Table Of ContentPropiedades
Introducci´on
Algoritmos
Algoritmo de Kruskal
Curso de Teor´ıa Algebraica de Grafos
Facultad de Ingenier´ıa
Universidad de la Repu´blica
14 de mayo de 2012
Un bosque es un grafo ac´ıclico, o sea, una uni´on disjunta de
´arboles.
Una hoja en un grafo es un v´ertice de grado 1.
Un ´arbol generador de un grafo G es un subgrafo generador
de G que es un ´arbol.
Propiedades
Introducci´on
Algoritmos
´
Arboles
Un ´arbol es un grafo conexo y ac´ıclico (sin ciclos).
Una hoja en un grafo es un v´ertice de grado 1.
Un ´arbol generador de un grafo G es un subgrafo generador
de G que es un ´arbol.
Propiedades
Introducci´on
Algoritmos
´
Arboles
Un ´arbol es un grafo conexo y ac´ıclico (sin ciclos).
Un bosque es un grafo ac´ıclico, o sea, una uni´on disjunta de
´arboles.
Un ´arbol generador de un grafo G es un subgrafo generador
de G que es un ´arbol.
Propiedades
Introducci´on
Algoritmos
´
Arboles
Un ´arbol es un grafo conexo y ac´ıclico (sin ciclos).
Un bosque es un grafo ac´ıclico, o sea, una uni´on disjunta de
´arboles.
Una hoja en un grafo es un v´ertice de grado 1.
Propiedades
Introducci´on
Algoritmos
´
Arboles
Un ´arbol es un grafo conexo y ac´ıclico (sin ciclos).
Un bosque es un grafo ac´ıclico, o sea, una uni´on disjunta de
´arboles.
Una hoja en un grafo es un v´ertice de grado 1.
Un ´arbol generador de un grafo G es un subgrafo generador
de G que es un ´arbol.
Demo: Por inducci´on. Si n = 1 o 2, no puede pasar. Si n = 3,
G G
entonces G es un tri´angulo y tiene un ciclo.
Sea G con n > 3 y m > n −1. Si todo v´ertice de G tiene
G G G
grado al menos 2, entonces G tiene un ciclo (ejercicio).
Si no, saco un v´ertice v con gr(v) ≤ 1. Ahora G(cid:48) = G −v cumple
m ≥ m −1 > n −2 = n −1
G(cid:48) G G G(cid:48)
Por hip´otesis inductiva G(cid:48) contiene un ciclo, y como G(cid:48) es un
subgrafo de G, es tambi´en un ciclo en G. (cid:50)
Propiedades
Introducci´on
Algoritmos
Lema 1
Si m > n −1 entonces G tiene un ciclo.
G G
Sea G con n > 3 y m > n −1. Si todo v´ertice de G tiene
G G G
grado al menos 2, entonces G tiene un ciclo (ejercicio).
Si no, saco un v´ertice v con gr(v) ≤ 1. Ahora G(cid:48) = G −v cumple
m ≥ m −1 > n −2 = n −1
G(cid:48) G G G(cid:48)
Por hip´otesis inductiva G(cid:48) contiene un ciclo, y como G(cid:48) es un
subgrafo de G, es tambi´en un ciclo en G. (cid:50)
Propiedades
Introducci´on
Algoritmos
Lema 1
Si m > n −1 entonces G tiene un ciclo.
G G
Demo: Por inducci´on. Si n = 1 o 2, no puede pasar. Si n = 3,
G G
entonces G es un tri´angulo y tiene un ciclo.
Si no, saco un v´ertice v con gr(v) ≤ 1. Ahora G(cid:48) = G −v cumple
m ≥ m −1 > n −2 = n −1
G(cid:48) G G G(cid:48)
Por hip´otesis inductiva G(cid:48) contiene un ciclo, y como G(cid:48) es un
subgrafo de G, es tambi´en un ciclo en G. (cid:50)
Propiedades
Introducci´on
Algoritmos
Lema 1
Si m > n −1 entonces G tiene un ciclo.
G G
Demo: Por inducci´on. Si n = 1 o 2, no puede pasar. Si n = 3,
G G
entonces G es un tri´angulo y tiene un ciclo.
Sea G con n > 3 y m > n −1. Si todo v´ertice de G tiene
G G G
grado al menos 2, entonces G tiene un ciclo (ejercicio).
Por hip´otesis inductiva G(cid:48) contiene un ciclo, y como G(cid:48) es un
subgrafo de G, es tambi´en un ciclo en G. (cid:50)
Propiedades
Introducci´on
Algoritmos
Lema 1
Si m > n −1 entonces G tiene un ciclo.
G G
Demo: Por inducci´on. Si n = 1 o 2, no puede pasar. Si n = 3,
G G
entonces G es un tri´angulo y tiene un ciclo.
Sea G con n > 3 y m > n −1. Si todo v´ertice de G tiene
G G G
grado al menos 2, entonces G tiene un ciclo (ejercicio).
Si no, saco un v´ertice v con gr(v) ≤ 1. Ahora G(cid:48) = G −v cumple
m ≥ m −1 > n −2 = n −1
G(cid:48) G G G(cid:48)
Propiedades
Introducci´on
Algoritmos
Lema 1
Si m > n −1 entonces G tiene un ciclo.
G G
Demo: Por inducci´on. Si n = 1 o 2, no puede pasar. Si n = 3,
G G
entonces G es un tri´angulo y tiene un ciclo.
Sea G con n > 3 y m > n −1. Si todo v´ertice de G tiene
G G G
grado al menos 2, entonces G tiene un ciclo (ejercicio).
Si no, saco un v´ertice v con gr(v) ≤ 1. Ahora G(cid:48) = G −v cumple
m ≥ m −1 > n −2 = n −1
G(cid:48) G G G(cid:48)
Por hipo´tesis inductiva G(cid:48) contiene un ciclo, y como G(cid:48) es un
subgrafo de G, es tambi´en un ciclo en G. (cid:50)
Description:Sea i el primer ındice tal que wi = zi . Entonces i > 0, y wi−1 = zi−1. puede consultar en http://www.cmat.edu.uy/ marclan/TAG/Sellanes/boruvka.pdf
