type Cartan matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.6 From Cartan matrix to Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6 Representation Theory of Semisimple Lie Groups 95
6.1 Irreducible Lie-algebra representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1.1 Weyl Character Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1.2 Some applications of the Weyl Character Formula . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.2 Algebraic Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1 Guiding example: SL(n) and PSL(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.2 Definition and general properties of algebraic groups . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2.3 Constructing G from g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
7 Further Topics in Real Lie Groups 117
7.1 (Over/Re)view of Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1.1 Lie groups in general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1.2 Lie groups and Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
7.1.3 Lie groups and finite groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
7.1.4 Lie groups and real algebraic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.1.5 Important Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2 Compact Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.2.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7.2.2 Unitary representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3 Orthogonal groups and related topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.1 Clifford algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.3.2 Clifford groups, Spin groups, and Pin groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.3.3 Examples of Spin and Pin groups and their representations . . . . . . . . . . 139
7.4 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8
7.5 From Dynkin diagram to Lie group, revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.5.1 Construction of the Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.5.2 Construction of the Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.5.3 Real forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
vi CONTENTS
7.5.4 Working with simple Lie groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.5.5 Every possible simple Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.6 SL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.6.1 Finite dimensional representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.6.2 Background about infinite dimensional representations . . . . . . . . . . . . . 168
7.6.3 The unitary representations of SL(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8 Further Topics in Algebraic Groups 175
8.1 Center of universal enveloping algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.1 Harish-Chandra’s homomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.2 Exponents of a semisimple Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.1.3 The nilpotent cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
8.1.4 Peter-Weyl theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.5 General facts about algebraic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
8.2 Homogeneous spaces and the Bruhat decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.2.1 Homogeneous spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.2.2 Solvable groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.2.3 Parabolic Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.4 Flag manifolds for classical groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.2.5 Bruhat decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3 Frobenius Reciprocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.1 Geometric induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3.2 Induction for the universal enveloping algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.3.3 The derived functor of induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.4 Borel-Weil-Bott theorem and corollaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.4.1 The main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4.2 Differential operators and more on the nilpotent cone . . . . . . . . . . . . . 206
8.4.3 Twisted differential operators and Beilinson-Bernstein . . . . . . . . . . . . . 210
8.4.4 Kostant theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
II Quantum Groups 219
9 Poisson Lie groups: Basic properties 221
9.1 Introduction to Part II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.1.1 Lie bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.2 Basic definitions in Poisson geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.2.1 Poisson algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.2.2 Symplectic leaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.2.3 Definition of Poisson Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.3 Braids and the classical Yang-Baxter equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.3.1 Braid groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
CONTENTS vii
9.3.2 Quasitriangular with Lie bialgebras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.3.3 Factorizable Lie bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
9.4 SL(2,C) and Hopf Poisson algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.4.1 The Poisson bracket on SL(2,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.4.2 Hopf Poisson algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.4.3 SL(2,C)∗, a dual Lie group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.4.4 Real forms of Lie bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.5 The double construction of Drinfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.5.1 Classical Doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.5.2 Kac-Moody algebras and their standard Lie bialgebra structure . . . . . . . . 243
9.6 The Belavin-Drinfeld Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Bibliography 255
Index 258
viii CONTENTS
List of Theorems
2.1.3.8 Inverse Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.1.1.5 Exponential Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2.1 Fundamental Theorem of Lie Groups and Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2.3 Baker-Campbell-Hausdorff Formula (second part only) . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2.2.1 Poincar´e-Birkhoff-Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2.4.3 Grothendieck Differential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3.0.3 Baker-Campbell-Hausdorff Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4.1.2 Identification of Lie subalgebras and Lie subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2.2.2 Engel’s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2.3.2 Lie’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.5.1 Jordan decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2.6.2 Cartan’s First Criterion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2.6.4 Cartan’s Second Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4.3.7 Schur’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4.3.9 Ext1 vanishes over a semisimple Lie algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.3.11 Weyl’s Complete Reducibility Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.3.12 Whitehead’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4.4.12 Levi’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4.4.14 Malcev-Harish-Chandra Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.4.15 Lie’s Third Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.5.0.8 Zassenhaus’s Extension Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5.0.10 Ado’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3.1.12 Existence of a Cartan Subalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.3.2.3 Schur’s Lemma over an algebraically closed field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5.2.17 Classification of indecomposable Dynkin diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.6.0.16 Serre Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.6.0.34 Classification of finite-dimensional simple Lie algebras. . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.1.1.2 Weyl Character Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.1.1.30 Weyl Dimension Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
6.2.3.18 Semisimple Lie algebras are algebraically integrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.2.3.19 Classification of Semisimple Lie Groups over C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.2.1.8 Cartan’s classification of compact Lie algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.2.2.4 Schur’s lemma for unitary representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
ix
x LIST OF THEOREMS
7.2.2.11 Ado’s theorem for compact groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7.2.2.13 Peter-Weyl theorem for compact groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
7.5.5.1 Kac’s classification of compact simple Lie algebra automorphisms . . . . . . . . . . 161
7.6.1.3 Finite-dimensional representation theory of sl(2,R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.1.1.1 Schur’s lemma for countable-dimensional algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1.1.14 The Harish-Chandra isomorphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.1.3.7 Ug is free over its center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.1.4.4 Peter-Weyl theorem for finite groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.4.5 Peter-Weyl theorem for algebraic groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.1.5.5 Group Jordan-Chevalley decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.2.2.5 Lie-Kolchin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.2.3.6 Classification of parabolic subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.5.1 Bruhat decomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.4.1.4 Borel-Weil-Bott . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4.3.11 Beilinson-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.4.4.1 Kostant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2.3.2 The Lie algebra of a Poisson Lie group is a Lie bialgebra . . . . . . . . . . . . . . . 228
9.2.3.9 Lie III for bialgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.3.1.2 Braid group presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.6.0.7 Belavin-Drinfeld classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
