Analisis Vectorial

253 Pages·2012·4.94 MB·Spanish

by  Murray R. Spiegel

Análisis
vectorial
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Análisis
vectorial
Segunda edición
Murray R. Spiegel
Profesor y catedrático, Departamento de Matemáticas,
Rensselaer Polytechnic Institute, Hartford Graduate Center
Seymour Lipschutz
Departamento de Matemáticas, Temple University
Dennis Spellman
Departamento de Matemáticas, Temple University
Revisión técnica:
Víctor Hugo Ibarra
Universidad Anáhuac del Norte
José Luis López Estrada
Instituto Politécnico Nacional
MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA
LISBOA • MADRID • NUEVA YORK • SAN JUAN • SANTIAGO • AUCKLAND
LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO
SÃO PAULO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO
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Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos
Editor sponsor: Pablo Roig Vázquez
Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez
Editora de desarrollo: María Teresa Zapata Terrazas
Supervisor de producción: Zeferino García García
Traductor: Javier Enríquez Brito
ANÁLISIS VECTORIAL
Segunda edición
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.
DERECHOS RESERVADOS © 2011, 1998, respecto a la segunda edición en español por
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Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,
Delegación Álvaro Obregón,
C.P. 01376, México, D.F.
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736
ISBN: 978-607-15-0550-7
(ISBN edición anterior: 970-10-2096-0)
Traducido de la segunda edición de Vector Analysis by Murray R. Spiegel, Seymour Lipschutz, and Dennis
Spellman, published by The McGraw-Hill Companies, Inc. Copyright © 2009, All rights reserved.
978-0-07-161545-7
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Impreso en México Printed in Mexico
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Acerca de los autores
SEYMOUR LIPSCHUTZ forma parte de Temple University, y antes perteneció al Polytechnic Institute of Brooklyn.
Obtuvo su doctorado en New York University y es uno de los autores más prolífi cos de la Serie Schaum’s. Entre los
libros que ha escrito tienen especial importancia Álgebra Lineal, Probabilidad, Matemáticas Discretas, Teoría de
Conjuntos, Matemáticas Finitas y Topología General.
DENNIS SPELLMAN es integrante de Temple University y fue profesor en la Universidad del Este, en Venezuela.
Obtuvo su doctorado en New York University, donde escribió su tesis bajo la dirección de Wilhelm Magnus. Es autor
de más de 25 artículos publicados en revistas de matemáticas puras y aplicadas.
En su etapa de madurez profesional, MURRAY R. SPIEGEL obtuvo el grado de maestría en Física y de doctorado
en Matemáticas en Cornell University. Laboró en universidades como Harvard, Columbia, Oak Ridge y Rensselaer
Polytechnic Institute, y fue consultor en matemáticas en varias empresas importantes. Su último puesto fue como
profesor y director de Matemáticas en su centro para graduados de Hartford en Rensselaer Polytechnic Institute.
Aunque tiene interés en la mayor parte de las ramas de las matemáticas, le interesan en especial las que involucran
problemas de aplicación en física e ingeniería. Es autor de numerosos artículos publicados en revistas, así como de
14 libros acerca de distintos temas de las matemáticas.
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Prefacio
El propósito principal de esta edición es en esencia el mismo que el de la primera, con los cambios que se mencionan
a continuación. Primero citaremos partes del prefacio escrito por Murray R. Spiegel para la primera edición del
libro:
“Este libro está diseñado para emplearse como libro de texto en un curso formal de análisis vectorial o como
complemento útil de varios libros actuales de uso común.”
“Cada capítulo comienza con el enunciado claro de las defi niciones, principios y teoremas pertinentes, así como
con ilustraciones y otros materiales descriptivos. Esto va seguido de grupos de problemas resueltos y propuestos
en orden creciente de difi cultad… Con los problemas resueltos se incluyen numerosas pruebas de teoremas y la
obtención de fórmulas. La gran cantidad de problemas propuestos con respuestas, sirve como material de revisión
completa de cada capítulo.”
“Los temas cubiertos incluyen álgebra y cálculo diferencial e integral con vectores, los teoremas de Stokes,
divergencia y otros del cálculo integral, así como muchas aplicaciones procedentes de distintos campos. Las
características agregadas son los capítulos sobre coordenadas curvilíneas y el análisis tensorial…”
“En el texto se ha incluido una cantidad considerablemente mayor de la que puede cubrirse en la mayoría de
cursos de los niveles iniciales. Esto se ha hecho con la intención de que el libro sea más fl exible y útil como referencia
y para estimular la profundización en los temas.”
Algunos de los cambios realizados a la primera edición son los siguientes: a) Muchas secciones se ampliaron a
fi n de que fueran más accesibles para los lectores, b) nuevo formato, por ejemplo: el número de cada capítulo está
incluido en las leyendas de todos los problemas y fi guras, c) muchos de los resultados se plantean ahora de manera
formal como Proposiciones y Teoremas, y d) se agregaron materiales nuevos tales como el análisis de la dependencia
e independencia lineales, y el estudio de Rn como espacio vectorial.
Por último, expresamos nuestra gratitud al equipo de McGraw-Hill, en particular a Charles Wall, por su excelente
cooperación en todas las etapas de la preparación de esta segunda edición.
Seymour Lipschutz
Dennis Spellman
Temple University
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Contenido
CAPÍTULO 1 VECTORES Y ESCALARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Álgebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Vectores unitarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Los vectores unitarios rectangulares: i, j, k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.7 Campo vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.8 Espacio vectorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
CAPÍTULO 2 EL PRODUCTO PUNTO Y EL PRODUCTO CRUZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 El producto punto o producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Producto cruz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Productos triples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Conjuntos recíprocos de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
CAPÍTULO 3 DIFERENCIACIÓN VECTORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Derivadas ordinarias de funciones de variable vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Continuidad y diferenciabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4 Derivadas parciales de vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Geometría diferencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
CAPÍTULO 4 GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1 Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
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