Association Schemes [Lecture notes]

242 Pages·2010·1.048 MB·English

by  Chris Godsil

1
Association Schemes
ChrisGodsil
Combinatorics&Optimization
UniversityofWaterloo
©2010
1June 3, 2010
ii
Preface
Thesenotesprovideanintroductiontoassociationschemes,alongwithsome
related algebra. Their form and content has benefited from discussions with
BillMartinandAdaChan.
iii
iv
Contents
Preface iii
1 SchemesandAlgebras 1
1.1 DefinitionsandExamples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 StronglyRegularGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 TheBose-MesnerAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Idempotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 IdempotentsforAssociationSchemes . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Parameters 13
2.1 Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 StronglyRegularGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 IntersectionNumbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 KreinParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 TheFrameQuotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 AnInnerProduct 23
3.1 AnInnerProduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 OrthogonalProjection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 LinearProgramming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 CliquesandCocliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.5 FeasibleAutomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 ProductsandTensors 33
4.1 KroneckerProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 TensorProducts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.3 TensorPowers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 GeneralizedHammingSchemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.5 ATensorIdentity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
v
vi CONTENTS
4.6 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5 SubschemesandPartitions 43
5.1 EquitablePartitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2 SubschemesandPartitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Primitivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 SimpleSubsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 CompletelyRegularSubsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6 TranslationSchemes 53
6.1 Characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 TranslationGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.3 TranslationSchemesandtheirDuals . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4 LinearGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.5 Geometry,CodesandGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.6 Language . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7 Duality 63
7.1 TheDiscreteFourierTransform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2 TheHadamardTransform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.3 TwoMatrixDuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.4 MacWilliamsTheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.5 ProjectivePlanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7.6 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7.7 DualityandTypeIIMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.8 DifferenceSets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8 Type-IIMatrices 79
8.1 Type-IIMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.2 TwoAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.3 Eigenspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9 GaloisTheory 85
9.1 Bose-MesnerAutomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2 Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.4 Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
CONTENTS vii
10 ABestiary 99
10.1 CyclicSchemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.2 PaleyGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
10.3 QuasisymmetricDesigns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10.4 PartialSpreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
10.5 CoversofCompleteBipartiteGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
10.6 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11 AlgebraandModules 111
11.1 Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
11.2 DivisionAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
11.3 MapsandModules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
11.4 Opposites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
11.5 Schur’sLemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
12 SemisimpleModules 119
12.1 SummandsandIdempotents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
12.2 PrimaryDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
12.3 GroupAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
12.4 SemisimpleModules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
12.5 SemisimpleModules: Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
12.6 IndecomposableModules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
13 SemisimpleAlgebras 131
13.1 SemisimpleAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
13.2 SimpleArtinianAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
13.3 CompositionSeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.4 SemisimpleArtinianAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
13.5 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.6 Centralizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
13.7 Trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
13.8 Maschke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
14 DivisionAlgebras 145
14.1 CentralSimpleAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
14.2 Factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
14.3 FiniteDivisionAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
14.4 RealAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
viii CONTENTS
15 Work 153
15.1 ClassicalParameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
16 AdjacencyAlgebras 155
16.1 ExtendingtheAdjacencyAlgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
16.2 SomeApplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
16.3 CospectralAwfulGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
16.4 ModulesandWalks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
16.5 AnInnerProductonPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
16.6 SpectralDecomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
16.7 OrthogonalPolynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
16.8 Distance-RegularGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
16.9 LocallyDistance-RegularGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
16.10CoherentAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
17 LineDigraphs 171
17.1 LineDigraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
17.2 QuantumWalks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
17.3 EigenvaluesofQuantumWalks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
18 LieAlgebras 177
18.1 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
18.2 EnvelopingAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
18.3 Posets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
18.4 RepresentationsofLieAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
18.5 BilinearForms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
18.6 AnExample . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
18.7 IrreducibleModules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
18.8 SemisimpleElements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
18.9 SemisimpleModules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
19 TerwilligerAlgebras 193
19.1 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
19.2 Thinness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
19.3 JaegerAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
20 StronglyRegularGraphs 199
20.1 StronglyRegularGraphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
20.2 LocalEigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
CONTENTS ix
20.3 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
21 HammingSchemes 207
21.1 TheBinaryHammingScheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
21.2 Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
22 Spin 211
22.1 Braids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
22.2 NomuraAlgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
22.3 Braids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
22.4 JonesPairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
22.5 GaugeEquivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
22.6 NomuraAlgebrasofType-IImatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
22.7 SpinModels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
23 AbelianSpin 221
23.1 Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
23.2 CoordinateMatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
23.3 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
23.4 ModularInvariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
23.5 TheCyclicGroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
x CONTENTS