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Propiedades Introducci´on Algoritmos Algoritmo de Kruskal Curso de Teor´ıa Algebraica de Grafos Facultad de Ingenier´ıa Universidad de la Repu´blica 14 de mayo de 2012 Un bosque es un grafo ac´ıclico, o sea, una uni´on disjunta de ´arboles. Una hoja en un grafo es un v´ertice de grado 1. Un ´arbol generador de un grafo G es un subgrafo generador de G que es un ´arbol. Propiedades Introducci´on Algoritmos ´ Arboles Un ´arbol es un grafo conexo y ac´ıclico (sin ciclos). Una hoja en un grafo es un v´ertice de grado 1. Un ´arbol generador de un grafo G es un subgrafo generador de G que es un ´arbol. Propiedades Introducci´on Algoritmos ´ Arboles Un ´arbol es un grafo conexo y ac´ıclico (sin ciclos). Un bosque es un grafo ac´ıclico, o sea, una uni´on disjunta de ´arboles. Un ´arbol generador de un grafo G es un subgrafo generador de G que es un ´arbol. Propiedades Introducci´on Algoritmos ´ Arboles Un ´arbol es un grafo conexo y ac´ıclico (sin ciclos). Un bosque es un grafo ac´ıclico, o sea, una uni´on disjunta de ´arboles. Una hoja en un grafo es un v´ertice de grado 1. Propiedades Introducci´on Algoritmos ´ Arboles Un ´arbol es un grafo conexo y ac´ıclico (sin ciclos). Un bosque es un grafo ac´ıclico, o sea, una uni´on disjunta de ´arboles. Una hoja en un grafo es un v´ertice de grado 1. Un ´arbol generador de un grafo G es un subgrafo generador de G que es un ´arbol. Demo: Por inducci´on. Si n = 1 o 2, no puede pasar. Si n = 3, G G entonces G es un tri´angulo y tiene un ciclo. Sea G con n > 3 y m > n −1. Si todo v´ertice de G tiene G G G grado al menos 2, entonces G tiene un ciclo (ejercicio). Si no, saco un v´ertice v con gr(v) ≤ 1. Ahora G(cid:48) = G −v cumple m ≥ m −1 > n −2 = n −1 G(cid:48) G G G(cid:48) Por hip´otesis inductiva G(cid:48) contiene un ciclo, y como G(cid:48) es un subgrafo de G, es tambi´en un ciclo en G. (cid:50) Propiedades Introducci´on Algoritmos Lema 1 Si m > n −1 entonces G tiene un ciclo. G G Sea G con n > 3 y m > n −1. Si todo v´ertice de G tiene G G G grado al menos 2, entonces G tiene un ciclo (ejercicio). Si no, saco un v´ertice v con gr(v) ≤ 1. Ahora G(cid:48) = G −v cumple m ≥ m −1 > n −2 = n −1 G(cid:48) G G G(cid:48) Por hip´otesis inductiva G(cid:48) contiene un ciclo, y como G(cid:48) es un subgrafo de G, es tambi´en un ciclo en G. (cid:50) Propiedades Introducci´on Algoritmos Lema 1 Si m > n −1 entonces G tiene un ciclo. G G Demo: Por inducci´on. Si n = 1 o 2, no puede pasar. Si n = 3, G G entonces G es un tri´angulo y tiene un ciclo. Si no, saco un v´ertice v con gr(v) ≤ 1. Ahora G(cid:48) = G −v cumple m ≥ m −1 > n −2 = n −1 G(cid:48) G G G(cid:48) Por hip´otesis inductiva G(cid:48) contiene un ciclo, y como G(cid:48) es un subgrafo de G, es tambi´en un ciclo en G. (cid:50) Propiedades Introducci´on Algoritmos Lema 1 Si m > n −1 entonces G tiene un ciclo. G G Demo: Por inducci´on. Si n = 1 o 2, no puede pasar. Si n = 3, G G entonces G es un tri´angulo y tiene un ciclo. Sea G con n > 3 y m > n −1. Si todo v´ertice de G tiene G G G grado al menos 2, entonces G tiene un ciclo (ejercicio). Por hip´otesis inductiva G(cid:48) contiene un ciclo, y como G(cid:48) es un subgrafo de G, es tambi´en un ciclo en G. (cid:50) Propiedades Introducci´on Algoritmos Lema 1 Si m > n −1 entonces G tiene un ciclo. G G Demo: Por inducci´on. Si n = 1 o 2, no puede pasar. Si n = 3, G G entonces G es un tri´angulo y tiene un ciclo. Sea G con n > 3 y m > n −1. Si todo v´ertice de G tiene G G G grado al menos 2, entonces G tiene un ciclo (ejercicio). Si no, saco un v´ertice v con gr(v) ≤ 1. Ahora G(cid:48) = G −v cumple m ≥ m −1 > n −2 = n −1 G(cid:48) G G G(cid:48) Propiedades Introducci´on Algoritmos Lema 1 Si m > n −1 entonces G tiene un ciclo. G G Demo: Por inducci´on. Si n = 1 o 2, no puede pasar. Si n = 3, G G entonces G es un tri´angulo y tiene un ciclo. Sea G con n > 3 y m > n −1. Si todo v´ertice de G tiene G G G grado al menos 2, entonces G tiene un ciclo (ejercicio). Si no, saco un v´ertice v con gr(v) ≤ 1. Ahora G(cid:48) = G −v cumple m ≥ m −1 > n −2 = n −1 G(cid:48) G G G(cid:48) Por hipo´tesis inductiva G(cid:48) contiene un ciclo, y como G(cid:48) es un subgrafo de G, es tambi´en un ciclo en G. (cid:50)
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