Análisis Real, Elon Lima, Volumen 1

236 Pages·2012·1.36 MB·Spanish

Lima, Elon Lages
An´alisis Real, Volumen 1.
Instituto de Matem´atica y Ciencias Afines, UNI, 1997.
240pp. (Colecci´on Textos del IMCA)
Textos del IMCA
An´alisis Real
Volumen 1
Elon Lages Lima
Traducido por Rodrigo Vargas
IMCA Instituto de Matem´atica y Ciencias Afines
Copyright c , 1997 by Elon Lages Lima
(cid:13)
Impreso en Chile / Printed in Chile
Car´atula: Rodolfo Capeto y Noni Geiger
Textos del IMCA
Editor: C´esar Camacho
Con esta serie de textos el IMCA inicia sus trabajos contribu-
yendo a la difuci´on de la cultura matem´atica por medio de una
literatura de alta calidad cient´ıfica.
Esta colecci´on busca poner a disposici´on de alumnos y profe-
sores universitarios, libros escritos con rigor y claridad, que sirvan
como textos de cursos de graduaci´on.
La publicaci´on de este libro cont´o con el apoyo decidido de la
Sociedad Brasileira de Matem´atica y de la Universidad Nacional de
Ingenier´ıa del Peru´ que compartieron su costo. A estas institucio-
nes damos nuestro agradecimiento.
El Editor
Prefacio
Este libro pretende servir de texto para un primer curso de An´ali-
sis Matem´atico. Los temas tratados se exponen de manera simple
y directa, evitando digresiones. As´ı espero facilitar el trabajo del
profesor que, al adoptarlo, no necesitar´a perder mucho tiempo se-
leccionando los temas que tratar´a y los que omitir´a. Grupos espe-
ciales, estudiantes avanzados, lectores que deseen una presentaci´on
m´as completa y los alumnos, por as´ı decirlo, normales que busquen
lecturas complementarias pueden consultar el “Curso de An´alisis
Matem´atico, vol. 1”que trata de la misma materia con un enfoque
m´as amplio, y que tiene aproximadamente el doble de taman˜o.
Los lectores que tengo en mente son alumnos con conocimientos
equivalentes a dos per´ıodos lectivos de C´alculo*, ya familiarizados
con las ideas de derivada e integral en sus aspectos m´as elemen-
tales, principalmente los c´alculos con las funciones m´as conocidas
y la resoluci´on de ejercicios sencillos. Tambi´en espero que tengan
una idea suficientemente clara de lo que es una demostraci´on ma-
tem´atica. La lista de prerrequisitos termina diciendo que el lector
debe estar habituado a las notaciones usuales de la teor´ıa de con-
juntos, tales como x A, A B, A B, A B, etc.
∈ ⊂ ∪ ∩
Una parte importante de este libro son sus ejercicios, que sirven
para fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en el texto y
como oporunidad para que el lector compruebe si realmente ha en-
tendido lo que acab´o de leer. En el cap´ıtulo final se presentan las
soluciones, de forma completa o resumida, de 190 ejercicios selec-
cionados. Los restantes son, en mi opini´on, bastante f´aciles. Natu-
ralmente, me gustar´ıa que el lector s´olo consultase las soluciones
despu´es de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada pro-
*N.T. dos cuatrimestres
blema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin ´exito, el que nos
conduce a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.
El procesamiento del manuscrito, por el sistema TEX, lo rea-
lizaron Mar´ıa Celano Maia y Solange Villar Visgueiro, supervisa-
das por Jonas de Miranda Gomes, al que debo bastantes consejos y
opiniones sensatas durante la preparaci´on del libro. La revisi´on del
texto original en portugu´es la hicieron Levi Lopes de Lima, Ricar-
do Galdo Camelier y Rui Tojeiro. A todas estas personas debo mis
agradecimientos cordiales.
Lapublicaci´on dela edici´onoriginalbrasilen˜a fuefinanciada por
la CAPES; con su director, profesor Jos´e Ubirajara Alves, estoy en
deuda por el apoyo y la compresi´on demostrados.
Rio de Janeiro
Elon Lages Lima
Prefacio a la edici´on en espan˜ol
La iniciativa de editar este libro en espan˜ol se debe al Profesor
C´esar Camacho que, con su empen˜o caracter´ıstico, tuvo la idea,
superviso la traducci´on, cuid´o de la impresi´on y asegur´o la publi-
caci´on. Es a ´el, por lo tanto, que tengo la satisfaci´on de manifestar
mis agradecimientos.
Tambi´en estoy agradecido a Lorenzo Diaz Casado, que hizo la
traducci´on y a Roger Metzger y Francisco Le´on por el trabajo de
revisi´on.
Rio de Janeiro, noviembre de 1997.
Elon Lages Lima

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Indice general
Cap´ıtulo 1. Conjuntos finitos e infinitos 1
1. Nu´meros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Cap´ıtulo 2. Nu´meros reales 13
1. R es un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2. R es un cuerpo ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. R es un cuerpo completo . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Cap´ıtulo 3. Sucesiones de nu´meros reales 25
1. Limite de una sucesi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2. L´ımites y desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3. Operaciones con l´ımites . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4. L´ımites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Cap´ıtulo 4. Series de nu´meros 41
1. Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2. Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . 44
3. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. Reordenaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Cap´ıtulo 5. Algunas nociones de topolog´ıa 53
1. Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
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10 INDICE GENERAL
3. Puntos de acumulaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4. Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Cap´ıtulo 6. L´ımites de funciones 69
1. Definici´on y primeras propiedades . . . . . . . . . . . 69
2. L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3. L´ımites en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Cap´ıtulo 7. Funciones continuas 83
1. Definici´on y propiedades b´asicas . . . . . . . . . . . . 83
2. Funciones continuas en un intervalo . . . . . . . . . . 86
3. Funciones continuas en conjuntos compactos . . . . . 90
4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Cap´ıtulo 8. Derivadas 101
1. La noci´on de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2. Reglas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3. Derivada y crecimiento local . . . . . . . . . . . . . . 107
4. Funciones derivables en un intervalo . . . . . . . . . . 109
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Cap´ıtulo 9. F´ormula de Taylor y aplicaciones de la de-
rivada 117
1. F´ormula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2. Funciones c´oncavas y convexas . . . . . . . . . . . . . 121
3. Aproximaciones sucesivas y el m´etodo de Newton . . . 127
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Cap´ıtulo 10. La integral de Riemann 135
1. Revisi´on de sup e´ınf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4. Condiciones suficientes para la integrabilidad . . . . . 145
5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148