Analyse combinatoire et probabilités - Exercices et corrigés

88 Pages·2014·2.83 MB·French

Analyse combinatoire et probabilités - Exercices et corrigés
Michel Semon
www.phymaths.ch
1
TABLEDESMATIÈRES
Table des matières
1 Introduction 5
2 Enoncés 5
2.1 Analysecombinatoire(dénombrement). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 ExerciceM-Uncadenasànumérosatroisroues... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 ExerciceM-D’unjeude52cartes,ontire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 ExerciceM-Combiendenombresdifférentsde6chiffres... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.4 ExerciceM-Decombiendemanièrespeut-onarranger5personnes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.5 ExerciceCombiendemotsde10lettres... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.6 ExerciceLafaçaded’unemaisoncompte8fenêtres... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.7 ExerciceCombiendecouplesdevaleursobtient-on... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.8 ExerciceLenombred’atomesdansl’universvisible... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.9 ExerciceDansungroupeilya10hommes,8femmes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.10 ExerciceM.Jonesvadisposer10livres... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.11 ExerciceSoitlemotmississippi... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.12 ExerciceCombiendenombresdifférents... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.13 ExerciceDecombiendemanièresdifférentespeut-ongagneràl’euro-million... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.14 ExerciceUneboîtecontient12boules,3rouges,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.15 ExerciceÀpartird’ungroupede5femmesetde7hommes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.16 ExerciceUngroupede12personnesdoitêtrepartagéen... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.17 ExerciceDecombiendemanièrespeut-onasseoir... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.18 ExerciceUnenfantpossède12cahiers:6noirs,4rouges... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.19 ExerciceOnconsidèreungroupede20personnes.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.20 ExerciceOnveutformeruncomitéde7personnes,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.21 ExercicePourunepartiedebridge... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.22 ExerciceSi8tableauxnoirsdoiventêtreaffectésà4écoles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.23 ExerciceUnascenseurquittelerez-de-chausséeavec8personnes.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.24 ExerciceFournirunargumentd’analysecombinatoire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.25 ExerciceUnétudiantdoitrépondreà7des10questions... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.26 ExerciceHuitnouveauxprofesseursvontêtre... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.27 ExerciceM-Combiendeséquencesdifférentes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.28 ExerciceM-Uneclassedel’écoledeNyonareçu... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.29 ExerciceM-Lesdouzetomesd’uneencyclopédie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.30 ExerciceM-Ilyaquelquesannées,chaqueclassedegymnase... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.31 ExerciceM-Unemaîtressedemaisonaonzeamis... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.32 ExerciceDecombiendemanièrespeut-onpartager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 ExerciceM-Uneurnecontient12boules:3rouges,4bleues... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.2 ExerciceM-D’unjeude52cartes,ontire5cartes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 ExerciceM-De25calculatrices,5ontundéfaut... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4 ExerciceM-Onsélectionneunéchantillonordonné... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.5 ExerciceM-Ontire10foisdesuiteàpileouface... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.6 ExerciceM-Dansuneassembléede400personnes,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.7 ExerciceM-Unetéléfabriquéeentrèsgrandesérie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.8 ExerciceM-Uneagencedevoyagefaitunsondagestatistique... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.9 ExerciceOnpossèdeunecageavec35lapinset4hamsters... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.10 ExerciceSoitunjeude52cartesàjouer... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.11 ExerciceUncomitéde5personnes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.12 ExerciceDansunepartiedecarte,ondistribue... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.13 ExerciceCombiendepersonnesfaut-ilréunir... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.14 ExerciceUnmagasinacceptelescartesdecrédit... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.15 Exercice60%desélèvesd’uneécoleneportent... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.16 ExerciceUneécoleproposetroiscoursdelangue... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.17 ExerciceAprèsunesoiréebienarrosée... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1ermars2014-11:07 Dossierd’exercices-AnalysecombinatoireetProbabilités 2
