Berechnung von Platten und Rippenplatten nach der Methode der endlichen Elemente PDF
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Additional material to this book can be downloaded from http://extras.springer.com. ISBN 978-3-7643-0628-1 ISBN 978-3-0348-5951-6 (eBook) DOI 10.1007/978-3-0348-5951-6 © Springer Basel AG 1972 Urspriinglich erschienen bei Birkhauser Verlag Basel, 1972. Berechnung von PlaHen und Rippenplatten nach der Methode der endlichen Elemente von Dr. sc. techno Giorgio F. Alberti Institut fUr Baustatik Eidgenossische Technische Hochschule ZUrich Oktober 1971 -5- INHALTSVERZEICHNIS Seite 1. Ein1eitung 8 2. Kinematische Methode der end1ichen E1emente fur zweidimensiona1e Tragwerke 11 2.1 Loka1e Steifigkeitsmatrix und Lastvektor eines E1ementes 13 2.2 Verwendete E1emente 20 2.3 G1oba1e Steifigkeitsmatrix und globa1e Be1astungsmatrix 40 2.4 Lasung des G1eichungssystems und Berechnung der Schnittkrafte 44 2.5 Verschiedene kompatib1e P1attene1emente 45 3. Genere11e Uebersicht des Programmes 52 4. Begrundung der Eingabe 56 4.1 E1ementorientierte Eingabe 56 4.2 Bandfarmige globa1e Steifigkeitsmatrix 57 4.3 Eingabeprogramm 58 5. G1oba1e Steifigkeitsmatrix 63 6. Lastfa11e 66 7. Randbedingungen 69 8. Lasung des G1eichungssystems 72 8.1 Gauss'sches E1iminationsverfahren 72 8.2 Cho1esky-Verfahren 74 9. Numerische Beispie1e 77 9.1 Platte 77 9.2 Rippenp1atte 79 9.3 Schiefe P1attenbrucke 81 -6- Seite Zusammenfassung 88 Summary 90 Resume 92 Anhang I Eingabebeschreibung des Programmes 134 Anhang II Knotennumerierung und Vorzeichenkonvention ISS Nomenklatur 156 Literatur 159 VORWORT Die Methode der finiten Elemente hat sich heute bei der numerischen Berechnung von Problemen der Elastizitats- und der Plastizitatstheorie mit digitalen Rechenautomaten all gemein durchgesetzt. Ihre Anwendbarkeit auf praktische Ingenieurprobleme hangt in erster Linie von den zur Verfli gung stehenden Computerprogrammen abo Das in der vorliegenden Arbeit entwickelte Programm "FEAPS" erlaubt die Berechnung von allgemein begrenzten und allgemein gestlitzten elastischen Platten mit und ohne Rippen. Das Institut flir Baustatik hofft, damit einen nlitzlichen Beitrag zur Berechnung solcher Konstruktionen geleistet zu haben. Die Arbeit wurde von Herrn G. Alberti als Doktordissertation (Referent: Prof. Dr. B. Thlirlimann, Korreferent: Dr. E. Anderheggen) verfasst. Die theoretischen Grundlagen des Verfahrens basieren zum Teil auf Arbeiten und Veroffent lichungen von Herrn Dr. E. Anderheggen, der auch diese Arbeit wissenschaftlich leitete. Eidgenossische Technische Prof. Dr. Bruno Thlirlimann Hochschule - Zlirich Oktober 1971 -8- 1. EINLEITUNG Die Berechnung von Verformungen und Schnittkraften von dlinnen Platten mit analytischen Methoden ist nur in Spezialfallen moglich. Flir allgemeine Plattensysteme werden Naherungsmetho den verwendet, die meistens auf einer Diskretisation aufgebaut sind. Die Methode der endlichen Elemente wurde flir die Berech nung von beliebigen zweidimensionalen, dlinnen, linear-elasti schen Platten und Rippenplatten verwendet. Diese wurde Ende der flinfziger Jahre mit den Pionierarbeiten von Argyris [1,30J, Clough [2,28J, Melosh [29J und Zienkiewicz [3] entwickelt. Sie stlitzt sich auf die Unterteilung des Kontinuums in Teile einfacher Geometrie. Dies erlaubt die stlickweise Bildung von anpassungsfahigen Ansatzfunktionen flir die unbekannten Ver formungen im Innern des Tragwerkes. Die Ansatze dienen zur Approximation der inneren Formanderungsenergie der einzelnen Elemente als quadratische Funktion der angenommenen Verfor mungsparameter. Das elastische Potential (Formanderungsenergie) der einzelnen Elemente wird zur Bestimmung von verallgemeiner ten Spannungsdehnungsbeziehungen (Steifigkeitsmatrizen) im lokalen elementbezogenen Koordinatensystem verwendet. Das Potential der ausseren Krafte kann auch durch Ansatzfunktionen als lineare Funktion der diskreten Verformungsparameter be rechnet werden. Die totale potentielle Energie des Tragwerkes wird als Addition der, im globalen Koordinatensystem definier ten, Formanderungsenergien der Elemente und der, im selben Koordinatensystem abgeleiteten, potentiellen Energie der ausseren Lasten bestimmt. Die potentielle Energie eines im