aspectos computacionais de um algoritmo primal de direções viaveis para sistemas ...

200 Pages·2012·5.15 MB·Portuguese

i
ASPECTOS COMPUTACIONAIS DE UM ALGORITMO PRIMAL
DE DIREÇÕES VIAVEIS PARA SISTEMAS DECOMPONIVEIS.
Odival Juliano de Campos.
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRA
MAS DE PôS-GRADUAÇAO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL
DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PA
RA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CI:F:NCIA (M.Sc.).
Ap rovada por
RIO DE JANEIRO
ESTADO DA GUANABARA - BRASIL
SETEMBRO DE 1972.
ii
Ao Cl6vis quero exprimir
meus reais agradecimentos, lembrando
que sua orientação bastante valiosa,e
levou-se bem além do presente trabalho.
Ao Marinho devo; toda a o
rientação acadêmica, tendo sobremodo
colaborado no desenvolvimento da pes
quisa que apresentamos.
A tia Elza devo a dedica
~
çao no trabalho de monografia e, a Sô
mais que a datilografia a sua amizade.
A meus pais cujo incentivo jamais pod~
rei desprezar.
iii
RESUMO
Visando otimizar-se um sistema decomponível não
-linear, estuda-se um algoritmo primal de direções viáveis.
No decurso desse estudo formalizam-se e demons
tram-se alguns resultados conhecidos e desenvolvem-se inte_r
pretações econ8micas.
Um critério para testar a diferenciabilidade das
funções pertubação envolvidas no algoritmo é desenvolvido,
podendo tal propriedade ser utilizada com vantagens compu
tacionais.
Rapidamente se discute o conceito de ê -ativida
de de vínculos ligado à convergência do algoritmo.
Finalmente, apresenta-se uma subrotina em FOR
TRAN IV que obtém, em cada iteração do algoritmo, uma dire
ção viável.
iv
ABSTRACT
A primal feasible directions algorithm is stu
died to optimize non-linear decomposable systems. In the
course of these studies some lmown results are formalized
and proved, and economical interpretations are developed.
A criterion is derived to detect the differen
tiability of the pertubation functions involved in the al
gorithm, and this property is used with some computational
advantages.
E
The concept of -activity of constraints is
discussed, and related to the convergence of the algorithm.
Finally, a FORTRAN ri subroutine is presented
capable of finding a feasible direction in each iteration
of the algorithm.
V
1NDICE
CAP. I INTRODUÇÃO •••••••••••••••••••••••••••••••••~ l
CAP. II O PROBLEMA GERAL DE ALOCAÇÃO DE RECURSOS,
METODOS, MANIPULAÇÃO E TEOREMA DE EQUIVA-
LmlCIA . • . • • . . . • • • • • . . • . • • • • • . . • • • • • • • • • . . • 11
SECÇÃO l - Problema geral de alocação de recursos,
métodos e interpretações •••••••••••••••• ll
SECÇÃO 2 - Manipulação 21
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
SECÇÃO 3 - Teoremas de equival@ncia •••••••••••••••• 27
CAP. III ESTRATEGIA •••••••••••••••••••••••••••••••• 45
SECÇÃO 1 - Métodos das direções viáveis •••••••••••• 47
SECÇÃO 2 - Teoremas e resultados fundamentais•••••• 50
SECÇÃO 3 - Escolha de uma boa direção viável para
o problema mestre. Otimização Unidire-
cional . . • . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7
SECÇÃO 4 - Algoritmo primal de direções viáveis •••• 80
CAP. IV ALGUNS ASPECTOS COMPUTACIONAIS •••••••••••• 83
SECÇÃO 1 - Diferenciabilidade das funções pert~
bação • . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . 84
SECÇÃO 2 - Procedimento de redefinição ••••·•••••••• 104
SECÇÃO 3 - Convergência•••••····•·•••·•••·••••••••• 107
vi
CAP. V IMPLEMENTAÇÃO • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • lfil
SECÇÃO 1 O algoritmo para implementação••••••••••• 111
SECÇÃO 2 Descrição das subrotinas••••····•····•··· 116
SECÇÃO 3 Exemplo • • • • • • . . . . • • . . . . . . . • . • • . . • . . . . . . • • 150
CAP. VI CONCLUSÕES
•••••••••••••••••••••••••••••••••Ql55
APENDICE A DEFINIÇÕES E UM TEOREMA PARA FUNÇÕES CôN~-
~5l
CAVAS • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
APENDICE B LISTAGEM DOS RESULTADOS COMPUTACIONAIS ••••• i(O
BIBLIOGRAFIA •••••••••.•••.••••••••••••••••••••.•••••••• .,. 183
I 1
C A P I T U L O I
INTRODUÇAO
O desenvolvimento de técnicas eficientes de o
timização para problemas estruturados, é de grande impor
tância por suas aplicações à Engenharia,e à Economia, ra
zão pela qual muitos artigos e liv,ros foram publicados na
-6.ltima década sobre essa matária.
