ALGEBRES ET MODULES. Cours et exercices

344 Pages·1997·21.03 MB·French

by  Ibrahim Assem

Algèbres
et modules
Cours et exercices
DANS LA M~ME COLLECTION
Les différentielles, par F. Pham. 1996, 152 pages.
Algèbre linéaire, par R. Goblot. 1996, 288 pages.
Calcul des probabilités. Cours et exercices corrigés, par D. Foata et A Fuchs. 1996, 320 pages.
Problèmes corrigés d'analyse numérique, par J.-E. Rombaldi. 1996, 304 pages.
Algèbre commutative. Cours et exercices résolus, par R. Goblot. 1996, 288 pages.
Analyse de Fourier et applications. Filtrage, calcul numérique, ondelettes, par C. Gasquet et
P. Witomski. 1995, 2e tirage, 368 pages.
Analyse de Fourier et applications. Exercices corrigés, par R. Dalmasso et P. Witomski. 1996,
256 pages.
Algèbre pour la licence. Cours et exercices corrigés, par M. Reversat et B. Bigonnet. 1997,
208 pages.
Éléments d'analyse fonctionne/le, par F. Hirsch et G. Lacombe. 1997, 348 pages.
Exercices de calcul intégral, avec rappels de cours, par J. Benoist et A Salinier. 1997,
224 pages.
Théorie de Galois. Cours avec exercices corrigés, par J.-P. Escofier. 1997, 288 pages.
Intégration pour la licence. Cours avec exercices corrigés, par J. Gapaillard. 1997, 256 pages.
Enseignement des MATHÉMATIQUES
Algèbres
et modules
Cours et exercices
Ibrahim ASSEM
Professeur agrégé
à l'université de Sherbrooke, Canada
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Pour les étudiants du 2e cycle universitaire.
Publ. en collab. avec: Masson.
ISBN 2-7603-0461-2 (Presses de l'Université d'Ottawa).
ISBN 2-225-83148-3 (Masson)
1. Algèbres non commutatives. 2. Algèbre homologique. 3. Modules (Algèbre). 4. Algèbres non commutatives -
Problèmes et exercices. S. Algèbre homologique - Problèmes et exercices. 6. Modules (Algèbre) - Problèmes et
exercices. I. Titre.
QA2Sl.4.A87 1997 Sl2'.24 C97-90114S-O
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©Les Presses de l'Université d'Ottawa, 1997
ISBN Masson: 2-225-83148-3
ISBN PUO: 2-7603-0461-2
MASSONS.A. 120, bd Saint-Germain, 75280 Paris Cedex 06
LES PRESSES DE L'UNIVERSITÉ D'Ü1TAWA 542, rue King Edward, Ottawa, Ont. Canada KIN 6N5
Table des matières
Introduction 1
Chapitre I : Algèbres 3
1. Structure de K-algèbre 3
2. Morphismes d'algèbres 12
Exercices du chapitre I 16
Chapitre II: Modules sur une K-algèbre 19
1. Définition et exemples 19
2. Applications linéaires 25
3. Suites exactes 28
4. Théorèmes d'isomorphisme 34
5. Modules d'homomorphismes 37
Exercices du chapitre II 40
Chapitre III: Catégories de modules 47
1. Catégories et foncteurs 47
2. Produits et sommes directes 53
3. Modules libres 60
4. Catégories linéaires et abéliennes 66
5. Produits fibrés et sommes amalgamées 75
6. Équivalences de catégories 80
Exercices du chapitre III 86
Chapitre IV: Foncteurs Hom, modules projectifs et injectifs 95
1. Exactitude de foncteurs 95
iii
iv TABLE DES MATIÈRES
2. Modules projectifs 100
3. Modules injectifs 103
4. Extensions essentielles et enveloppes injectives 110
Exercices du chapitre IV. 115
Chapitre V : Produits tensoriels.
Algèbres tensorielle et extérieure 119
1. Produit tensoriel de modules 119
2. Propriétés fonctorielles du produit tensoriel 126
3. Théorèmes de Watts 131
4. Algèbre tensorielle, graduations 136
5. Algèbre extérieure, déterminants 139
Exercices du chapitre V 146
Chapitre VI : Conditions de finitude. Modules simples
et semisimples 151
1. Modules artiniens et noethériens 151
2. Algèbres artiniennes et noethériennes 154
3. Décomposition en blocs 160
4. Modules simples 165
5. Suites de composition, théorème de Jordan-Holder 166
6. Modules semisimples 170
7. Algèbres semisimples 173
Exercices du chapitre VI 179
Chapitre VII: Radicaux de modules et d'algèbres 183
1. Radical d'un module 183
2. Socle d'un module 188
3. Radical d'une algèbre 189
4. Modules artiniens et algèbres artiniennes 191
5. Radical d'une catégorie K-linéaire 194
6. Modules indécomposables 196
Exercices du chapitre VII 203
Chapitre VIII: Modules projectifs. Équivalences de Morita 205
1. Idempotents et projectifs indécomposables 205
2. Couvertures projectives 210
3. Équivalences de catégories de modules 212
TABLE DES MATIÈRES V
4. Dualité et modules injectifs 219
5. Groupe de Grothendieck et matrice de Cartan 224
Exercices du chapitre VIII 227
Chapitre IX : Foncteurs Ext et Tor 229
1. Foncteurs d'homologie 229
2. Foncteurs dérivés 236
3. Foncteurs d'extension 245
4. Foncteurs de torsion. 252
5. Suites exactes courtes et extensions 260
Exercices du chapitre IX 268
Chapitre X : Dimensions homologiques de modules
et d'algèbres 273
1. Dimensions homologiques de modules 273
2. Dimensions homologiques d'une algèbre 280
Exercices du chapitre X 286
Chapitre XI : Homologie et cohomologie des algèbres 289
1. Cohomologie de Hochschild d'une algèbre 289
2. Algèbres séparables 298
Exercices du chapitre XI 304
Chapitre XII : Algèbres héréditaires, tensorielles
et auto-injectives 305
1. Algèbres héréditaires 305
2. Algèbres tensorielles 309
2. Algèbres auto-injectives 316
Exercices du chapitre XII 323
Bibliographie 325
Index 327