Amour, Mémoire & Modélisation

36 Pages·2010·0.69 MB·French

by  Pablo Crotti

Amour,
Mémoire
&Modéli-
sation
Pablo
Crotti
Rappels
deProba-
bilitéet Amour, Mémoire & Modélisation
Théorie
des
graphes
Lemodèle
Coello- PabloCrotti
Crotti
Lemodèle
du DépartementdeMathématiques
Memory UniversitédeFribourg
Conclusion
&
Références 7Mai2010
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Plan de la présentation
Amour,
Mémoire
&Modéli-
sation
Pablo
Crotti
Rappels 1 RappelsdeProbabilitéetThéoriedesgraphes
deProba-
bilitéet
Tdehséorie 2 LemodèleCoello-Crotti
graphes
LCeoemlloo-dèle 3 LemodèleduMemory
Crotti
Lduemodèle 4 Conclusion &Références
Memory
Conclusion
&
Références
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Plan de la présentation
Amour,
Mémoire
&Modéli-
sation
Pablo
Crotti
Rappels 1 RappelsdeProbabilitéetThéoriedesgraphes
deProba-
bilitéet
Tdehséorie 2 LemodèleCoello-Crotti
graphes
LCeoemlloo-dèle 3 LemodèleduMemory
Crotti
Lduemodèle 4 Conclusion &Références
Memory
Conclusion
&
Références
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Plan de la présentation
Amour,
Mémoire
&Modéli-
sation
Pablo
Crotti
Rappels 1 RappelsdeProbabilitéetThéoriedesgraphes
deProba-
bilitéet
Tdehséorie 2 LemodèleCoello-Crotti
graphes
LCeoemlloo-dèle 3 LemodèleduMemory
Crotti
Lduemodèle 4 Conclusion &Références
Memory
Conclusion
&
Références
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Plan de la présentation
Amour,
Mémoire
&Modéli-
sation
Pablo
Crotti
Rappels 1 RappelsdeProbabilitéetThéoriedesgraphes
deProba-
bilitéet
Tdehséorie 2 LemodèleCoello-Crotti
graphes
LCeoemlloo-dèle 3 LemodèleduMemory
Crotti
Lduemodèle 4 Conclusion &Références
Memory
Conclusion
&
Références
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Rappel de Probabilité
Amour,
Mémoire
&Modéli-
sation
Définition
Pablo
Crotti Unprocessusstochastique(Xt)t∈I estuneunechaînedeMarkov ou(Markovien)si
∀t1<t2<...<tn, ti ∈I et∀i1,...,in ∈E
Rappels
dbeilitPéroebta- (M) P(Xtn =in|Xtn−1 =in−1,...,Xt1 =i1)=P(Xtn =in|Xtn−1 =in−1)
Théorie
des
graphes
Définition
Lemodèle
CCoroetltloi- Soit(Xt)t∈I unechaînedeMarkov.Lesexpressions
Lemodèle pi,j(s,t)=P(Xt =j|Xs=i) ,0≤s<t , i,j∈E
du
Memory sontlesprobabilitésdetransitiondelachaîne.Sousformematriciellenousavons
Conclusion .
& ..
Références
P(s,t)=··· pi,j(s,t) ···
.
.
.
 
 
qu’onappelmatricedetransition.
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Répartitions finies et propriété de semi-groupe
Amour,
Mémoire
&Modéli-
sation Répartitions finies:
Pablo
Crotti
(M)
Rappels P(Xtn =in,...,Xt1=i1) = P(Xtn =in|Xtn−1=in−1,...,Xt1=i1)P(Xtn−1 =in−1,...,Xt1=i1)
dbeilitPéroebta- =P(Xtn =in|Xtn−1 =in−1)P(Xtn−1 =in−1,...,Xt1=i1)
Tdehséorie =...=P(Xt1 =i1)pi1,i2(t1,t2)...pin−1,in(tn−1,tn)
graphes
Lemodèle
Coello- Enécrivant
Crotti
Lduemodèle P(Xt1 =i1)Proba=.totale P(X0=i)P(Xt1 =i1|X0=i)= P(X0=i)pi,i1(0,t1)
Memory i∈E i∈E
X X
Conclusion
&Références etendéfinissantπi(0):=P(X0=i)(qu’onappelloiinitiale duprocessus)onobtient
P(Xtn =in,...,Xt1 =i1)= πi(0)pi,i1(0,t1)pi1,i2(t1,t2)...pin−1,in(tn−1,tn).
i∈E
X
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Répartitions finies et propriété de semi-groupe
Amour,
Mémoire
&Modéli-
sation
Onconsidére deschaînesdeMarkovdîtes homogènes (oustationnaires), i.e:
Pablo
Crotti
P(Xt =j|Xs=i)=P(Xt−s =j|X0=i).
Rappels
deProba- PourunechaînedeMarkovdonnée, l’équationdeChapman-Kolmogorov
bilitéet
Théorie
des
graphes pi,j(s,t)= pi,k(s,u)pk,j(u,t) ,s<u<t,
Lemodèle k∈E
Coello- X
Crotti
permetdemontrerque(danslecashomogène)
Lemodèle
du
Memory P(s+t)=P(s)P(t).
Conclusion
& Enconnaissantnotreloiinitialedelachaîneainsiquenotrematricedetransition,nous
Références
pouvonsdéterminer laprobabilité desetrouverdansunétataprèsuntempst par
π(t)=Ptπ(0) ,P:=P(1)
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Loi stationnaire
Amour,
Mémoire
&Modéli-
sation
Pablo
Crotti
Rappels
deProba-
bilitéet
Théorie
des Définition
graphes
Soit(Xt)t∈I unechaînedeMarkovdematricedetransitionPetπ unemesurede
Lemodèle
Coello- probabilité surE.Onditqueπ eststationnaire sir
Crotti
Lemodèle πP=π
du
Memory
Conclusion
&
Références
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Graphes connexes
Amour,
Mémoire
&Modéli-
sation
Pablo
Crotti
Rappels
deProba- Définition
bilitéet
Tdehséorie Ungraphe G=(E,V)estunensembleoùE estl’ensembledessommetsetV
graphes l’ensembledesarrêtes. Onditquelegrapheestorienté silesarrêtessontdirigées.
Lemodèle
Coello-
Crotti
Définition
Lemodèle
du Onditquelegrapheestconnexe quandtoussessommetssontinterconnectés.
Memory
Conclusion Ungraphepeutavoirplusieurscomposantes connexes.
&
Références
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