A expressão problemas estruturados, normalme~
te, se associa aos problemas de grande porte, os quais
queremos lembrar, não se caracterizam unicamente pela sua
dimensão, mas pela combinação dimensão-estrutura. Aliás,
explorar a estrutura em problemas de grande porte E! fre
quentemente uma imposição para sua resolução.
Destacamos que a presença do grande número
de variáveis e restrições, pode resultar não somente da
estrutura intrínseca do problema, mas tambám d:e sua Fe
J ,
presentação. Como observa Geoffrion [ 10 p·roblemas com
poucas não-linearidades, por exemplo, podem ser expres
sos por programas lineares através de aproximações de ftl!!
ções e conjuntos, aumentando s·o·b:remodo a dimensro do pro
blema, possibilitando, no entanto, sua resolução por técn!
cas conhecidas.
I 2
Entre os mais comuns tipos de estruturas enco~
tradas em sistemas de grande porte, destacam-se: multidiv,!
sional, combinatorial, dinâmico e estocástico.
Particularmente nos dedicaremos aos problemas
de grande porte de estrutura multid1visional ou decomponí
vel.
Problemas decompon:!v,eis consistem numa coleção
de subsistemas interrelacionados a serem otimizados. Os
1
sub:eistemas podem ser, por exemplo, m6dulos de um sistema
de engenharia, reservatórios de um sistema de abastecimen
to de água, d,epartamentos ou divisões de uma organização,
setores de uma economia etc.
Uma classe bastante importante de problemas
denominados problemas de alocação de recursos, são englo
bados pelos problemas de estrutura decomponível. Nesse ca
so, do ponto de vista da otimização, após definir-se o
sistema produtivo, pret:ende-se determinar a alocação de
recursos que lev.:a ao melhor diesempenho do sistema, o
qual pode ser medido por funções: objetivo. Nesse caso, o
sistema decomponível estaria caracterizado por um· conjun-,
to de subsistemas· que se encontram fracamente coesos pela
necessidade dos recursos escassos·.
Abaixo apresentamos interessante exemplo de
otimização de um sistema decomponível.
Exemplo - Problema do corte de florestas : grande nwnero
de plantações· são classificadas para o corte num período
manos. Cada subsistema: é uma particular plantação ou
flo:resta. As entradas nos subsistemas são repres·entadas P.!
las capacidades de corte nos diferentes ane,s.
I 3
Suponhamos m,plantaçÕe8 em anos. Seja:
e.. :
produção da plantação j se o corte eie
y
tuar-se no ano i;
rj : nmnero de hectares da plantação j;
8i : capacidade de corte medida em hectares,
no ano i;
·x / : fração da plantação j que será cortada
1
no ano i;
O pro~~ema do corte de florestas pode ser for
mulado oomo segue:
I'Il:i. L,rn>
Maximizar c.y· x,.J s.a
J=i
(."d
( ~ ::: 1. •• Ml.)
,m
Cxii, ... ,}(-mj)(xJ· = l(x~, ... :c-mj)f L, xi_i 41
A
G°•1.
.ri
M~todos de coordenação
A distinção de subsistemas que operam quase i,!!
dependentemente, compondo um sistema de grande porte deco~
pon:!v:-el, conduz, em otimização, à possibilidade de se apli
car técnicas especiais para sua resolução. Essas tlcnicas,
são sinteticamente apresentadas no capítulo II, onde se-ª
borda a Teoria das Equipes e e,s Mêtodos .9:,! Coordenação.
Entre os métodos de coordenação há duas o·pções
importantes, a~ e a Primal. Ambas· visam a resolução
I 4
dos prohlemas de otimização de sistemas decomponíveis, qu~
b-ra.ndo-os numa série de sub~roblemas menores associados
No
aos subsistemas. capítulo II, são comentados os dois m~
todos de coordenação mencionados, dando-se maior destaque
ao primal, que será o prop6si to do pres·ente trabalho, que
estuda os aspectos computacionais reiativ:-os a um algo-
rí tmo primal de direções viáveis.
Não nos restringiremos ao caso linear exempli
ficado_ pelo corte de florestas, assumiremos, no entanto,
algumas hip&teses decididamente impontantes, e comuns no
tratamento de sistemas de grande porte. Tais hip6teses
proporcionam-nos série de resultados, expostos no capitu
1
lo III, necessários para o estudo de um algorítmo desen
volvido por Geoffrion, e que se apresenta como escopo do
presente trabalho.
Os problemas aqui estudados pressuporão as
hip6teses de compacidade, convexidade-concavidade e dife
renciabilidade, bastante com,m~ principalmente em proble
mas econõmicos.
Algoritmos primais de direções viáveis
Uma classe de algoritmos bastante eficazes na
resolução de problemas diferenciáveis e convexos de oti
mização, são os algor:!tmos de direções viáveis definidos
no capítulo III. No tipo de problemas que estamos consi
derando, esses algoritmos não poderão, no entanto, ser a
plicados diretamente ao problema original, devido a seu
porte. Para tirarmos proveito da estrutura decomponível do
problema de otimização proposto ( problema que denominare
mos primal ou o:riginal) , com ganho no trabalho compu tacio-