Anonymous Distributed Computing

143 Pages·2015·1.16 MB·English

by  Jochen Seidel

DISS. ETH NO. 22941
Anonymous Distributed Computing:
Computability, Randomization, and Checkability
A thesis submitted to attain the degree of
DOCTOR OF SCIENCES of ETH ZURICH
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
JOCHEN SEIDEL
Dipl.-Inform.,KarlsruheInstituteofTechnology,Germany
born on 18.5.1984
citizen of
Germany
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Roger Wattenhofer, examiner
Prof. Dr. Yuval Emek, co-examiner
Prof. Dr. Jukka Suomela, co-examiner
2015

Abstract
Thisdissertationstudiesvariousaspectsofcomputinginanonymousnet-
works,wherenodesarenotequippedwithuniqueidentifiers. Nodesinthe
network exchange messages and each node computes some local output;
the global output of the network is the combination of all local outputs.
We focus mainly on randomized algorithms, beginning with the question
“What can be computed in an anonymous network?”.
Two classes of problems solvable in anonymous networks are defined,
depending on whether nodes are allowed to revoke their outputs or not.
Weintroduceandstudytheconceptofadistributedoracle,whichinyields
ahierarchyofhardandcompleteproblemsfortheclasses. Severalclassic
and/or characteristic problems in distributed computing are classified in
terms of computability and hardness.
Accesstorandombitsarguablyhasahugeimpactonthecomputabil-
ity in anonymous networks. In an effort to exactly characterize this im-
pact, we prove that every problem that can be solved (and verified) by
arandomized anonymousalgorithmcanalsobesolvedbyadeterministic
anonymous algorithm provided that the latter is equipped with a 2-hop
coloring of the input graph.
It is natural to ask how many random bits are required to solve any
such problem. We find that the answer depends on the desired runtime
of the algorithm. More precisely, we devise a randomized 2-hop coloring
scheme that allows to trade an increase in runtime for a decrease in the
random bit complexity. A lower bound we show yields that the trade-
off achieved by our scheme is asymptotically optimal for any reasonable
runtime,i.e.,reducingtheruntimemustleadtoanincreaseintherandom
bit complexity.
Lastly,westudylocalcheckabilityofnetworkpropertieslikes-treach-
ability, or whether the network is acyclic or contains a cycle. A prover
assigns a label to each node so that a verifier can check in constant time
whetherthepropertyholdsornot. Weobtainasymptoticallytightbounds
forthelabelsizeofthelattertwoproblems. Fors-treachability,weobtain
a new asymptotically tight label size lower bound in one of our models,
anddeviseanemulationtechniquethatallowsustotransferapreviously
knownupperboundwithoutasymptoticlossinthebitcomplexityinan-
other model.
Zusammenfassung
DieseDissertationbetrachtetverschiedeneAspektedesRechnensinanony-
men Netzwerken, in denen die (Rechen-)Knoten nicht mit einem ein-
deutigen Namen ausgestattet sind. Die Knoten im Netzwerk tauschen
Nachrichten untereinander aus und berechnen jeder eine lokale Ausgabe;
dieglobaleAusgabeergibtsichausderGesamtheitderlokalenAusgaben.
Wirbetrachtenhauptsa¨chlichrandomisierteAlgorithmen,undstellenzu-
erstdieFrage WaskannineinemanonymenNetzwerkberechnetwerden?“
”
ZweiKlassenvonProblemen,dieinanonymenNetzwerkenlo¨sbarsind,
werdeninAbha¨ngigkeitdavon,obdieKnotenihreAusgabezuru¨cknehmen
ko¨nnen oder nicht, definiert. Das Konzept eines verteilten Orakels wird
eingefu¨hrtunduntersucht,undesergibtsicheineHierarchiemitschwieri-
gen und vollsta¨ndigen Problemen fu¨r die Klassen. Eingie klassische und/
odercharakteristischeProblemeausdemUmfelddesverteiltenRechnens
werden in Bezug auf Berechenbarkeit und Schwierigkeit klassifiziert.
DerZugriffaufZufallsbitshatbekanntermasseneinengrossenEinfluss
aufdieBerechenbarkeitinanonymenNetzwerken.IndemBemu¨hen,diesen
Einflussgenauzucharakterisieren,zeigenwir,dassjedesProblem,welches
voneinemrandomisierten anonymenAlgorithmusgel¨ost(undverifiziert)
werden kann, auch von einem deterministischen anonymen Algorithmus
gelo¨st werden kann, falls dieser eine Abstand-2-Fa¨rbung des Eingabe-
graphen zur Verfu¨gung hat.
Es dra¨ngt sich die Frage auf, wie viele Zufallsbits zum Lo¨sen solcher
Probleme beno¨tigt werden. Wir finden heraus, dass die Antwort darauf
von der gewu¨nschten Laufzeit des Algorithmus abha¨ngt. Genauer gesagt
entwickelnwireinrandomisiertesSchemafu¨rAbstand-2-Fa¨rbungen,wel-
ches erlaubt, eine ho¨here Laufzeit gegen eine geringere Anzahl beno¨-
tigter Zufallsbits einzutauschen. Wir zeigen eine untere Schranke, die
belegt,dassderTrade-offunseresSchemasasymptotischoptimalist,d.h.
eine Reduktion der Laufzeit fu¨hrt zwangsweise zu einer ho¨heren Anzahl
beno¨tigter Zufallsbits.
SchliesslichuntersuchenwirdielokaleU¨berpru¨fbarkeitvonNetzwerk-
