Amour, Mémoire & Modélisation PDF
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Amour, Mémoire &Modéli- sation Pablo Crotti Rappels deProba- bilitéet Amour, Mémoire & Modélisation Théorie des graphes Lemodèle Coello- PabloCrotti Crotti Lemodèle du DépartementdeMathématiques Memory UniversitédeFribourg Conclusion & Références 7Mai2010 1/33 Plan de la présentation Amour, Mémoire &Modéli- sation Pablo Crotti Rappels 1 RappelsdeProbabilitéetThéoriedesgraphes deProba- bilitéet Tdehséorie 2 LemodèleCoello-Crotti graphes LCeoemlloo-dèle 3 LemodèleduMemory Crotti Lduemodèle 4 Conclusion &Références Memory Conclusion & Références 2/33 Plan de la présentation Amour, Mémoire &Modéli- sation Pablo Crotti Rappels 1 RappelsdeProbabilitéetThéoriedesgraphes deProba- bilitéet Tdehséorie 2 LemodèleCoello-Crotti graphes LCeoemlloo-dèle 3 LemodèleduMemory Crotti Lduemodèle 4 Conclusion &Références Memory Conclusion & Références 2/33 Plan de la présentation Amour, Mémoire &Modéli- sation Pablo Crotti Rappels 1 RappelsdeProbabilitéetThéoriedesgraphes deProba- bilitéet Tdehséorie 2 LemodèleCoello-Crotti graphes LCeoemlloo-dèle 3 LemodèleduMemory Crotti Lduemodèle 4 Conclusion &Références Memory Conclusion & Références 2/33 Plan de la présentation Amour, Mémoire &Modéli- sation Pablo Crotti Rappels 1 RappelsdeProbabilitéetThéoriedesgraphes deProba- bilitéet Tdehséorie 2 LemodèleCoello-Crotti graphes LCeoemlloo-dèle 3 LemodèleduMemory Crotti Lduemodèle 4 Conclusion &Références Memory Conclusion & Références 2/33 Rappel de Probabilité Amour, Mémoire &Modéli- sation Définition Pablo Crotti Unprocessusstochastique(Xt)t∈I estuneunechaînedeMarkov ou(Markovien)si ∀t1<t2<...<tn, ti ∈I et∀i1,...,in ∈E Rappels dbeilitPéroebta- (M) P(Xtn =in|Xtn−1 =in−1,...,Xt1 =i1)=P(Xtn =in|Xtn−1 =in−1) Théorie des graphes Définition Lemodèle CCoroetltloi- Soit(Xt)t∈I unechaînedeMarkov.Lesexpressions Lemodèle pi,j(s,t)=P(Xt =j|Xs=i) ,0≤s<t , i,j∈E du Memory sontlesprobabilitésdetransitiondelachaîne.Sousformematriciellenousavons Conclusion . & .. Références P(s,t)=··· pi,j(s,t) ··· . . . qu’onappelmatricedetransition. 3/33 Répartitions finies et propriété de semi-groupe Amour, Mémoire &Modéli- sation Répartitions finies: Pablo Crotti (M) Rappels P(Xtn =in,...,Xt1=i1) = P(Xtn =in|Xtn−1=in−1,...,Xt1=i1)P(Xtn−1 =in−1,...,Xt1=i1) dbeilitPéroebta- =P(Xtn =in|Xtn−1 =in−1)P(Xtn−1 =in−1,...,Xt1=i1) Tdehséorie =...=P(Xt1 =i1)pi1,i2(t1,t2)...pin−1,in(tn−1,tn) graphes Lemodèle Coello- Enécrivant Crotti Lduemodèle P(Xt1 =i1)Proba=.totale P(X0=i)P(Xt1 =i1|X0=i)= P(X0=i)pi,i1(0,t1) Memory i∈E i∈E X X Conclusion &Références etendéfinissantπi(0):=P(X0=i)(qu’onappelloiinitiale duprocessus)onobtient P(Xtn =in,...,Xt1 =i1)= πi(0)pi,i1(0,t1)pi1,i2(t1,t2)...pin−1,in(tn−1,tn). i∈E X 4/33 Répartitions finies et propriété de semi-groupe Amour, Mémoire &Modéli- sation Onconsidére deschaînesdeMarkovdîtes homogènes (oustationnaires), i.e: Pablo Crotti P(Xt =j|Xs=i)=P(Xt−s =j|X0=i). Rappels deProba- PourunechaînedeMarkovdonnée, l’équationdeChapman-Kolmogorov bilitéet Théorie des graphes pi,j(s,t)= pi,k(s,u)pk,j(u,t) ,s<u<t, Lemodèle k∈E Coello- X Crotti permetdemontrerque(danslecashomogène) Lemodèle du Memory P(s+t)=P(s)P(t). Conclusion & Enconnaissantnotreloiinitialedelachaîneainsiquenotrematricedetransition,nous Références pouvonsdéterminer laprobabilité desetrouverdansunétataprèsuntempst par π(t)=Ptπ(0) ,P:=P(1) 5/33 Loi stationnaire Amour, Mémoire &Modéli- sation Pablo Crotti Rappels deProba- bilitéet Théorie des Définition graphes Soit(Xt)t∈I unechaînedeMarkovdematricedetransitionPetπ unemesurede Lemodèle Coello- probabilité surE.Onditqueπ eststationnaire sir Crotti Lemodèle πP=π du Memory Conclusion & Références 6/33 Graphes connexes Amour, Mémoire &Modéli- sation Pablo Crotti Rappels deProba- Définition bilitéet Tdehséorie Ungraphe G=(E,V)estunensembleoùE estl’ensembledessommetsetV graphes l’ensembledesarrêtes. Onditquelegrapheestorienté silesarrêtessontdirigées. Lemodèle Coello- Crotti Définition Lemodèle du Onditquelegrapheestconnexe quandtoussessommetssontinterconnectés. Memory Conclusion Ungraphepeutavoirplusieurscomposantes connexes. & Références 7/33
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