Analysis and Numerical Simulation of Fluids Related to Hydrostatic Approximations

203 Pages·2013·12.49 MB·English

Universidad Departamento de Ecuaciones
de Sevilla Diferenciales y An´alisis Num´erico
Analysis and Numerical Simulation
of Fluids Related to Hydrostatic
Approximations
An´alisis y Simulaci´on Num´erica de Fluidos Relacionados con
Aproximaciones Hidrost´aticas
Report written by
Jos´e Rafael Rodr´ıguez Galv´an
for the degree of
Ph. Doctor in Mathematics.
Director:
Francisco Guill´en Gonz´alez.
Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Ana´lisis Num´erico.
Facultad de Matema´ticas.
Universidad de Sevilla, 2013.
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Agradecimientos
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En primer lugar, y de forma especial, al profesor Francisco Guill´en Gonz´alez, un
amigo que, derrochando inter´es, esfuerzo y conocimiento, supo esperar con paciencia a
que encontrara el momento de centrarme en esta tesis para disfrutar de las Matem´aticas
y la investigaci´on.
A Vicky, mucho m´as que la compan˜era que siempre estuvo a mi lado, dando sentido
a mi vida, sin la que esta tesis nunca habr´ıa tenido lugar. A Mercedes y a Victoria,
mi luz y mi alegr´ıa, con quien tantas veces compart´ı mesa de trabajo —Papi, ¿te queda
mucho para terminar la tesis? Ahora tendr´e un poco m´as de tiempo para vosotras.
A mis padres, Elisa y Rafael, que tanto se esforzaron por ofrecerme lo mejor, que me
ensen˜aron la importancia del trabajo, de la educaci´on y, sobre todo, de ser una buena
persona. A Rosa y a Luc´ıa, mis compan˜eras de juegos, de la´grimas y alegr´ıas.
A los miembros del Departamento de Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico
de la Universidad de Sevilla, por su profesionalidad, amabilidad y simpat´ıa, desde hace
tantos an˜os. En particular, a Manuel Gonz´alez Burgos, que dirigi´o mis primeros pasos
en investigaci´on.
A mis compan˜eros del Departamento de Matema´ticas de la Universidad de C´adiz, por
su inter´es y apoyo. En especial, a Francisco Orteg´on Gallego y al resto de los miembros
del grupo de investigaci´on FQM-315 “An´alisis Te´orico y Num´erico de Modelos de las
Ciencias Experimentales” del III Plan Andaluz de Investigaci´on.
En memoria de Antonio Aizpuru, Jordi Blasco y Jos´e Real. De todos los que viven
en mi recuerdo y hoy ser´ıan felices.
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A quienes, sin af´an de recompensa, disfrutan compartiendo los frutos de sus esfuerzos.
Sin ellos, esta tesis ser´ıa inconcebible.
Si he llegado hasta aqu´ı, es porque he subido a hombros de gigantes.
Isaac Newton –Bernardo de Chartres.
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Contents
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Contents vii
List of Figures xi
List of Tables xv
List of Numerical Simulations xviii
Introduction 1
1. Anisotropic and Hydrostatic Equations of Geophysical Fluids . . . . . . . . 3
2. Instability of Primitive and Anisotropic Mixed Approximations . . . . . . . 7
3. Stable approximations of Primitive Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. The Stokes problem: unequal approximations for horizontal and vertical
velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5. Stable approximations of Primitive Equations in unstructured meshes . . . . 12
6. Stabilized reformulations of the Hydrostatic Stokes system . . . . . . . . . . 13
7. Time Schemes and Variable Density Depending on Temperature and Salinity 16
8. Overview of Each Chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9. Conclussions and future work . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 On the stability of approximations for the Stokes problem using dif-
ferent finite element spaces for each component of the velocity 21
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2 P approximation for the pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
0
1.2.1 Not stability of P /P -P approximation . . . . . . . . . . . . . . 29
1 1 0
vii
1.2.2 Stability of P /P -P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 1 0
1.2.3 Not stability of P /P -P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1,b 1 0
1.3 Stability of the P /P -P approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1,b 1 1
1.3.1 The 2D case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2 The 3D case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.3.3 Numerical simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.4 About stability of P /P -P finite elements . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 1 1
1.4.1 The 2D case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.4.2 Numerical simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.5 Not stability of Q /Q -Q in structured meshes . . . . . . . . . . . . . . 62
2 1 1
1.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2 Analysis of the Hydrostatic Stokes problem and finite-element ap-
proximation in non-structured meshes 65
2.1 Introduction and problem setting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 The linear steady hydrostatic problem is well-posed . . . . . . . . . . . . . 74
2.3 A different proof, using the saddle point framework . . . . . . . . . . . . . 80
2.4 Conforming finite elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.1 Necessary and sufficient conditions for stability . . . . . . . . . . . 82
2.4.2 Sufficient conditions for “incompressible” stability . . . . . . . . . 84
2.4.3 Necessary conditions for stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.5 Applications and first numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.5.1 Unstable approximations of the Stokes Problem with vanishing
vertical viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.5.2 Unstable approximations of the Hydrostatic Stokes Problem . . . . 88
2.5.3 Stability of P /P -P for the Hydrostatic Stokes problem . . . . . 91
2 1 0
2.5.4 About the stability of P /P -P and P /P -P for the Hydro-
1,b 1 1 2 1 1
static Stokes problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.6 Numerical simulations with different domains . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3 Stabilized reformulations of the Hydrostatic Stokes equations 105
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.1.1 Classical Hydrostatic Stokes formulations . . . . . . . . . . . . . . 109
3.1.2 Recent results about non-integral mixed finite element formulations113
viii
3.2 Stabilization of vertical velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2.1 Generic saddle point framework . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.2.2 Application to v–stabilized formulation . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.2.3 Stabilization of the anisotropic (not hydrostatic) problem . . . . . 121
3.3 Regularization of vertical derivative of pressure . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.3.1 Well-posedness of the continuous problem . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3.2 Well-posedness of the discrete scheme and error estimates . . . . . 126
3.3.3 The problem without stabilization of vertical velocity . . . . . . . 129
3.4 Numerical simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4 Splitting in Time Schemes for Hydrostatic Navier-Stokes with vari-
able density 143
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2 Previous Results in Non-Integral Hydrostatic Stokes Equations . . . . . . 151
4.3 A First Order Mixed Semi-Implicit Time Scheme . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.1 Problem statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3.2 A-priori estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3.3 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.4 Non-hydrostatic (anisotropic) projection time splitting schemes . . . . . . 163
4.4.1 Problem statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.4.2 Numerical experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.5 Hydrostatic segregation time splitting scheme . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5.1 Problem statement for (cid:15) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.5.2 Generalization to (cid:15) ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.5.3 A-priori estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.5.4 Finite element approximation and numerical experiments . . . . . 177
Bibliography 181
ix
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