Algoritmos y Métodos Numéricos

728 Pages·2017·35.59 MB·Spanish

Ingeniería de los
Algoritmos y Métodos Numéricos
Un acercamiento práctico avanzado a la computación
científica e ingenieril con MATLAB
Segunda edición
Matrizdispersa118.142.155 118.142.155
(cid:2)
UFSMC
José Luis de la Fuente O’Connor
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Segunda edición: septiembre 2017
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(cid:296)(cid:381)(cid:410)(cid:381)(cid:272)(cid:381)(cid:393)(cid:349)(cid:258)(cid:396)(cid:3)(cid:381)(cid:3)(cid:286)(cid:400)(cid:272)(cid:258)(cid:374)(cid:286)(cid:258)(cid:396)(cid:3)(cid:258)(cid:367)(cid:336)(cid:439)(cid:374)(cid:3)(cid:296)(cid:396)(cid:258)(cid:336)(cid:373)(cid:286)(cid:374)(cid:410)(cid:381)(cid:3)(cid:282)(cid:286)(cid:3)(cid:286)(cid:400)(cid:410)(cid:258)(cid:3)(cid:381)(cid:271)(cid:396)(cid:258)(cid:3)(cid:894)(cid:449)(cid:449)(cid:449)(cid:856)(cid:272)(cid:381)(cid:374)(cid:367)(cid:349)(cid:272)(cid:286)(cid:374)(cid:272)(cid:349)(cid:258)(cid:856)(cid:272)(cid:381)(cid:373)(cid:854)(cid:3)(cid:1013)(cid:1005)(cid:3)(cid:1011)(cid:1004)(cid:1006)(cid:3)(cid:1005)(cid:1013)(cid:3)(cid:1011)(cid:1004)(cid:3)(cid:876)(cid:3)
(cid:1013)(cid:1007)(cid:3)(cid:1006)(cid:1011)(cid:1006)(cid:3)(cid:1004)(cid:1008)(cid:3)(cid:1008)(cid:1011)(cid:895)(cid:856)(cid:873)(cid:3)
(cid:47)(cid:68)(cid:87)(cid:90)(cid:28)(cid:94)(cid:75)(cid:3)(cid:28)(cid:69)(cid:3)(cid:28)(cid:94)(cid:87)(cid:4)(cid:72)(cid:4)(cid:3)(cid:884)(cid:3)(cid:104)(cid:69)(cid:47)(cid:77)(cid:69)(cid:3)(cid:28)(cid:104)(cid:90)(cid:75)(cid:87)(cid:28)(cid:4)(cid:3)
Dedicadoamiesposa,MaríaMilagrosSagasetadeYlurdoz,amishijos,SandrayAlberto,
yalamemoriademispadresMagdalenayJoséLuis,
conmiagradecimientosiempreporloquehanrepresentadoenmivida
I
II
Índice
Prefacioalasegundaedición XIII
Capítulo1. Fundamentosdelaingenieríamatemáticaysusalgoritmos 1
1.1 Pordóndeempezaryquéherramientasvamosamanejar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Algunosconceptosyprincipiosbásicosdelosalgoritmosnuméricos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Normalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1.1 Desnormalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Sistemabinariodenumeración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 FormatobinarioestándarIEEEpararepresentarnúmeros.Precisióndoble,palabrade64bitsy
sistemanormalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Precisiónsencilla,palabrade32bitsysistemanormalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Codificaciónorepresentacióndeunnúmero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Laaritméticaenunordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Fuentesdeerroresenlosalgoritmosymodelosnuméricos.Evaluaciónyanálisis . . . . . . . . . . 14
1.5.1 Errordecancelaciónopérdidaderelevancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.2 Errorespresentesenlosalgoritmosnuméricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2.1 Truncamientodeseries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.2.2 Solucióndeunaecuacióncuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.2.3 Aproximacióndeladerivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2.4 Otrasumadeinfinitossumandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2.5 PolinomiodeWilkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Operacionesdecálculonuméricoconvectoresymatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.1 Productodeunamatrizporunvector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.2 Productodedosmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.2.1 FórmuladeStrassenparamultiplicarmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6.3 Normasdevectoresymatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3.1 Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.3.2 Normasmatriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Capítulo2. Resolucióndeecuacionesnolinealesdeunavariable 31
2.1 Formulacióndelproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Indagacióngeométrica.ElmétododelaBisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Errorhaciadelanteyhaciaatrásdelosalgoritmosnuméricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Laiteracióndepuntofijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Velocidaddeconvergenciadeunasucesiónyprocesoiterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 MétododeNewton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.6.1 ConvergenciadelmétododeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6.2 VariantesdelmétododeNewton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6.2.1 MétododeNewtonpordiferenciasfinitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.6.2.2 MétododeNewton-Raphsonrelajado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6.2.3 MétododeHalley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
III
IV Índice
j
2.7 Métodositerativossinderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.1 Métododelasecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7.2 MétodosdelafalsaposiciónydeIllinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.7.3 MétododeMuller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.4 ElmétododeBrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.8 Raícesdeunpolinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8.1 Deflacióndeunpolinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.8.2 Evaluacióndeunpolinomioysusderivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.3 MétododeLaguerreparadeterminarunaraíz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Capítulo3. Sistemasdeecuacioneslineales.Métodosdirectosderesolución 57
3.1 Elproblemaysusprincipiosteóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Métodosdirectosderesoluciónnumérica.EliminacióndeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1 Pivotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.1.1 ElalgoritmodelaeliminacióndeGaussconpivotaciónparcial . . . . . . . . . . . . 68
3.2.2 Númerodeoperacionesdelalgoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.3 MétododeGauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3 Condicionamientodesistemasdeecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.3.1 Cálculodelnúmerodecondición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 FuentesdeerroresenlaeliminacióndeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 Matlabylossistemasdeecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 FactorizaciónLU delamatrizdelsistemadeecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.1 LafactorizaciónLU ylaeliminacióndeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.2 ExistenciayunicidaddelafactorizaciónLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.3 MétodosnuméricosdirectosparalaobtencióndefactorizacionesLU . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6.3.1 MétododeCrout.VersiónLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
1
3.6.3.2 MétododeCrout.VersiónL U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1
3.6.4 ObtencióndelamatrizinversaapartirdelafactorizaciónLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.6.5 MatlabylafactorizaciónLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.7 Solucióndesistemasdeecuacioneslinealesmodificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.8 Refinamientoiterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.9 Sistemasdeecuacioneslinealesconmatricessimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.9.1 FactorizaciónLDLT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.9.2 FactorizacióndeCholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.9.3 MatlabylafactorizacióndeCholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.9.4 Matricessimétricassemidefinidaspositivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.9.5 Pivotación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.9.6 Matricessimétricasindefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Capítulo4. Mínimoscuadradoslineales 95
4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.2 Principiosteóricosdelaresolucióndelproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.1 Sistemasdeecuacioneslinealesincompatibles.Ecuacionesnormales . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.2 Sistemasdeecuacioneslinealesindeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.3 Resoluciónnuméricadelproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.3.1 MétododeGram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3.2 MétododeGram-Schmidtmodificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.3 FactorizaciónQRdelamatrizdelsistemadeecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.3.3.1 TransformacionesdeHouseholder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.3.3.2 TransformacionesdeGivens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.3.3.3 TransformacionesrápidasdeGivens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Índice V
j
4.3.4 Descomposiciónenvaloressingulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.5 Comparacióndelosdiversosmétodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 Matlabyelproblemademínimoscuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Capítulo5. Funcionesdeinterpolaciónyaproximación 121
5.1 Interpolaciónversusaproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.2 Interpolaciónnumérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3 Interpolaciónpolinómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.1 PolinomiosdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.3.2 PolinomiosdeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3.3 PolinomiosOrtogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
5.4 Interpolaciónpolinómicaportrozos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.4.1 InterpolacióndeHermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.4.2 Splinescúbicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.4.3 CurvasdeBézier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4.4 B-splines(basisspline) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Capítulo6. Funcionestrigonométricasdeinterpolaciónyajuste.LaTransformadadeFourier 141
6.1 Funcionestrigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2 Interpolacióntrigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3 Elementosdenúmeroscomplejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.4 TransformadaDiscretadeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.5 TransformadaRápidadeFourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.5.1 InterpolacióntrigonométricaconlaTransformadaRápidadeFourier . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.5.2 Aplicacionesprácticas:Sonido,ruido,filtrado,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
Capítulo7. Sistemaslinealesdegrandesdimensiones.Matricesdispersas 155
7.1 Matricesdispersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.1.1 Galeríadeejemplosgráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.2 Almacenamientoenordenadordematricesdispersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2.1 Porcoordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2.2 Almacenamientoporfilasocolumnas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.2.3 Almacenamientoporperfiloenvolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
7.3 Operacionesalgebraicasdematricesdispersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3.1 Productointeriordedosvectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3.2 Multiplicacióndematricesporvectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.3.2.1 Multiplicacióndeunvectorporunamatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.3.3 Otrasoperaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.4 Solucióndesistemasdeecuacioneslinealesdematrizdispersa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.4.1 Ordenacióndelasecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.4.2 Matricesdispersassimétricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.4.2.1 Nocionesbásicassobreteoríadegrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.4.2.2 InterpretacióndelaeliminacióndeGaussmediantegrafos . . . . . . . . . . . . . . . 166
7.4.2.3 ElalgoritmodeGradoMínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.4.2.4 ElalgoritmodeCuthill-McKee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.4.2.5 Seleccióndelnudoinicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.4.2.6 El algoritmo inverso de Cuthill-McKee. Reducción de la envolvente de una matriz
dispersasimétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.4.3 Matricesdispersasnosimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.4.3.1 Nocionesbásicassobregrafosdirigidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
VI Índice
j
7.4.3.2 EliminacióndeGaussenmatricesdispersasnosimétricas . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.4.3.3 Estructuratriangularenbloquesytransversalcompleto . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.4.3.4 AlgoritmodeHallparaobteneruntransversalcompleto . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.4.3.5 Permutacionessimétricasparaobtenerunaestructuratriangularenbloques . . . . . . 177
7.4.3.6 Matricesdispersasgenerales:eliminacióndeGauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.5 Problemasdemínimoscuadradoslinealesdegrandesdimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.5.1 Transformacionesortogonales.MétododeGeorge-Heath . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.5.1.1 Ordenacióndelasfilasdelamatrizdelsistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Capítulo8. Sistemasdeecuacioneslineales.Algoritmosderesolucióniterativos 183
8.1 MétododeJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8.2 MétodoGauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.3 Métodosderelajación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.3.1 MétodoSOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.3.2 MétodoSSOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.4 Métodosestacionariosparamatricesdispersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.5 Métodosnoestacionarios.Dedireccióndedescenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.5.1 Obtencióndedireccionesdedescenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.5.1.1 Relajacióndeunavariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.5.1.2 RelajaciónSOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.5.1.3 Máximapendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.5.2 Métododelosgradientesconjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.5.2.1 Implementaciónprácticadelosgradientesconjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.6 MétodosdesubespaciosdeKrylov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.6.1 MétodosGMRESparamatricesnosimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
8.6.1.1 GMRESconacondicionadoprevio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.6.2 Métodosdeproyecciónparamatricessimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.7 Comparaciónnuméricadealgunosmétodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Capítulo9. Sistemasdeecuacionesnolineales 215
9.1 Elproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.1.1 Estudiosdecargasensistemasdegeneraciónytransportedeenergíaeléctrica . . . . . . . . . . 215
9.2 MétododeNewton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.2.1 ModificacionesdelMétododeNewton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.2.1.1 Newton-Raphsonpordiferenciasfinitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.2.1.2 Newtonmodificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.2.1.3 Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.2.1.4 Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.2.1.5 RelajaciónSOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.3 MétodoscuasiNewton.MétododeBroyden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.3.1 ImplementaciónprácticadelmétododeBroyden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Capítulo10. Mínimoscuadradosnolineales 223
10.1 Definicióndelproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.2 Estimacióndelestadodesistemaseléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.3 Resoluciónnuméricadelproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.3.1 MétododeGauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
10.3.2 MétododeLevenberg-Marquardt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.3.3 MétododeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Índice VII
j
Capítulo11. Valoresyvectorespropios.Valoressingulares 237
11.1 Principiosteóricosyalgunaspropiedadesdelosvaloresyvectorespropios . . . . . . . . . . . . . 239
11.1.1 Valorespropiosdematricesdestacadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.1.2 TriangularizacióndeSchur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
11.2 Localizacióndevalorespropios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.3 Obtenciónnuméricadelosvaloresyvectorespropios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.3.1 MétododeJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.3.2 Métododelaiteracióndelapotencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
11.3.2.1 Mejoradelmétodo:desplazamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
11.3.3 Métododelaiteracióninversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.3.3.1 Mejoradelmétodo:desplazamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
11.3.4 IteraciónmediantecocientedeRayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
11.3.5 Deflación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.3.6 Iteraciónsimultáneaodesubespacio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
11.3.7 IteraciónQR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
11.3.8 IteraciónQRcondesplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11.3.8.1 IteraciónQRcondobledesplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
11.3.8.2 AlgoritmoQR.Transformacionespreliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11.3.9 SubespaciosdeKrylov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
11.3.10Comparacióndelosmétodospresentados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11.4 Cálculodelosvaloressingulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11.4.1 AlgoritmodeGolubyReinsch.Primerafase:Bidiagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11.4.2 AlgoritmodeGolubyReinsch.Segundafase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
11.4.3 AlgoritmodeJacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
Capítulo12. Optimización.Programaciónnolinealsincondiciones 270