TABLEDESMATIÈRES
2.2.18 ExerciceHuittourssontdisposéesauhasard... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.19 ExerciceOnjetteunepairededéséquilibrés... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.20 ExerciceUneurnecontientcinqboulesrouges... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.21 ExerciceUneboîtecontientnboulesrouges... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.22 ExerciceUneréserveclôturéeabritevingtcerfs... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.23 ExerciceLesecondComtedeYarboroughpariaà1000contre1... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.24 ExerciceUnevillecomptecinqhôtels... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.25 ExerciceOndisposesurunrang4couplesmariés... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.26 ExerciceCalculerleschancesdegagneràlaloterieànumérosuisse... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.27 ExerciceM-Dansunportemonnaiecontenantdespièces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.28 ExerciceM-Uneboîtecontient36boules,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.29 ExerciceDanslaforêtéquatoriale,chaquenaissancedegorilles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.30 ExerciceM-Dansuneville,40%delapopulation... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.31 ExerciceM-Dansuneclasse,15%desnotesdemathématiques... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.32 ExerciceM-Dansuneautreclasse,laprobabilité... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.33 ExerciceM-Onfaitexpérimentalementlesconstatationssuivantes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.34 ExerciceM-TroisboîtesA,BetCcontiennent... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.35 ExerciceM-Unprogrammepourarrêterdefumerpermet... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.36 ExerciceM-Dansunepopulation,ilya5%dedaltoniens... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.37 ExerciceM-Dansungymnase,4%desgarçonset1%desfilles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.38 ExerciceOnjettedeuxdéséquilibrés.Quelleestlaprobabilité... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.39 ExerciceUneurnecontient6boulesblanches... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.40 ExerciceLeroivientd’unefamillede2enfants... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.41 ExerciceOnchoisittroiscartesauhasard... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.42 ExerciceUnerécentediplôméeal’intentiondepasser... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.43 ExerciceUnegrossesseectopiqueadeuxfois... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.44 ExerciceDansunecertaineville,36%desfamilles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.45 ExerciceCommentplacer20boules,dont10sont... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.46 ExerciceOnconsidèredeuxboîtes,l’unecontient... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.47 ExerciceTroiscuisiniersA,BetCsont... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.48 ExerciceUneclassecompte4garçonset6filles... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.49 ExerciceLareineportelegènedel’hémophilie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.50 ExerciceOnadmetquelesexedudernierenfant... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.51 ExerciceSiAestincludansB,exprimerlesprobabilités... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.52 ExerciceAvantdepartirenvacancesvouspriez... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.53 ExerciceMontrerque... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.54 ExerciceM-Uneurnecontientquatreboulesrouges... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.55 ExerciceM-Unjoueuradeuxpiècesdemonnaie:... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.56 ExerciceM-EnAngleterre,onécritlemot"rigueur"... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.57 ExerciceM-Uneurnecontient10boulesrouges... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.58 ExerciceM-Uneboîtecontient7boulesblanches... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.59 ExerciceM-Unpêcheuraremarquéqu’après... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.60 ExerciceM-Onenfermedansuneboîtemunied’unorifice... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.61 ExerciceM-Uneurneu1contient3boulesrouges,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.62 ExerciceM-Dansunepopulationéquatoriale... