Analyse : Recueil d'exercices et aide-mémoire volume 2

262 Pages·2004·3.42 MB·French

by  Jacques Douchet

Analyse

Analyse
Recueil d’exercices
et aide-mémoire vol. 2
Jacques Douchet
Presses polytechniques et universitaires romandes
L’auteur et l’éditeur remercient l’Ecole polytechnique fédérale de Lausanne
dont le soutien financier a rendu possible la publication de cet ouvrage.
DANSLAMÊMECOLLECTION
Analyse
Receuil d’exercices et aide-mémoire vol. 1
Jacques Douchet
Calcul différentiel et intégral
Jacques Douchet et Bruno Zwahlen
1 Fonctions réelles d’une variable réelle
2 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles
3 Fonctions réelles d’une variable réelle – Exercices résolus
4 Fonctions réelles de plusieurs variables réelles – Exercices résolus
Introduction à l’analyse numérique
Jacques Rappaz et Marco Picasso
Algèbre linéaire
Aide-mémoire,exercices et applications
Robert C. Dalang et Amel Chaabouni
Analyse avancée pour ingénieurs
Bernard Dacorogna,Chiara Tanteri
Initiation aux probabilités
Sheldon M. Ross
Cours d’Analyse
Srishti D. Chatterji
1 Analyse vectorielle
2 Analyse complexe
3 Equations différentielles
DANSLACOLLECTION«MÉTHODESMATHÉMATIQUESPOURL’INGÉNIEUR»
Introduction à la statistique
Stephan Morgenthaler
Aide-mémoire d’analyse
Heinrich Matzinger
Les Presses polytechniques et universitaires romandes sont une fondation
scientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux
de l’Ecole polytechnique fédérale deLausanne ainsi que d’autres
universités et écolesd’ingénieurs francophones.
Le catalogue de leurs publications peut être obtenu par courrier aux
Presses polytechniques et universitaires romandes,
EPFL – Centre Midi,CH-1015 Lausanne,par E-Mail à [email protected],
par téléphone au (0)21 693 41 40,ou par fax au (0)21 693 40 27.
www.ppur.org
Première édition
ISBN 2-88074-570-5
©2004,Presses polytechniques et universitaires romandes,
CH – 1015 Lausanne
Imprimé en Italie
Tous droits réservés.
Reproduction,même partielle,sous quelque forme
ou sur quelque support que ce soit,interdite sans l’accord écrit de l’éditeur.
Introduction
Ce recueil de 462 exercices est destin´e en premier lieu aux ´etudiants du
premier cycle universitaire qui suivent pour la premi`ere fois un cours d’ana-
lyse (calcul diff´erentiel et int´egral) concernant les fonctions r´eelles de plusieurs
variables r´eelles. Il s’adresse aussi a` tous ceux qui s’int´eressent ou veulent ap-
profondir l’un ou l’autre des sujets trait´es.
Le contenu de ce livre correspond au cours d’analyse que l’auteur enseigne,
depuis plusieurs ann´ees, aux ´etudiants du deuxi`eme semestre de diff´erentes
sections de l’Ecole polytechnique f´ed´erale de Lausanne (EPFL). Le choix des
exercices sert aussi bien `a v´erifier du degr´e d’acquisition par l’´etudiant de la
th´eorie que de son habilit´e a` les r´esoudre. Il est bon de rappeler ici que le
meilleur moyen de devenir familier avec l’analyse est de r´esoudre un maximum
d’exercices. Et plus on en r´esout, plus on a de chance de pouvoir les r´esoudre.
On acquiert ainsi un savoir faire dont l’intuition, ´el´ement indispensable en ma-
th´ematique, ne devrait pas ˆetre absente.
D’un point de vue pratique, ce livre contient quatre chapitres qui sont
divis´es chacun en deux parties :
1) La premi`ere partie est un rappel non exhausif de toutes les principales d´efi-
nitionsettouslesprincipauxr´esultatsqu’ilfautconnaˆıtresurlesujettrait´e.
Les propositionssont´enonc´ees avecpr´ecisionmais sans leur d´emonstration.
2) Ladeuxi`emepartieestunrecueild’exercicesconcernantlesujettrait´e.Pour
lesr´esoudre,unebonneconnaissancedesd´efinitionsetpropositionsdonn´ees
dans la premi`ere partie est exig´ee de la part de l’´etudiant. C’est pourquoi
une bonne assimilation de la th´eorie est n´ecessaire, mais malheureusement
pas forc´ement suffisante, pour arriver a` r´esoudre tous les exercices. Pour
certains d’entre eux, la connaissance des chapitres pr´ec´edents est parfois
n´ecessaire. Pour chaque exercice, un corrig´e est donn´e a` la fin du livre.