Gleichgewicht stehenden elastischen Tragwerkes wird flir den wirklichen Verformungs zustand minimal. Die Anwendung des Minimumprinzips flihrt zu -9- einem linearen Gleichungssystem flir die unbekannten Verfor mungsparameter. Das entstandene Gleichungssystem kann mit bekannten Algorithmen (z.B. Gauss'sches Eliminationsverfahren oder Cholesky-Verfahren) gelost werden. Die Spannungen werden dann aus den Dehnungen bzw. aus den Verschiebungen bestimmt. Ziel dieser Arbeit ist die Entwicklung eines Programmes flir die Berechnung von beliebig begrenzten und gelagerten Platten und Rippenplatten nach der Methode der endlichen Elemente. Das Programm hat eine leicht verstandliche Eingabe und strebt minimale Rechenzeiten an. 1m Gegensatz zu den bis jetzt be kannten Programmsystemen wurde eine elementorientierte Eingabe gewahlt. Die Elementanordnung basiert auf sich wiederholenden Elementtypen fester Geometrie, die kolonnenweise angegeben werden. Die Randbedingungen und die Belastungsgrossen werden ebenfalls elementorientiert spezifiziert. Die Knotennumerierung bei den Elementen und Verformungsparametern ist so gewahlt, dass schmale, bandformige globale Steifigkeitsmatrizen ent stehen. Diese Anordnung minimalisiert die Rechenzeit zur Auflosung des Gleichungssystems. Flir die vorliegende Arbeit werden die folgenden Elemente verwendet: a) Dreieckige und viereckige Plattenelemente mit 18 bzw. 24 Verschiebungsparametern, basierend auf einem Polynom s. Grades als Verschiebungsansatz. b) Dreieckige und viereckige Scheibenelemente mit 18 bzw. 24 Verschiebungsparametern, gestlitzt auf einem Polynom 3. Grades als Verschiebungsansatze. c) Exzentrische Balken CRippen) mit polynomischen Verschiebungsansatzen S. Grades flir die Verschiebung senkrecht zur Plattenebene und 3. Grades flir die Verschiebung in Langsrichtung. -10- 1m nachsten Kapitel wird eine Uebersicht tiber die mathe matischen Grundlagen der Methode der endlichen Elemente gegeben, und es werden gleichzeitig die verwendeten Elemente beschrieben. 1m folgenden dritten Kapitel wird das Programm FEAPS in seinem Aufbau und in seiner moglichen Verwendung betrachtet. Nach der Begrtindung der getroffenen Wahl einer elementorientierten Eingabe und einer speziellen Element unterteilung der zu berechnenden Tragwerke (Kap. 4), wird die Aufstellung des linearen Gleichungssystems (Kap. 5, 6 und 7) beschrieben. 1m achten Kapitel wird die Losung des Gleichungssystems besprochen. Das neunte Kapitel stellt die untersuchten Platten und Rippenplatten zusammen. -11- 2. KINEMATISCHE METHODE DER ENDLICHEN ELEMENTE FUER ZWEIDIMENSIONALE FLAECHENTRAGWERKE Die Theorie der dUnnen Platten mit kleiner Durchbiegung aus linear-elastischem Material (Theorie 1. Ordnung) stellt die Grundlage fUr die folgenden AusfUhrungen dar. Die Methode der endlichen Elemente stUtzt sich auf die Unter teilung des Kontinuums in Elemente einfacher Geometrie (z.B. Dreiecke oder Vierecke). FUr jedes Element wird eine Anzahl Verformungsparameter fUr eine bestimmte Knotenanordnung ge wahl t. Die Verformungsparameter st.e11en die, den Verschie bungsansatzen C:Pi ()I,y) entsprechenden Amplituden im Innern des Elementes dar. Der Verschiebungsansatz beschreibt den Verformungszustand des Elementes in Funktion der Knoten verformungsparameter. Er stellt als solcher eine Diskreti sation des Verschiebungszustandes dar. Die fUr die Ver schiebungsansatze verwendeten Funktionen sind meistens Polynome in den kartesischen Koordinaten x und yoder in "natUrlichen" dimensionslosen Dreieck- oder Viereckkoordi naten. Die letzteren basieren auf Abstanden von den Seiten. Felippa [20J, Zienkiewicz [3J und Argyris [lSJ haben "natUr- 1 iche" dimens ions lose Koordina ten sys tema tisch angewendet. Durch Integration innerhalb jedes Elementes werden das elasti sche Potential U, das Potential der aussern Krafte V, als quadratische beziehungsweise lineare Funktion der Verformungs parameter, und damit die lokale Steifigkeitsmatrix und der lokale Lastvektor bestimmt. Die Steifigkeitsmatrix und der Lastvektor des aus Elementen zusammengesetzten Tragwerkes werden durch die Summe Uber aIle Elemente der entsprechenden Formanderungsenergien und der Potentiale der aussern Krafte
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