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.63 ExerciceM-Lorsd’unconcours,uncandidat... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.64 ExerciceM-Unefamilleadeuxenfants.Onsait... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.65 ExerciceM-Uncartoncontient12verresdont4... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.66 ExerciceM-Onjette3foisunepiècedemonnaie... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.67 ExerciceM-Ons’intéresseàunefamille... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.68 ExerciceM-Unclubdetennisde14membres... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.69 ExerciceM-Dansunparcnationalafricain,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.70 ExerciceOnprometlalibertéàunprisonnier... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.71 ExerciceParadoxeduChevalierdeMéré... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.72 ExerciceM-Dansungroupeforméde... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.73 ExerciceM-Unefabriquedewebcamstestelaqualité... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1ermars2014-11:07 Dossierd’exercices-AnalysecombinatoireetProbabilités 3
TABLEDESMATIÈRES
2.2.74 ExerciceM-Unréfrigérateurcontient5vaccins... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.75 ExerciceM-Evaristevafaireuntourau"LunaPark"... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.76 ExerciceM-Lepersonneld’unhôpitalestréparti... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.77 ExerciceM-Unepochettecontientdixpièces:... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.78 ExerciceUnefamillede6enfantsestcomposée... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.79 ExerciceDansunevilleforméedesixquartiers... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.80 ExerciceSoitungroupede7personnes... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.81 ExerciceUnepetiteécoledonne30courschaquesemaine... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.82 ExerciceUnsaccontientunebouleverteoubleue... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.83 ExerciceUnfiltrepourmessagesélectroniques... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Variablesaléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Exercice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Variablesaléatoirescontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Variablesaléatoiressimultannées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Réponsesdétailléesauxexercices 31
3.1 Réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1ermars2014-11:07 Dossierd’exercices-AnalysecombinatoireetProbabilités 4
1 Introduction
Avanttoutunepetiteexplicationausujetduchoixdupetitdessindelapagedetitre.Beaucoupdemes
élèvesn’aimentpasdutout,maisalorspasdutoutlesprobabilités!C’estdoncpoureuxettousceuxqui
pensentqu’ilsn’yarriverontjamais.
Les probabilités sont un sujet un peu à part dans l’étude des mathématiques. Le sujet semble facile au
premier abord, mais ce n’est qu’une apparence. L’étude paraît pouvoir se faire en utilisant son intuition,
car beaucoup de problèmes traduisent des situations quotidiennes. Cependant au fur et à mesure un be-
soindestructurationsefaitsentiretcertainesnotionsdebase(analysecombinatoireetalgèbredeBoole)
deviennentvitenécessaires.
Jemesuislongtempsdemandésiilfallaitessayerdeclasserlesexercicesdeprobabilitéoud’analysecom-
binatoire en catégories distinctes. Je me suis vite rendu compte que ceci est plus embrouillant qu’utile.
C’estunsujetvraimentdifficileetlaseulemanièredelecernerestdefairebeaucoupd’exercices.J’aidonc
décidédenefairequ’uneseuledistinctionenséparantlesexercicesd’analysecombinatoiredeceuxdepro-
babilité.
Leprésentrecueilcontientplusd’unecentainedeproblèmestrèsdivers.Ilssonttirésdedifférentslivres
deréférence,desériesd’exercicesquemesélèvesontreçuescesdernièresannées,d’examensdematurité
etd’exemplesquej’airetrouvésdansmesnotesdecours1.Quelquesexercicesontétéstraduitsouinspirés
ducoursdeJoeBlitzstein"Statistic110:Probability"del’universitédeHarvardetd’autresde"Physique
statistiquestat-340"deAndré-MarieTrembley,UniversitédeSherbrooke.
Lesexercicesprécédésd’unMdanslatabledesmatièressontdesexercicesdonnésenclassedematurité
desgymnasessuissesromandsdurantcesdernièresannéesauxexamensdematurités(niveauxstandard
etrenforcé).Celaneveutpasdirequ’ilssontplusdifficilesouplusfacilesquelesautres.Jelesaisignalés
simplementpourinformation.
2 Enoncés
2.1 Analyse combinatoire (dénombrement)
2.1.1 ExerciceM-Uncadenasànumérosatroisroues...
Uncadenasànumérosatroisroues;chacuneportelesnuméros0à9.Combiende"nombres"secretsy
a-t-il?
Solution
2.1.2 ExerciceM-D’unjeude52cartes,ontire...
D’unjeude52cartes,ontiredeuxcartessimultanément(sansremise).Decombiendemanièresdiffé-
rentesest-cepossible?