12.1 Elproblemadelaoptimizaciónsincondiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12.2 Condicionesparalaexistenciadeunpuntomínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
12.3 Obtencióndelasolución.Métodosdedireccióndedescenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
12.3.1 Amplituddepaso(linesearch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
12.3.2 Métododeladireccióndelgradienteodelamáximapendiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.3.3 MétododeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
12.3.3.1 CombinacióndemáximapendienteyNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
12.3.4 MétodosdeNewtonAmortiguadoydeRegióndeConfianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
12.3.4.1 Newtonamortiguado.Cálculodeladirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
12.3.4.2 Regióndeconfianza.Cálculodeladireccióndedescenso . . . . . . . . . . . . . . . 283
12.3.5 Algoritmodelosgradientesconjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
12.3.6 MétodoscuasiNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
12.3.7 Ejemplogeneralderecapitulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Capítulo13. OptimizaciónLineal.IntroducciónalaProgramaciónLineal 295
13.1 Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.2 Definicionesyformasdeprogramaslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
13.3 DesarrollohistóricodelaProgramaciónLineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.4 FormulacióndeproblemasdeProgramaciónLineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.4.1 Ladietaalimenticia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
13.4.2 Planificacióndelageneracióndeenergíaeléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
13.4.3 Optimizacióndeflujosenredes_Networkflows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13.4.4 Laemisióndedeudapública_Portfolioanalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
13.4.5 Transportedemercancías_Transportationandlogisticsmanagement . . . . . . . . . . . . . . . 306
13.5 Consideracionesgeométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
VIII Índice
j
13.5.1 Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
13.5.2 Formasdelasoluciónuóptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
13.5.2.1 Geometríadelproblemaconcondicionesdeigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
13.5.2.2 Geometríaconcondicionesdedesigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
13.6 Politopos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
13.7 Puntosextremosysolucionesbásicasfactibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
13.7.1 TeoremasfundamentalesdelaProgramaciónLineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
Capítulo14. Programaciónlineal.ElmétodoSímplex 319
14.1 Condicionesdepuntoóptimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
14.1.1 Interpretacióneconómicadelosmultiplicadoressímplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
14.2 Mejorarunasoluciónbásicafactible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
14.3 ElalgoritmoSímplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
14.3.1 Degeneraciónyciclado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
14.3.1.1 LaregladeBland . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
14.4 Soluciónbásicafactibleinicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
14.4.1 Variablesartificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
14.4.2 MétododepenalizaciónodelaMgrande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
14.5 Análisisdesensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
14.5.1 Cambiosenelvectordecostes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
14.5.2 Cambiosenelvectorb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
14.6 ElmétodoSímplexparavariablesacotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
14.7 Implementacionesdivulgativaso“comerciales”delSímplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
14.7.1 Formade“tableau” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
14.7.1.1 OtrasvariantesymejorasdelSímplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
14.8 ComplejidadcomputacionaldelalgoritmoSímplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Capítulo15. DualidadenProgramaciónLineal.Métodosdepuntosinteriores 361
15.1 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
15.1.1 Interpretacióngeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
15.2 ResultadosimportantesdelaDualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
15.3 ElalgoritmodualdelSímplex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
15.3.1 Elproblemadeladieta(otravez) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
15.3.1.1 ElformatoMPS:MathematicalProgrammingSystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
15.4 Métodosdepuntointerior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
15.4.1 Formulacióndelprocedimientogeneral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
15.4.2 Resoluciónnuméricayalgoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
Referencias,fuentesylecturascomplementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Capítulo16. Optimización.Programaciónnolinealconcondiciones 385
16.1 Formulacióndelproblema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
16.2 CondicionesdeKarush-Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
16.2.1 Condicionesdeóptimodesegundoorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
16.3 AlgoritmosdePNLconcondiciones.Programacióncuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
16.3.1 ProgramaciónCuadráticaconcondicionesdeigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
16.3.1.1 MétododelsubespacioimagendelamatrizA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
16.3.1.2 MétododelsubespacionúcleodelamatrizA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
16.3.2 ProgramaciónCuadráticaconcondicionesgenerales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
16.4 ProgramaciónCuadráticaSecuencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
16.4.1 SQPconcondicionesdeigualdadsolamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
16.4.2 SQPconcondicionesdedesigualdadsolamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399