Chaque corrig´e est fait en fonction de la difficult´e de l’exercice. Les exer-
cices difficiles s’adressent plus particuli`erement aux ´etudiants des sections
math´ematique et physique.
Il est vivement recommand´e aux ´etudiants de se familiariser avec les diff´e-
rentslogicielsmath´ematiquespropos´essurlemarch´epourr´esoudrelesexercices
qui s’y prˆetent, apr`es, bien suˆr, avoir essay´es de les r´esoudre par eux-mˆemes.
Pour ceux qui s’int´eressent aux d´emonstrations, je recommande comme
livre de r´ef´erence : Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul diff´erentiel et
int´egral tome 2, Presses polytechniques et universitaires romandes (PPUR).
vi Introduction
Enfin, n’´etant pas propri´etaire des exercices contenus dans ce livre, j’en-
courage tous mes coll`egues a` les utiliser a` bon escient et sans restriction, ainsi
que d’en faire profiter pleinement leurs ´etudiants.
Finalement, je souhaite a` tous les ´etudiants beaucoup de plaisir a` faire les
exercices propos´es et rappelle que ce n’est qu’en pers´ev´erant que l’on arrive a`
ses fins.
Remerciements
Je tiens a` remercier ici toutes les personnes qui m’ont aid´e a` la r´ealisation
de ce livre. En particulier, G´erard Maze qui a relu une partie du manuscrit,
Christophe Hebeisen, Sean Bronee et Maya Tuscher pour les dessins, M.-F. De
Carmine pour son aide et ses remarques judicieuses ainsi que les Presses po-
lytechniques et universitaires romandes (PPUR) qui ont accept´e de publier ce
livre en faisant preuve d’un grand professionnalisme.
Jacques Douchet
Table des mati`eres
Introduction v
Table des mati`eres vii
Chapitre 1 Espace Rn 1
1.1 Introduction...........................................1
1.2 Suites dans Rn.........................................2
1.3 Topologie de Rn ....................................... 3
1.4 Adh´erence d’un sous-ensemble ......................... 4
1.5 Sous-ensemble compact ................................ 5
1.6 Bord d’un sous-ensemble...............................5
1.7 Sous-ensemble connexe par arcs........................6
1.8 Sous-ensemble connexe.................................6
1.9 Exercices .............................................. 7
Chapitre 2 Fonctions de plusieurs variables 11
2.1 Introduction..........................................11
2.2 Limite d’une fonction.................................12
2.3 Fonctions continues...................................13
2.4 Exercices ............................................. 16
Chapitre 3 D´eriv´ees partielles 21
3.1 Introduction..........................................21
3.2 D´eriv´ees partielles d’ordre sup´erieur...................26
3.3 Th´eor`eme des fonctions implicites.....................29
3.4 Formes diff´erentielles..................................32
3.5 Exercices ............................................. 34
Chapitre 4 Int´egrales multiples 53
4.1 Int´egrale double sur un rectangle ferm´e ............... 53
4.2 Int´egrale double sur un ouvert born´e de R2............54
4.3 Int´egrale double sur R2 ............................... 59
4.4 Int´egrales multiples...................................61
4.5 Exercices ............................................. 64
viii Table des mati`eres
Solutions des exercices du chapitre 1
Espace Rn .................................................71
Solutions des exercices du chapitre 2
Fonctions de plusieurs variables............................81
Solutions des exercices du chapitre 3
D´eriv´ees partielles..........................................97
Solutions des exercices du chapitre 4
Int´egrales multiples.......................................209
Bibliographie 251
Index 253
Chapitre 1
Rn
Espace
1.1 Introduction
On d´esigne par Rn l’ensemble des n-tuples ordonn´es (x ,...,x ) de
1 n
nombres r´eels. Par la suite, les ´el´ements de Rn seront not´es indiff´eremment
x ou (x ,...,x ).
1 n
On munit Rn des deux op´erations suivantes : pour tout x = (x ,...,x ),
1 n
y = (y ,...,y ) et tout scalaire λ
1 n
x+y = (x +y ,...,x +y ) et λx = (λx ,...,λx ).
1 1 n n 1 n
Avec ces deux op´erations, on v´erifie que Rn est un espace vectoriel sur
R de dimension n.