Solution
2.1.3 ExerciceM-Combiendenombresdifférentsde6chiffres...
Combiendenombresdifférentsde6chiffresexiste-t-il
a) Siiln’yaaucunerestriction?
b) Silesnombresdoiventêtredivisiblespar5?
c) silesrépétitionsdechiffressontexclues?
Solution
1. LesupportdecoursétaitlelivredeSheldonRoss,Initiationsauxprobabilités
1ermars2014-11:07 Dossierd’exercices-AnalysecombinatoireetProbabilités 5
2.1 Analysecombinatoire(dénombrement)
2.1.4 ExerciceM-Decombiendemanièrespeut-onarranger5personnes...
Decombiendemanièrespeut-onarranger5personnes
a) suruneligne?
b) Autourd’unetableronde?(seulementlapositionrelativedesunsvis-à-visdesautresimporte).
Solution
2.1.5 ExerciceCombiendemotsde10lettres...
Combiendemotsde10lettrespeut-onformeravecles26lettresdel’alphabetsi
a) onutilisechaquelettreuneseulefois,
b) onpeutréutiliserleslettres.
Solution
2.1.6 ExerciceLafaçaded’unemaisoncompte8fenêtres...
Lafaçaded’unemaisoncompte8fenêtres,cesfenêtrespeuventêtresoitouvertessoitfermées.
a) Decombiendemanièresdifférentespeutseprésentercettefaçade?
b) Mêmequestionsionconsidèrequechaquefenêtreadeuxbattants?
c) Qu’enest-ilsilapremièrefenêtreesttoujoursouverteetla6etoujoursfermée(fenêtrescomplètes,on
n’oublielesbattants).
Solution
2.1.7 ExerciceCombiendecouplesdevaleursobtient-on...
Combiendecouplesdevaleursobtient-onenlançantdeuxdésdecouleursdifférentes?
Solution
2.1.8 ExerciceLenombred’atomesdansl’universvisible...
Le nombre d’atomes dans l’univers visible est estimé à 1080. Combien de cartes différentes devraient
contenirunjeupourquelenombredespermutationspossiblesdépassecettevaleur"énorme"?
Indication
2.1.9 ExerciceDansungroupeilya10hommes,8femmes...
Dansungroupeilya10hommes,8femmeset7enfants.Decombiendemanièresdifférentespeut-on
lesplacersurunelignesi
a) ilspeuventseplacerlibrement?
b) Leshommesdésirentrestergroupés?
Solution
2.1.10 ExerciceM.Jonesvadisposer10livres...
M. Jones va disposer 10 livres sur un rayon de sa bibliothèque. Quatre d’entre eux sont des livres de
mathématiques,troisdechimie,deuxd’histoireetundelangue.Jonesaimeraitrangerseslivresdefaçon
que tous les livres traitant du même sujet restent groupés. Combien y a-t-il de dispositions possibles?
Solution
1ermars2014-11:07 Dossierd’exercices-AnalysecombinatoireetProbabilités 6
2.1 Analysecombinatoire(dénombrement)
2.1.11 ExerciceSoitlemotmississippi...
Soitlemotmississippi(figure1),combiendepermutationsdifférentesobtient-onsi
a) onnetientcomptenidelacasse(majuscules,minuscules)nidescouleurs?
b) Ontientcomptedelacasseetdescouleurs?
FIGURE1–
Solution
2.1.12 ExerciceCombiendenombresdifférents...
Combiendenombresdifférentspeut-onécrireavecleschiffres3,3,5,0?
Solution
2.1.13 ExerciceDecombiendemanièresdifférentespeut-ongagneràl’euro-million...
De combien de manières différentes peut-on gagner à l’euro-million? Il faut choisir 5 numéros parmi
50et2étoilesnumérotéesparmi11.
Solution
2.1.14 ExerciceUneboîtecontient12boules,3rouges,...
Uneboîtecontient12boules:3rouges,4bleuset5jaunes.Ontiresimultanément3boules.Combien
decombinaisonsdifférentesexiste-t-ilsiondésireavoirunebouledechaquecouleur?