eigenschaften wie s-t-Erreichbarkeit, Kreisfreiheit, oder ob das Netzwerk
einen Kreis entha¨lt. Dabei weist ein Prover (Beweiser) den Knoten Label
zu, sodass ein Verifier (Pru¨fer) in konstanter Zeit pru¨fen kann, ob die
Eigenschafterfu¨lltist,odernicht.Wirerhaltenhierbeiasymptotischschar-
fe Schranken fu¨r die Gro¨sse der Labels fu¨r die letzten beiden Problem-
stellungen. Fu¨r s-t-Erreichbarkeit erhalten wir eine neue, asymptotisch
scharfe untere Schranke in einem der betrachteten Modelle, und fu¨r ein
anderesModellentwickelnwireineEmulationstechnik,dieesunserlaubt,
einezuvorbekannteobereSchrankeohneEinbusseninderasymptotischen
Labelgr¨osse in unser Modell zu u¨bertragen.
Acknowledgements
I would like to thank Prof. Roger Wattenhofer for the opportunity to
writemythesisinhisgroup. InparticularIenjoyedthatIhadtheliberty
toexploredifferenttopicsalongsidemyanonymouscomputingendeavors.
ThepositiveeffectRogerhadonmypresentationskillsdeservesaspecial
mention.
Also, I want to thank my two co-referees Prof. Jukka Suomela and
Prof.YuvalEmekfortheefforttheyputintoreviewingmythesis. Special
thanksgotoYuvalforbabysittingmeduringRoger’sacademicleave,and
for the many fruitful discussions we had. Without him, this thesis would
be even less understandable.
During my time at DISCO I have met many wonderful people, to
whom I want to express my gratitude in no particular order. I thank
PhilippSommerforthewarmwelcometoZurich,JohannesSchneiderfor
taking me to places in Austria, Raphael Eidenbenz for rolling with me,
JasminSmulaforcollectingclues,makingdeserts,andsharinglaughs,Sil-
vio Frischknecht for announcing his leave, Stephan Holzer for advocating
healthydiets,SamuelWeltenfortalkingSwiss-Germantomeandtaking
me stargazing in Gstaad, Tobias Langner for his fine wine taste, and for
teaching me how to do a left turn, Jara Uitto for keeping me company
in unexpected places, and for Finnish memories, David Stolz for explain-
ingthebasicallytwooptions,LauraPeerforpromotinganarchy,Michael
Ko¨nig for playing—with words, and random, Barbara Keller for making
me a sandwich, and for being patient in Lo`eche-les-Bains, Klaus-Tycho
Fo¨rster for explaining the world to me, and for his bread roll deliver-
ies,ChristianDeckerforsharinghistomato-tunasaucerecipeintimesof
need, Sebastian Brandt for keeping his rusk box filled, Philipp Brandes
for having nuts, Pascal Bissig for his baby stories, Yuezhou Lv for never
being afraid to ask, Georg Bachmeier for his compatible sense of humor,
Harald and Doris Schi¨oberg for awesome barbecues, Benny Ga¨chter for
fulfillingmyhardwareneeds,TanjaLantzformakingmymovetoSwitzer-
landabreeze,FriederikeBruetschforteachingmehowtoprint,andBeat
Futterknecht for solving all problems at a moment’s notice.
I would like to thank my friends Daniel, David, Hannes, Henning,
Lucas, Manuel, and Marvin for making me feel at home whenever and
wherever we meet. From Karlsruhe, Erhard, Holger, Paul, Thomas, and
Ulrichhaveaspecialplaceinmyheart. IthankHans-Ju¨rgenforlongand
thoughtful discussions, and Christa for having a sane sleeping schedule,
especially in Italy. I am indebted to Mariana for enduring me, also in
stressful times. My parents Ute and Ralf have always supported me in
my endeavors, and I am grateful for that.
Contents
1 Introduction 1
1.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 The Impact of Output Revocability on Computability 7
2.1 Output Revocability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Related Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Notions of Correctness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Distributed Oracles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5 Problem Zoo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Proof of Theorem 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 The Role of Randomness 55
3.1 Preliminaries and Genuine Solvability . . . . . . . . . . . 56
3.2 Related Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 The Case for Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Dealing with (In)finity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5 Fibrations and 2-Hop Colorings . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 The Cost of Randomness 77
4.1 Broadcast Model and Target Functions. . . . . . . . . . . 79
4.2 Related Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.3 Tailor-Made 2-Hop Coloring . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4 Trade-off Lower Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5 Local Checking 95
5.1 Local Checkability in (Un)directed Graphs. . . . . . . . . 98
5.2 Related Work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Checking Network Properties . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4 Port Numbers vs. s-t Reachability . . . . . . . . . . . . . 113