D´efinition 1.1 A chaque ´el´ement x = (x ,...,x ) de Rn, on associe sa
1 n
norme euclidienne (cid:2)
(cid:3)
(cid:1) (cid:1) (cid:3)(cid:5)n
(cid:1) (cid:1) (cid:4)
x = x2 .
k
k=1
1.1.1 Propri´et´es
(cid:1) (cid:1)
1) (cid:1)x(cid:1) = 0 ⇐⇒ x = 0.
(cid:1) (cid:1) (cid:6) (cid:6)(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1) (cid:6) (cid:6)(cid:1) (cid:1)
2) λx = λ x .
3) In´egalit´e triangulaire
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
x+y ≤ x + y .
4) In´egalit´e triangulaire inverse
(cid:6) (cid:6)
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
(cid:6) (cid:6)
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
(cid:6) x − y (cid:6) ≤ x−y .
D´efinition 1.2 A chaque couple d’´el´ements x = (x ,...,x ) et y =
1 n
(y ,...,y ) de Rn, on associe son produit scalaire
1 n
(cid:5)n
(cid:5)x,y(cid:6) = x y .
k k
k=1
2 Suites dans Rn
1.1.2 Propri´et´es
(cid:1) (cid:1) (cid:7)
(cid:1) (cid:1)
1) x = (cid:5)x,x(cid:6).
2) (cid:5)λx,y(cid:6) = λ(cid:5)x,y(cid:6).
3) (cid:5)x,y(cid:6) = (cid:5)y,x(cid:6).
4) Bilin´earit´e
(cid:5)x+y,z(cid:6) = (cid:5)x,z(cid:6)+(cid:5)y,z(cid:6).
5) Egalit´e de Pythagore. Si (cid:5)x,y(cid:6) = 0 :
(cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)2 (cid:1) (cid:1)2 (cid:1) (cid:1)2
x+y = x + y .
6) In´egalit´e de Cauchy-Schwarz
(cid:6) (cid:6) (cid:1) (cid:1)(cid:1) (cid:1)
(cid:6) (cid:6) (cid:1) (cid:1)(cid:1) (cid:1)
(cid:5)x,y(cid:6) ≤ x y .
7) Pour n = 2 ou 3 et x,y (cid:7)= 0 :
(cid:1) (cid:1)(cid:1) (cid:1)
(cid:1) (cid:1)(cid:1) (cid:1)
(cid:5)x,y(cid:6) = x y cosθ
ou` θ est l’angle compris entre x et y. Par cons´equent les deux vecteurs x
et y sont orthogonaux si et seulement si (cid:5)x,y(cid:6) = 0.
1.2 Suites dans Rn
D´efinition 1.3 Une suite d’´el´ements de Rn est une application f : N → R,
qui, a` tout entier naturel k, fait correspondre l’´el´ement f(k) de Rn.
f(k) est appel´e le k-i`eme terme de la suite et on le d´esigne par une lettre
index´ee en bas a` droite par k, par(cid:8) ex(cid:9)emple : xk = (x1,k(cid:10),...,xn,k), (cid:11)la suite
elle-mˆeme ´etant alors d´esign´ee par x . Le sous-ensemble x : k ∈ N de Rn
k (cid:10) (cid:11)k
est appel´e l’ensemble des ´el´ements de la suite. Si x : k ∈ N est inclus dans
(cid:8) (cid:9) k
un sous-ensemble E de Rn, on dit que x est une suite d’´el´ements de E.
k
(cid:8) (cid:9)
D´efinition 1.4 Une suite x est dite born´ee s’il existe un nombre r´eel
k
M ≥ 0 tel que pour tout entier k ≥ 0 : (cid:11)x (cid:11) ≤ M.
k
(cid:8) (cid:9)
Proposition 1.5 Une suite x = (x ,...,x ) est born´ee si et seulement
k 1,k n,k
si les n suites num´eriques (x ),...,(x ) sont born´ees.
1,k n,k
(cid:8) (cid:9)
D´efinition 1.6 Une suite x est dite convergente et admet pour limite
k (cid:8) (cid:9)
x ∈ Rn ou tout simplement que x converge vers x, si a` tout ε > 0, on peut
k
associer k ∈ N tel que k ≥ k implique (cid:11)x −x(cid:11) ≤ ε. On ´ecrit alors,
ε ε k
lim x = x.
k
k→+∞
Lorsque la limite existe, elle est unique.