Solution
2.1.15 ExerciceÀpartird’ungroupede5femmesetde7hommes...
Àpartird’ungroupede5femmesetde7hommes,combiendecomitésdifférentscomposésde2femmes
etde3hommespeut-onformer?Qu’enest-ilsi2deshommess’entendentmaletrefusentdesiégersimul-
tanémentaucomité?
Solution
2.1.16 ExerciceUngroupede12personnesdoitêtrepartagéen...
Ungroupede12personnesdoitêtrepartagéen2groupesde6personnes.UngroupepartiraenIndes
etl’autreenAustralie.Combienya-t-ildemanièresd’organiserlesvoyages?
Solution
1ermars2014-11:07 Dossierd’exercices-AnalysecombinatoireetProbabilités 7
2.1 Analysecombinatoire(dénombrement)
2.1.17 ExerciceDecombiendemanièrespeut-onasseoir...
Decombiendemanièrespeut-onasseoirsuruneligne4garçonset3filles?Qu’enest-il
a) silesgarçonsdoiventresterensemblesetlesfillesaussi?
b) Siseulslesgarçonsdoiventresterensemble?
c) Sideuxpersonnesdumêmesexenedoiventjamaisvoisiner?
Solution
2.1.18 ExerciceUnenfantpossède12cahiers:6noirs,4rouges...
Unenfantpossède12cahiers:6noirs,4rouges,1blancet1bleu.S’iltientàplacertouslesnoirsles
unsderrièrelesautres,decombiendemanièrespeut-ilplacersescahiers?
Solution
2.1.19 ExerciceOnconsidèreungroupede20personnes....
Onconsidèreungroupede20personnes.Sichaquepersonneserrelamaindetouteslesautres,combien
ya-t-ildepoignéesdemain?
Solution
2.1.20 ExerciceOnveutformeruncomitéde7personnes,...
Onveutformeruncomitéde7personnes,dont2républicains,2démocrateset3indépendants.Onale
choixparmiles5républicains,6démocrateset4indépendants.Decombiendemanièrespeut-onprocéder?
Solution
2.1.21 ExercicePourunepartiedebridge...
Pourunepartiedebridgechacundes4joueursreçoit13cartes.Lejeuencompte52.Combienya-t-il
dedonnespossibles?
Solution
2.1.22 ExerciceSi8tableauxnoirsdoiventêtreaffectésà4écoles...
Si8tableauxnoirsdoiventêtreaffectésà4écoles,decombiendemanièrespeut-onlesrépartir?Qu’en
est-ilsichaqueécoledoitrecevoiraumoinsuntableau?(Lestableauxnoirssontindiscernables)
Solution
2.1.23 ExerciceUnascenseurquittelerez-de-chausséeavec8personnes..
Un ascenseur quitte le rez-de-chaussée avec 8 personnes (liftier non compris). Lorsqu’il repart du 6e
étage,ilestvide.
a) De combien de manières le liftier a-t-il pu percevoir le départ des 8 personnes si pour lui elles se
ressemblenttoutes?
b) Qu’en est-il s’il peut faire la différence entre un homme et une femme, l’ascenseur contenant 5
hommeset3femmesaudépart?
c)Quesepasse-t-ilsipourlui,chaquepersonneestdiscernable?
Solution
1ermars2014-11:07 Dossierd’exercices-AnalysecombinatoireetProbabilités 8
2.1 Analysecombinatoire(dénombrement)
2.1.24 ExerciceFournirunargumentd’analysecombinatoire...
Fournirunargumentd’analysecombinatoirepourexpliquerque
Cn=Cn =Cn
p n−p n−p,p
Solution
2.1.25 ExerciceUnétudiantdoitrépondreà7des10questions...
Unétudiantdoitrépondreà7des10questionsd’unexamen.
a) Decombiendemanièrespeut-illeschoisir?
b) Mêmequestions’ilestobligédechoisiraumoins3des5premièresquestions?
Solution
2.1.26 ExerciceHuitnouveauxprofesseursvontêtre...
Huit nouveaux professeurs vont être envoyés dans 4 écoles (les professeurs et les écoles sont discer-
nables).
a) Combienya-t-ild’affectationspossibles?
b) Qu’enest-ilsil’onimposequechaqueécolerecevradeuxprofesseurs?
Solution
2.1.27 ExerciceM-Combiendeséquencesdifférentes...
a) Combien de séquences différentes peut-on lire sur un compteur kilométrique de voiture, ce compteur
étantcomposéde6cylindressurchacundesquelssontgravésleschiffresde0à9?
b) Parmilesconfigurationsci-dessus,quelestlenombredecellesoùfigureexactementtroisfoislechiffre
5?
c) Mêmequestion,maisoùfigureaumoinstroisfoislechiffre5.
d) Mêmequestion,maisoùfigureaumoinsunefoislechiffre5.
Solution
2.1.28 ExerciceM-Uneclassedel’écoledeNyonareçu...
Uneclassedel’écoledeNyonareçu4billetspourlecirqueKnie.Sachantquecetteclasseestcomposée
de19élèves,calculerlenombredefaçonsdedistribuerces4billetsdanschacundescassuivants:
a) lesbilletssontnumérotésetchaqueélèvenepeutrecevoirqu’unseulbillet;
b) lesbilletssontnumérotésetchaqueélèvepeutrecevoirplusieursbillets;
c) lesbilletsnesontpasnumérotésetchaqueélèvenepeutrecevoirqu’unseulbillet.
Solution
2.1.29 ExerciceM-Lesdouzetomesd’uneencyclopédie...
Lesdouzetomesd’uneencyclopédiesontrangésauhasard.
a) Combienya-t-ildemanièresdelesclasser?
b) Parmicesclassements,combienyena-t-iloùlestomes1et2setrouventcôteàcôte(danscetordre)?
c) Parmicesclassements,combienyena-t-iloùlestomes1et2setrouventcôteàcôte?
Solution
1ermars2014-11:07 Dossierd’exercices-AnalysecombinatoireetProbabilités 9
2.1 Analysecombinatoire(dénombrement)
2.1.30 ExerciceM-Ilyaquelquesannées,chaqueclassedegymnase...
Ilyaquelquesannées,chaqueclassedegymnasedevaitavoirunedélégationdetroisélèves(unlaveur
detableaux,unchefetunsous-fifre).Uneclasseestcomposéede11filleset3garçons.
a) Combienya-t-ildedélégationspossibles?
b) Combienya-t-ildedélégationssilelaveurdetableauxdoitêtreungarçon?
c) Combienya-t-ildedélégationspossiblessilesdeuxsexesdoiventêtreprésentsdansladélégation?
d) Voilàunevarianteduproblème:supposonsquechacundesdéléguésdoitavoirunsuppléant.Combien
ya-t-ildedélégationspossiblessiledéléguéetlesuppléantdoiventêtredesexedifférent.
Solution
2.1.31 ExerciceM-Unemaîtressedemaisonaonzeamis...
Unemaîtressedemaisonaonzeamistrèsproches.Ellesouhaiteeninvitercinqàdîner.
a) Combiendegroupesdifférentsd’invitésya-t-il?
b) Combiendepossibilitésya-t-ilsideuxd’entreeuxsontmariésetnepeuventvenirqu’ensemble?
c) Combien de possibilités y a-t-il si deux d’ eux sont en mauvais terme et ne peuvent pas être invités
ensemble?
Solution
2.1.32 ExerciceDecombiendemanièrespeut-onpartager
a) Decombiendemanièrespeut-onpartager12personnesentroisgroupes,ungroupede2etdeuxgroupes
de5?
b) Idemquea)maisavectroisgroupesde4personnes?
Solution
1ermars2014-11:07 Dossierd’exercices-AnalysecombinatoireetProbabilités 10